高考冲刺：动力学方法及应用
编稿：李传安 审稿：张金虎
【高考展望】
本专题主要讨论利用动力学方法分析解决物理问题的方法。动力学问题是高中物理的主干和重点知识，动力学方法是高中物理中处理物理问题的常用方法和重要方法，也是历年高考热点。历年高考试卷中的综合问题往往与动力学知识有关，并且往往把动力学知识与非匀变速直线运动、圆周运动、平抛运动、电场、磁场、电磁感应等知识点综合起来，这类问题过程多样复杂，信息容量大，综合程度高，难度大。
牛顿运动定律、运动学知识是本专题知识的重点。在对本专题知识的复习中，应在物理过程和物理情景分析的基础上，分析清楚物体的受力情况、运动情况，恰当地选取研究对象和研究过程，准确地选用适用的物理规律。
【知识升华】
“动力学方法”简介：从“力与运动的关系”角度来研究运动状态和运动过程的学习研究方法。物体所受的合外力决定物体运动的性质。物体所受的合外力是否为零，决定物体的运动是匀速运动（或静止）还是变速运动；物体所受的合外力是否恒定，决定物体的运动是匀变速运动还是非匀变速运动；物体所受合外力的方向与物体运动方向的关系决定物体的运动轨迹是直线还是曲线。
解决动力学问题，要对物体进行受力分析，进行力的分解和合成；要对物体运动过程进行分析，然后根据牛顿第二定律，把物体受的力和运动联系起来，列方程求解。
【方法点拨】
常用的解题方法：整体法和隔离法；正交分解法；合成法。
考点一、整体法和隔离法
整体法和隔离法通常用于处理连接体问题。
要点诠释：作为连接体的整体，一般都是运动整体的加速度相同，可以由整体求解出加速度，然后应用于隔离后的每一部分；或者由隔离后的部分求解出加速度然后应用于整体。处理连接体问题的关键是整体法与隔离法的配合使用。隔离法和整体法是互相依存、互相补充的，两种方法互相配合交替使用，常能更有效地解决有关连接体问题。
考点二、正交分解法
当物体受到两个以上的力作用而产生加速度时，常用正交分解法解题。
要点诠释：多数情况下是把力正交分解在加速度方向和垂直加速度方向上，x F ma =（沿加速度方向）0y F =(垂直于加速度方向），特别要注意在垂直于加速度方向根据合力为零的特点正确求出支持力。特殊情况下也可以分解加速度。
考点三、合成法（也叫平行四边形定则、三角形定则）
要点诠释：若物体只受两个力作用而产生加速度时，这时二力不平衡，根据牛顿第二定律可知，利用平行四边形法则求出的两个力的合外力方向就是加速度方向。特别是两个力相互垂直或相等时，应用力的合成法比较简单（匀速圆周运动都属于这类问题）。
【典型例题】
类型一、匀变速直线运动
用动力学方法解决匀变速直线运动问题时，主要根据牛顿运动定律，往往结合运动学知识和动能定理（动能定理是根据牛顿第二定律推导出来的，导出的公式、定理等很多时候用起来要简单得多）
例1、风洞实验室中可产生水平方向的、大小可调节的风力。现将一套有小球的细直杆放入风洞实验室，小球孔径略大于细杆直径，如图所示：
（1）当杆在水平方向上固定时，调节风力的大小，使小球在杆上做匀速运动，这时小球所受的风力为小球所受重力的0.5倍。求小球与杆间的滑动摩擦因数。
（2）保持小球所受风力不变，使杆与水平方向间夹角为37°并固定，则小球从静止出发在细杆上滑下距离s 所需时间为多少 ? （sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
【思路点拨】（1）根据平衡条件求出动摩擦因数；（2）做受力图、正交分解，根据牛顿第二定律求解。
【答案】（1）0.5 （2）83s g
【解析】（1）当杆在水平方向上固定时，运动分析：小球在杆上做匀速运动，直线运动； 受力分析：重力mg ，方向竖直向下、支持力N ,方向竖直向上、摩擦力f ，f N μ=，方向向右、风力F , 大小：0.5F mg =，
由平衡条件，水平方向： F f = 竖直方向：N mg =
列出方程 0.5mg mg μ= 解得 0.5μ=
（2）受力分析：重力mg ，方向竖直向下，支持力N ，方向垂直杆斜向左上方， 摩擦力f ，f N μ=，沿杆方向向上，
保持小球所受风力不变，0.5F mg =，作出受力图，进行正交分解，把重力、风力沿杆方向、垂直于杆方向分解。
运动分析：小球沿杆从静止下滑，沿杆方向的合力恒定，
小球做匀加速直线运动。
根据牛顿第二定律列方程
沿杆方向： cos sin F mg f ma θθ+-= ①
垂直于杆方向： sin cos N F mg θθ+= ②
f N μ= ③
联立① ② ③ 解得加速度 34a g = 又由212s at = 下滑距离s 所需时间为 283s s t a g
== 【总结升华】正确进行运动分析、受力分析、正交分解，根据牛顿第二定律沿杆方向、垂直于杆方向列出方程，求出加速度是解题的关键。
举一反三
【变式1】民用航空客机的机舱，除了有正常的舱门和舷梯连接供旅客上下飞机外一般还设有紧急出口，发生意外情况的飞机着陆后，打开紧急出口的舱门，会自动生成一个由气囊构成的斜面，机舱中的人可沿着该斜面滑行到地面上来。设机舱出口离气囊底端的竖直高度h=3.0m ，气囊构成的斜面长x=5.0m ，CD 段为与斜面平滑连接的水平地面，一个质量m=60kg 的人从气囊上由静止开始滑下，人与气囊、地面间的动摩擦因数均为μ=0.5。不计空气阻力，g 取10/m s 。
求：（1）人从斜面上滑下时的加速度大小
（2）人滑到斜坡底端时的速度大小
（3）人离开C 点后在水平地面上滑行的距离
【答案】（1）22/m s （2）25/m s （3）2.0 m
【解析】（1）人受力如图所示
由牛顿运动定律 sin mg N ma θμ-=
cos 0N mg θ-=
解得2
sin cos 2/a g g m s θμθ=-= （2）由22C v ax =，求得25/C v m s =.
