高等数学测试题及解答(分章)

第一单元 函数与极限

一、填空题

1、已知x x f cos 1)2

(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)

1()34(lim

22

x x x x 。 3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。 4、01

sin

lim 0

=→x

x k

x 成立的k 为 。 5、=-∞

→x e x

x arctan lim 。

6、???≤+>+=0

,0

,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→x

x x 6)

13ln(lim

0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。 10、设a 是非零常数，则________)(

lim =-+∞

→x

x a

x a x 。 11、已知当0→x 时，1)1(3

12-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。 12、函数x

x

x f +=13arcsin )(的定义域是__________。 13、____________22lim

22=--++∞

→x x n 。

14、设8)2(

lim =-+∞

→x

x a

x a x ，则=a ________。 15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞

→=____________。

二、选择题

1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、x

x

x +-=

11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。 （Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。

3、函数??

???=-≥≠-+-+=0)1(0,1

111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续，则=k 。

（Ａ）

23； （Ｂ）3

2

； （C ）1； （D ）0。 4、数列极限=--∞

→]ln )1[ln(lim n n n n 。

（Ａ）1； （Ｂ）1-； （C ）∞； （D ）不存在但非∞。

5、???

?

???>=<+=0

1cos 00

0sin )(x x x x x x x x x f ，则0=x 是)(x f 的 。

（Ａ）连续点；（Ｂ）可去间断点；（C ）跳跃间断点；（D ）振荡间断点。 6、以下各项中)(x f 和)(x g 相同的是（ ）

（Ａ）2

lg )(x x f =，x x g lg 2)(=； （Ｂ）x x f =)(，2)(x x g =

；

（C ）334)(x x x f -=，31)(-=x x x g ；（D ）1)(=x f ，x x x g 2

2tan sec )(-=。

7、 |

|sin lim

0x x

x →= （ ）

（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （C ） 0； （D ） 不存在。 8、 =-→x

x x 10

)1(lim （ ）

（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （Ｃ） e ； （Ｄ） 1

-e 。

9、)(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(lim 0

x f x x →存在的（ ）

（Ａ）充分必要条件；（Ｂ） 充分条件；（C ）必要条件；（D ）既不充分也不必要条件.

10、 =-+∞

→)1(lim 2

x x x x （ ）

（Ａ） 1； （Ｂ） 2； （C ）

2

1

； （D ） 0。 11、设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞

→∞

→∞

→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则必有（ ）

（A ）n n b a <对任意n 成立； （B ）n n c b <对任意n 成立； （C ）极限n n n c a ∞

→lim 不存在 ； （D ）极限n n n c b ∞

→lim 不存在。

12、当1→x 时，函数

1

1

21

1---x e x x 的极限（ ） （Ａ）等于２； （Ｂ）等于０； （Ｃ）为∞； （Ｄ）不存在但不为∞。 三、计算解答 1、计算下列极限 （1）1

2sin

2lim -∞

→n n

n x ； （2）x

x

x x cot csc lim

0-→ ；

（3）)1(lim 1-→∞x

x e x ； （4）x

x x x 31212lim ??

?

??-+∞→ ；

（5）1cos cos 21

cos 2cos 8lim 223

-+--→

x x x x x π； （6）x x x x x x tan cos sin 1lim 0-+→；

（7）????

??+++?+?∞→)1(1321211lim n n n ； （8）32324arctan )21ln(lim x x x --+→。 ３、试确定b a ,之值，使21

11lim 2=???

? ??--+++∞→b ax x x x 。 ４、利用极限存在准则求极限

(1)n

n n n 13121111

131211lim

++++++++++

∞

→ 。

（2）设01>>a x ，且),2,1(1 ==+n ax x n n ，证明n n x →∞

lim 存在，并求此极限值。

5、讨论函数x

x x

x n n n n n x f --∞→+-=lim )(的连续性，若有间断点，指出其类型。

6、设)(x f 在],[b a 上连续，且b x f a <<)(，证明在),(b a 内至少有一点ξ，使ξξ=)(f 。

第一单元 函数与极限测试题详细解答

一、填空题

1、x 2

sin 2 。 2

sin 22)2sin

21(1)2

(sin 22

x x x f -=-+=， 222)(x x f -=∴ x x x f 22sin 2cos 22)(cos =-=∴。

2、0 。 016

249lim )1()34(lim

3222=+-++=-+∞→∞→x

x x x x x x x x 。 3、高阶 。 0)cos 1(lim )

cos 1(tan lim sin tan lim

000=-=-=-→→→x x x x x x x x x x ，

x x sin tan -∴是x 的高阶无穷小。

4、0>k 。

x 1sin

为有界函数，所以要使01sin lim 0=→x

x k

x ，只要0lim 0=→k x x ，即0>k 。

5、 0 。 0arctan lim =-∞

→x e x

x ))2

,2(arctan ,0lim (π

π-

∈=-∞

→x e x

x 。

6、2=b 。 b b x x f x x =+=--→→)(lim )(lim 0

， 2)1(lim )(lim 0

=+=++→→x

x x e x f ，

,)0(b f = 2=∴b 。

7、

21

2

163lim 6)13ln(lim 00==+→→x x x x x x 。

8、 e x ≤≤1 根据题意 要求1ln 0≤≤x ，所以 e x ≤≤1。 9、21

-=-x e

y )2ln()1(),2ln(1+=-∴++=x y x y ，12-=+y e x ，

21-=∴-y e x ，)2ln(1++=∴x y 的反函数为21-=-x e y 。

10、a

e 2 原式=a a

a x x

a a

x x e a

x a 222)21(lim =-+

?-?-∞→。 11、23-=a 由231

2

31~1)1(ax ax -+与22

1~1cos x x --，以及

1322

131lim 1cos 1)1(lim 2

203

120=-=-=--+→→a x ax

x ax x x ， 可得 2

3

-=a 。

12、2

1

41≤≤-

x 由反三角函数的定义域要求可得 ?????≠+≤+≤-0

11

131x x

x 解不等式组可得 ?????-≠≤

≤-1

2

141x x ，?)(x f 的定义域为2141≤≤-x 。 13、0 2

2)

22)(22(lim

22lim

2

2

22222

2

-++-++--+=--++∞

→+∞

→x x x x x x x x n n

02

2)2(2lim

2

2

22=-++--+=+∞

→x x x x n 。

14、2ln 8)31(lim )2(

lim 333==-+=-+-?-→∞→∞a a

x ax

a a x x x x e a

x a a x a x 2ln 3

2ln 8ln 318ln 33===?=a a 。

15、2 )

2(2

)1(lim

)2)(1(lim n n n n n n n n n n ++?++=-++++∞→+∞

→

212

1)

1

11(2lim =++++=+∞→n

n n 。

二、选择题

1、选（Ｄ） 令)()()()(x h x g x f x F =，由)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l - 上的奇函数，)()()()()()()()(x F x h x g x f x h x g x f x F -=-=---=-∴。

2、选（Ｃ） ]

