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2012吉林高考数学二轮复习-空间几何体I 卷一、选择题1．一个空间几何体的正视图、侧视图均是长为2、高为3的矩形，俯视图是直径为2的圆(如下图），则这个几何体的表面积为（ ）A ．12π+B ．7πC ． π8D ．π20【答案】C2．设长方体的长、宽、高分别为a 2、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．23a πB ．26a πC ．212a πD ．224a π【答案】B3． 如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于 ( )A ．3465+B ．66543+C ．663413+D ．175+【答案】A4． 一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角（ ）A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不能确定【答案】D5．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于 ( ）A ．6B ．2C ．23D 3【答案】A6． 一几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是( )A ． 2B ． 43C ．312+ D ．316+【答案】B7．下列四个几何体中，各几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．①③【答案】C解析：①的三个视图都相同；②的主视图与左视图相同，与俯视图不同；③的三个视图互不相同；④的主视图与左视图相同，而与俯视图不同。
8．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A ．283π-B ．8-3πC ．82π-D ．23π【答案】A9．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A． 4 B． 8 C． 16 D． 20【答案】C10．在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是SC、BC的中点，且AMMN⊥，若侧菱SA=32，则正三棱 S-ABC外接球的表面积为（）A．12πB．32πC．36πD．48π【答案】C11．已知六棱锥P ABCDEF-的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确．．．的是（）A．//CD平面PAFB．DF⊥平面PAFC．//CF平面PABD．CF⊥平面PAD【答案】D12．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A ．38000cm 3B ．34000cm 3C ．20003D ．40003【答案】A13．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是（ ）A ．3πB ．43πC ．133πD ．683π【答案】C14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ）A ．21 B ．31 C ．41 D ．61【答案】A15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．21 B ．31 C ．41 D ．61【答案】A16．已知α、β是两上不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若,,m m αβαβ⊥⊂⊥则；②若,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，则//αβ③如果,,,m n m n αα⊂⊄是异面直线，那么n 与α相交； ④若,//,,,m n m n n αβαβ=⊄⊄且则////n n αβ且。
第五部分：立体几何（2）(限时：时间45分钟，满分100分)一、选择题1．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( )A．2 B．－4C．4 D．－2【解析】∵α∥β，∴(－2，－4，k)＝λ(1,2，－2)，∴－2＝λ，k＝－2λ，∴k＝4.【答案】 C2．已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是n＝(6，－3,6)，则下列点P中在平面α内的是( )A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4)【解析】∵n＝(6，－3,6)是平面α的法向量，【答案】 A3．(2012年唐山二模)设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是( )A.32B.22C.223D.233【解析】 如图建立空间直角坐标系， 则D 1(0, 0,2)，A 1(2,0,2)， D(0,0,0)，B(2,2,0)，【答案】 D4．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010 B.3010C.21510D ．【解析】 建立坐标系如图． 则A(1,0,0)，E(0,2,1)， B(1,2,0)，C 1(0,2,2)．所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010. 【答案】 B5．