（3）由牛顿运动定律mg ma μ'=
由202C v ax '-=-解得2x m '=。
【变式2】有一质量m=1kg 的小球串在长0.5s m =的轻杆顶端，轻杆与水平方向成37θ=，静止释放小球，经过0.5t s =小球到达轻杆底端（210/g m s = sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），试求：
（1）小球与轻杆之间的动摩擦因素；
（2）在竖直平面内给小球施加一个垂直于轻杆方向的恒力，使小球释放后加速度为22/a m s =，此恒力大小为多少？
【答案】（1）0.25μ=
（2）若此恒力垂直杆向下，F=8N ；若此恒力垂直杆向上，F=24N 。
【解析】（1）由212s at = 求得加速度2224/s a m s t
== 沿杆方向、垂直于杆方向正交分解， 应用牛顿第二定律
sin mg f ma θ-= cos N mg θ= f N μ=
代入数据联立解得 0.25μ=
（2）若此恒力垂直杆向下，沿杆方向、垂直于杆方向正交分解，支持力垂直于
斜面向上，小球受力图如图1所示。
根据牛顿第二定律 sin mg f ma θ-= cos N mg F θ=+
f N μ= 代入数据联立解得8F N =
若此恒力垂直杆向上，沿杆方向、垂直于杆方向正交分解，此时支持力垂直于斜面向下（因为cos F mg θ'>），小球受力图如图2所示。
sin mg f ma θ'-= cos N F mg θ''=- f N μ''=
代入数据联立解得 24F N '=
类型二、非匀变速运动
例2、如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上.其正上方A 位置有一只小球。小球从静止开始下落，在B 位置接触弹簧的上端，在C 位置小球所受弹力大小等于重力，在D 位置小球速度减小到零，在小球下降阶段中，下列说法正确的是 （ ）
A ．从A →D 位置小球先做匀加速运动后做匀减速运动
B ．从A →
C 位置小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
C ．在B 位置小球动能最大
D ．在C 位置小球动能最大
【思路点拨】把小球的运动根据受力分为三个阶段：
重力大于弹簧弹力，重力等于弹簧弹力，重力小于弹簧弹力，分析加速度的大小和方向。
【答案】D
【解析】小球到达B 点前做自由落体运动，（1）重力大于弹力：过B 点后，C 点前，压缩弹簧，设压缩量为x ，弹力F kx =，合外力为mg kx -，应用牛顿第二定律，mg kx ma -=，x 不断增大，弹力增大，合外力减小，加速度减小，加速度方向与速度方向相同，速度增大，做加速度减小的加速运动。
（2）重力等于弹力：在C 位置， mg kx =，合力为零，加速度为零，速度达到最大。
（3）重力小于弹力：C 点后，到D 点前, mg kx >, mg kx ma -=, 合力方向向上，加速度向上，速度方向还是向下，做减速运动，合力不断增大，加速度增大，到D 点后，速度为零，加速度最大，向上反弹。向上反弹到最高点的运动分析，可参照上面的分析。 根据以上分析，小球加速度始终在变化，不是匀加速也不是匀减速。在C 位置小球动能最大。从A →C 位置小球重力势能减少，动能增大，弹性势能增大。所以C 正确。
【总结升华】受力情况不同，运动情况就不同，必须按不同的受力情况将运动过程分开，具体一步一步分析计算。整个过程合力不断变化，加速度不断变化（大小、方向都在变），不要随便就说是匀加速、匀减速。
【变式】右图为蹦极运动的示意图。弹性绳的一端固定在O 点，另一端和运动员相连。运动员从O 点自由下落，至B 点弹性绳自然伸直，经过合力为零的C 点到达最低点D ，然后弹起。整个过程中忽略空气阻力。分析这一过程，下列表述正确的是
①经过B 点时，运动员的速率最大
②经过C 点时，运动员的速率最大
③从C 点到D 点，运动员的加速度增大
④从C 点到D 点，运动员的加速度不变
A ．①③
B ．②③
C ．①④
D ．②④
【答案】B
【解析】运动员的下落过程：O→B 自由落体运动，B→C 重力大于
弹性绳的弹力，做加速度越来越小的加速运动，C 点加速度为零，
速度最大，C→D 弹力大于重力，加速度向上，运动员做加速度增大的减速运动，D 点速度为零。可见B 正确。
【高清课堂：369021动力学方法及其应用 例5】
例3、两木块质量分别为m 、M ，用劲度系数为k 的轻弹簧连在一起，放在水平地面上，将木块1压下一段距离后释放，它就上下做简谐振动。在振动过程中木块2刚好始终不离开地面。求：（1）木块1的最大加速度，
（2）木块2对地面的最大压力。
【思路点拨】木块m 上下做简谐振动。当1运动到最高点时，