)1(11)[1(1lim )1)(1(1lim )()(lim

31311x x x

x x x x x x x x ---+-=-+-=→→→βα

2

3

)1(3

1

)1(1l i m

1=-?+-=→x x x x

3、选（A ） 233

1

21lim

1111lim )(lim 0300==-+-+=→→→x x

x x x f x x x 4、选（Ｂ） 1)11ln(lim ]ln )1[ln(lim -=--=---∞→∞→n

x x n

n n n

5、选（Ｃ） 1)0(=-

f ， 0)0(=+

f ， 0)0(=f

6、选（Ｃ） 在（A ）中2

ln )(x x f = 的定义域为0≠x ，而x x g ln 2)(=的定义域为0>x ，

)()(x g x f ≠∴故不正确

在（B ）x x f =)( 的值域为),(+∞-∞，2)(x x g =

的值域为0>x ，故错

在（C ）中1)(=x f 的定义域为R ，x x x g tan sec )(2

-=的定义域为

}2

,{π

π+≠∈k x R x ，)()(x g x f ≠∴，故错

7、选（Ｄ） 1sin lim ||sin lim 00

==++

→→x x x x x x ，1sin lim ||sin lim 00-=-=--→→x

x

x x x x |

|sin lim

0x x

x →∴不存在

8、选（Ｄ） 1)1(1

10

)]

(1[lim )1(lim --?-→→=-+=-e x x x

x x

x ，

9、选（Ｃ） 由函数极限的局部有界性定理知，)(lim 0

x f x x →存在，则必有0x 的某一去心

邻域使)(x f 有界，而)(x f 在0x 的某一去心邻域有界不一定有)(lim 0

x f x x →存在，例如

x x 1sin lim 0→，函数11

sin 1≤≤-x

有界，但在0=x 点极限不存在 10、选（Ｃ）

（x

x x

x x x x x x x x x x x x x ++=++++-+=-+∞→∞→∞→1lim 1)1)(1(lim )1(lim 2222

2

11111lim

2

=

++

=∞

→x x 11、选（D ） （A ）、（Ｂ）显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当n

充分大时”的情况，不可能得出“对任意n 成立”的性质。

（Ｃ）也明显不对，因为“无穷小·无穷大”是未定型，极限可能存在也可能不存在。

12、选（D ）002)1(lim 11lim 11

1

1

121=?=+=---→-→--

x x x x e x e x x ∞=+=---→-→++11

1

1

1

21)1(lim 11lim x x x x e x e x x 当1→x 时函数没有极限，也不是∞。 三、计算解答

1、计算下列极限： （1）解：x x

x

n n n n n

n 222lim 2sin

2lim 11

=?

=-∞

→-∞

→。 （2）解：2

12lim sin cos 1lim sin cos sin 1lim cot csc lim 22

0000==-=-

==→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 。 （3）解：11

lim )1(lim 1

=?

=-∞

→∞

→x

x e x x x

x 。 （4）解：3

21

2133])2

111[(lim )1221(lim )1212(

lim +-∞→∞→∞→-

+=-+=-+x x x x x x x x x x 。 33

213

21])2

111lim [])

2

111lim [e x x x x x =-+

?-+

=∞

→-

∞

→

（5）解：)1)(cos 1cos 2()

1cos 4)(1cos 2(lim 1cos cos 21cos 2cos 8lim 3

223

+-+-=-+--→

→x x x x x x x x x x ππ

212

112141

cos 1

cos 4lim 3

=++?

=

++=→

x x x π

。

（6）解：)cos sin 1(tan cos sin 1lim

tan cos sin 1lim

00

x x x x x x

x x x

x x x x x x ++-+=-+→→ 202020

2cos 1lim 2sin lim 2cos 1sin lim

x x x x x x x x x x x x -+=-+=→→→43

4121=+=。 （7）解：])

1(1

321211[

lim +++?+?∞

→n n x )]1

1

1()3121()211[(lim +-++-+-=∞→n n x 1)1

1

1(lim =+-=∞→n x 。 （8）解：331

2323

2323241

)21(lim 42lim 4arctan )

21ln(lim =

+=--=--+→→→x x

x

x x x x x 。 ３、解：1

)(1lim )11(lim 222+-+--+=--+++∞→+∞→x b x b a ax x b ax x x x x

2

11)1()()1(lim 2=+-++--=+∞→x b x b a x a x ?????=+-=-∴21)(01b a a ???

???-==231b a 。

４、（1）. 1111211111312111++<+++++++++<

n n

n n 而 1111lim =+++∞→n x 11

3121111131211lim =++++++

++++∴+∞→n

n n x 。 （2）先证有界（数学归纳法）

1=n 时，a a a ax x =?>=12

设k n =时，a x k >， 则 a a ax x k k =>=+21

数列}{n x 有下界，

再证}{n x 单调减，

11<==+n

n

n n n x a

x ax x x

且 0>n x n n x x <∴+1即}{n x 单调减，n n x ∞

→∴lim 存在，设A x n n =∞

→lim ，

则有 aA A =

?0=A （舍）或a A =，a x n n =∴∞

→lim

５、解：先求极限 得 0

001

01

11lim )(22<=>?

??

??-=+-=∞→x x x n n x f x

x

n 而 1)(lim 0

=+→x f x 1)(lim 0

-=-→x f x 0)0(=f

)(x f ∴的连续区间为),0()0,(+∞-∞

0=x 为跳跃间断点.。

６、解：令x x f x F -=)()(， 则 )(x F 在 ],[b a 上连续

而0)()(>-=a a f a F 0)()(<-=b b f b F

由零点定理，),(b a ∈?ξ使0)(=ξF 即 0)(=-ξξf ，亦即 ξξ=)(f 。

第二单元 导数与微分

一、填空题

1、已知2)3(='f ，则h

f h f h 2)

3()3(lim

0--→= 。

2、)0(f '存在，有0)0(=f ，则x

x f x )

(lim 0→= 。

3、π

ππ

1arctan ++=x y x ，则1='x y = 。

4、)(x f 二阶可导，)sin 1(x f y +=，则y '= ；y ''= 。

5、曲线x

e y =在点 处切线与连接曲线上两点),1(),1,0(e 的弦平行。 6、)]1ln[arctan(x y -=，则dy = 。

7、4

2

sin x y =，则

dx dy = ，2dx dy

= 。 8、若tx

x x

t t f 2)11(lim )(+=∞→，则)(t f '= 。

9、曲线12

+=x y 于点_________处的切线斜率为2。 10、设x

xe y =，则_______)0(=''y 。 11、设函数)(x y y =由方程0)cos(=++xy e

y

x 确定，则

________=dx

dy

。 12、设???=+=t

y t x cos 12则________2

2=dx y

d 。 二、单项选择 1、设曲线x

y 1=

和2

x y =在它们交点处两切线的夹角为?，则?tan =（ ）。 （Ａ）1-； （Ｂ）1； （C ）2-； （Ｄ）3。

3、函数x k

e x

f tan )(=，且e f =')4

(π

，则=k （ ）。

（Ａ） 1； （Ｂ） 1-； （C ） 2

1

； （Ｄ）2。 4、已知)(x f 为可导的偶函数，且22)

1()1(lim

0-=-+→x

f x f x ，则曲线)(x f y =在)2,1(- 处切线的方程是 。

（Ａ）64+=x y ；（Ｂ）24--=x y ；（C ）3+=x y ；（Ｄ）1+-=x y 。

5、设)(x f 可导，则x

x f x x f x ?-?+→?)

()(lim 220= 。

（Ａ） 0； （Ｂ） )(2x f ； （C ） )(2x f '； （Ｄ）)()(2x f x f '?。 6、函数)(x f 有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，则)()

(x f n = 。

（Ａ）1

)]

([+n x f n ；（Ｂ）1

)]

([!+n x f n ；（C ）1

)]()[1(++n x f n ；（Ｄ）2

)]([)!1(x f n +。

7、若2

)(x x f =，则x

x f x x f x ?-?+→?)

