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反例法在概率论教学中的作用反例法是一种证明方法，通过举出一个与原命题相反的例子，推翻原命题的正确性，从而证明原命题是错误的。
反例法在概率论教学中也有广泛的应用，它可以帮助学生理解概率的基本概念，及时纠正错误的思维方式，提高概率论学习的效果。
在概率论的初学阶段，学生常常会犯一些常见的错误，比如混淆概率与频率、认为随机事件之间独立无关、将互相矛盾的事件作为同一事件等等。
当这些错误的思维方式根深蒂固时，会影响到学生对概率论基本概念的正确认识，进而影响到后续内容的学习。
因此，及时纠正错误的思维方式十分必要。
这时，反例法就能够发挥重要作用。
以混淆概率与频率为例，学生经常会将概率理解为频率，认为在某一次实验中，某个事件发生的概率就等于该事件在实验中发生的频率。
为了纠正这种错误的观念，老师可以给学生举出反例。
比如，假设有两个生产球的车间，A车间每生产100个球中就有10个球是不合格的，而B车间每生产100个球中就有5个球是不合格的。
学生可能会认为，由于B车间生产的不合格率低于A车间，因此在产生一个不合格球的概率上，B车间也要明显低于A车间。
但是，实际上，如果在某一次实验中，随机选择一个车间生产的球，发现选中了不合格球，那么这个球很可能就是来自A车间，因为A车间生产的不合格球数量更多。
这个例子就可以让学生看到，在实际的生产中，不合格球来自A车间的概率要高于B车间，这说明概率和频率是没有直接关系的，从而纠正学生混淆概率与频率的错误观念。
再以将互相矛盾的事件视为同一事件为例，比如抛硬币时正面向上和反面向上是互相矛盾的事件，但有些学生会将其视为同一事件，认为抛硬币时，硬币一定会有正面向上或反面向上之一。
针对这种错误，可以给学生举出反例，比如有一种特殊的硬币，它可以同时把正面和反面都朝上，这个时候，正面向上和反面向上就不再是互相矛盾的事件了。
通过这个例子，学生可以看到互相矛盾的事件是不同的事件，而不是同一个事件的不同结果。
反例法在概率论教学中的作用
反例法是一种证明方法，即通过构造一个与要证明的命题相反的例子来证明该命题不成立。
在概率论教学中，反例法也经常被用来让学生更深入地理解概率论中的概念和原理。
首先，反例法可以帮助学生理解概率论中的定义和公式。
由于概率论中存在很多抽象而又不易直观理解的概念，例如条件概率、期望值、方差等等，学生往往很难通过公式和定义来理解它们的本质。
但是，通过举例说明这些概念的意义和作用，例如如果某个事件的概率为0，则这个事件肯定不会发生，可以让学生更深刻地体会这些概念。
反例法可以帮助学生从具体的实例中理解抽象的概念，从而更好地掌握概率论的基础知识。
其次，反例法可以帮助学生识别和避免常见的错误和误解。
在学习概率论的过程中，学生容易陷入某些常见的误解，例如把独立事件看成同等重要或者将条件概率的分母看成整个样本空间等等。
通过举出一些反例，可以让学生更加清楚地看到这些错误的本质和后果，从而避免在实际应用中出现类似的错误。
最后，反例法可以帮助学生提高创新思维和分析能力。
概率论中存在很多复杂的问题和难解的谜题，例如蒙提霍尔问题、生日悖论等等。
这些问题虽然看似玄妙难解，但是通过反例法可以让学生发掘问题的本质，找到其中的规律和思路。
通过这样的训练，学生可以进一步提高自己的创新思维和分析能力，在以后的学习和工作中更容易面对复杂的问题和挑战。
总之，反例法在概率论教学中具有重要的作用，可以帮助学生更好地掌握概率论的基础知识，减少错误和误解，提高创新思维和分析能力。
因此，在概率论的教学中，可以充分利用反例法这种证明方法，引导学生更深入地理解概率论的本质和应用价值。
概率统计中的反例前言第一章 随机事件及其概率1． 同一问题的概型未必唯一2． 事件间的关系（1） 由C B A =-推不出 C B A ⋃=（2） 由C B A ⋃=推不出C B A =-（3） CB AC B A -≠-⋃)()(3． 概率为零的事件未必是不可能的事件 4． 由概率关系推不出事件间关系5． 试验次数多概率就一定大吗？6． 概率与抽样方式是否有关7． 事件概率与试验的先后次序是否有关第二章 随机变量极其分布1． 离散型分布的最可能值是否唯一2． 单调不降右连续是分布函数的必要而非充分条件3． 既非离散型又非连续型的分布函数是否存在4． 具有无记忆性的离散型分布是否存在5． 