信号与系统考试重点
1.
①计算周期信号的周期 几点说明: ①若x （t ）是周期的，则x （2t ）也是周期的，反之也成立②对于f [k ]=cos[Ωk ]只有当|Ω|/2π为有理数的时候，才是一个周期信号③设x1（t ）和x2（t ）的基本周期分别是T1和T2，则x1+x2是周期信号的条件是
12
T T =
k m
为有理数（k ，m 为互素正整数）周期是T=m 1T =k 2T
思考：周期分别为3和5的两个离散序列的卷积和的周期为多少？为什么？
与 功率信号（公式见书4p ）
E 。若为有限值则为能量信号。否则，计算功率P ，若为有限值则为功率信号。否则，；两者都不是。
注：一个信号不可能既是能量信号又是功率信号，但可能既不是能量信号也不是功率信号。
思考：确定下述论点正确与否，并简述理由。 （1）所有非周期信号都是能量信号。 （2）所有能量信号都是周期信号。
（3）两个功率信号之积总是一个功率信号。 （4）两个功率信号之和总是一个功率信号。
(1)错；双边信号一般是功率信号，甚至不是能量，也不是功率信号，如e^2t (2)错；因为：周期信号一定是 功率信号
(3)错;假设2个 信号周期 相等，其中一个 前半周期不等于0，后半周期=0；另一个则相反；相乘后，恒等于=0哦！但是大部分情况下，是 对的！ (4)错；可能相加后
恒等于 0哦；但是大部分情况下，是 对的！ 2.LTI 系统（考试难点）
（1）当系统的微分方程是常系数的线性微分方程时，系统为线性时不变系统。 （2）一般情况下，可分别判断系统是否满足线性和时不变性。 判断系统是否线性注意问题：
1．在判断可分解性时，应考察系统的完全响应y (t )是否可以表示为两部分之和，其中一部分只与系统的初始状态有关，而另一部分只与系统的输入激励有关。 2．在判断系统的零输入响应()x y t 是否具有线性时，应以系统的初始状态为自变量（如上述例题中y (0))，而不能以其它的变量（如t 等）作为自变量。 3．在判断系统的零状态响应()f y t 是否具有线性时，应以系统的输入激励为自变量（如上述例题中f (t )），而不能以其它的变量（如t 等）作为自变量。 判断系统是否为时不变系统注意问题：
判断一个系统是否为时不变系统，只需判断当输入激励f (t )变为f (t -t 0)时，相应的输出响应y (t )是否也变为 y (t -t 0)。由于系统的时不变特性只考虑系统
的零状态响应，因此在判断系统的时不变特性时，不涉及系统的初始状态。 例题：1 断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统? 分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有均匀性和叠加性。可以证明： 系统不满足均匀性；系统不具有叠加性；此系统为非线性系统。 2 判断系统是否为线性非时变系统是否为线性系统？
可见,先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算,所以此系统是线性系统 是否为时不变系统？
可见, 时移、再经系统 经系统、再时移，,所以此系统是时变系统。 因果系统的判断：当前的输入与当前时刻以后的输入无关 稳定系统的判断：有界输入推出有界的输出
例; ()()()系统．代表的系统是否是因果
微分方程2-+=t e t e t r
解：0=t ()()()200-+=e e r 现在的响应=现在的激励+以前的激励 该系统为因果系统。 ()()()系统．代表的系统是否是因果
微分方程2++=t e t e t r
解; 0=t ()()()200++=e e r 存在未来的激励 所以该系统为非因果系统 判断r （t ）=e （t ）+1是否为因果的，线性的，时不变的，稳定的，起始状态为0 解 因果的：因为当前的输入和当前时刻以后的输出无关
3.信号分解
, )(5)(10d )
(d >=++t t e t r t
t r ()()t f t t y ?=
()()[]t f C t f C t 2
211+?
