离散数学试题(A卷及答案） 一、证明题（10分） 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R)?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R?T∧R(置换)?R 2)?x(A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明：?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x))??x?A(x)∨?xB(x)???xA(x)∨?xB(x)??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分） 证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?（?P∧(?Q∨?R)）∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题（10分） 1）C∨D, (C∨D)→?E, ?E→(A ∧?B), (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明：(1) (C∨D)→?E (2) ?E→(A∧?B) (3) (C∨D)→(A∧?B) (4) (A∧?B)→(R∨S) (5) (C∨D)→(R∨S) (6) C∨D
(7) R∨S 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x))，?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明（1）?xP(x) (2)P(a) (3)?x(P(x)→Q(y)∧R(x)) (4)P(a)→Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)?x(P(x)∧R(x)) (11)Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 四、设m是一个取定的正整数，证明：在任取m＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m的整数倍 证明设 1 a，2a，…，1+m a为任取的m＋1个整数，用m去除它们所得余数 只能是0，1，…，m－1，由抽屉原理可知， 1 a，2a，…，1+m a这m＋1个整 数中至少存在两个数 s a和t a，它们被m除所得余数相同，因此s a和t a的差是m的整数倍。 五、已知A、B、C是三个集合，证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) （15分）证明∵x∈ A-（B∪C）? x∈ A∧x?（B∪C）? x∈ A∧（x?B∧x?C）?（x∈ A∧x?B）∧（x∈ A∧x?C）? x∈（A-B）∧x∈（A-C）? x∈（A-B）∩（A-C）∴A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C） 六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：R={
一、填空 20% （每小题2分） 1、 P ：你努力，Q ：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为 ；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为 。 2、论域D={1，2}，指定谓词P 则公式),(x y yP x ??真值为 。 2、 设S={a 1 ，a 2 ，…，a 8}，B i 是S 的子集，则由B 31所表达的子集是 。 3、 设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则R= （列举法）。 R 的关系矩阵M R = 。 5、设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系R= ； A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。 6、设代数系统，其中A={a ，b ，c}, 则幺元是 ；是否有幂等 性 ；是否有对称性 。 7、4阶群必是 群或 群。 8、下面偏序格是分配格的是 。
9、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ，欧拉图的充要条件是 。 10、公式R Q P Q P P ?∧∨?∧∧?∨)(())(( 的根树表示为 。 二、选择 20% （每小题2分） 1、在下述公式中是重言式为（ ） A ．)()(Q P Q P ∨→∧； B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→??； C ．Q Q P ∧→?)(； D ．)(Q P P ∨→ 。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0； B ．1； C ．2； D ．3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 S 2 有（ ）个元素。 A ．3； B ．6； C ．7； D ．8 。 4、 设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有（ ）个分块。 A ．4； B ．5； C ．6； D ．9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为