弹簧伸长最长，弹力大小等于重力Mg ，简谐运动具有对称性，
1在最高点、最低点时加速度大小相等。
【答案】（1）()M m a g m
+= 方向向下 （2）2()N M m g =+ 方向向下
【解析】（1）1在最高点时，对2，由题意f 弹=Mg
对1，由牛顿运动定律，+f mg ma =弹 （m 受到的弹力方向向下）
()M m a g m
+= 方向向下 （2）最大压力应发生在弹簧最短处。 1在最低点时，2对
地面压力最大。
对1，由对称性 ()M m a g m
+=方向向上， f mg ma -=弹 f 弹=2mg Mg +
对2 由平衡条件可知 木块2地面的支持力
+2()N f Mg M m g ==+弹
根据牛顿第三定律，木块2地面的最大压力大小等于
2()M m g + 方向竖直向下。
【总结升华】根据简谐运动对称性的特点，确定木块m 加速度最大的位置，确定最大压力应发生在弹簧最短处，即木块m 在最低点时，2对地面压力最大。
【高清课堂：369021动力学方法及其应用 例4】
举一反三
【变式】如图所示，物体A 、B 的质量不同，与地面间动摩擦因数都为μ。现用手向左推动B 使弹簧处于压缩状态。突然松手，分析A 、B 分离的位置是在弹簧原长处，还是原长处的左侧或右侧？
【答案】弹簧原长处。 【解析】分离瞬间两者速度、加速度相同，相互作用力为零，A B a a =。
分离瞬间B 仅受向左的摩擦力，mg ma μ=，a g μ=，
A 的加速度也为g μ，如果此时A 还受弹簧的弹力，两者加速度就不等了，所以此时弹力为零，即弹簧处于原长处。
例4、（2015四川卷）如图所示，粗糙、绝缘的直轨道OB 固定在水平桌面上，B 端与桌面边缘对齐，A 是轨道上一点，过A 点并垂直于轨道的竖直面右侧有大小E ＝1.5×106N/C ，方向水平向右的匀强电场。带负电的小物体P 电荷量是2.0×10－
6C ，质量m ＝0.25kg ，与轨道间动摩擦因数μ＝0.4，P 从O 点由静止开始向右运动，经过0.55s 到达A 点，到达B 点时速度是5m/s ，到达空间D 点时速度与竖直方向的夹角为α，且tan α＝1.2。P 在整个运动过程中始终受到水平向右的某外力F 作用，F 大小与P 的速率v 的关系如表所示。P 视为质点，电荷量保持不变，忽略空气阻力，取g ＝10 m/s 2，求：
（1）小物体P 从开始运动至速率为2m/s 所用的时间；
（2）小物体P 从A 运动至D 的过程，电场力做的功。
【答案】（1）t 1＝0.5s ；（2）W ＝－9.25J 。 【解析】（1）物体P 在水平桌面上运动时，竖直方向上只受重力mg 和支持力N 作用，因此其滑动摩擦力大小为：f ＝μmg ＝1N 。
根据表格数据可知，物体P 在速率v ＝0～2m/s 时，所受水平外力F 1＝2N ＞f ，因此，在进入电场区域之前，物体P 做匀加速直线运动，设加速度为a 1，不妨设经时间t 1速度为v 1＝2m/s ，还未进入电场区域。
根据匀变速直线运动规律有：v 1＝a 1t 1 ①
根据牛顿第二定律有：F 1－f ＝ma 1 ②
由①②式联立解得：t 1＝f
F mv -11＝0.5s ＜0.55s ，所以假设成立 即小物体P 从开始运动至速率为2m/s 所用的时间为t 1＝0.5s
（2）当物体P 在速率v ＝2～5m/s 时，所受水平外力F 2＝6N ，设先以加速度a 2再加速t 2＝0.05s 至A 点，速度为v 2，根据牛顿第二定律有：F 2－f ＝ma 2 ③
根据匀变速直线运动规律有：v 2＝v 1＋a 2t 2 ④
由③④式联立解得：v 2＝3m/s ⑤
物体P 从A 点运动至B 点的过程中，由题意可知，所受水平外力仍然为F 2＝6N 不变，设位移为x 1，加速度为a 3，根据牛顿第二定律有：F 2－f －qE ＝ma 3 ⑥
根据匀变速直线运动规律有：2a 3x 1＝2B v －22v ⑦
由⑤⑥⑦式联立解得：x 1＝1m ⑧
根据表格数据可知，当物体P 到达B 点时，水平外力为F 3＝qE ＝3N ，因此，离开桌面在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上只受重力，做自由落体运动，设运动至D 点时，其水平向右运动位移为x 2，时间为t 3，则在水平方向上有：x 2＝v B t 3 ⑨
根据几何关系有：cot α＝
23v gt ⑩ 由⑨⑩式联立解得：x 2＝12
25m ? 所以电场力做的功为：W ＝－qE （x 1＋x 2） ?
由⑧??式联立解得：W ＝－9.25J
【考点】物体的受力分析、牛顿第二定律、匀变速直线运动规律、平抛运动规律、功的定义式的应用。
举一反三
【变式1】上题中若ab 与导轨间的滑动摩擦因数为μ，金属杆ab 运动的最大速度为（ ）
A.