()2(lim

000

=（ ）

（Ａ）02x ； （Ｂ）0x ； （C ）04x ； （Ｄ）x 4。

8、设函数)(x f 在点0x 处存在)(0x f -'和)(0x f +'，则)()(00x f x f +-'='是导数)(0x f '存在的（ ）

（Ａ）必要非充分条件； （Ｂ）充分非必要条件；

（C ）充分必要条件； （Ｄ）既非充分又非必要条件。 9、设)99()2)(1()(---=x x x x x f 则=')0(f （ ）

（Ａ）99； （Ｂ）99- ； （C ）!99； （Ｄ）!99-。 10、若)(u f 可导，且)(2

x f y -=，则有=dy （ ）

（Ａ）dx x f x )(2

-'；（Ｂ）dx x f x )(22

-'-；（C ）dx x f )(22

-'；（Ｄ）dx x f x )(22

-'。

11、设函数)(x f 连续，且0)0('>f ，则存在0>δ，使得（ ） （A ）)(x f 在),0(δ内单调增加； （B ）)(x f 在)0,(δ-内单调减少； （C ）对任意的),0(δ∈x 有)0()(f x f >；（D ）对任意的)0,(δ-∈x 有)0()(f x f >。

12、设?????≤+>=0

01sin

)(2

x b

ax x x

x x f 在0=x 处可导，则（ ）

（A ）0,1==b a ； （B ）b a ,0=为任意常数； （C ）0,0==b a ； （C ）b a ,1=为任意常数。 三、计算解答

1、计算下列各题 （1）x

e

y 1sin 2

=，求dy ； （2）?

??==3

ln t y t x ，求1

2

2=t dx y

d ；

（3）y y x =+arctan ，22dx

y d ； （4）x x y cos sin =，求)

50(y ；

（5）x

x

x y )1(

+=，求y '； （6）)2005()2)(1()(+++=x x x x x f ，求)0(f '；

（7）)()()(x a x x f ?-=，)(x ?在a x =处有连续的一阶导数，求)()(a f a f '''、； （8）设)(x f 在1=x 处有连续的一阶导数，且2)1(='f ，求)1(cos lim 1

-+

→x f dx

d

x 。 2、试确定常数b a ,之值，使函数?

?

?<-≥+++=010

2)sin 1()(x e x a x b x f ax

处处可导。 3、证明曲线a y x =-2

2

与b xy =（b a ,为常数）在交点处切线相互垂直。

4、一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升，其速率为140米/分，当此气球上

升到500米空中时，问观察员视角的倾角增加率为多少。 5、若函数)(x f 对任意实数21,x x 有)()()(2121x f x f x x f =+，且1)0(='f ，证明

)()(x f x f ='。

6、求曲线532

3

-+=x x y 上过点)3,1(--处的切线方程和法线方程。

第二单元 导数与微分测试题详细解答

一、填空题

1、1- 1)3(2

1

)21()3()3(lim 2)3()3(lim

00-='-=-?---=--→→f h f h f h f h f h h

2、)0(f ' )0(0

)

0()(lim )(lim 00f x f x f x x f x x '=--=→→

3、ππ+x ln 1

ln -+='ππππx

y x

ππ+='∴=x y x ln |1

4、x x f cos )sin 1(?+' ，x x f x x f sin )sin 1(cos )sin 1(2

?+'-?+''

x x f y cos )sin 1(?+'='，x x f x x f y sin )sin 1(cos )sin 1(2?+'-?+''=''

5、)1),1(ln(--e e 弦的斜率10

11

-=--=

e e k 1)(-==='∴e e e y x x ?)1ln(-=e x ，当)1ln(-=e x 时，1-=e y 。

6、]

)1(1[)1arctan(2

x x dx

-+?--

)1()

1(11

)1arctan(1)]1[arctan()1arctan(12

x d x x x d x dy --+?-=--=

]

)1(1[)1arctan(2x x dx

-+?--

=

7、4

3

2sin 4x x ，4

2

2sin 2x x

433442sin 44cos sin 2x x x x x dx

dy

=??= 4222sin 22x x xdx

dy

dx dy == 8、t t te e 222+ t

tx x te x

t t f 22)11(lim )(=+=∞→ t t te e t f 222)(+='∴

9、)2,1( x y 2=' ，由220=x ?10=x ，2112

0=+=y

12+=∴x y 在点)2,1(处的切线斜率为2

10、 2 x

x

xe e y +=' ，x

x x xe e e y ++=''

2)0(00=+=''∴e e y

11、)

sin()sin(xy x e xy y e y x y x ---++ 方程两边对x 求导得 0)')(sin()'1(=+-++xy y xy y e y

x

解得 )

sin()

sin('xy x e xy y e y y x y x ---=++。

12、

3

4cos sin t

t

t t - 由参数式求导公式得t t x y dx dy t t 2sin ''-==， 再对x 求导，由复合函数求导法得

3

2224cos sin 21sin cos 21'')'()'(t

t

t t t t t t t x y y dx d dx y d t t x x -=?--===。 二、选择题

1、 选（Ｄ） 由?????

==2

1x

y x y ?交点为)1,1( ，1|)1(11-='==x x k ， 2|)(12

2='=x x k

3|1|

|)tan(|tan 2

11

212=+-=-=∴k k k k ???

3、 选（Ｃ） x x k e x f k x

k

21tan

sec tan )(??='-

由e f =')4

(π

得 e k e =??2?2

1=

k 4、 选（A ） 由x f x f x f x f x x 2)

1()1(lim

2)1()1(lim

00----=-+→→ 2)2

1()1()21()1()1(lim 0-=-?-'=-?-----=→f x f x f x ?4)1(=-'f ∴切线方程为：)1(42+=-x y 即 64+=x y

5、 选（Ｄ） )()(2])([)

()(lim

2220x f x f x f x

x f x x f x '?='=?-?+→? 6、 选（Ｂ） )(2)()(2})]({[)(3

2

x f x f x f x f x f ='?='=''

)(32)()(32])(2[)(423x f x f x f x f x f ?='??='='''

设)(!)(1)

(x f n x f

n n +=，则)()()!1()()1(x f x f n x f n n '?+=+)()!1(2x f n n ++=

)(!)(1)(x f n x f n n +=∴

7、 选（Ｃ） )(22)

()2(2lim )()2(lim

0000000

x f x

x f x x f x x f x x f x x '=?-?+?=?-?+→?→? 又x x x f 2)()(2

='=' ，004)(2x x f ='∴

8、 选（Ｃ） )(x f 在0x 处可导的充分必要条件是)(x f 在0x 点的左导数)(0x f -'和

右导数)(0x f +'都存在且相等。 9、 选（Ｄ）

)

99()3)(1()99()2()99()2)(1()(---+--+---='x x x x x x x x x x x f )98()2)(1(---++x x x x

!99!99)1()990()20)(10()0(99-=?-=---='∴ f

另解：由定义，)99()2)(1(lim 0

)

0()(lim

)0(00

---=--='→→x x x x f x f f x x !99!99)1(99-=?-=

10、 选（Ｂ） )(2)()(])([2

2

2

2

x f x x f x f -'-='-?-'='-

dx x f x dy )(22-'-=∴

11、由导数定义知

0)

0()(lim

)0('0

>-=→x

f x f f x ，

再由极限的保号性知 ,0>?δ当),(δδ-∈x 时

0)