不几乎相等的随机变量是否有相同的分布6． 联合分布与其边缘分布未必是同类型分布7． 边缘分布不能决定联合分布8． 不同的联合分布可具有相同的边缘分布9． 正态边缘分布可由非正态联合分布导出10. 均匀分布不具有可加性11. 分布函数之和不是分布函数第三章 独立性与相关性相容性1． 两两独立但不相互独立2． P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立，但A,B,C 不两两独立3． 独立关系不具有传递性4． 随机变量不独立，但其函数可以独立5． X 与Y 不独立，但2X 与2Y 独立6． X 与Y 不独立，但有相同分布7． 既不相关也不独立的随机变量8． 随机变量独立但它们的函数未必独立9． 独立性与相容性10. 独立同分布的随机变量是否必相等11. 有函数关系的随机变量是否一定不独立第四章 随机变量的数字特征1． 随机变量的数学期望未必都存在2． 随机变量的方差未必都存在3． 数学期望存在但方差不存在4． X 的函数的期望是否等于X 的期望的函数5． X 的各阶矩都存在也不能确定X 的分布函数6． 满足E(XY)=E(X)E(Y)的X,Y 未必独立第五章 参数估计与假设检验1．矩估计是否有唯一性2．矩估计不具有“不变性”3．极大似然估计是否有唯一性4．似然方程的解未必是极大似然估计5．参数估计的无偏性与一致性有无关系6．无偏估计是否唯一7．零假设与备择假设是否处于对等的地位前言数学是由两个大类——证明和反例组成数学发现主要是提出证明和构造反例从科学性来讲反例就是推翻错误命题的有效手段从教学上而言反例能够加深对正确结论的全面理解【美】B.R.盖尔鲍姆曾说“一个数学问题用一个反例予以解决给人的刺激犹如一出好的戏剧”相信读了《概率统计中的反例》后我们大家都会有这一同感第一章随机事件及其概率1．同一问题的概型未必唯一概型（Schema）是随机现象的数学形式，它不是实际本身，而是实际的数学抽象。
反例法在概率论教学中的作用反例法在概率论教学中起着重要作用。
在概率论中，我们经常需要证明某一个结论或命题，而反例法是一种查错方法，可以帮助我们找出错误的地方，从而更好地理解和掌握概率论的知识。
一、反例法的基本思想反例法是一种以反证的方式，通过构造出反例来证明某个命题不成立，从而推出正确的结论。
其基本思想就是先假设要证明的命题成立，然后找出一个与此相反的实例，从而推翻这个假设，证明这个命题不成立。
通常我们可以采用分类讨论、举例法等方法来构造出这样的反例。
在概率论中，我们经常需要证明各种概率性质、公式、定理等。
这些结论的正确性对于我们学习掌握概率论知识是非常重要的，因此我们需要采用一些科学的证明方法来确保这些结论的正确性。
在这个过程中，反例法就是一种非常有效的方法。
以简单随机抽样为例，假设有一个箱子里面有10个球，其中3个是红色的。
现在我们要从这个箱子中随机抽取5个球，那么这5个球中有2个红球的概率是多少呢？根据概率论的知识，我们可以用组合数的方法计算出这个概率是10/42，约为0.238。
但是，我们如何验证这个结论的正确性呢？这时就可以采用反例法来证明。
首先假设这个结论不成立，也就是说，有可能我们从这个箱子中随机抽取5个球，恰好有两个红球，但是这个事件的概率却不等于10/42。
那么我们可以构造出一个实例来验证。
例如，假设我们从这个箱子中抽取到的5个球分别是：红、红、黑、黑、黑。
这种情况下，我们可以看到，从这个样本中恰好有2个红球，但是这个事件的概率并不等于10/42，而是3/14，也就是说，原本要证明的结论是错误的。
这个例子就是通过反例法来验证这个命题的正确性的。
三、反例法的优势与不足反例法虽然是一种有效的证明方法，但是也存在一些不足之处。
首先，我们需要通过严格的逻辑推理来构造反例，这需要一定的数学功底和思维能力。
其次，反例法只能用来证明结论不成立，而不能证明结论成立。
最后，反例法具有一定的主观性，因为我们构造的反例也可能受到一些因素的影响，从而得到不同的结果。
反例法在概率论教学中的作用作者：王翠来源：《科技风》2019年第22期摘要：反例法在数学教学过程中有着非常重要的作用，它不仅能够澄清数学概念和定理，而且还能帮助学生学习数学基础知识。
本文对反例法进行了简单的介绍，并且分析了反例法在概率论教学中的作用，希望有助于数学教师将反例合理应用到概率论教学中，从而不断提升其教学水平，增强学生对相关知识的理解。