离散数学(高起专)阶段性作业4 总分：100分得分：0分 一、单选题 1. 设Q是有理数集，
参考答案：B 二、多选题 1. 设R为实数集，函数f：R→R，f(x)=x-1，则f是_______(5分) (A) 满射函数 (B) 单射函数 (C) 双射函数 (D) 非单射非满射 参考答案：A,B,C 2. Q是有理数集, Q上的运算*为，则代数系统
初升高衔接数学测试题 姓名： 成绩： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列关于x 的方程中，是一元二次方程的有（ ） A ．221 x x + B ．02=++c bx ax C ．()()121=+-x x D ．052322=--y xy x 2．化简 1 321 21++ -的结果为（ ） A 、23+ B 、23- C 、322+ D 、223+ 3.已知关于x 的方程2 60x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ） A ．2 B ．1- C ．1 D ．2- 4．已知全集U=R ，集合A={x|1≤x<7}，B={x|x2-7x+10<0}，则A∩(?RB) = ( ) A ．(1,2)∪(5,7) B ．[1,2]∪[5,7) C ．(1,2)∪(5,7] D ．(1,2]∪(5,7) 5．有6张写有数字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上（如图2），从中任意一张是数字3的概率是（ ） A 、61 B 、31 C 、21 D 、32 6．已知x 、y 是实数，3x ＋4 ＋y 2－6y ＋9＝0，则xy 的值是（ ） A ．4 B ．－4 C ．94 D ．－94 7、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A B C D 8．已知两圆的半径分别是5cm 和4cm ，圆心距为7cm ，那么这两圆的位置关系是（ ） A ．相交 B ．内切 C ．外切 D ．外离 图2 O A B M 图 3
9．如图3，⊙Ｏ的半径为５，弦ＡＢ的长为８，Ｍ是弦ＡＢ上的动点，则线段ＯＭ长的最小值为（ ） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ 10．已知：如图4, ⊙O 的两条弦AE 、BC 相交于点D,连接AC 、BE. 若∠ACB ＝60°,则下列结论中正确的是（ ） A ．∠AO B ＝60° B ． ∠ADB ＝60° C ．∠AEB ＝60° D ．∠AEB ＝30° 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．方程 x 2 = x 的解是______________________ 12．如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O 至少经过____________次旋转而得到， 每一次旋转_______度． 13．若实数a 、b 满足1 112 2+-+-= a a a b ，则a+b 的值为 ________． 14．圆和圆有不同的位置关系.与下图不同的圆和圆的位置关系是_____.(只填一种) 15．若关于x 方程kx 2–6x+1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 . 16．如图6，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=CB=2。分别以A 、B 、C 为圆心，以2 1 AC 为半径画弧，三条弧与边AB 所围成的阴影部分的 面积是______. 17. x 6 (x 2 －y 2 )＋y 6 (y 2 －x 2 )= 18．已知：如图7，等腰三角形ABC 中，AB=AC=4，若以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，DE ∥AB ，DE 与AC 相交于点E ，则DE=____________。 三．解答题 19．（6分） 计算： （6分）解方程：2（x+2）2=x 2 -4 图5 图7 图6 12题图