()()
t tf C t tf 2211+)()ττ--t f t ()τ-?t f t
交直流分量
奇分量和偶分量
实部分两和虚部分量
4连续时间信号基本计算（3540p p -）
信号的尺度变换 信号的翻转 信号的平移 信号相加 信号相乘 信号的微分 信号的积分
考点 由f （t ）和f （t+2）推出两个之间的变换关系
5 奇异函数 奇异信号 单位阶跃信号 冲激信号 斜坡信号 冲激偶信号 注意：'δ的意义 及公式 )()(')(')()(')(00000t t t f t t t f t t t f ---=-δδδ
)('d )(')(00t f t t t t f -=-?
∞
∞
-δ 0)( )('1
)('≠=
αδα
ααδt t
)(')('t t --=δδ
?∞
∞
-=0d )('
t t δ
冲激信号的几个特性
③ 展缩特性)0( )(1
)(≠=
αδα
αδt t
④ 卷积特性 ()*()()()d
f t
g t f g t τττ+∞-∞=-?
⑤冲激信号与阶跃信号的关系
?∞
-??
?<>=t
t t 0
00 1d )(ττδ（①②点要注意 计算过程可能会涉及
其他各点也要熟练掌握 可能会涉及）关于②点涉及的计算的两点说明1. 冲激信号δ(t -t 0)的t =t 0时刻，则积分结果必为零。
2.对于δ(at +b )形式的冲激信号，要先利用冲激信号的展缩特性将其化为1/|a |δ(t +b /a )形式后，方可利用冲激信号的取样特性与筛选特性。
6 第三章的经典法理解方法和过程 计算应该不会出
ppt 上的一道例题已知某线性时不变系统在f 1(t )激励下产生的响应为y 1(t ) ，试求系统在f 2(t )激励下产生的响应 y 2(t ) 。
2(t )
t
-11
1()f t
1()y t =2()t
e u t - 2()
f t
t
t
从f 1(t )和f 2(t )图形可以看得出，f 2(t )与f 1(t )存在以下关系τ
τd )()1()(11
)
1(12f t f t f t ?
+∞
--=
+=根据线性时不变性质，y 2(t )与y 1(t )之间也存在同样的关系
ττd )()(11
2y t y t ?
+∞
-=
)1()e
1(5.0)
1(2+-=+-t u t
7 卷积法 )()()(t y t y t y f x +=全响应=)(t y x +)(*)(t h t f
思考:由)()()(11t y t y t y f x += )()()(22t y t y t y f x += 求)(t h 和)(t y x [同一个系统的
)(t y x 是一样的]
注意:在时域卷积和频域卷积中，通常会遇到两个矩形脉冲的卷积问题。此时可以利用下述结论：两个相同高度的矩形脉冲信号的卷积结果为三角形脉冲，宽度为矩形脉冲宽度的两倍，高为两个矩形脉冲高度和矩形脉冲宽度三者的乘积；两个不同宽度的矩形脉冲信号的卷积结果为梯形脉冲，下底宽度为两个矩形脉冲宽度之和，上底为两个之差，高为两个矩形脉冲高度和最小矩形脉冲宽度三者的乘积 8 卷积的计算（75p ）
卷积求法有5种;一是直接用卷积定义。二是利用卷积的微积分特性。三是图解法。四是利用其一函数的卷积性质。五是利用拉氏变换或傅氏变换的时域卷积定理然后求逆变换。 注意：①两个因果讯号的卷积仍然为因果信号②卷积的结合律和分配律未必成立，因为两个信号的卷积可能不存在 9 因果性的判断
因果连续时间LTI 系统的冲激响应必须满足0,0)(<=t t h 因果离散时间LTI 系统的单位脉冲响应必须满足0,0][<=k k h
例：判断][11
][2
1
21n k f M M k y M
M n -++=
∑
-=是否为因果系统。
系统的单位脉冲响应为][11
][2
1
21n k M M k h M
M n -++=
∑
-=δ 即
???≤≤-++=其它
0)1/(1][2
121M k M M M k h 显然，只有当M 1 = 0时，才满足 h [k ]=0,k <0 的
充要条件。即当M 1 = 0时，系统是因果的 10 稳定性的判断
连续时间LTI 系统稳定的充分必要条件是∞<=?∞∞-S h ττd )(
离散时间LTI 系统稳定的充分必要条件是∞<=∑
∞
-∞
=S k h k ][
例 判断上面例题是否为稳定系统
对h [k ]求和，可得
11
1][212
1
=++=
∑
∑
∞-∞
=-=k M
M k M M k h 由离散时间LTI 系统稳定的充分必要
条件可以判断出该系统稳定。 Fourier 变换（选择，填空）
11 fourier 变换物理意义（理解）
周期信号f (t )可以分解为不同频率虚指数信号之和 12 傅里叶级数
t
n n n
C
t f 0j =e
)(ω∑∞
-∞
=
t t f T
C T
T t
n n d e
)(1 22
j 0?