0()(>-x

f x f ，

从而 当)),0()(0,(δδ∈-∈x x 时，)0(0)0()(><-f x f ，因此C 成立，应选C 。 12、由函数)(x f 在0=x 处可导，知函数在0=x 处连续

b b ax x f x

x x f x x x x =+===--++→→→→)(lim )(lim ,01

sin

lim )(lim 00200，所以0=b 。

又a x

ax x f x f f x x x x f x f f x x x ==--===--=-

+

+→-→→+0)0()(lim )0(,01sin

lim 0)0()(lim )0(0200， 所以0=a 。应选C 。

三、计算解答 1、计算下列各题 （1）dx x x x e x d e

dy x x

)1(1cos 1sin 2)1(sin 21

sin 2

1sin 22

-??==dx e x

x x 1

sin 222

sin 1-=

（2）

32313t t

t dx

dy ==，3

222919t t t dx y d ==，9|122=∴=t dx y d （3）两边对x 求导：y y y

'='?++

2

111?12

+='-y y )11

(2)1(222

3233+-

=+?-='?-=''---y y y y y y y （4）x x x y 2sin 2

1

cos sin =

= )2

2sin(2cos π

+

=='∴x x y )2

22sin(2)22cos(2π

π

?+=+

=''x x y 设)2

2sin(21)

(π

?+=-n x y n n

则)2

)1(2sin(2)22cos(2)

1(π

π++=?+=+n x n x y

n n n

x x y 2sin 2)2

502sin(24949)50(-=?+=∴π

（5）两边取对数：)]1ln([ln ln x x x y +-=

两边求导：

x

x x x y y +-++-='?11)1ln(ln 1 ]11)1ln([ln )1(x

x

x x x x y x +-++-+='∴

（6）利用定义：

!2005)2005()3)(2)(1(lim )

0()(lim

)0(00

=++++=-='→→x x x x x

f x f f x x （7）)()()()(x a x x x f ??'-+=' )()(a a f ?='∴

又a

x a x a x x a x a f x f a f a x a

x --'-+=-'-'=''→→)()()()(lim )()(lim

)(???

)]()

()([

lim x a

x a x a

x ???'+--=→)(2)()(a a a ???'='+'=

[注：因)(x ?在a x =处是否二阶可导不知，故只能用定义求。]

（8）]1

21)1sin ()1(cos [lim )1(cos lim 11

-?--?-'=-++

→→x x x f x f dx d x x

1

21

sin lim )1(cos lim 1

1

---?-'=+

+→→x x x f x x 1)21()1(-=-?'=f

2、易知当0≠x 时，)(x f 均可导，要使)(x f 在0=x 处可导

则 )0()0(-+'='f f ， 且)(x f 在0=x 处连续。即)0()(lim )(lim 0

f x f x f x x ==+-→→

而

020)(lim 2)(lim 00=++???

?

??=++=+-

→→b a x f a b x f x x 又 b x

a b a x x f x f f x x =---+++=--='++→→+2

2)sin 1(lim 0)0()(lim )0(00

a x

ax

x e x a b e f x ax x ax x ==-=----='---→→→-000lim 1lim 21lim )0(

由??

?

???-=-=?=++=1

1

02b a b a b

a

3、证明：设交点坐标为),(00y x ，则a y x =-2

020 b y x =00

对a y x =-2

2两边求导：y

x y y y x =

'?='?-022 ∴曲线a y x =-22在),(00y x 处切线斜率0

10|y x y k x x =

'== 又由2x

b y x b y b y x -='?=

?= ∴曲线b xy =在),(00y x 处切线斜率20

20|x b

y k x x -

='==

又 1)(0

0200021-=-=-?=

y x b x b y x k k ∴两切线相互垂直。

4、设t 分钟后气球上升了x 米，则 500

tan x

=

α 两边对t 求导：25

75001405001sec 2

=

=?=?dt dx dt d αα αα2cos 257?=∴dt d 当500=x m 时， 4

π

α=

∴当500=x m 时，

507

21257=

?=dt d α（弧度/分） 5、证明：h x f h f x f h x f h x f x f h h )

0()()(lim

)()(lim )(00+-?=-+='→→ h

f h f x f h f x f h f x f h h )

0()()

(lim )0()()()(lim 00-=?-?=→→ )()0()(x f f x f ='?=

6、解：由于x x y 632

+='，于是所求切线斜率为

3|63121-=+=-=x x x k ，

从而所求切线方程为)1(33+-=+x y ， 即 063=++y x 又法线斜率为 3

1

112=-

=k k 所以所求法线方程为)1(3

1

3+=+x y ，即 083=+-x y

第三单元 微分中值定理与导数应用

一、填空题

1、=→x x x ln lim 0

__________。

2、函数()x x x f cos 2-=在区间______________单调增。

3、函数()4

3

384x x x f -+=的极大值是____________。

4、曲线x x x y 362

4+-=在区间__________是凸的。

5、函数()x x f cos =在0=x 处的12+m 阶泰勒多项式是_________。

6、曲线x

xe

y 3-=的拐点坐标是_________。

7、若()x f 在含0x 的()b a ,（其中b a <）内恒有二阶负的导数，且_______,则()0x f 是

()x f 在()b a ,上的最大值。

8、123

++=x x y 在()+∞∞-,内有__________个零点。

9、________)1

sin 1(

cot lim 0=-→x

x x x 。

10、_________)tan 1

1(lim 20=-→x

x x x 。

11、曲线2

x e y -=的上凸区间是___________。 12、函数1--=x e y x

的单调增区间是___________。 二、单项选择

1、函数)(x f 有连续二阶导数且,2)0(,1)0(,0)0(-=''='=f f f 则=-→2

)(lim x x

x f x （ ） （Ａ）不存在 ； （Ｂ）0 ； （Ｃ）-1 ； （Ｄ）-2。

2、设),,(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f 则在)1,2

1(内曲线)(x f （ ） （Ａ）单调增凹的； （Ｂ）单调减凹的； （Ｃ）单调增凸的； （Ｄ）单调减凸的。

3、)(x f 在),(b a 内连续，0)()(),,(000=''='∈x f x f b a x ，则)(x f 在0x x = 处（ ） （Ａ）取得极大值； （Ｂ）取得极小值；

《微积分》《高等数学》第二章测试题

《微积分》第二章测试题 1. 【导数的概念】已知()23f '=，求()() 22lim h f h f h h →+-- 解()() ()() ()()()0 0222222lim lim 226h h f h f h f h f f h f f h h h →→+--+---??'=+== ?-?? 2. 设函数cos ln x y x e a -=++，求 d y d x 解 sin x dy x e dx -=-- 3. 设函数arctan x y e =，求 d y d x 解 d y d x () arctan arctan 1 1 1221x x e e x x x x =? ? = ++ 4. 设函数2 sin cos 2y x x =，求 d y d x ， x dy dx = 解()2 2 2 2 4 sin cos 2sin 12sin sin 2sin y x x x x x x ==-=- ()()3 2 2 2sin cos 8sin cos 2sin cos 14sin sin 214sin dy x x x x x x x x x dx =-=-=-， 0x dy dx == 5. 【函数的微分，记得加dx 】设函数2 sin 2x y x = ，求dy 解2 4 3 3 2cos 22sin 22cos 22sin 22cos 22sin 2,dy x x x x x x x x x x dy dx dx x x x ---== ∴= 6. 【高阶导数】设函数11 y x = -，求 n n d y dx 解 () () () () () () () 2 3 1 2 3 4 1 23 ! 11, 21, 3!1,, 1n n n n dy d y d y d y n x x x x dx dx dx dx x ----+' = -=--=-=--=-- 7.【隐函数求导】 设函数()y y x =由方程2 sin 20xy y -=确定，求 d y d x 解 等式两边同时对x 求导2 22sin 20,y xyy y y ''+-=则 () 2 2 2 2sin 222221dy y y y y dx y xy xy xy x y '== = = ---