离散数学练习题 第一章 一?填空 1?公式(p q) ( p q)的成真赋值为01; 10 2?设p, r为真命题，q, s为假命题，则复合命题(p q) ( r s)的真值为0 3?公式(p q)与(p q) ( p q)共同的成真赋值为01 ；10 4?设A为任意的公式，B为重言式，则A B的类型为重言式 5. 设p, q均为命题，在不能同时为真条件下，p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。 二.将下列命题符合化 1. ■ 7不是无理数是不对的。 解：(p)，其中p：. 7是无理数；或p,其中p: . 7是无理数。 2?小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。 解：p q,其中p:小刘怕吃苦，q :小刘很爱钻研 3?只有不怕困难，才能战胜困难。 解：q p，其中p:怕困难，q:战胜困难 或p q，其中p:怕困难，q:战胜困难 4?只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。 解：r (p q)，其中p:别人有困难，q:老王帮助别人，r:困难解决了 或：(r p) q，其中p：别人有困难，q:老王帮助别人，r:困难解决了 5?整数n是整数当且仅当n能被2整除。 解：p q，其中p:整数n是偶数，q:整数n能被2整除 三、求复合命题的真值 P：2能整除5, q：旧金山是美国的首都，r：在中国一年分四季
1. ((p q) r) (r (p q)) 2?((q p) (r p)) (( p q) r 解：p, q为假命题，r为真命题 1. (( p q) r) (r (p q))的真值为0 2. (( q p) (r p)) (( p q) r 的真值为1 四、判断推理是否正确 设y 2x为实数，推理如下： 若y在x=0可导，则y在x=0连续。y在x=0连续，所以y在x=0可导。 解：y 2x，x为实数，令p: y在x =0可导，q: y在x=0连续。P为假命题，q为真命题，推理符号化为：(p q) q p，由p, q得真值可知，推理的真值为0,所以推理不正确。 五、判断公式的类型 1，( (q p) ((p q) ( p q))) r 2. (p (q p)) (r q) 3. (p r) (q r)
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个选 项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1.一个连通的无向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条( ) A.汉密尔顿回路 B.欧拉回路 C.汉密尔顿通路 D.初级回路 2.设G是连通简单平面图，G中有11个顶点5个面，则G中的边是( ) A.10 B.12 C.16 D.14 3.在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是( ) A.b∧(a∨c) B.(a∧b)∨(a’∧b) C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c) D.(b∨c)∧(a∨c) 4.设i是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G的子群是( ) A.<{1},·> B.〈{-1},·〉 C.〈{i},·〉 D.〈{-i},·〉 5.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交 运算，下列系统中是代数系统的有( ) A.〈Z，+，/〉 B.〈Z，/〉 C.〈Z，-，/〉 D.〈P(A)，∩〉 6.下列各代数系统中不含有零元素的是( ) A.〈Q，*〉Q是全体有理数集，*是数的乘法运算 B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算 C.〈Z， Z是整数集， 定义为x xy=xy,?x,y∈Z D.〈Z，+〉，Z是整数集，+是数的加法运算 7.设A={1,2,3}，A上二元关系R的关系图如下： R具有的性质是 A.自反性 B.对称性 C.传递性 D.反自反性 8.设A={a,b,c}，A上二元关系R={〈a,a〉，〈b,b〉,〈a,c〉}，则关系R的对称闭包S(R)是( ) A.R∪I A B.R C.R∪{〈c,a〉} D.R∩I A 9.设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R为X上的 等价关系，R应取( ) A.｛〈c,a〉，〈a,c〉｝ B.{〈c,b〉，〈b,a〉} C.{〈c,a〉，〈b,a〉} D.{〈a,c〉，〈c,b〉} 10.下列式子正确的是( ) A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈? 11.设解释R如下：论域D为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x 测 验 【一】 已知8阶群 的运算表见下，试完成以下要求： （1）填写表中的空缺部分。 （2 （3 ◇P 的子集。 （4）给出一条理由说明 的各个子群的左陪集就是右陪集。给出一条理由说明4阶子群 【二】 证明如果f 是由到的同态映射，g 是由到 【四】 设S 是30的因子集合，S 上关系“|”是整除关系。 a)请画出该关系所对应的格的Hasse 图; b)判断是否存在子格为布尔格; c)如果存在子格为布尔格，请给出这些子格并写出布尔格的原子。 解 （1）G={1，2，3，5，6，10，15，30}，其哈斯图见图7.4.1。 (2)〈G ，|〉的所有元素个数大于等于4的不同构的子格的Hasse 图见图7.4.2。 （3）所有的子格均是分配格、模格。图7.4.2（b ）、（f ）所示的格还是有补格。 （4）图（b ）、（f ）所示的格是布尔代数。其中，图（b ）的原子集合为{15，6}，图（f ）的原子集合为{2，3，5}。 【五】 假设当前有n 个人，其中任意两个人合起来认识所留下的n-2个人。 (a) 证明：当n ≥3时，n 个人能站成一排，使得中间每个人两旁站着自己的朋友，两端的两个人每个人旁边站着他的一个朋友。 (b) 证明：当n ≥4时，n 个人能站成一圈，使每个人的两旁站着自己的朋友。 由已知图G 中任意两个顶点u ，v 认识余下的n-2人，得 degn-2(u)+degn-2(v)≥n-2，且其余 n-2个顶点必与u 或v 相邻接 下面证明当n ≥3，必有 deg(u)+deg(v)≥ n-1， 则图G 中存在一条哈密尔顿通路。 (a) 若u ，v 相邻，则 deg(u)+deg(v)=(1+degn-2(u))+(1+degn-2(v)) ≥n (b) 若u ，v 不相邻，V-{u ，v}中恰有的n-2≥1个顶点。 如果 degn-2(u)+degn-2(v)= n-2，且其余 n-2个顶点必与u 或v 相邻接，则每一个顶点 3056 256 2 3110 51 65 306 1 5(a )(b )(c ) (f )(e )(d ) 第一套：满分120 分 2020-2021 年广东实验中学初升高自主招 生数学模拟卷一．选择题（共 6 小题，满分42 分） 1. （ 7 分）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度 匀速向 乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返 回甲地，已知甲、乙两地相距 180千米，货车的速度为 60 千米/ 小时，小汽车的速度为 90千米/ 小时，则下图中能 分别反映出货车、小汽车离乙地 的距离y（千米）与各自行驶时间t（小时）之间的函数图 象是【】 D. 2. （7 分）在平面直角坐标系中，任意两点 A x1,y1 ，B x2,y2 规定 运算：① A B x1 x2,y1 y2 ；② A B x1x2 y1 y2 ；③当x1= x2且y1= y2时，A=B. 有下列四个命题： （1）若A（1，2），B（2，–1），则 A B 3, 1 ，A B 0； 2）若 A B B C，则A=C； 3）若 A B B C ，则A=C； 4）对任意点A、B、C，均有 A B C A B C 成立 . 其中正确命题的个数为（） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 3．（7 分）如图，AB是半圆直径，半径 OC⊥AB于点 O，AD平分∠ CAB交弧 BC于点 D，连结 CD、OD，给 出以下四个结论：① AC∥ OD；② CE=O；E ③△ ODE∽△ ADO；④ 2CD2=CE? AB．正确结论序号是（） A．①② B ．③④ C ．①③ D ．①④ 4.（ 7 分）如图，在△ ABC中，∠ ACB=90o ， AC=BC=1，E、F 为线 段AB上两动点，且∠ ECF=45°，过点E、F 分别作 BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以 下结论：① AB 2 ；②当点E与点B重合时，MH 1；③ AF BE EF ；④MG?MH= 1，22 其中正确结论为（） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 5.（7 分）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计现无论x取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一 环的是（） A. 4 ，2，1 B. 2 ，1，4 C. 1 ，4，2 6.（7 分）如图，在矩形ABCD中，AB=4， AD=5，AD、AB、BC分别与⊙ O相切于E 、 离散数学测试题 一．选择题（10*2） 1.设L (x )：x 是演员，J (y )：y 是老师，A (x ,y )：x 佩服y. 那么命题“所有演员都佩服某些老 师”符号化为( ) (A) ),()(y x A x xL →? (B) ))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→? (C) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧?? (D) )),()()((y x A y J x L y x →∧?? 2.令F(x):x 是有理数，G(x):x 是实数。将命题“所有的有理数都是实数，但有的有实数不是有理数”符号化为 （ ） A.?x(F(x)∧G(x))∧?x(G(x)→?F(x)) B.?x(F(x)→G(x))∧?x(G(x)∧?F(x)) C.?x(F(x)∧G(x))∧?x(G(x)∧?F(x)) D.?x(F(x)→G(x))∧?x(G(x)→?F(x)) 3．