关键词：反例法;概率论;教学;作用概率论的主要作用是对大量随机现象的统计规律进行相关研究，概率论中的理论知识非常严谨，而且在生活工作中有着非常广泛的应用，是高等院校数学系学生的一项必修科目，同时部分高等院校的非数学专业也开设概率论这一课程。
通常情况下，数学教师在进行概率论教学时，都是采用正面陈述或者证明的方式来向学生讲解相关理论，但是这种方式有时并不能让学生比较清晰准确的掌握相关知识，而运用反例法来辅助概率论的教学，不仅能够有效纠正学生对相关知识的错误认知，还能够加深学生对基本理论知识的理解，并且激发其学习概率论的兴趣，因此本文对反例法在概率论教学中的作用进行了相关研究。
一、反例法概述数学中的反例，事实上就是为了指出某个命题不成立而举出的一种例子，这种例子往往符合该命题的相关条件，但是却不符合该命题的结论。
而从某个角度來说，在一定条件下所有例子都可以成为反例，因为没有一个命题可以在任何条件下都成立。
数学教学中所说的反例，是以某些已经被证实的数学理论和逻辑推理为前提的，反例其实也是一种命题证明方法，只不过它的目的是为了证明某个命题不成立[1]。
通常情况下，一个假命题会有很多个反例，但是我们在举反例时只要选择其中的一个即可。
反例不仅是一种推翻错误命题的手段，而且还能有效促进数学理论的发展，比如新积分理论的产生就是在相关反例的启发下被发现的。
二、反例法在概率论教学中的作用（一）加深学生对基本概念的认识概率论是一门比较复杂的学科，其中很多理论概念都十分抽象，但是这些抽象的理论概念又是学生学习概率论方法的基础条件，如果学生无法准确的掌握这些理论，就可能无法理解概率论运算中的一些方法，由此可见基本概念的理解在概率论学习中有着非常重要的作用[2]。
概率统计中的反例概率统计中的反例前言第一章随机事件及其概率1．同一问题的概型未必唯一 2．事件间的关系（1）由C B A =- 推不出 C B A ?= （2）由C B A ?=推不出C B A =- （3） C B A C B A -≠-?)()(3．概率为零的事件未必是不可能的事件4．由概率关系推不出事件间关系 5．试验次数多概率就一定大吗？ 6．概率与抽样方式是否有关7．事件概率与试验的先后次序是否有关第二章随机变量极其分布1．离散型分布的最可能值是否唯一2．单调不降右连续是分布函数的必要而非充分条件3．既非离散型又非连续型的分布函数是否存在4．具有无记忆性的离散型分布是否存在 5．不几乎相等的随机变量是否有相同的分布 6．联合分布与其边缘分布未必是同类型分布 7．边缘分布不能决定联合分布8．不同的联合分布可具有相同的边缘分布9．正态边缘分布可由非正态联合分布导出10. 均匀分布不具有可加性11. 分布函数之和不是分布函数第三章独立性与相关性相容性1．两两独立但不相互独立2． P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立，但A,B,C 不两两独立 3．独立关系不具有传递性4．随机变量不独立，但其函数可以独立5． X 与Y 不独立，但2X 与2Y 独立 6． X 与Y 不独立，但有相同分布 7．既不相关也不独立的随机变量8．随机变量独立但它们的函数未必独立 9．独立性与相容性10. 独立同分布的随机变量是否必相等11. 有函数关系的随机变量是否一定不独立第四章随机变量的数字特征1．随机变量的数学期望未必都存在2．随机变量的方差未必都存在3．数学期望存在但方差不存在4．X的函数的期望是否等于X的期望的函数5．X的各阶矩都存在也不能确定X的分布函数6．满足E(XY)=E(X)E(Y)的X,Y未必独立第五章参数估计与假设检验1．矩估计是否有唯一性2．矩估计不具有“不变性”3．极大似然估计是否有唯一性4．似然方程的解未必是极大似然估计5．参数估计的无偏性与一致性有无关系6．无偏估计是否唯一7．零假设与备择假设是否处于对等的地位前言数学是由两个大类——证明和反例组成数学发现主要是提出证明和构造反例从科学性来讲反例就是推翻错误命题的有效手段从教学上而言反例能够加深对正确结论的全面理解【美】B.R.盖尔鲍姆曾说“一个数学问题用一个反例予以解决给人的刺激犹如一出好的戏剧”相信读了《概率统计中的反例》后我们大家都会有这一同感第一章随机事件及其概率1．同一问题的概型未必唯一概型（Schema ）是随机现象的数学形式，它不是实际本身，而是实际的数学抽象。
在概率论中，“a并b的逆的概率”，又称“a与b互斥的概率”，是指事件a和事件b不能同时发生的概率。