大学高等数学阶段测验卷

第一章函数与极限阶段测验卷 学号 班级 成绩 考试说明：1、请将客观题答案全部填涂在答题卡上，写在试卷上一律无效。 2、请在答题卡上填涂好、班级、课程、考试日期、试卷类型和考号。试卷类型 划A;考号为学号的后九个数，请填涂在“考号”的九个空格并划线。 3、答题卡填涂不符合规者，一切后果自负。 一．是非判断题(本大题共10题，每题2分，共20分) 1. x y 2cos 1-=与x y sin =是相同的函数. ( ) A 、正确 B 、错误 2. 函数ln(1)y x x =-+在区间(,1)-∞-单调递增.（ ） A 、正确 B 、错误 3. 函数x y e =在(0,)+∞有界. ( ) A. 正确 B. 错误 4. 设()f x 在[,](0)a a a ->上有定义，则函数1 ()[()()]2 g x f x f x =--是奇函数.（ ） A. 正确 B. 错误 5. 函数2sin y x =是当0x →时的无穷小.（ ） A. 正确 B. 错误 6.函数y = 是初等函数.（ ） A 、正确 B 、错误 7. 当x →∞时，函数22135x y x +=+趋向于1 3 .（ ） A 、正确 B 、错误 8. 当0x →时，函数2 12 y x = 与1cos y x =-是等价无穷小.（ ） A 、正确 B 、错误 9. 211lim cos 2 x x x →∞=-（ ） A 、正确 B 、错误

10. 函数1 (12),0;, 0x x x y e x ?? +≠=??=? 在0x =处连续. ( ) A 、正确 B 、错误 二．单项选择题(本大题共12个，每题3分，共36分) 11.函数)5)(2ln(+-=x x y 的定义域为( ). A. 25≤≤-x ; B. 2>x ; C. 2>x 或5-

高等数学第一章测试卷

高等数学第一章测试卷(B ) 一、选择题。(每题4分，共20分) 1?假设对任意的 x R ，都有(x) f(x) g(x)，且]im[g(x) (x)] 0，则 lim f (x)() A.存在且等于零 B.存在但不一定为零 C. 一定不存在 D.不一定存在 1 x 2. 设函数f(x) lim 2n ，讨论函数f (x)的间断点，其结论为( ) n 1 x A.不存在间断点 B.存在间断点x 1 C.存在间断点x 0 D.存在间断点x 1 x 2 X 1 3. 函数f (x) 一2 . 1 —2的无穷间断点的个数为( ) X 1 \ x 7.[x]表示取小于等于x 的最大整数，则lim x - x 0 x f(x) asinx A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.设函数f (x)在( )内单调有界, ｛X n ｝为数列，下列命题正确的是( A.若｛x n ｝收敛，则｛ f (x n ) ｝收敛 B.若｛&｝单调，则｛ f (x n ) ｝收敛 0若｛ f (X n ) ｝收敛，则仏｝收敛 D.若｛ f (X n ) ｝单调，则 ｛X n ｝收敛 5.设｛a n ｝, ｛b n ｝, ｛C n ｝均为非负数列，且 lim n a n 0,lim b n 1,limc n n n ，则() A. a n b n 对任意n 成立 B. b n C n 对任意n 成立 C.极限lim a n C n 不存在 n D. 极限lim b n C n 不存在 n 二、填空题(每题 4分，共 20分) 6.设 X, f (X) 2f (1 X) 2 x 2x , 则 f (X) 8.若 lim]1 X X ( 丄 X a)e x ] 1, 则实数a 9.极限lim X (X 2 X a)(x b) 10.设 f (X)在 x 0处可导, f (0) 0,且f (0) b ，若函数 F(x) 在x 0处连续, 则常数 A

高等数学第二章练习及答案

第二章 一、选择题. 1. 函数1y x =+在0x =处 （ ） A 、无定义 B 、不连续 C 、可导 D 、连续但不可导 2. 设函数221,0(), 0x x f x x x +

7. (arctan 2)d x =________，[]ln(sin 2)d x =__________. 8. 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =______. 9．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -=，则需求弹性E p =__________. 三、判断题. 1. 若()f x 在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处连续. （ ） 2. dy 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线纵坐标对应于x ?的改变量. （ ） 3. 函数()y f x =在0x 点处可微的充要条件是函数在0x 点可导. （ ） 4. 极值点一定是驻点. （ ） 5. 函数y x =在点0x =处连续且可导. （ ） 四、计算题. 1.求函数y =. 2. 求由方程0e e 2=+-+y x y x 所确定的隐函数()y f x =的导数y '. 3. 设e x y x =，求y '. 4. 求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y f x =的二阶导数.y '' 五、求下列极限. （1）sin lim sin x x x x x →∞-+， （2）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim ， （3）11lim 1ln x x x x →??- ?-? ?， (4）1lim(1)(0)x x a x a →∞->, （5）()10lim 1x x x →+, （6）1lim ()x x x x e →+∞+. 六、应用题. 1. 求函数32 ()391f x x x x =--+的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点． 2.某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求量为100010q p =-（q 为需求量,p 为价格）．试求：(1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？

高等数学第一章练习题答案

第一章 练习题 一、 设()0112>++=?? ? ??x x x x f ，求)(x f 。 二、 求极限： 思路与方法： 1、利用极限的运算法则求极限； 2、利用有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小这一性质； 3、利用两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e x x x =??? ??+∞→11lim ； 4、利用极限存在准则； 5、用等价无穷小替换。注意：用等价无穷小代替时被代替的应是分子、分母或其无穷小因子。如果分子或分母是无穷小的和差，必须将和差化为积后方可用等价无穷小代替积中的因子部分。 6、利用函数的连续性求极限，在求极限时如出现∞-∞∞ ∞,,00等类型的未定式时，总是先对函数进行各种恒等变形，消去不定因素后再求极限。 7、利用洛比达法则求极限。 1、()()()35321lim n n n n n +++∞ → 2、???? ? ?---→311311lim x x x 3、122lim +∞ →x x x 4、x x x arctan lim ∞ →

5、x x x x sin 2cos 1lim 0-→ 6、x x x x 30 sin sin tan lim -→ 7、()x x 3cos 2ln lim 9 π → 8、11232lim +∞→??? ??++x x x x 三、 已知(),0112lim =??? ?????+-++∞→b ax x x x 求常数b a ,。 四、 讨论()nx nx n e e x x x f ++=∞→12lim 的连续性。 五、 设()12212lim +++=-∞→n n n x bx ax x x f 为连续函数，试确定a 和b 的值。 六、 求()x x e x f --=111 的连续区间、间断点并判别其类型。 七、 设函数()x f 在闭区间[]a 2,0上连续，且()()a f f 20=，则在[]a ,0上 至少有一点，使()()a x f x f +=。 八、 设()x f 在[]b a ,上连续，b d c a <<<，试证明：对任意正数p 和q ， 至少有一点[]b a ,∈ξ，使 ()()()()ξf q p d qf c pf +=+

(完整版)高等数学第一章测试题10选择(带答案和解析)