设R 是集合A={a,b,c,d}上的二元关系， R={ 离散数学考试试题（A卷及答案） 一、（10分）判断下列公式的类型（永真式、永假式、可满足式）？ 1)((P→Q)∧Q)?((Q∨R)∧Q) 2)?((Q→P)∨?P)∧(P∨R) 3)((?P∨Q)→R)→((P∧Q)∨R) 解：1)永真式；2）永假式；3)可满足式。 二、（8分）个体域为{1，2}，求?x?y（x+y=4）的真值。 解：?x?y（x+y=4）??x（（x+1=4）∨（x+2=4）） ?（（1+1=4）∨（1+2=4））∧（（2+1=4）∨（2+1=4）） ?（0∨0）∧（0∨1） ?1∧1?0 三、（8分）已知集合A和B且|A|=n，|B|=m，求A到B的二元关系数是多少？A到B的函数数是多少？ 解：因为|P(A×B)|=2|A×B|=2|A||B|=2mn，所以A到B的二元关系有2mn个。因为|BA|=|B||A|=mn，所以A到B的函数mn个。 四、（10分）已知A={1,2,3,4,5}和R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>}，求r(R)、s(R)和t(R)。 解：r(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>} s(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<3,2>,<4,3>,<4,5>} t(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<1,4>} 五、(10分) 75个儿童到公园游乐场，他们在那里可以骑旋转木马，坐滑行铁道，乘宇宙飞船，已知其中20人这三种东西都乘过，其中55人至少乘坐过其中的两种。若每样乘坐一次的费用是0.5元，公园游乐场总共收入70元，求有多少儿童没有乘坐过其中任何一种。 解设A、B、C分别表示骑旋转木马、坐滑行铁道、乘宇宙飞船的儿童组成的集合，|A∩B∩C|＝20，|A∩B|＋|A∩C|＋|B∩C|－2|A∩B∩C|＝55，|A|＋|B|＋|C|＝70/0.5＝140。 由容斥原理，得 |A∪B∪C|＝|A|＋|B|＋|C|―|A∩B|―|A∩C|―|B∩C|＋|A∩B∩C| 所以 |A∩B∩C|＝75－|A∪B∪C|＝75－(|A|＋|B|＋|C|)＋(|A∩B|＋|A∩C|＋|B∩C|－2|A∩B∩C|)＋|A∩B∩C|＝75－140＋55＋20＝10 没有乘坐过其中任何一种的儿童共10人。 六、（12分）已知R和S是非空集合A上的等价关系，试证：1）R∩S是A上的等价关系；2）对a∈A，[a]R ∩S=[a]R∩[a]S。 解：?x∈A，因为R和S是自反关系，所以 ####二零一三年高中自主招生考试 数学试题 满分100分，时间120分钟 一、选择题（6个小题，每小题5分，共30分） 1．如图所示，某个装饰用的窗子是由一个矩形及两个半圆所组成的，AD与AB之比为3：2且AB=30公分．试问矩形的面积与两个半圆面积的和之比为（） A.2：3 B.3：2 C.6：π D.9：π E.30：π 2.图中的两圆有共同的圆心C，弦AD切小圆于B点，AC之长为10，且AD 之长为16．试问两圆之间所夹区域的面积为（） A.36π B.49π C.64π D.81π E.100π 3.如图菱形ABCD中，∠ABC=120°，F是DC的中点，AF的延长线交BC的延长线于E，则直线BF与直线DE所夹的锐角的度数为（） A.30° B.40° C.50° D.60° 4.将长、宽、高分别为a，b，c（a＞b＞c，单位：cm） 的三块相同的长方体按图所示的三种方式放入三个底面 面直径为d（d＞a2+b2），高为h的相同圆柱形水桶中， 再向三个水桶内以相同的速度匀速注水，直至注满水桶 为止，水桶内的水深y（cm）与注水时间t（s）的函数 关系如图所示，则注水速度为（） A．30cm2/s B．32cm2/s C．34cm2/s D．40cm2/s 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的 顶点坐标分别为A（1，1），B（2，-1），C（-2，-1），D（-1，1）．以A为对称中心作点P（0，2）的对称点P1，以B为对称中心作点 P1的对称点P2，以C为对称中心作点P2的对称点P3，以D为对称中心作点P3的对称点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（） A．（2010，2）B．（2010，-2）C．（2012，-2）D．（0，2） 6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论正确的是（） A.3|a|+|c|＞2|b| B.3|a|+|c|=2|b| C.3|a|+|c|＜2|b| D.3|a|+|c|≤2|b| 二.填空题（5个小题，每小题4分，共20分） 7.在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是． 8.已知a=2.45，则2a3+7a2-2a-12的值等于． 9.已知x、y是正整数，并且xy+x+y=23，x2y+xy2=120，则x2+y2= . 10.