22()sin mg R r B d θ+ B. 22()(sin cos )mg R r B d
θμθ+- C. 22()(sin cos )mg R r B d θμθ++ D. 22(sin cos )mgR B d θμθ- 【答案】B
【解析】在上题图中加上摩擦力，方向写斜面向上，杆达到最大速度后做匀速运动。根据牛顿第二定律sin 0A mg F f θ--=，cos f N mg μμθ==
安培力22()m A B d v F R r =+，解得22
()(sin cos )m mg R r v B d θμθ+-= 【变式2】如图所示，两根竖直放置的光滑平行导轨，其中一部分处于方向垂直导轨所在平面并且有上下水平边界的匀强磁场中。一根金属杆MN 保持水平并沿导轨滑下（导轨电阻不计），当金属杆MN 进入磁场区后，其运动的速度随时间变化的图线不可能的是（ ）
【答案】B
【解析】当金属杆MN 进入磁场区后，如果安培力恰好等于重力，则金属杆做匀速直线运动，A 可能；当金属杆MN 进入磁场区后，如果安培力小于重力，则金属杆继续加速，做加速度减小的加速运动，直到安培力等于重力，做匀速直线运动，则C 可能；当金属杆MN 进入磁场区后，如果安培力大于重力，则金属杆做加速度减小的减速运动，图像如D ，D 是可能的。B 图反映的是匀加速直线运动，是不可能的。故选B 。
类型三、匀速圆周运动
【高清课堂：369021动力学方法及其应用 例3】
例5、质量为m 的木块从半球形的碗口下滑到碗的最低点运动过程中，如果由于摩擦力的作用使得木块速率不变，则（ ）
A ．因为速率不变所以木块的加速度为零
B ．木块下滑过程中所受的合外力越来越大
C ．木块下滑过程中，摩擦力大小不变
D ．木块下滑过程中，加速度大小不变，方向始终指向球心
【思路点拨】对木块进行受力分析和运动分析，支持力和摩擦力大小、方向都发生变化，木块下滑过程做速率不变的圆周运动。
【答案】D
【解析】由于摩擦力的作用使得木块速率不变，这是典型的匀速圆周运动。做受力分析如图， 速率沿切线方向，速率不变，切线方向合力为零，切向加速度为零，只有指向圆心的向心加速度，改变速度的方向，A 不对。合外力指向圆心，
2
cos v N mg m R
θ-=,速率不变，则向心力大小不变，B 不对。 可以看出木块下滑过程中，θ变小，cos θ变大，N 变大，
在切线方向应用平衡条件，sin f mg θ=，木块下滑过程中，θ变小，则摩擦力变小，C 不对。所以D 对。
另外：由
2
cos
v
N mg m
R
θ
-=可以看出木块下滑过程中，θ变小，cosθ变大，N变大。
又由
f
N
μ=知，f变小，N变大，所以动摩擦因素减小。
【总结升华】对于这种匀速圆周运动，虽然不常见，但只要抓住受力分析，运动分析，应用动力学方法解题还是能够做到得心应手的。
举一反三
【变式】上题中从碗口到碗底，碗面的粗糙程度的变化情况是（）
A. 碗口光滑，碗底粗糙
B. 碗口粗糙，碗底光滑
C. 碗口到碗底一样粗糙
D. 条件不足，无法判断
【答案】B
类型四、判断物体的运动
【高清课堂：369021动力学方法及其应用例2】
例6、一航天探测器完成对月球的探测任务后，在离开月球的过程中，由静止开始沿着与月球表面成一倾斜角的直线飞行，先匀加速运动，再匀速运动，探测器通过喷气而获得推动力。以下关于喷气方向的描述中正确的是（）
A．探测器匀加速运动时，沿运动直线向后喷气
B．探测器匀加速运动时，竖直向下喷气
C．探测器匀速运动时，竖直向下喷气
D．探测器匀速运动时，不需要喷气
【思路点拨】对探测器进行受力分析，推动力与喷气方向相反，匀速运动时合力为零，匀加速运动时，加速度方向与合力方向相同。
【答案】C
【解析】题目对运动状态的描述：先匀加速运动，再匀速运动。A、B选项是对匀加速运动的描述，C、D选项是对匀速运动的描述。
先分析C、D：匀速阶段，合力为零，竖直向下喷气，获得向上的作用力，斜线表示运动轨迹，要做匀速运动，必须有一个力与重力等大反向与之平衡，如图1所示，只有竖直向下喷气，才能做匀速运动，C正确。D错误。
再分析匀加速阶段：F
合
恒定，与速度同直线。A选项，沿运动直线向后喷气，如图2所示，获得沿运动方向的作用力，两个力的合力不可能沿运动方向，只能沿斜线偏下一点方向，与速度不在一条直线上，将做曲线运动，A错误。B选项，竖直向下喷气，获得向上的作用力，如图3所示，两个力的合力只能是竖直方向，不可能沿斜线运动，显然B错误。
到底向什么方向喷气，才能做匀加速运动呢？应用合成法，可分析出图4情景，根据平行四边形定则，合力沿斜线方向，才能使探测器沿运动方向做匀加速运动。
【总结升华】要关注题目对运动状态的描述，就是要读懂题。一般都要做出受力分析图，抓住匀加速运动、匀速运动的特点，明确原来的运动方向；向后喷气获得的是反方向的作用力（推力）。
举一反三
【变式】（2015海南卷）如图，升降机内有一固定斜面，斜面上放一物体，开始时升降机做匀速运动，物块相对斜面匀速下滑，当升降机加速上升时( )
A.物块与斜面间的摩擦力减小
B.物块与斜面间的正压力增大
C.物块相对于斜面减速下滑
D.物块相对于斜面匀速下滑
【答案】BD
【解析】当升降机加速上升时，物体有竖直向上的加速度，则物块与斜面间的正压力增大，根据滑动摩擦力公式f N F F μ=可知接触面间的正压力增大，物体与斜面间的摩擦力增大，故A 错误B 正确；设斜面的倾角为θ，物体的质量为m ，当匀速运动时有
sin cos mg mg θμθ=，即sin cos θμθ=，假设物体以加速度a 向上运动时，有N m g a cos θ=+（），f m g a cos μθ=+（），因为sin cos θμθ=，所以
sin m g a m g a cos θμθ+=+（）（），故物体仍做匀速下滑运动，C 错误D 正确；
结构动力学学习总结