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是( ) A.63 B.33 C.23 D.13【解析】 以正三棱锥O-ABC 的顶点O 为原点，OA ，OB ，OC 为x ，y ，z 轴建系， 设侧棱长为1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，侧面OAB 的法向量为，底面ABC 的法向量为n= ，【答案】 B 二、填空题6．(2011年上海模拟)设平面α与向量a ＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b ＝(2,3,1)垂直，则平面α与β位置关系是________．【解析】 由已知a ， b 分别是平面α，β的法向量． ∵a ·b ＝－2＋6－4＝0， ∴a ⊥b ，∴α⊥β. 【答案】 垂直7．若直线l 的方向向量a ＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n ＝(4,0,1)，则直线l 与平面α所成的角的正弦值等于________．【解析】 设直线l 与平面α所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n |a |·|n ||＝|－8＋1|4＋9＋1·42＋1＝714×17＝23834.【答案】23834 8．四棱锥P －ABCD 的底面为边长2的正方形，顶点在底面的射影为底面的中心O ，且PO ＝1，则此四棱锥的两个相邻的侧面所成的二面角的余弦值为________．【解析】如图，建立坐标系．则P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(-1,0,0)，平面PCD的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，令x1＝1，则z1＝1，y1＝1；令y2＝1，则z2＝1，x2＝－1，∴n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,1,1)，∴cos 〈n 1·n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－1＋1＋13·3＝13.由题意可知，所成二面角余弦值为－13.【答案】 －13三、解答题9．(2011年广州模拟)正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为2，P 是侧棱AA 1上任意一点． (1)求正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积；(2)判断直线B 1P 与平面ACC 1A 1是否垂直，请证明你的结论； (3)当BC 1⊥B 1P 时，求二面角C －B 1P －C 1的余弦值． 【解析】 (1)V ABC －A1B1C1＝S △ABC ·AA 1 ＝34×22×2＝2 3.(2)不垂直．建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ， 设AP=a ，则A ，C ，B1，P 的坐标分别为 (0，-1,0)，(0,1,0)，∴B1P不垂直AC，∴直线B1P不可能与平面ACC1A1垂直．即2+2(a-2)=0，∴a=1.又BC1⊥B1C，∴BC1⊥平面CB1P，设平面C1B1P的法向量为n=(1，y，z)，∴二面角C-B1P-C1的余弦值的大小为.10．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝ 2.(1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； (3)求点E 到平面ACD 的距离． 【解析】 (1)连接OC ， ∵BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD. ∵BO ＝DO ，BC ＝CD ，∴CO ⊥BD. 在△AOC 中，由已知可得AO ＝1，CO ＝3， 而AC ＝2，∴AO 2＋CO 2＝AC 2， ∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC. ∵BD ∩OC ＝O ，∴AO ⊥平面BCD.(2)以O 为原点，建立如图空间直角坐标系， 则B(1,0,0)，D(－1,0,0)， C(0，3，0)，A(0,0,1)， E(12，32，0)，∴AB 与CD 所成角的余弦值为24. (3)设平面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，∴⎩⎨⎧x ＋z ＝03y －z ＝0.令y ＝1，得n ＝(－3，1，3)是平面ACD 的一个法向量．。
绝密★启用前2012届高三数学二轮精品专题卷：专题9 立体几何考试范围：立体几何一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的） 1．若直线l 与平面α垂直,则下列结论正确的是 （ ） A ．直线l 与平面α内所有直线都相交B ．在平面α内存在直线m 与l 平行C ．在平面α内存在直线m 与l 不垂直D ．若直线m 与平面α平行,则直线l ⊥m 2．某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的长度,那么这个几何体的体积是 （ ） A ．3B ．33C ．332 D ．3 3．（理）如下图所示是一个半径等于2的半球,现过半球底面的中心作一个与底面成80°角的截面,则截面的面积为（ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．80sin π （文）如上图所示是一个半径等于2的半球,则这个半球的表面积为 （ ） A ．π4 B ．π8 C ．π12 D ．