已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为 . 11.将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2…A n分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为cm2． 题2图题3图 题5图题6图 题7图题10图题11图 离散数学试题 第一部分选择题 一、单项选择题 1．下列是两个命题变元p，q的小项是（ C ） A．p∧┐p∧q B．┐p∨q C．┐p∧q D．┐p∨p∨q 2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ） A．p→┐q B．p∨┐q C．p∧q D．p∧┐q 3．下列语句中是命题的只有（ A ） A．1+1=10 B．x+y=10 C．sinx+siny<0 D．x mod 3=2 4．下列等值式不正确的是（ C ） A．┐(?x)A?(?x)┐A B．(?x)(B→A(x))?B→(?x)A(x) C．(?x)(A(x)∧B(x))?(?x)A(x)∧(?x)B(x) D．(?x)(?y)(A(x)→B(y))?(?x)A(x)→(?y)B(y) 5．谓词公式(?x)P(x,y)∧(?x)(Q(x,z)→(?x)(?y)R(x,y,z)中量词?x的辖域是（ C ） A．(?x)Q(x,z)→(?x)(?y)R(x,y,z)) B．Q(x,z)→(?y)R(x,y,z) C．Q(x,z)→(?x)(?y)R(x,y,z) D．Q(x,z) 6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={ 7．设A={?}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（ A ）A．{?,{?}}∈B B．{{?,?}}∈B C．{{?},{{?}}}∈B D．{?,{{?}}}∈B 8．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（ A ） A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z) B．(X-Y)-Z=(X-Z)-Y C．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z) D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z) 9．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（ D ）A．a*b=min(a,b) B．a*b=a+b C．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数) D．a*b=a(mod b) 离散数学考试试题(A卷及答案） 一、证明题（10分） 1) (P∧Q∧A C)∧(A P∨Q∨C ) (A∧(P Q ))C。P<->Q=(p->Q)合取（Q->p） 证明: (P∧Q∧A C)∧(A P∨Q∨C) (P ∨Q ∨A∨C)∧(A∨P∨Q∨C) ((P ∨Q ∨A)∧(A∨P∨Q))∨C反用分配律 ((P∧Q∧A)∨(A ∧P ∧Q))∨C ( A∧((P∧Q)∨(P ∧Q)))∨C再反用分配律 GAGGAGAGGAFFFFAFAF ( A∧(P Q))∨C (A∧(P Q ))C 2) (P Q)P Q。 证明：(P Q)((P∧Q))(P ∨Q))P Q。 二、分别用真值表法和公式法求(P(Q∨R))∧(P∨(Q R))的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值（15分）。 主析取范式与析取范式的区别：主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。 主析取范式可由析取范式经等值演算法算得。 GAGGAGAGGAFFFFAFAF 证明： 公式法：因为(P(Q ∨R))∧(P∨(Q R)) (P∨Q∨R)∧(P∨(Q ∧R )∨(Q ∧R)) (P∨Q ∨R)∧(((P∨Q)∧(P ∨R ))∨(Q ∧R ))分配律 (P∨Q∨R)∧(P∨Q ∨Q)∧(P∨Q ∨R)∧(P∨R ∨Q)∧(P∨R ∨R) (P∨Q ∨R)∧(P∨Q ∨R )∧(P ∨Q∨R) M∧5M∧6M使（非P析取Q析取R）为0 4 GAGGAGAGGAFFFFAFAF 所赋真值，即100，二进制为4 GAGGAGAGGAFFFFAFAF 湖南工业大学 2009学年上学期考试试题 一、选择题.(每小题2分，总计30) 1.给定语句如下： （1）15是素数（质数）。 （2）10能被2整除，3是偶数。 （3）你下午有会吗？若无会，请到我这儿来！ （4）2x+3>0. （5）只有4是偶数，3才能被2整除。 (6)明年5月1日是晴天。 以上6个语句中，是简单命题的为（A）,是复合命题的为（B）,是真命题的为（C）, 是假命题的是（D）,真值待定的命题是（E） A: ①(1)(3)(4)(6) ②(1)(4)(6) ③(1)（6） B: ①(2)(4) ②(2)(4)(6) ③(2)(5) C: ①(1)(2)(5)(6) ②无真命题③（5） D: ①(1)(2) ②无假命题③（1）（2）（4）（5） E: ①(4)(6) ②（6）③无真值待定的命题 2.