换句话说，它是事件a或事件b发生的概率的补集。
对于两个事件a和b，其互斥的概率可以表示为：P(a和b互斥) = 1 - P(a和b)其中，P(a和b)是a和b同时发生的概率。
例如，如果我们掷一枚硬币，事件a是正面朝上，事件b是反面朝上，那么a和b互斥，因为一枚硬币不能同时正面朝上和反面朝上。
因此，a和b互斥的概率为：P(a和b互斥) = 1 - P(a和b) = 1 - 1/2 = 1/2互斥事件在概率论和统计学中有着广泛的应用。
例如，在医学研究中，互斥事件可以用来计算两种治疗方法的有效性。
在金融领域，互斥事件可以用来计算投资组合的风险。
互斥事件的性质互斥事件具有以下性质：对称性：事件a和b互斥，当且仅当事件b和a互斥。
传递性：如果事件a和b互斥，事件b和c互斥，那么事件a和c也互斥。
独立性：如果事件a和b相互独立，那么事件a和b互斥当且仅当事件a和b的补集互斥。
互斥事件的应用互斥事件在概率论和统计学中有着广泛的应用。
例如：医学研究：在医学研究中，互斥事件可以用来计算两种治疗方法的有效性。
例如，如果我们对两种治疗方法进行研究，发现这两种治疗方法互斥，那么我们可以说这两种治疗方法是有效的。
金融领域：在金融领域，互斥事件可以用来计算投资组合的风险。
例如，如果我们有一个投资组合，其中包含两种互斥的资产，那么我们可以说这个投资组合的风险较低。
保险领域：在保险领域，互斥事件可以用来计算保险费率。
例如，如果我们有一个保险公司，为两种互斥的风险提供保险，那么我们可以说这个保险公司的保险费率较低。
结论互斥事件在概率论和统计学中有着广泛的应用。
通过理解互斥事件的性质和应用，我们可以更好地理解概率论和统计学。
论概率论中的反例概率论是一门研究随机现象的数学学科，它在现代科学中扮演着重要的角色。
然而，概率论中也存在着一些反例，这些反例在一定程度上挑战了概率论的基本假设和理论。
本文将从不同的角度探讨概率论中的反例。
一、伯努利大数定律的反例伯努利大数定律是概率论中的基本定理之一，它指出在独立重复试验中，当试验次数趋于无穷大时，事件发生的频率趋近于事件的概率。
然而，这个定律并不总是成立。
例如，当一个硬币被抛掷时，它有可能永远不会出现正面朝上或反面朝上，这就是伯努利大数定律的反例。
二、马尔可夫链的反例马尔可夫链是一种随机过程，它具有“无记忆性”，即在给定当前状态下，未来状态的概率只与当前状态有关，而与过去状态无关。
然而，马尔可夫链并不总是满足这个条件。
例如，在一个赌场中，如果一个人在某个时刻的输赢情况会影响他在下一次赌博中的决策，那么这个赌博过程就不是一个马尔可夫链。
三、贝叶斯定理的反例贝叶斯定理是概率论中的重要定理之一，它描述了在已知某些条件下，另一事件发生的概率。
然而，贝叶斯定理并不总是适用。
例如，在医学诊断中，如果一个病人同时患有多种疾病，那么贝叶斯定理就不能准确地计算出每种疾病的概率。
四、中心极限定理的反例中心极限定理是概率论中的重要定理之一，它指出在独立同分布的随机变量之和的分布中，当样本容量足够大时，这个分布会趋近于正态分布。
然而，中心极限定理并不总是成立。
例如，在某些情况下，即使样本容量足够大，这个分布也不会趋近于正态分布。
总之，概率论中的反例提醒我们，概率论的基本假设和理论并不总是适用于所有情况。
我们需要在具体问题中仔细分析，选择合适的方法和模型，以获得准确的结果。
反例法在概率论教学中的作用1. 引言1.1 反例法在概率论教学中的作用反例法在概率论教学中的作用是极为重要的。
通过反例法，教师可以提供给学生大量具体案例，帮助他们在实践中掌握概率理论知识。
通过反例，学生可以更直观地感受到概率理论中的抽象概念，加深对概率概念的理解。
通过对反例的剖析和讨论，可以帮助学生理清自己的思维逻辑，发现问题并解决问题。
反例法还能激发学生对概率论学习的兴趣，提高学习的积极性。
通过不断分析反例，学生逐渐培养起分析和解决问题的能力，为将来面对复杂问题提供了一定的思维基础。
可以说反例法在概率论教学中扮演着至关重要的角色，有助于提高学生的学习效果和能力。
2. 正文2.1 提高学生的实际操作能力反例法在概率论教学中的作用之一是能够帮助提高学生的实际操作能力。
通过反例法，学生可以在实际问题中运用概率论知识，解决各种实际应用问题，从而增强他们的实践操作能力。