高等数学第一章测试题 一、单项选择题 1.0 . (),()x x x x x x βα→→当时，都是无穷小，则当时（,）不一定是无穷小 ()()()x A x αβ+ () 22()()x B x αβ+ ()ln[1()()]x C x αβ+? ()2 ()() x x D αβ 答案：D 2 0() (),()1,. () lim x x x x x x x ααββ→===解析：当时 2 1 2.( )0,,,1 lim x x ax b x a b a b →∞ +--=+则常数的值所组成的数组（）为（）设 10011111A B C D -（）（，）（）（，）（）（，）（）（，） 答案：D 解析： 0)1 1(2 lim =--++∞ →b ax x x x 1 ) 1)((1)11( 2 2 lim lim +++-+=--++∞ →∞ →x x b ax x b ax x x x x 01 1)()1(2 lim =+-++--=∞ →x b x b a x a x 10,0,a a b -=+=则分子的二次项和一次项系数为零: 即1,1-==b a 22 1)32 3(x f x x x -=-+、已知函数， 下列说法正确的是（ ）。

2(A)f(x)有个无穷间断点 ())1(1B f x 有个可去间断点，个无穷间断点 ()2()C f x 有个第一类间断点 ()111()f D x 有个可去间断点，个无穷间断点,个跳跃间断 答案：B 221(1)(1)1 ()32(2)(1)2 x x x x f x x x x x x --++=== -+---解析： 212320,1,2x x x x -+===令得 2.1x x ==是可去间断点，是无穷间断点 4、 是 。 A.奇函数 B.周期函数 C.有界函数 D.单调函数 答案：A ()()f x f x -=-解析： 1()11115. f x x = + +、函数的定义域为＿＿＿＿ A. 0,≠∈x R x 但 1 ,10 .x R B x ∈+≠ 1,0,1,.2x x C R ∈≠-- 0.,,1x R x D ∈≠- x ∈R,但x ≠0,?1 答案：C 解析：略. 6、 答案：C |sin | ()cos x f x x xe -=()x -∞<<+∞的值为 ， 极限)00()1(lim 0≠≠+→b a a x x b x 答（ ） ． ．　a be D e C a b B A a b ) ()(ln )(1)(

专升本高等数学测试及答案(第二章)

高等数学测试（第二章） 一．选择题（每小题２分，共20分） 1 ．设函数0()10 2 x f x x ≠=??=?? 在0x =处（ ） A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导D ．可微 2．设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ）A ．1 B ．2 e C ．2e D ．e 3．设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--等于（ ） A ．0 B ．()f a ' C ．2()f a ' D ．(2)f a ' 4．设x x x f += ??? ??11，x x g ln )(=，则[()]f g x '= （ ） A ． 2) 1(1x + B ．2)1(1x +- C ．1x x + D ．22 )1(x x +- 5．设函数 )(x f 在),(+∞-∞内可导，则下列结论中正确的是 （ ） A ．若)(x f 为周期函数，则)(x f '也是周期函数 B ．若)(x f 为单调增加函数，则)(x f '也是单调增加函数 C ．若)(x f 为偶函数，则)(x f '也是偶函数 D ．若 )(x f 为奇函数，则)(x f '也是奇函数 6．设)(x f 可导，则下列不成立的是 （ ） A ．)0()0()(lim 0 f x f x f x '=-→ B ．)()()2(lim 0 a f h a f h a f h '=-+→ C ．)()()(lim 0 000 x f x x x f x f x '=??--→? D ．)(2)()(lim 0000 x f x x x f x x f x '=??--?+→?

高等数学I(专科类)测试题

考试科目:《高等数学》高起专 一．选择题 (每题4分，共20分) 1. 函数 y = 的定义域是 ( ). (a) (2,6)- (b) (2,6] (c)[2,6) (d)[2,6]- 2. 设11f x x =-（）， 则(())f f x = ( ) (a) 1x x - (b) 12x - (c) 1x - (d) 1x x - 3. 10 lim(12)x x x →- (a) e (b) 1 (c) 2e - (d) ∞ 4. 2 20lim (2) x x sin x → (a) 12 (b) 13 (c) 1 (d) 14 5. 在 0x → 时, sin x x - 是关于 x 的 ( ) (a) 低阶无穷小量 (b) 等价无穷小量 (c) 高阶无穷小量 (d) 同阶但不等价无穷小量 二.填空题(每题4分，共28分) 6. 设2(1)3f x x x -=++, 则 ()f x =___________. 7. 函数()f x = 的定义域是__________ 8. 若(31)1x f x +=+, 则()f x =__________ . 9. 2sin(2)lim 2 x x x →--=_____. 10. 设1,0,()5,0,1tan ,0x x f x x x x -? , 则 0lim ()x f x +→=_______.

11. 4lim(1)x x x →∞-=_____. 12. 3232lim 35 x x x x x →∞+--+=_____. 三.解答题(满分52分) 13. 求 45lim()46 x x x x →∞--. 14. 求 0x →. 15. 求 2sin lim 24cos x x x x x →∞-+. 16. 求 2lim x →-. 17. 求 123lim 24 n n n +→∞-+. 18. 设函数22cos ,0()2,0ln(14)a x x x f x x x x +-≤??=?>?+? , 在 0x = 处极限存在, 求 a 的值。 19. 若 33lim 12 x x ax b →-=++, 试确定常数 ,a b 的值。 附：参考答案： 一．选择题 (每题4分，共20分) 1）a 2）d 3）c 4）a 5）c 二.填空题(每题4分，共28分) 6）2 35x x ++ 7）12x -<<

高数第一章综合测试题复习过程

第一章综合测试题 一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ，则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、 设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 则（ ）为奇函数. （A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x 2、 设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（ ）. （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、 设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x （ ）. （A ）在点2x =，2x =-都连续 （B ）在点2x =，2x =-都间断 （C ）在点2x =连续，在点2x =-间断 （D ）在点2x =间断，在点2x =-连续 4、 设lim 0n n n x y →∞ =，则下列断言正确的是（ ）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散 （B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界 （C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小 （D ）若1n x ?????? 收敛 ，则{}n y 必为无穷小 5、当0x x →时，()x α与()x β都是关于0x x -的m 阶无穷小，()()x x αβ+是关于0x x -的n 阶无

高等数学第二章练习及答案

x) 1 3. 函数f (x) lnx 在x 1处的切线方程是 _______________________ 1 4. 设 f(—) x ,则 f (x) ___ ________ x 3 5. 函数 f (x) sin(cosx )，贝y f (x) ___________________ 6.设函数f(x) ln cosx ，则二阶导数f (x) 、选择题. 1.函数y A 、无定义 不连续 第二章 C 、可导 D 、连续但不可导 2.设函数f (X ) 2x 2 x , 1,x 0 ，则 f (x)在点x 0处 A 、没有极限 B 、有极限但不连续 C 、连续但不可导 D 、可导 3?设函数y f (x)可微, 则当 y dy 与x 相比，是 x 的等价无穷小 x 的同阶无穷小 C . x 的高阶无穷小 x 的低阶无穷小 4.函数 x 3的单调增区间是 中B 、(严,T 3 3 3 C 、(于 5?函数f (x) 1 (e x e x )的极小值点是 ) ) ) ) (0,+ ) ) 不存在 、填空题. 1. 已知(sin x) cosx , 利用导数定义求极限 2、 如果f (x °) 4，则 lim f(x 0 3x) x 0 f (X o )