通过对本课程的学习，感受颇深。我谈一下自己对这门课的理解： 一．结构动力学的基本概念和研究内容 随着经济的飞速发展，工程界对结构系统进行动力分析的要求日益提高。我国是个多地震的国家，保证多荷载作用下结构的安全、经济适用，是我们结构工程专业人员的基本任务。结构动力学研究结构系统在动力荷载作用下的位移和应力的分析原理和计算方法。它是振动力学的理论和方法在一些复杂工程问题中的综合应用和发展，是以改善结构系统在动力环境中的安全和可靠性为目的的。高老师讲课认真负责，结合实例，提高了教学效率，也便于我们学生寻找事物的内在联系。这门课的主要内容包括运动方程的建立、单自
由度体系、多自由度体系、无限自由度体系的动力学问题、随机振动、结构抗震计算及结构动力学的前沿研究课题。既有线性系统的计算，又有非线性系统的计算；既有确定性荷载作用下结构动力影响的计算，又有随机荷载作用下结构动力影响的随机振动问题；阻尼理论既有粘性阻尼计算，又有滞变阻尼、摩擦阻尼的计算，对结构工程最为突出的地震影响。 二．动力分析及荷载计算 1.动力计算的特点 动力荷载或动荷载是指荷载的大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。如果从荷载本身性质来看，绝大多数实际荷载都应属于动荷载。但是，如果荷载随时间变化得很慢，荷载对结构产生的影响与
静荷载相比相差甚微，这种荷载计算下的结构计算问题仍可以简化为静荷载作用下的结构计算问题。如果荷载不仅随时间变化，而且变化很快，荷载对结构产生的影响与静荷载相比相差较大，这种荷载作用下的结构计算问题就属于动力计算问题。 荷载变化的快与慢是相对与结构的固有周期而言的，确定一种随时间变化的荷载是否为动荷载，须将其本身的特征和结构的动力特性结合起来考虑才能决定。 在结构动力计算中，由于荷载时时间的函数，结构的影响也应是时间的函数。另外，结构中的内力不仅要平衡动力荷载，而且要平衡由于结构的变形加速度所引起的惯性力。结构的动力方程中除了动力荷载和弹簧力之外，还要引入因其质量产生的惯性力和耗散能量的阻尼力。而
《结构动力学》读书报告 学院 专业 学号 指导老师 2013 年 5月 28日
摘要：本书在介绍基本概念和基础理论的同时，也介绍了结构动力学领域的若干前沿研究课题。既注重读者对基本知识的掌握，也注重读者对结构振动领域研究发展方向的掌握。主要容包括运动方程的建立、单自由度体系、多自由度体系、无限自由度体系的动力学问题、随机振动、结构动力学的前沿研究课题。侧重介绍单自由度体系和多自由度体系，重点突出，同时也着重介绍了在抗震中的应用。 1 概述 1.1结构动力学的发展及其研究容： 结构动力学，作为一门课程也可称作振动力学，广泛地应用于工程领域的各个学科，诸如航天工程，航空工程，机械工程，能源工程，动力工程，交通工程，土木工程，工程力学等等。作为固体力学的一门主要分支学科，结构动力学起源于经典牛顿力学，就是牛顿质点力学。质点力学的基本问题是用牛顿第二定律来建立公式的。牛顿质点力学，拉格朗日力学和哈密尔顿力学是结构动力学基本理论体系组成的三大支柱。 经典动力学的理论体系早在19世纪中叶就已建立，。但和弹性力学类似，理论体系虽早已建立，但由于数学求解上的异常困难，能够用来解析求解的实际问题实在是少之又少，能够通过手算完成的也不过仅仅限于几个自由度的结构动力体系。因此，在很长一段时间，动力学的求解思想在工程实际中并未得到很好的应用，人们依然习惯于在静力学的畴用静力学的方法来解决工程实际问题。 随着汽车，飞机等新时代交通工具的出现，后工业革命时代各种大型机械的创造发明，以及越来越多的摩天大楼的拔地而起，工程界日新月异的发展和变化对工程师们提出了越来越高的要求，传统的只考虑静力荷载的设计理念和设计方法显然已经跟不上时代的要求了。也正是从这个时候起，结构动力学作为一门学科，也开始受到工程界越来越高的重视，从而带动了结构动力学的快速发展。 结构动力学这门学科在过去几十年来所经历的深刻变革，其主要原因也正是由于电子计算机的问世使得大型结构动力体系数值解的得到成为可能。由于电子计算机的超快速度的计算能力，使得在过去凭借手工根本无法求解的问题得到了解决。目前，由于广泛地应用了快速傅立叶变换（FFT），促使结构动力学分析发生了更加深刻地变化，而且使得结构动力学分析与结构动力试验之间的相互关系也开始得以沟通。总之，计算机革命带来了结构动力学求解方法的本质改变。 作为一门课程，结构动力学的基本体系和容主要包括以下几个部分：单自由度系统结构动力学，；多自由度系统结构动力学，；连续系统结构动力学。此外，如果系统上所施加的动力荷载是确定性的，该系统就称为确定性结构动力系统；而如果系统上所施加的动力荷载是非确定性的，该系统就称为概率性结构动力系统。 1.2主要理论分析 结构的质量是一连续的空间函数，因此结构的运动方程是一个含有空间坐标和时间的偏微分方程，只是对某些简单结构，这些方程才有可能直接求解。对于绝大多数实际结构，在工程分析中主要采用数值方法。作法是先把结构离散化成为一个具有有限自由度的数学模
《结构动力学》 读书报告
结构动力学读书报告 学习完本门课程和结合自身所学专业，我对本门课程内容的理解和在各方面的应用总结如下： 1. （1）结构动力学及其研究内容： 结构动力学是研究结构系统在动力荷载作用下的振动特性的一门科学技术，它是振动力学的理论和方法在一些复杂工程问题中的综合应用和发展，是以改善结构系统在动力环境中的安全和可靠性为目的的。本书的主要内容包括运动方程的建立、单自由度体系、多自由度体系、无限自由度体系的动力学问题、随机振动、结构抗震计算及结构动力学的前沿研究课题。 （2）主要理论分析 结构的质量是一连续的空间函数，因此结构的运动方程是一个含有空间坐标和时间的偏微分方程，只是对某些简单结构，这些方程才有可能直接求解。对于绝大多数实际结构，在工程分析中主要采用数值方法。作法是先把结构离散化成为一个具有有限自由度的数学模型，在确定载荷后，导出模型的运动方程，然后选用合适的方法求解。 （3）数学模型 将结构离散化的方法主要有以下三种：①集聚质量法：把结构的分布质量集聚于一系列离散的质点或块，而把结构本身看作是仅具有弹性性能的无质量系统。由于仅是这些质点或块才产生惯性力，故离散系统的运动方程只以这些质点的位移或块的位移和转动作为自由