在教学中，老师可以通过给出一些实际问题，并要求学生利用反例法来解决，比如通过构造一个特殊情况来说明某个概率理论的性质，或者通过找出一个具体案例来说明某个概率理论的适用性。
这样一来，学生不仅能够掌握概率论的基本理论知识，还能够将其运用到实际问题中，提高实际操作能力。
通过实际操作能力的提高，学生能够更好地理解并应用概率论知识，同时也能够更好地解决实际生活中的问题。
因此，反例法在概率论教学中的作用是非常重要的，能够有效地提高学生的实际操作能力，培养他们解决问题的能力，为他们未来的学习和工作打下坚实的基础。
2.2 帮助学生理解概率概念的深层含义帮助学生理解概率概念的深层含义是反例法在概率论教学中的重要作用之一。
通过反例法，学生可以更加深入地理解概率论的基本概念和原理，加深对概率的认识。
在教学中，教师可以通过引入一些典型的反例，让学生在实际操作中发现概率概念的深层含义。
通过让学生分析某种概率事件发生的可能性，引导他们思考事件背后的原因和规律。
通过分析反例，学生可以发现概率理论中的一些常见误区和逻辑漏洞，从而更加清晰地理解概率概念的内涵和本质。
切比雪夫不等式的反例切比雪夫不等式是概率论中的一个重要定理，它描述了一个随机变量与其期望值之间的距离。
然而，这个定理并非对所有情况都成立，存在一些特殊情况下的反例。
本文将介绍切比雪夫不等式的反例，并探讨这些反例出现的原因。
1. 引言切比雪夫不等式是概率论中的一种常用工具，它提供了一种衡量随机变量偏离其期望值的上界。
一般来说，对于任意一个随机变量X，以及一个给定的正实数ε，切比雪夫不等式可以表示为：P(|X-μ|≥ε) ≤ σ²/ε²其中，μ是X的期望值，σ²是X的方差。
这个不等式的意义在于，它告诉我们X偏离μ的概率至多为σ²/ε²。
2. 反例然而，切比雪夫不等式并非对所有情况都成立。
下面我们举一个反例来说明这一点。
假设我们有一个随机变量X，它服从正态分布，均值μ为0，方差σ²为1。
根据切比雪夫不等式，当ε=1时，P(|X-0|≥1) ≤ 1/1² = 1。
然而，在这个反例中，我们可以找到一个事件，使得它的概率远远大于1。
具体来说，考虑事件A={X≥2}，即X大于等于2的情况。
根据正态分布的性质，可以计算出P(X≥2)≈0.0228。
显然，这个概率远大于1，与切比雪夫不等式的结果相矛盾。
3. 分析与讨论为什么在这个特殊情况下切比雪夫不等式失效呢？这是因为切比雪夫不等式是基于方差的测量，而方差无法完全反映随机变量在某个区间内的分布情况。
对于正态分布而言，它的尾部（即较大或较小的值）以指数形式衰减，而方差只是描述了分布的“中心部分”，无法准确刻画尾部的情况。
在这种情况下，我们可以借助其他的概率不等式来提供更为准确的估计。
例如，针对正态分布，我们可以使用切比雪夫不等式的加强版本--松本不等式。
4. 松本不等式松本不等式是对切比雪夫不等式的改进，它利用了随机变量的四阶矩来提供更加紧凑的上界估计。
针对符合正态分布的随机变量X，松本不等式可以表示为：P(|X-μ|≥ε) ≤ 6σ⁴/ε⁴通过这个不等式，我们可以更准确地估计随机变量X偏离其期望值的概率。
谈概率论中的反例教学作者：董留栓霍振宏来源：《课程教育研究》2018年第27期【摘要】概率论中的反例是加深学生对概念、定理及性质理解的重要手段，能帮助学生记牢所学知识，提高思维创新能力。
本文从反例对概念的理解，帮助公式的学习，纠正学习中的错误，培养学生的创新能力四个方面做了详细的分析。
【关键词】反例概率论教学创新能力【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）27-0116-02概率论是研究随机现象统计规律性的数学分支，它是学习数理统计的基础，它理论性强、应用广泛。
是高等学校工科及经管类专业的一门基础必修课，同时也是考研的一门必考课。
在课堂教学中，教师正面讲述概念，直接证明或给出性质，学生往往不易接受，若教师运用反例教学会对学生知识的理解与掌握方面帮助很大，它可以加深学生对概念及性质的理解与应用，达到事半功倍的效果。
反例就是要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论。
反例是推翻一个假命题的最有效手段。
学生通过举出一个反例，可以获得成就感，即可以培养学生的学习兴趣，也可以培养学生的创新能力。
一、反例可以加深学生对概念的理解概率论中的有些概念比较抽象，正面不易理解，有时学生会摸不着头脑，这样就影响学生的学习效果。