7. d(arctan2x) ,d In (sin 2x) 四、计算题. 六、应用题. 产品的市场需求量为 q 1000 10 p ( q 为需求量，p 为价格)?试求：(1 )成本函数，收入 函数；(2)产量为多少吨时利润最大? 8.函数f(x) x 3 ax 2 3x 9，已知f (x)在x 3时取得极值，则 a = p 9 ?设需求量q 对价格p 的函数为q(p) 100e ? ，则需求弹性E p 三、判 断题. 1. 若f(x)在点X o 处可导，则f (x)在点X o 处连续. 2. dy 是曲线y f (x)在点(x 0, f (怡))处的切线纵坐标对应于 x 的改变量. 3. 函数y f (x)在x 0点处可微的充要条件是函数在 X 。点可导. 4. 极值点一定是驻点. 5. 函数y x 在点x 0处连续且可导. 1.求函数 y arctan-. 1 x 2的导数. 2.求由方程x y e 2x e y 0所确定的隐函数 y f(x)的导数y . e 3.设 y x ，求 y . 4.求由方程y cos(x y)所确定的隐函数 y f (x)的二阶导数y . 五、求下列极限. (1) lim x x sin x x sin x (2) 4 c 2 lim X x 0 3x 2x si nx 4 ， (3) 01 x x 1 ln x (4) 1 lim( a' X 1)x (a 0), (5) (6) lim (x x 1 X \ X e)x . 1.求函数f (x) x 3 3x 2 9x 1的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点. 2.某厂生产一批产品, 其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为 60元, 对这种

高等数学第一章练习题

第一章函数、极限、连续 一、单项选择题 1.区间[a,+∞)，表示不等式（） 2.若 3.函数是（）。 （A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）既是奇函数又是偶函数 4.函数y=f(x)与其反函数 y=f-1（x）的图形对称于直线（）。 5.函数 6.函数 7.若数列{x n}有极限a,则在a的ε邻域之外，数列中的点（） （A）必不存在 （B）至多只有有限多个 （C）必定有无穷多个 （D）可以有有限个，也可以有无限多个 8.若数列{ x n }在（a-ε, a+ε）邻域内有无穷多个数列的点，则（），（其中为某一取定的正数） （A）数列{ x n }必有极限，但不一定等于 a （B）数列{ x n }极限存在且一定等于 a （C）数列{ x n }的极限不一定存在 （D）数列{ x n }一定不存在极限

9.数列 （A）以0为极限（B）以1为极限（C）以（n-2）/n为极限（D）不存在极限 10.极限定义中ε与δ的关系是（） （A）先给定ε后唯一确定δ （B）先确定ε后确定δ，但δ的值不唯一 （C）先确定δ后给定ε　 （D）ε与δ无关 11.任意给定 12.若函数f（x）在某点x0极限存在，则（） （A） f（x）在 x0的函数值必存在且等于极限值 （B） f（x）在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值 （C） f（x）在x0的函数值可以不存在 （D）如果f（x0）存在则必等于极限值 13.如果 14.无穷小量是（） （A）比0稍大一点的一个数 （B）一个很小很小的数 （C）以0为极限的一个变量 （D）0数 15.无穷大量与有界量的关系是（） （A）无穷大量可能是有界量

七年级数学下册第一章单元测试题及答案

第一章 整式的乘除单元测试 卷（一） 一、精心选一选(每小题3分，共21分) 1.多项式8923 3 4 +-+xy y x xy 的次数是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2.下列计算正确的是 ( ) A. 8 421262x x x =? B. ()() m m m y y y =÷34 C. ()2 2 2 y x y x +=+ D. 342 2 =-a a 3.计算()()b a b a +-+的结果是 ( ) A. 2 2 a b - B. 2 2 b a - C. 222b ab a +-- D. 2 22b ab a ++- 4. 1532 +-a a 与4322 ---a a 的和为 ( ) A.3252--a a B. 382 --a a C. 532---a a D. 582+-a a 5.下列结果正确的是 ( ) A. 9 1 312 -=? ? ? ??- B. 0590=? C. ()17530 =-. D. 8 1 23-=- 6. 若 () 682 b a b a n m =，那么n m 22-的值是 ( ) A. 10 B. 52 C. 20 D. 32 7.要使式子2 2259y x +成为一个完全平方式，则需加上 ( ) A. xy 15 B. xy 15± C. xy 30 D. xy 30± 二、耐心填一填（第1~4题1分，第 5、6题2 分，共28分） 1.在代数式2 3xy ， m ，362 +-a a ， 12 ， 22514xy yz x - ， ab 32 中，单项式有 个，多项式有 个。 2.单项式z y x 4 2 5-的系数是 ，次数是 。 3.多项式51 34 +-ab ab 有 项，它们分别 是 。 4. ⑴ =?5 2x x 。 ⑵ () =4 3y 。 ⑶ () =3 22b a 。 ⑷ () =-425 y x 。 ⑸ =÷3 9 a a 。 ⑹ =??-024510 。 5.⑴=?? ? ??-???? ??325631mn mn 。 ⑵()()=+-55x x 。 ⑶ =-2 2）（b a 。 ⑷( )()=-÷-2 3 5312xy y x 。

高等数学练习题第二章导数与微分

高等数学练习题 第二章 导数与微分 系 专业 班 学号 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3 π ，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点 x 处连续是在该点 x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ]

高等数学第一章测试卷

高等数学第一章测试卷（B ） 一、选择题。（每题4分，共20分） 1.假设对任意的∈x R ，都有)()()(x g x f x ≤≤?，且0)]()([lim =-∞→x x g x ?，则)(lim x f x ∞ →（ ） A.存在且等于零 B.存在但不一定为零 C.一定不存在 D.不一定存在 2.设函数n n x x x f 211lim )(++=∞→，讨论函数)(x f 的间断点，其结论为（ ） A.不存在间断点 B.存在间断点1=x C.存在间断点0=x D. 存在间断点1-=x 3.函数222111)(x x x x x f +--=的无穷间断点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.设函数)(x f 在),(+∞-∞内单调有界，}{n x 为数列，下列命题正确的是（ ） A.若}{n x 收敛，则｛)(n x f ｝收敛 B.若}{n x 单调，则｛)(n x f ｝收敛 C.若｛)(n x f ｝收敛，则}{n x 收敛 D.若｛)(n x f ｝单调，则}{n x 收敛 5.设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞ →∞→∞→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则（ ） A. n n b a <对任意n 成立 B. n n c b <对任意n 成立 C. 极限n n n c a ∞→lim 不存在 D. 极限n n n c b ∞ →lim 不存在 二、填空题（每题4分，共20分） 6.设x x x f x f x 2)1(2)(,2-=-+?，则=)(x f ____________。 7.][x 表示取小于等于x 的最大整数，则=??????→x x x 2lim 0__________。 8.若1])1(1[lim 0=--→x x e a x x ，则实数=a ___________。 9.极限=???? ??+-∞→x x b x a x x ))((lim 2 ___________。 10.设)(x f 在0=x 处可导，b f f ='=)0(,0)0(且，若函数?????=≠+=00sin )()(x A x x x a x f x F 在0=x 处连续，则常数=A ___________。

高等数学(高起专)第1阶段测试题

江南大学现代远程教育2013年上半年第一阶段测试卷考试科目:《高等数学》高起专第一章至第二章（总分100分）时间：90分钟 __________学习中心（教学点）批次：层次： 专业：学号：身份证号： 姓名：得分： 一．选择题 (每题4分，共20分) 1. 函数 y=的定义域是(a ). (a) (2,6) -(b) (2,6](c)[2,6)(d)[2,6] - 2. 设 1 2 f x x = + （），则(()) f f x=( d ) (a) 52 2 x x + + (b) 2 5 x+ (c) 2 x+(d) 2 52 x x + + 3. 1 lim(19)x x x → -= (c) (a) e(b) 9(c) 9 e-(d) ∞ 4. 2 2 lim sin(4) x x x → = ( d) (a) 1 2 (b) 1 3 (c) 1(d) 1 4 5. 在0 x→时, 1cos x -是关于x的( c ) (a) 低阶无穷小量(b) 等价无穷小量(c) 高阶无穷小量(d) 同阶但不等价无穷小量