将下列语句符号化： （1）4是偶数或是奇数。（A） 设p：4是偶数，q：4是奇数 （2）只有王荣努力学习，她才能取得好成绩。（B） 设p：王荣努力学习，q：王荣取得好成绩 （3）每列火车都比某些汽车快。（C） 设F(x):x是火车，G(y):y是汽车，H(x,y):x比y快。 A: ① p∨q ② p∧q ③ p→q B: ① p→q ② q→p ③ p∧q C: ①?x?y ((F(x)∧G(y))→ (H(x,y)) ②?x (F(x)→?y(G(y)∧H(x,y))) ③?x (F(x)∧?y(G(y)∧H(x,y))) 3.设S={1,2,3},下图给出了S上的5个关系,则它们只具有以下性质:R1是 （A）,R2是(B),R3是(C)。 A B C:①自反的，对称的，传递的 ②反自反的，对称的 ③自反的 ④ 反对称的 ⑤对称的 ⑥自反的，对称的，反对称的，传递的 4. 设S={Ф，{1}，{1，2}}，则有 （1）（A ）∈S （2）(B)?S （3） P(S)有（C ）个元数。 （4）（D ）既是S 的元素，又是S 的子集 A: ① {1,2} ② 1 B: ③{{1,2}} ④{1} C: ⑤ 3 ⑥ 6 ⑦ 7 ⑧ 8 D: ⑨ {1} ⑩Ф 二、证明（本大题共2小题，第1小题10分，第2小题10分，总计20分） 1、用等值演算算法证明等值式 (p ∧q)∨(p ∧?q)?p 2、构造下面命题推理的证明 如果今天是星期三，那么我有一次英语或数学测验；如果数学老师有事，那么没有数学测验；今天是星期三且数学老师有事，所以我有一次英语测验。 三、计算（本大题共4小题，第1小题5分，第2小题10分，第3小题15分， 总计30分） 1、设()(){}212,，，个体域为 为，整除为 《离散数学》测试题答 案 https://www.doczj.com/doc/9511588638.html,work Information Technology Company.2020YEAR 测试题 ——离散数学 一、选择题 1、G是一棵根树，则（）。 A、G一定是连通的 B、G一定是强连通的 C、G只有一个顶点的出度为0 D、G只有一个顶点的入度为1 2、下面哪个语句不是命题（）。 A、中国将成功举办2008年奥运会 B、一亿年前地球发生了大灾难 C、我说的不是真话 D、哈密顿图是连通的 3、设R是实数集合，在上定义二元运算*：a，b∈R，a*b=a+b-ab，则下面的论断中正确的是（）。 A、0是*的零元 B、1是*的幺元 C、0是*的幺元 D、*没有等幂元 4、下面说法中正确的是（）。 A、所有可数集合都是等势的 B、任何集合都有与其等势的真子集 C、有些无限集合没有可数子集 D、有理数集合是不可数集合 5、无向完全图K3的不同构的生成子图有（）个。 A. 6 B.5 C. 4 D. 3 6、下面哪一种图不一定是无向树? A、无回路的连通图 B、有n个顶点n-1条边的连通图 C、每对顶点间都有通路的图 D、连通但删去一条边则不连通的图 7、设集合A＝{{1,2,3},{4,5},{6,7,8}}，则下列各式为真的是( )。 A.1 A B.{{4,5}} A C. {1,2,3} A D.A 8、在有界格中，若一个元素有补元，则补元( )。 A、必惟一 B、不惟一 C、不一定惟一 D、可能惟一 9、设集合A={1,2,3,…,10}，下面定义的哪种运算关于集合A是不封闭的（） A、 x*y=max{x,y} B、 x*y=min{x,y} C、 x*y=GCD(x,y)，即x,y的最大公约数 D、 x*y=LCM(x,y)，即x,y的最小公倍数 《离散数学》练习题和参考答案 一、选择或填空（数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式?x((A(x)→B(y，x))∧?z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是 （4）是，T （5）不是（6）不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q→ ?（2）Q P? →（3）Q P? ?（4）Q P→ ? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( ) (3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（） (1) 永真式(2) 永假式(3) 可满足式(4) (1)--(3)均有可能答：（2） 13、公式(?P∧Q)∨(?P∧?Q)化简为（），公式 Q→(P∨(P∧Q))可化简为（）。答：?P ，Q→P 14、谓词公式?x(P(x)∨?yR(y))→Q(x)中量词?x的辖域是（）。答：P(x)∨?yR(y) 15、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（）。浙江工业大学_离散数学测_验(含答案)
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