--=
ω
实函数的指数傅里叶
系数的摸是偶函数及相位是奇函数 )sin c os (2
)(1
000∑∞
=++
=
n n n
t n b t n a
a t f ωω若 f (t )为实函数，则有
*
-=n n C C 其中
02
a 称为直流分量或恒定分量
∑∞
=++
=1
00cos 2
)(n n n
t n A
a t f ）（?ω 2
2n n n b a A +=
???
?
??-=n n
n a
b arctg ?a 0/2称为信号的直流分量，An cos(n ω0 t + ?n ) 称为信号的n 次谐波分量。 例)4cos(3)(0+=t t f ω求 Cn 解 )4cos(3)(0+=t t f ω())
4(j )
4(j 00e
e
213+-++?=t t ωω t
t
00j 4
j j
4
j e
e
2
3e
e 2
3ωω--+
=
根据指数形
式傅里叶级数的定义可得4
j 14
j 1e
2
3,
e 2
3--=
=
C C 1,
0±≠=n C n
每条谱线，都只能出现在基波频率的整数倍的频率上。周期信号三角函数形式傅里叶级数展开后的频谱为单边频谱,而指数形式展开后的频谱为双边频谱 13 利用性质计算
1 傅里叶级数的基本性质
线性特性n n C a C a t f a t f a 22112211)()( ?+?→?+?时移特性n t n C t t f 0
0j 0e )( ω-→-
卷积性质n n C t f C t f 2211)( , )(→→则n n C C T t f t f 21021)(*)( ?→ 微分特性n C n t f 0j )
('ω→ 若
对称特性 若f (t )为实信号|||| n n C C -=则 n n --=?? 纵轴对称周期信号其傅里叶级数展
呈现出某种对称特性（详细见书121p ） 题型：由()n f t C ?求
1?2
n C ?
2.傅里叶变换的基本性质（书168p ）
思考：1f （t ）是周期偶函数，则其傅里叶级数只有偶次谐波（x ） f （t ）是周期偶函数，则其傅里叶级数只有余弦分量（x ） f （t ）是周期奇函数，则其傅里叶级数只有奇次谐波 （x ）
f （t ）是周期奇函数，则其傅里叶级数只有正弦分量（√） 2 周期信号的频谱一定是离散谱 冲击信号的频谱是均匀谱 周期奇函数的傅里叶级数中，可能只含有正弦项 3（考试题型） 求f （t ）【0
()(1c o s )|A
f t wt
t
π=-】
14H (j w )
①)(j |)j (|)j (ωθωωe H H = H (j w )称为系统的频率响应
②H (j w )的物理意义 H (j w )反映了系统对输入信号不同频率分量的传输特性。
)]([)j (t h F H =ω
③正弦信号通过系统的响应))(sin()j ()}{sin(0000θωφωωθω++=+t H t T
))(cos()j ()}{cos(0000θωφωωθω++=+t H t T
正、余弦信号作用于线性时不变系统时，其输出的零状态响应y (t )仍为同频率的正、余弦信号
（考试题型）求()2
1
jw
jw +幅频和相频
15 抽样定理
若连续信号f (t )
的频谱函数为F (j ω)，则抽样信号)()()(t t f t f T s δ?=的频谱函数Fs (j w 为
j 1(j )[j()]()k T
s s n k F F n f kT e
T
ωωωω+∞
+∞
=-∞
=-∞=
-=
∑
∑
且序列f [k ]的频谱等于抽样信号的
频谱，即有j j () (j )[] ()k
s k F e F f kT e
T ωω+∞
Ω
-Ω=-∞
==Ω=∑
其中： T 为抽样间隔，
ws =2p /T 为抽样角频率。
若带限信号f (t )的最高角频率为ωm ，则信号f (t )可以用等间隔的抽样值唯一地表示。而抽样间隔T 需不大于1/2f m ，或最低抽样频率f s 不小于2f m 。若从抽样信号fs (t )中恢复原信号f (t )，需满足两个条件：(1) f (t )是带限信号，即其频谱函数在|w |>w m 各处为零；(2) 抽样间隔T 需满足 )2/(1/πm m f T =≤ω或抽样频率fs 需满足 fs ≥ 2f m （或ωs ≥ 2ω m ） 。f s = 2f m 为最小取样频率