二.填空题(每题4分，共28分) 6. 设(5)3f x x =-, 则 ()f x =_____ 35x -______. 7. 函数()f x = 的定义域是_____12x -<<___ 8. 若(31)1f x x +=+, 则()f x =_____ 233x +_____ . 9. 3sin [2(3)] lim (3)x x x →-++=___2__. 10. 设34,0, ()5,0,12tan ,0x x f x x x x -? , 则 0lim ()x f x +→=____1___. 11. 24lim (1)x x x +→∞- =___4e -__. 12. 32332lim 325x x x x x x →∞+--+=___1 3__. 三.解答题(满分52分) 13. 求 47lim ( )48 x x x x →∞--. 解：1(48)484471lim ( )lim (1)4848x x x x x x x e x x --→∞→∞-=+ =-- 14. 求 02 lim sin 3x x →. 解：002 21lim ( )lim sin 36x x x x →→== 15. 求 32sin lim 254co s x x x x x →∞+-+-. 解：3 2sin 132sin 1lim lim 5 4co s 254co s 2 2x x x x x x x x x x x x →∞→∞+-+-==+-+-

高等数学第二章测试题

高等数学第二章习题 一 、选择填空（一个3分，共24分） 1、 已知,01lim 2=??? ? ??--+∞→b ax x x x 则（ ） （A ）1,1==b a （B ）1,1-=-=b a （C ）1,1=-=b a （D ）1,1-==b a 2、函数32)2)(23()(++-=x x x x x x f 有（ ）个不可导点。 （A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4 3、设)2004()2)(1()(---=x x x x x f ，则=)0(/f （ ） （A ） !2003- （B ）!2004- （C ）!2003 （D ） !2004 4、设?????=≠=0,0 0,1sin )(x x x x x f k ，在0=x 点处，下面叙述错误的是（ ） （A ）0>k 时连续（B ）1>k 时连续不可导（C ）1>k 时可导（D ）2>k 时导函数连续 5、设)(x f 在1=x 点处可导，且0)1(=f ，下列等式不等于)1(/f 的是 （A ）2 20)tan (cos lim x x x f x +→ （B ）20)(cos 2lim x x f x -→ （C ）) 1(4)sin 31()sin 1(lim 0---+→x x e x f x f （D ）220)1(lim x x f x --→ 6、设2 1)(0/=x f ，则0→x ?时，该函数在0x x =处的微分dy ( ) （A ）是 x ?的高阶无穷小 （B ）是 x ?的低阶无穷小 （C ）是 x ?的等价无穷小 （D ）是 x ?的同阶阶无穷小 7、设)(x f 在0x x =处可导，)(x g 都在0x x =处不可导，则叙述错误的是（ ） （A ）)()(x g x f +在0x x =处不可导 （B ）)()(x g x f -在0x x =处不可导 （C ）)()(x g x f 在0x x =处不可导 （D ）)()(x g x f 在0x x =处不一定不可导 8、下面叙述错误的是（ ）。 （A ）)(x f 在0x x =处可导，则)(x f 在0x x =处有切线。 （B ）)(x f 在0x x =处不可导，则)(x f 在0x x =处就没有切线。 （C ）)(x f 在0x x =处导数为无穷大，则)(x f 在0x x =处有切线。 （D ）)(x f 在0x x =处左右导数存在不相等，则)(x f 在0x x =处就没有切线。 二 、填空（1个4分，共32分） 1、如果?? ???=≠-+=0,00,12sin )(2x x x e x x f ax 在),(+∞-∞内连续，则_______________=a 2、已知21)]([,sin )(x x f x x f -==φ，则)(x φ的定义域为______________ 3、曲线???=+=32 1t y t x 在2=t 处的切线方程为___________________________ 4、若))((),1ln()(2x f f y x x f =+=，则_______________________/=y 5、 设曲线n x x f =)( 在点)1,1(处的切线与x 轴的交点为)0,(n u ，则___)(lim =∞→n n u f 6、设x xe x f =)(，则______________)0() (=n f 7、设y x y +=tan ，则________________=dy

高等数学第七版课后练习题

高等数学第七版课后练 习题 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

第一章、函数、极限与连续 1、已知函数2,02()2,24x f x x ≤≤?=?-<≤? ，试求函数g()(2)(5)x f x f x =+-的定义域。 2、设函数()y f x =的定义域是[]0,8，试求3()f x 的定义域。 3、已知函数[]()12f x 的定义域，，试求下列函数的定义域。 4、要使下列式子有意义，函数()f x 应满足什么条件 5、求下列函数的定义域。 6、在下列各对函数中，哪对函数是相同的函数。 7、设函数()2,()55x f x g x x ==+，求1(1),(),(()),(())f x g f g x g f x x x +-的表达式。 8、设2()23,()45f x x g x x =+=-，求(()),(()),(())f g x g f x f f x 的表达式。 9、设2211(),()f x x f x x x +=+求。 10、设(1)(1),()f x x x f x -=-求。 11、下列函数中，那哪些是奇函数，哪些是偶函数哪些是非奇非偶函数。 12、判断下列函数的奇偶性。 13、求下列函数的周期。 14、下列函数能够复合成一个函数。 15、函数13ln sin y y x ==，由哪些较简单的函数复合而成。 16、设()1x f x e =+，函数2(2)()1x x x φ+=+，求1(())f x φ-。 17、下列函数的极限。 18、求下列函数的极限。 19、求下列函数的极限。 20、求下列极限。 21、求下列函数的极限。

高等数学第一章1

高数第一周测试题 出题人：洪义伟姜继伟贾西南马刚 一、选择题 1. 数列有界是函数收敛的（） A 充要条件 B 必要条件 C 充分条件D即非充分条件又非必要条件 2.根据limXn=a的定义，对任给ε＞0，存在正整数N，使得对于n＞N的一切Xn，不等式|Xn—a|＜ε都成立，这里的N（） A 是ε的函数N（ε），且当ε减小时N（ε）增大 B 与ε有关，但ε给定时N并不唯一确定 C 是由ε所唯一确定的 D 是一个很大的常数，与ε无关 3. f(x)=在其定义域（—∞，+∞）上是（） A 最小正周期为3π的周期函数 B 最小正周期为的周期函数 C 最小正周期为的周期函数D非周期函数 5.函数f（x）=（x∈R）的值域是（） A (0，1) B (0，1] C [0，1) D [ 0 , 1 ]

7.函数f(x)=x2-mx+5在区间[-2,+∞]上是增函数，在区间（-∞，-2）上是增函数，则f（1）等于( ) A -7 B 1 C 17 D 25 8.下列函数是无穷小量的是（） ( ) A g(2)>g(-1)>g(-3) B g(2)>g(-3)>g(-1) C g(-1)>g(-3)>g(2) D g(-3)>g(-1)>g(2)

A 1 B ∞ C 2 D 0 二、填空题 13.求 的定义域＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 14. 已知求f (5)＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 15.数列 的极限＿＿＿＿＿＿。 16.求函数 的极限＿＿＿＿＿＿。 三、 解答题 17.求函数 在指定定义域下的单调性。 18.求 的极限。 19.用数列极限的定义证明 。 20.用函数极限的定义证明 。 21.根据定义证明 22.求 的极限。 ???<+≥-=8,)]5([8 ,3)(x x f f x x x f