π16 4．（理）如下图,三棱锥P -ABC 中,三条侧棱两两垂直,且长度相等,点E 为BC 中点,则直线AE 与平面PBC 所成角的余弦值为 （ ）A ．33 B ．36C ．31D ．32（文）如上图,三棱锥P -ABC 中,三条侧棱两两垂直,且长度都为1,点E 为BC 上一点,则截面P AE 面积的最小值为 （ ）A ．33B ．36 C ．42D ．325．设a ,b ,c 表示三条直线,βα，表示两个平面,则下列命题中逆命题不成立的是 （ ） Z#xx#k A ．α⊥c ,若β⊥c ,则βα∥ B ．α⊂b ,α⊄c ,若α∥c ,则c b ∥ C ．β⊂b ,若α⊥b ,则αβ⊥ D ．α⊂b a ，,P b a =⋂,b c a c ⊥⊥，,若βα⊥,则β⊂c 6．一个圆锥的母线长为2,且侧面积为π2,则该圆锥的主视图面积为 （ ） A ．1B ．3C ．2D ．6 7．已知长方体ABCD D C B A -1111的外接球的体积为332π,则该长方体的表面积的最大值为 （ ）A ．16B ．32C ．36D ．488．一个几何体是由若干个边长为1的正方体组成的,其主视图和左视图如图所示,若把这个几何体放到一个底面半径为π13的盛若干水的圆柱形容器,没入水中,则水面上升的高度（不溢出）最大为 （ ）（1）121B ．131C ．π12D ．π139．如图,四棱锥P -ABCD 的底面是边长为3的正方形,侧棱P A ⊥平面ABCD ,点E 在侧棱PC 上,且BE ⊥PC ,若6=BE ,则四棱锥P -ABCD 的体积为 （ ）A ．6B ．9C ．18D ．2710．如图,四棱锥S -ABCD 的底面是边长为2的正方形,且6====SD SC SB SA ,E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积为 （ ）A ．22B ．1C ．3D ．6 一、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在题中横线上） 11．已知一个空间几何体的三视图及其尺寸如图所示,则该空间几何体的体积是 ．12．（理）平面P 与平面Q 所成的二面角是锐角α,直线AB ⊂平面P 且与二面角的棱成的角为锐角β,又AB 和平面Q 成的角为θ,则α，β，θ之间的某一三角函数关系为 ． （文）我们知道,正三角形的内切圆和外接圆的圆心重合,且外接圆和内切圆的半径之比为2:1,类比这一结论,若一个三棱锥的所有棱长都相等,则其外接球与内切球的球心重合,则外接球与内切球半径之比为 ． 13．已知圆锥的母线和底面半径的夹角为60°,则其全面积与侧面积之比为 ．14．由曲线22x y =，2||=x 围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ；满足422≤+y x ，1)1(22≥-+y x ，1)1(22≥++y x 的点组成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，则1V :2V = ．15．设圆锥的母线长为l ,底面半径为r ,满足条件“它的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的41”的情况有且只有一种,则=lr． 三、解答题（本大题共6小题，满分75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本题满分10分）如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是一个边长为2的正方形,P A ⊥平面ABCD ,且24=PC ．M 是PC 的中点,在DM 上有点G ,过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ． （1）求四棱锥P -ABCD 的体积; （2）求证:AP ∥GH ．17．（本题满分12分）如图,已知三棱柱'''C B A ABC -的所有棱长都是2,且60''=∠=∠AC A AB A ． （1）求证:点'A 在底面ABC 内的射影在∠BAC 的平分线上; （2）求棱柱'''C B A ABC -的体积．18．（本题满分13分）如图,多面体ABCD —EFG 中,底面ABCD 为正方形,GD //FC //AE ,AE ⊥平面ABCD ,其正视图、俯视图及相关数据如图:（1）求证:平面AEFC ⊥平面BDG ; 学,科,网Z,X,X,K]（2）求该几何体的体积;（3）求点C 到平面BDG 的距离．19．（本题满分13分）如图一简单几何体的一个面ABC 内接于圆O ，G ,H 分别是AE ,BC 的中点,AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC ． （1）求证:GH //平面ACD ;（2）证明：平面ACD ⊥平面ADE ； （3）若AB =2，BC =1，23tan =∠EAB ，试求该几何体的体积V ．20．（本题满分13分）边长为2的正方体1111D C B A ABCD -中,P 是棱CC 1上任一点,)20(＜＜m m CP = （1）是否存在满足条件的实数m ,使平面⊥1BPD 面11B BDD ?若存在,求出m 的值;否则,请说明理由．（2）（理）试确定直线AP 与平面D 1BP 所成的角正弦值关于m 的函数)(m f ,并求)1(f 的值． （文）是否存在实数m ,使得三棱锥PAC B -和四棱锥1111D C B A P -的体积相等?若存在,求出m 的值;否则,请说明理由．21．（本题满分14分）如图,直角梯形ABCD 中,90=∠=∠BAD ABC ,AB =BC 且△ABC 的面积等于△ADC 面积的21．梯形ABCD 所在平面外有一点P ,满足P A ⊥平面ABCD ,PB PA =． （1）求证:平面PCD ⊥平面PAC ;（2）侧棱PA 上是否存在点E ,使得//BE 平面PCD ?