度。对于大部分质量集中在若干离散点上的结构，这种方法特别有效。 ②广义位移法：假定结构在振动时的位形（偏离平衡位置的位移形态）可用一系列事先规定的容许位移函数fi （它们必须满足支承处的约束条件以及结构内部位移的连续性条件）之和来表示，例如，对于一维结构，它的位形u（x）可以近似地表为： @7710 二送 结构动力学 （1）式中的qj称为广义坐标，它表示相应位移函数的幅值。这样，离散系统的运动方程就以广义坐标作为自由度。对于质量分布比较均匀，形状规则且边界条件易于处理的结构，这种方法很有效。 ③有限元法：可以看作是分区的瑞利-里兹法，其要点是先把结构划 分成适当数量的区域（称为单元），然后对每一单元施行瑞利-里兹法。通常取单元边界上（有时也包括单元内部）若干个几何特征点（例如三角形的顶点、边中点等）处的广义位移qj作为广义坐标，并对每个广义坐标取相应的插值函数作为单元内部的位移函数（或称形状函数）。在这样的数学模型中，要求形状函数的组合在相邻单元的公共边界上满足位移连续条件。一般地说，有限元法是最灵活有效的离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法，已有不少专用的或通用的程序可供结构动力学分析之用。 （4）运动方程
5章 动力反应的数值计算 如果激励[作用力)(t p 或地面加速度)(t u g ]是随时间任意变化的，或者体系是非线性的，那么对单自由度体系的运动方程进行解析求解通常是不可能的。这类问题可以通过数值时间步进法对微分方程进行积分来处理。在应用力学广阔的学科领域中，有关各种类型微分方程数值求解方法的文献（包括几部著作中的主要章节）浩如烟海，这些文献包括这些方法的数学进展以及它们的精度、收敛性、稳定性和计算机实现等问题。 然而，本章仅对在单自由度体系动力反应分析中特别有用的很少几种方法进行简要介绍，这些介绍仅提供这些方法的基本概念和计算算法。尽管这些对许多实际问题和应用研究已经足够了，但是读者应该明白，有关这个主题存在大量的知识。 5.1 时间步进法 对于一个非弹性体系，欲采用数值求解的运动方程为 )(),(t p u u f u c u m s =++ 或者 )(t u m g - (5.1.1) 初始条件 )0(0u u = )0(0u u = 假定体系具有线性粘滞阻尼，不过，也可以考虑其他形式的阻尼（包括非线性阻尼），后面会明显看到这一点。然而由于缺乏阻尼信息．因此很少这样做，特别是在大振幅运动时。作用力)(t p 由一系列离散值给出: )(i i t p p = ,0=i 到N 。时间间隔 i i i t t t -=?+1 （5.1.2）
图5.1.1 时间步进法的记号 通常取为常数，尽管这不是必需的。在离散时刻i t （表示为i 时刻）确定反 应，单自由度体系的位移、速度和加速度分别为i u 、i u 和i u 。假定这些值是已知的，它们在i 时刻满足方程 i i s i i p f u c u m =++)( （5.1.3） 式中，i s f )(是i 时刻的抗力，对于线弹性体系，i i s ku f =)(，但是如果体系是非弹性的，那么它会依赖于i 时刻以前的位移时程和速度。将要介绍的数值方 法将使我们能够确定i +1时刻满足方程(5.1.1)的反应1+i u 、1+i u 和1+i u ，即在i +1时刻 1111)(++++=++i i s i i p f u c u m （5.1.4） 对于i =0，1，2，3，…，连续使用时间步进法，即可给出i =0，l ，2，3，… 所有瞬时所需的反应。已知的初始条件)0(0u u =)0(0u u =和提供了起动该方法的必要信息。 从i 时刻到i +1时刻的步进一般不是精确的方法，许多在数值上可以实现的近似方法是可能的。对于数值方法，有三个重要的要求：(1)收敛性一随着时间步长的减少，数值解应逼近精确解；(2)稳定性一在存在数值舍入误差的情况下，数值解应是稳定的；(3)精度一数值方法应提供与精确解足够接近的结果。这些重要的问题在本书中均作简要的讨论，全面的论述可在着重微分方程数值解法的书中找到。 本章介绍三种类型的时间步进法：(1)基于激励函数插值的方法；(2)基于速度和加速度有限差分表达的方法；(3)基于假设加速度变化的方法。前两类中各
浅谈对结构动力学的认识 摘要：简单地讲述了对结构动力学的整体认识，介绍了结构动力学的发展历程，结构动力问题的几大特点，结构动力问题的分类，结构系统的动力自由度及其离散方法（包括集中质量法、广义坐标法和有限单元法），建立运动方程的方法（包括利用达朗贝尔(d'Alermbert)原理的直接平衡法，虚位移原理建立振动方程，哈密顿(Hamilton)原理建立振动方程）。 关键词：结构动力学；质量；阻尼；运动方程 On understanding of structure dynamics Abstract: This paper simply tells the overall understanding of structure dynamics, and introduces the development course of structure dynamics, a few big characteristics of structure dynamic problem , the classification of structure dynamic problem, the structure of the system and its dynamic freedom discrete method (including focus on quality method, generalized coordinates method and finite element method), the method for establishing the equations of motion (including the use of d'Alermbert principle direct balance method, vibration equation with imaginary displacement principle, establish vibration equation with Hamilton principle). Key words: structure dynamics; quality; damping; equations of motion 1结构动力学发展简介 结构动力学是研究结构体系的动力特性，及其在动力荷载作用下动力响应分析原理和方法的一门技术学科。