巧妙设置反例可以弥补教学中的不足，可以加深学生对基本概念的理解。
例如：概率为0的事件不一定是不可能事件。
多数学生易用古典概型知识理解概率为0的事件是不可能事件，但在几何概型中“概率为0的事件不一定是不可能事件”。
如在几何概率中，设Ω={（x，y）|0≤x，y≤1}，A={（x，y）|x=y，0≤x，y≤1}则P（A）= = =0（A，Ω为面积），可见事件A是可能发生的。
学习了连续型随机变量知识后，我们知道连续型随机变量在某个点取值的概率为0，从而也说明了概率为0的事件不一定是不可能事件。
二、反例可以帮助学生学习公式由于概率论中的公式很多，学生在使用公式时，若不注意公式的使用条件，极易得到错误的结论。
概率论判断题36个经典反例1. 独立性和无关性是等价的，它们可以互换使用。
2. P(A ∩ B) = P(A) × P(B)，这个公式适用于所有事件 A 和 B。
3. P(A U B) = P(A) + P(B)，这个公式适用于所有事件 A 和 B。
4. P(A|B) = P(B|A)，条件概率具有对称性。
5. P(A|B ∩ C) = P(A|B) + P(A|C)，条件概率具有分配律。
6. 如果事件 A 和事件 B 独立，那么事件 A 和事件 B 的补集也是独立的。
7. 如果事件A 和事件B 独立，那么它们的和与积也是独立的。
8. 如果事件 A 发生，那么事件 A 发生的概率是 1。
9. 如果事件 A 发生，那么它的补集不可能发生。
10. 如果事件 A 和事件 B 互斥，那么它们的交集是空集，即P(A ∩ B) = 0。
11. 如果事件 A 和事件 B 互斥，那么它们的并集等于它们的和。
12. 如果 A 和 B 独立，那么 A 和 B 的补集也是独立的。
13. 如果 A 和 B 独立，那么 A 和 B 的所有子集的交集的概率都等于 P(A) × P(B)。
14. 如果 A 和 B 独立，那么 A 的补集和 B 的补集也是独立的。
15. 如果 A 和 B 独立，那么 A 的子集和 B 的子集的交集的概率都等于 P(A) × P(B)。
16. 如果 A 和 B 独立，那么 A 的小于等于 b 的子集和 B 的小于等于 c 的子集的交集的概率都等于 P(A) × P(B) × P(C)。
17. 如果 A 和 B 是互斥的，那么他们是不可能同时发生的。
18. 如果 A 和 B 不可能同时发生，那么它们是互斥的。
19. 如果 A 和 B 相对独立，那么 A 的发生不会影响 B 的发生。
20. A 发生的概率加上 A 不发生的概率等于 1。
21. 同时包含 m 个单元素的 A 和 n 个单元素的 B 的并集中，元素数量最少的是其中一个。
概率统计中的反例前言第一章 随机事件及其概率1． 同一问题的概型未必唯一 2． 事件间的关系（1） 由推不出 （2） 由推不出（3） 3． 概率为零的事件未必是不可能的事件 4． 由概率关系推不出事件间关系 5． 试验次数多概率就一定大吗？ 6． 概率与抽样方式是否有关7． 事件概率与试验的先后次序是否有关第二章 随机变量极其分布1． 离散型分布的最可能值是否唯一2． 单调不降右连续是分布函数的必要而非充分条件 3． 既非离散型又非连续型的分布函数是否存在 4． 具有无记忆性的离散型分布是否存在5． 不几乎相等的随机变量是否有相同的分布 6． 联合分布与其边缘分布未必是同类型分布 7． 边缘分布不能决定联合分布8． 不同的联合分布可具有相同的边缘分布 9． 正态边缘分布可由非正态联合分布导出 10. 均匀分布不具有可加性 11. 分布函数之和不是分布函数第三章 独立性与相关性相容性1． 两两独立但不相互独立2． P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立，但A,B,C 不两两独立 3． 独立关系不具有传递性4． 随机变量不独立，但其函数可以独立5． X 与Y 不独立，但与独立 6． X 与Y 不独立，但有相同分布 7． 既不相关也不独立的随机变量8． 随机变量独立但它们的函数未必独立 9． 独立性与相容性10. 独立同分布的随机变量是否必相等 11. 有函数关系的随机变量是否一定不独立 第四章 随机变量的数字特征1． 随机变量的数学期望未必都存在 2． 随机变量的方差未必都存在 3． 数学期望存在但方差不存在4． X 的函数的期望是否等于X 的期望的函数 5． X 的各阶矩都存在也不能确定X 的分布函数 6． 