信号理想抽样模型
]
例 已知实信号f (t )的最高频率为f m (Hz)，试计算对各信号f (2t )， f (t )*f (2t )， f (t )?f (2t )抽样不混叠的最小抽样频率。
根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得：对信号f (2t )抽样时，最小抽样频率为
4f m(Hz) 对f (t )*f (2t )抽样时，最小抽样频率为2f m(Hz)
对f (t )?f (2t )抽样时，最小抽样频率为6f m(Hz)
求解步骤：1) 经拉氏变换将域微分方程变换为s 域代数方程 2) 求解s 域代数方程，求出Yx (s ), Yf (s ) 3) 拉氏反变换，求出响应的时域表示式
Ppt 上例题：系统的微分方程为 y ''(t ) + 5y '(t ) + 6y (t ) = 2f '(t ) + 8f (t )激励 f (t ) = e -tu (t )，初始状态y (0-)=3， y '(0-)=2，求响应y (t )。 （0,e
7e
7e
3)()()(32≥-+=+=---t t y t y t y t
t
t
x f ）
y [k ]-4y [k -1]+4y [k -2] = 4(-3)ku [k ] y [-1]=0 ，y [-2]=2，求yx [k ]、yf [k ]、y [k ]。 （2
1
2
1
1
441)(4441]2[4]1[4]1[4)(-----+-+
+------=
z
z
z F z
z
y y z
y z Y ）
y [k ]-4y [k -1]+4y [k -2] = 4(-3)ku [k ] y [-1]=0 ，y [-2]=2，求yx [k ]、yf [k ]、y [k ]。 12
8()(12)
x Y z z --=
- yf [k ]=[3.2k (2)k -1+2.56(2)k +1.44(-3)k ]u [k ]
已知一LTI 离散系统满足差分方程
2[]3[1][2][][1][2]0
[1]2,[2]1,[][]
y k y k y k f k f k f k k y y f k u k +-+-=+---≥??
-=-=-=?
（2
1
1
32]
2[]1[]1[3)(---++-+-+--
=z
z
y z
y y z Y )(3212
1
21
z F z
z
z
z
----++-++
）
已知一LTI 离散系统满足差分方程
??
?=-=-=-≥-+++=++++]
[][,1]2[,2]1[0
][]1[]2[][]1[3]2[2k u k f y y k k f k f k f k y k y k y
（][})5.0)(3/4()1(5.36/1{][][][k u k y k y k y k
k
f x -+--=+=）
18 )
()()]
([)]([)(s F s Y t f L t y L s H f f ==H (s )与h (t )的关系)]([)(t h L s H =
求H (s )的方法
① 由系统的冲激响应求解：H (s )=L [h (t )] ② 由定义式)]
([)]([)(t f L t y L s H f =
③ 由系统的微分方程写出H (s )
19 零极点 利用零极点求收敛域
由零极点反推回微分方程 部分分式法求Laplace 反变换 20因果性和稳定性判断
离散LTI 系统稳定的充要条件是
∞<∑
∞
-∞
=][k h k 由H (z )判断系统的稳定性：H (z )的收敛
域包含单位圆则系统稳定。因果系统的极点全在单位圆内则该系统稳定。 21 由框图求表达式或者由表达式求框图 22 利用拉氏变换性质求拉氏变换
曾栋
2009.05.28
附表1：可能用到的傅立叶变换和拉氏变换
附表2：可能用到的Z变换