该学科的根本目的在于为改善工程结构系统在动力环境中的安全和可靠性提供坚实的理论基础。根据结构的功能不同和所处环境的不同，工程结构的振动存在三种情况:线性振动、非线性振动和随机振动。相应地可以将结构动力学划分为线性振动理论、非线性振动理论和随机振动理论。 拉格朗日(Lagrange)在l8世纪出版了名著《分析力学》，此书奠定了线性系统动力分析的基础。由于18世纪科学技术的不断创新，各种动力机械开始应用于不同的工程结构，促进了结构动力学理论和方法的不断进步。自从蒸汽机应用于船舶推进系统以后，使得船舶向大型和高速化发展，引起船舶振动问题日益突出。20世纪60年代以来，随着以有限元为核心的计算理论和技术的发展以及电子计算机的问世，产生了计算结构动力学，这使得对于大型复杂结构的动力分析成为可能。如今，人们可以成功地进行具有成千上万个自由度的大型复杂结构体系的动力分析。 在结构动力响应计算中，人们已经注意到结构系统自身的非线性特性和非线
第五章 结构动力学中的常用数值方法 5．1．结构动力响应的数值算法 ... . 0()(0)(0)M x c x kx F t x a x v ? ++=??=??=?? 当c 为比例阻尼、线性问题→模态叠加最常用。但当C 无法解耦，有非线性存在，有 冲击作用（激起高阶模态，此时模态叠加法中的高阶模态不可以忽略）。此时就要借助数值积分方法，在结构动力学问题中，有一类方法称为直接积分方法最为常用。所识直接是为模态叠加法相对照来说，模态叠加法在求解之前，需要对原方程进行解耦处理，而本节的方法不用作解耦的处理，直接求解。（由以力学，工程中的力学问题为主要研究对象的学者发展出来的） 中心差分法的解题步骤 1. 初始值计算 （1） 形成刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C 。 （2） 定初始值0x ，. 0x ，.. 0x 。 （3） 选择时间步长t ?，使它满足cr t t ?
结构动力学在抗震设计中的应用 一、结构动力学理论 结构动力学，也称机械振动，作为固体力学的一个重要分支，被广泛应用于工 程领域的各个学科，如航天、机械、能源、动力、交通、土木和工程力学等。结构 动力学起源于经典牛顿力学，即牛顿质点力学，质点力学的基础是用牛顿第二定律 来阐述的。在牛顿《自然哲学的数学原理》问世百年后，拉格朗日在总结发展成果 后，发表了《分析力学》，为分析动力学奠定了基础，其主要内容就是今天的拉格 朗日力学。随后哈密尔顿用正则方程来表达质点力学中的基本问题，形成了经典力 学分析中的又一个分支哈密尔顿力学。综上可见，牛顿质点力学，拉格朗日力学和 哈密尔顿力学是结构动力学基本理论体系的三大支柱。 虽然结构动力学的理论体系在19世纪中叶就已建立，但与弹性力学类似，由 于数学求解异常困难，能够用来解析求解的实际问题少之又少，而通过手算可完成 的也仅仅限于几个自由度的结构动力体系。因此，在很长一段时间内，动力学的求 解思想在工程实际中并未得到很好的应用，人们依然习惯于在静力学的范畴内用静 力学的方法来解决工程实际问题。 随着汽车、飞机等新型交通工具的出现，各种大型机械的创造发明以及越来越 多的摩天大楼的拔地而起，工程界日新月异的发展和变化对工程师们提出了越来越 高的要求，传统的只考虑静力荷载的设计理念和方法显然已跟不上时代的要求了。 需求驱动有了，技术储备是否完备呢？1946年第一台电子计算机ENIAC的出 现使工程师们燃起了希望，的确之后的几十年中，结构动力学取得了长足的进展， 大型结构动力体系数值求解成为可能，尤其是快速傅立叶变换（FFT）的引入，使 得结构动力学分析与试验得以相互验证。 结构动力学的基本体系和内容主要包括单自由度系统、多自由度系统和连续系
结构动力学：理论及其在地震工程中的应用 4 5章动力反应的数值计算 如果激励[作用力)(t p 或地面加速度)(t u g ]是随时间任意变化的，或者体系是非线性的，那么对单自由度体系的运动方程进行解析求解通常是不可能的。这类问题可以通过数值时间步进法对微分方程进行积分来处理。在应用力学广阔的学科领域中，有关各种类型微分方程数值求解方法的文献（包括几部著作中的主要章节）浩如烟海，这些文献包括这些方法的数学进展以及它们的精度、收敛性、稳定性和计算机实现等问题。 然而，本章仅对在单自由度体系动力反应分析中特别有用的很少几种方法进行简要介绍，这些介绍仅提供这些方法的基本概念和计算算法。尽管这些对许多实际问题和应用研究已经足够了，但是读者应该明白，有关这个主题存在大量的知识。 5.1 时间步进法 对于一个非弹性体系，欲采用数值求解的运动方程为 )(),(t p u u f u c u m s =++ 或者)(t u m g - (5.1.1) 初始条件 )0(0u u = )0(0u u