满足E(XY)=E(X)E(Y)的X,Y 未必独立第五章 参数估计与假设检验C B A =-C B A ⋃=C B A ⋃=C B A =-C B A C B A -≠-⋃)()( 2X 2Y1．矩估计是否有唯一性2．矩估计不具有“不变性”3．极大似然估计是否有唯一性4．似然方程的解未必是极大似然估计5．参数估计的无偏性与一致性有无关系6．无偏估计是否唯一7．零假设与备择假设是否处于对等的地位前言数学是由两个大类——证明和反例组成数学发现主要是提出证明和构造反例从科学性来讲反例就是推翻错误命题的有效手段从教学上而言反例能够加深对正确结论的全面理解【美】B.R.盖尔鲍姆曾说“一个数学问题用一个反例予以解决给人的刺激犹如一出好的戏剧”相信读了《概率统计中的反例》后我们大家都会有这一同感第一章随机事件及其概率1．同一问题的概型未必唯一概型（Schema）是随机现象的数学形式，它不是实际本身，而是实际的数学抽象。
对于现实世界中的随机现象，要想进入数学理论的研究，首先必须确定其概型。
由于我们的认识水平以及现实问题的复杂性，使得所选定的概型往往不是唯一的。
概率论中著名的“n个球在n个盒子中的分布问题”（见王梓坤《概率论基础及其应用》P12-13 科学出版社）就说明了这一情况，这是一个典型概型的问题，内容是：设有r个球，每个都能以相同概率1/n落到n个盒子（n>=r）的每一个盒子中，求指定的某r个盒子中各有一个球的概率。
如果我们把r各球视作r个人，而把n个盒子视为一年的天数：n=365.这时上述问题就成为了概率论中一个颇为著名问题的概型。
此问题是求参加某次集会的几个人中，没有n个人生日相同的概率。
众所周知，关于球彼此间可以认为是有区别，也可以认为无区别；一个盒子可以假定仅能容纳一个球，也可以允许它能容纳许多球，如此一来，就可以分为以下几种概型：（1）马克斯威尔－波尔茨曼认为球彼此之间有区别，且对每盒中可容纳球数不加限制；（2）玻色－爱因斯坦认为球彼此不能区别，且对每盒中可容纳球数不加限制；（3）费密－狄雷克认为球彼此无区别，且限制每盒中不能同时容纳二个球。
后来，为了统一以上三种情况，又产生了第四种情况（4）布里龙认为球彼此可以区别，且增加了一些其他条件限制（见杨宗磐《概率论入门》P.13 科学出版社）以上四种情况，形成了统计物理学中的四种统计：球可看作为质点，盒子看作状态。
再看一例：n个人围成一个圆周，求其中甲、乙两人之间恰有r(<n-2)个人的概率。
（圆周排列时，仅考虑从甲到乙的顺时针方向）对此问题，至少可找到三种概型来处理即可以构造如下的三种随机试验：（1）n个人的任意一种排列作为一个基本事件；（2）仅以甲、乙两人在n个人一行中的不同排法作为基本事件组；（3） 可由甲与乙之间的间隔数来考虑。
不论取何种概型，本题的求概率均为1/(n-1).2． 事件间的关系(1). 由推不出事实上，令 A={1,2,3,4},B={1,3,5},于是C=A-B={2,4},而注：但时，能由(2). 由推不出令A={1,2,3,5},B={1,2},C={1,3,5},则但 注：当,,且时可由 (3). 一般令A={1,2},B={2,3},C={2},则 注：当时，3． 概率为零的事件未必是不可能事件不可能事件的概率必为零，反之却未必成立当考虑的概型为古典概型时，概型为零的事件一定是不可能事件当考虑的概型是几何概型时，概型为零的事件未必是一个不可能事件。
例如：设试验E 为“随机地向边长为1的正方形内投点”，事件A 为“点投在正方形的一条对角线上”（见图）此时尽管但A 却可能发生，另外，对于连续性随机变量，它在某固定点取值的概率为零，但它不是不可能发生。
发生上述情形的原因，在于概率是一个测度，有测度为0的不可数集存在，并且对于连续函数来说，在一点处的积分为零。
由对立事件知，概率为1的事件未必是必然事件。
4． 由概率关系推不出事件间关系概率中有这样的性质：若事件A,B 有关系,则其相应的概率关系是,反之却不真。
例如：设P(A)=0.1,P(B)=0.2,,此时不成立，事实上，由C B A =-C B A ⋃=AC B ≠=⋃}5,4,3,2,1{B A ⊃C B A C B A ⋃=⇒=-C B A ⋃=C B A =-C B A ⋃=C B A ≠=-}5,3{A B ⊂A C ⊂Φ=BC C B A C B A =-⇒⋃=C B A C B A -⋃≠-⋃)()(C B A C B A -⋃=≠=-⋃)(}3,1{}3,2,1{)(φ=AC C B A C B A -⋃=-⋃)()(O }1,0|),{(<<=Ωy x y x }1,0|{<<==y x y x A 010)(＝＝正方形的面积的面积线段E OB A P =B A ⊂)()(B P A P ≤2.0)(=⋃B A P B A ⊂得出P(AB)=0.1. 于是由问题3，这意味着可有,从而未必有。
5． 试验次数多概率就一定大吗在概率论的萌芽时期，有一个著名的(Chevalier de Were)问题：一颗骰子掷4次至少得一个1点，与两颗骰子掷24次至少得两个1点，这两个事件究竟哪个概率大？曾引起很多人的注意。
现在看来，利用独立试验概型容易求出它们的概率。
n 次独立重复试验中事件A 至少发生一次的概率为，其中，现考虑欲使，则，此式给出了n 的下界，使问题得以解决。
以掷一颗骰子作试验，要连续掷n 次使1点至少出现一次的概率大于等于1/2,则.以掷两颗骰子作试验，要连续掷n 次使两个1点至少出现一次的概率大于等于1/2,则.由此得出，一颗骰子掷4次至少有一个1点的概率大于等于1/2,而两颗骰子掷24次至少有一次得两个1点的概率小于1/2. 本例说明试验次数很多，但概率不一定大。
6． 概率与抽样方式是否有关一般，所求事件的概率与抽样方式有关，常见的有放回抽样与不放回抽样两种。
前者指同一个体可被重复抽取，后者指已被抽取的个体不再参与下一此抽样，每一个体至多被抽到一次。
例如有n 件产品，其中有m 件次品，现随机抽取件产品。
求其中恰有k 件次品的概率。
在抽样方式未定的情况下，此概率是不唯一的，事实上：若取放回抽样，所求概率（1）若取不放回抽样 所求概率 （2）显然 （1），（2）分别称为二项分布与超几何分布。
当时即二项分布是超几何分布的极限分布。
由此得出如下结论：对于样本点个数较小的总体，在放回抽样与不放回抽样的场合，事件的概率会有较大的差别。
当总体中样本点个数很大，样本容量不大时，这两种抽样方式对所求事件的概率实际上影响不大。
7． 事件概率与试验的先后次序是否有关设有一口袋，内有a 只黑球，b 只白球，他们除颜色不同外没有其它不同之处，现把球一只只地摸出，求第k 次摸出的是黑球的概率 .初看题目，很可能会认为所求概率与摸球次序有关，若那样的话，体育比赛中先后抽签者中签的机会就不均等了，这与我们日常生活中的经验不符，通过具体计算亦可看出所求概率与摸球次序无关。
按自然顺序给球编号，不妨先给黑球编号，再给白球编号，取样空间为第k 次摸出的球的全部可能的结果，则表示第k 次摸出第I 号球，)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃0)()()(=-=-AB P A P AB A P φ≠-AB A B A ⊂np )1(1--)(A P p =21)1(1≥--np )1lg(2lg p n --≥8.3≥n 6.24≥n l kl kkl nm nm C p --=)1()(1lnkl mn k m C C C p --=221p p ≠),min(,,2,1,0l m k =∞→n )1()2(→)1(b a k +≤≤},,,{21b a +=Ωωωω iω，于是要求的是事件 的概率。
由古典概率，P(A)显然与k 有关。
本题可用多种方法求解，这里介绍的是最简单的一种，本题存在多种解法的原因，在于一个随机现象有时可用不同的样本空间来描述，所以称本解法是最简单的，因为解法中的样本空间是最小的。
第二章 随机变量及其分布1． 离散型分布的最可能值是否唯一离散型分布的最可能值指的是该随机变量取值中那些使概率达到最大的值，即若任意一个离散型分布，若，则称为此分布的最可能值。
一般离散型分布的最可能值不唯一，比如：二项分布B （n,p ）中，当为非负整数时，恰有两个最可能值：与.如二项分布B （8，1/3）,其最可能值为k=2或3.可以证明，任何离散型分布的最可能值一定存在，而且至少有一个。
证明见王梓坤《概率论基础及其应用》 科学出版社）2． 单调不降右连续是分布函数的必要条件分布函数一定是单调不降（右）连续的函数，反之命题不成立。
例如，取，显然是调调不降函数，且右连续，可是，所以不可能是某个随机变量的分布函数。
因为只有当一个函数满足单调不见，非负有界（，且右连续（或左连续）时，才能成为某个随机变量的分布函数。