= 假定体系具有线性粘滞阻尼，不过，也可以考虑其他形式的阻尼（包括非线性阻尼），后面会明显看到这一点。然而由于缺乏阻尼信息．因此很少这样做，特别是在大振幅运动时。作用力)(t p 由一系列离散值给出: )(i i t p p = ,0=i 到N 。时间间隔 i i i t t t -=?+1 （5.1.2） 图5.1.1 时间步进法的记号 通常取为常数，尽管这不是必需的。在离散时刻i t （表示为i 时刻）确定反 应，单自由度体系的位移、速度和加速度分别为i u 、i u 和i u 。假定这些值是已知的，它们在i 时刻满足方程 i i s i i p f u c u m =++)( （5.1.3）式中，i s f )(是i 时刻的抗力，对于线弹性体系，i i s ku f =)(，但是如果体系是非弹性的，那么它会依赖于i 时刻以前的位移时程和速度。将要介绍的数值方 法将使我们能够确定i +1时刻满足方程(5.1.1)的反应1+i u 、1+i u 和1+i u ，即在i +1时刻 1111)(++++=++i i s i i p f u c u m （5.1.4）对于i =0，1，2，3，…，连续使用时间步进法，即可给出i =0，l ，2，3，…
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结构动力学读书报告 学习完本门课程和结合自身所学专业，我对本门课程内容的理解和在各方面的应用总结如下： 1.（1）结构动力学及其研究内容： 结构动力学是研究结构系统在动力荷载作用下的振动特性的一门科学技术，它是振动力学的理论和方法在一些复杂工程问题中的综合应用和发展，是以改善结构系统在动力环境中的安全和可靠性为目的的。本书的主要内容包括运动方程的建立、单自由度体系、多自由度体系、无限自由度体系的动力学问题、随机振动、结构抗震计算及结构动力学的前沿研究课题。 （2）主要理论分析 结构的质量是一连续的空间函数，因此结构的运动方程是一个含有空间坐标和时间的偏微分方程，只是对某些简单结构，这些方程才有可能直接求解。对于绝大多数实际结构，在工程分析中主要采用数值方法。作法是先把结构离散化成为一个具有有限自由度的数学模型，在确定载荷后，导出模型的运动方程，然后选用合适的方法求解。 （3）数学模型 将结构离散化的方法主要有以下三种：①集聚质量法：把结构
的分布质量集聚于一系列离散的质点或块，而把结构本身看作是仅具有弹性性能的无质量系统。由于仅是这些质点或块才产生惯性力，故离散系统的运动方程只以这些质点的位移或块的位移和转动作为自由度。对于大部分质量集中在若干离散点上的结构，这种方法特别有效。②广义位移法：假定结构在振动时的位形（偏离平衡位置的位移形态）可用一系列事先规定的容许位移函数fi（它们必须满足支承处的约束条件以及结构内部位移的连续性条件）之和来表示，例如，对于一维结构，它的位形u(x)可以近似地表为： 结构动力学 (1) 式中的qj称为广义坐标,它表示相应位移函数的幅值。这样，离散系统的运动方程就以广义坐标作为自由度。对于质量分布比较均匀，形状规则且边界条件易于处理的结构，这种方法很有效。③有限元法：可以看作是分区的瑞利－里兹法，其要点是先把结构划分成适当数量的区域（称为单元），然后对每一单元施行瑞利－里兹法。通常取单元边界上（有时也包括单元内部）若干个几何特征点(例如三角形的顶点、边中点等)处的广义位移qj作为广义坐标，并对每个广义坐标取相应的插值函数作为单元内部的位移函数（或称形状函数）。在这样的数学模型中，要求形状函数的组合在相邻单元的公共边界上满足位移连续条件。一般地说，有限元法是最灵活有效的离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方
力学在土木工程中的应用 1：力学基本容： 力学是用数学方法研究机械运动的学科。“力学”一词译自英语mechanics源于希腊语一机械，因为机械运动是由力引起的．mechanics在19世纪5O年代作为研究力的作用的学科名词传人中国后沿用至今。 力学是一门基础科学，它所阐明的规律带有普遍的性质．为许多工程技术提供理论基础。力学又是一门技术科学，为许多工程技术提供设计原理，计算方法，试验手段．力学和工程学的结合促使工程力学各个分支的形成和发展．力学按研究对象可划分为固体力学、流体力学和一般力学三个分支．固体力学和流体力学通常采用连续介质模型来研究；余下的部分则组成一般力学．属于固体力学的有弹性力学、塑性力学，近期出现的散体力学、断裂力学等；流体力学由早期的水力学和水动力学两个分支汇合而成，并衍生出空气动力学、多相流体力学、渗流力学、非牛顿流体力学等；力学间的交叉又产生粘弹性理论、流变学、气动弹性力学等分支． 力学在工程技术方面的应用结果则形成了工程力学或应用力学的各种分支，诸如材料力学、结构力学、土力学、岩石力学、爆炸力学、复合材料力学、天体力学、物理力学、等离子体动力学、电流体动力学、磁流体力学、热弹性力学、生物力学、生物流变学、地质力学、地球动力学、地球流体力学、理性力学、计算力学等等． 2：土木是力学应用最早的工程领域之一． 2.1土木工程专业本科教学中涉及到的力学容
包括理论力学、材料力学、结构力学、弹性力学、土力学、岩石力学等几大固体力学学科． 理论力学与大学物理中有关容相衔接，主要探讨作用力对物体的外效应(物体运动的改变) ，研究的是刚体，是各门力学的基础．其他力学研究的均为变形体(本科要求线性弹性体)，研究力系的简化和平衡，点和刚体运动学和复合运动以及质点动力学的一般理论和方法． 材料力学：主要探讨作用力对物体的效应(物体形状的改变)，研究杆件的拉压弯剪扭变形特点，对其进行强度、刚度及稳定性分析计算．结构力学：在理论力学和材料力学基础上进一步研究分析计算杆件结构体系的基本原理和方法，了解各类结构受力性能． 弹性力学：研究用各种精确及近似解法计算弹性体(主要要体结构)在外力作用下的应力、应变和位移． 土力学：研究地基应力、变形、挡土墙和土坡等稳定计算原理和计算方法．岩石力学：研究岩石地基、边坡和地下工程等的稳定性分析方法及其基本设计方法． 2.2土木工程专业之力学可分为两大类，即“结构力学类”和“弹性力学类”． “弹性力学类”的思维方式类似于高等数学体系的建构，由微单元体(高等数学为微分体)人手分析，基本不引入(也难以引入)计算假设，计算思想和理论具有普适特征．在此基础上引入某些针对岩土材料的计算假设则构建了土力学和岩石力学．“结构力学类”(包括理论、材料学和结构力学)则具有更强烈的工程特征，其简化的模型是质点或杆件，在力学体系建立之前就给出了诸如