若存在,指出点E 的位置并证明;若不存在,请说明理由． （3）（理）求二面角C PD A --的余弦值．2012届专题卷数学专题九答案与解析1．【命题立意】本题考查直线与平面垂直的定义及直线与平面平行的简单性质． 【思路点拨】首先根据直线与平面垂直的定义判断出直线与平面内所有直线的位置关系,再根据直线与平面的平行性质分析直线之间的关系即可．【答案】D 【解析】根据直线和平面垂直的定义可知,直线l 与平面α内的直线都垂直,可能是异面也可能相交,故A 、B 、C 都是错误的;对于D ,在平面α内一定存在直线n 与m 平行,且l ⊥n ,故l ⊥m ,所以D 是正确的． 2．【命题立意】本题借助三视图考查三棱锥体积的求解．【思路点拨】把三视图对应的几何体还原成三棱锥,根据棱锥的体积计算公式即可求解． 【答案】B 【解析】根据三视图可知,原几何体是一个三棱锥,且底面是边长为2的正三角形,高为1,故体积为331331=⨯⨯=V ．3．（理）【命题立意】本题主要考查球的结构及截面特征．【思路点拨】先根据条件分析出截面的特点,再利用相应面积公式计算即可． 【答案】C 【解析】所作截面是一个半大圆,面积为ππ2421=⨯．（文）【命题立意】本题主要考查球的面积计算．【思路点拨】此半球的表面积是一个半球面的面积加上一个大圆的面积． 【答案】C 【解析】图中半球的面积为πππ1284=+． 4．（理）【命题立意】本题借助特殊的三棱锥考查线面垂直的判定、直线和平面所成角的求解．【思路点拨】根据条件易知,P A ⊥平面PBC ,故直线AE 与平面PBC 所成的角即为∠APE ,再在Rt △P AE 中利用三角函数的定义即可求解．【答案】A 【解析】因为P A ⊥PB ,P A ⊥PC ,所以P A ⊥平面PBC ,所以,直线AE 与平面PBC 所成的角即为∠APE ,设P A =PB =PC =1,则2===BC AC AB ,因为E 为BC 中点,所以26=AE ,故33cos 22=-==∠AE PA AE AEPE APE ． （文）【命题立意】本题借助特殊的三棱锥考查线面垂直的判定、截面面积的求解．【思路点拨】先判断三角形的形状,再根据面积的表达式求最小值．【答案】C 【解析】因为三条侧棱两两垂直且长度为1,所以AP ⊥平面PBC ,∴AP ⊥PE ,PE PE AP S PAE 2121=⋅=∆,故只需PE 的长度最小,所以PE ⊥BC 时,22=PE ,面积取得最小值42．5．【命题立意】本题借助命题真假的判定考查直线与平面、平面与平面之间的平行与垂直关系．【思路点拨】先写出每个命题的逆命题,再逐个判断即可．要注意每个命题逆命题的形式． 【答案】C 【解析】选项C 的逆命题是β⊂b ,若αβ⊥,则a b ⊥显然不成立． 6．【命题立意】本题以圆锥为载体考查圆锥的侧面积计算及三视图的特征．【思路点拨】先根据圆锥的侧面积公式计算出圆锥底面圆的半径,进而可知主视图三角形各边的长即可求出面积． 学科网ZXXK]【答案】B 【解析】设圆锥底面半径为r ,则侧面积为ππ22==r S ,故1=r ,314=-=h ,而主视图是一个等腰三角形,面积为3=hr ． 7．【命题立意】本题以长方体为载体考查长方体与球的组合体的关系及简单的不等式性质应用．【思路点拨】先根据球的体积求出其半径,再根据长方体边长与球半径的关系建立方程,进而利用不等式性质求出表面积的最大值．【答案】B 【解析】设球的半径为R ,则343323R ππ=,故R =2,设长方体三边长分别为a ,b ,c ,则16)2(2222==++R c b a ,表面积为2222222()32ab bc ca a b c ++≤++=．即长方体表面积的最大值为32． 8．【命题立意】本题借助三视图考查组合体的特征及圆柱体积的计算． 【思路点拨】先根据三视图计算出组合体的体积最大值,再结合圆柱的体积公式,利用体积相等即可计算出水面上升的高度． 【答案】B 【解析】由题知,底部这一层最多摆放9个正方体,上面一层最多摆放4个正方体．故组合体的体积最大值为13,设水面上升的高度为h ,则h 21313）（ππ=,则131=h ． 9．【命题立意】本题考查直线与平面垂直、性质的应用及空间几何体体积的计算问题．【思路点拨】把直线与平面垂直的条件转化为直角三角形,再利用三角形内的关系计算出高P A 即可．【答案】B 【解析】因为P A ⊥平面ABCD ,所以BC ⊥P A ,又ABCD 是正方形,所以BC ⊥P A ,故BC ⊥平面P AB ,所以BC ⊥PB ．322=-=BE BC CE ,在Rt △PBC 中,易得CP CE BC ⋅=2,故33392===CE BC CP ,在Rt △P AC 中,322=-=AC CP PA ,故四棱锥P -ABCD 的体积为933312=⨯⨯．10．【命题立意】本题以三棱锥为载体考查直线与平面垂直的判定与性质的应用． 【思路点拨】先分析出轨迹图形的形状,再根据所给数据进行计算即可．【答案】A 【解析】由6====SD SC SB SA 可知S 在底面ABCD 内的射影是底面的中心,即AC 与BD 交点O ．要使得PE 保持与AC 垂直,只需使得P 在AC 的垂面上运动,如图中的△EFG 即为P 的轨迹,且2621===SD FG EG ,221==BD EF ,△EFG 的面积22)21(2122=-⋅=EF FG EF S ．11．【命题立意】本题考查三视图的识别及棱台体积的求解．【思路点拨】根据所给三视图分析出对应几何体的特征,再利用相关公式即可求出体积． 【答案】314【解析】这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台,这个四棱台的高是2,上底面是边长为1的正方形、下底面是边长为2的正方形，故其体积V ＝13×（12＋12×22＋22）×2＝143．12．（理）【命题立意】本题考查二面角、直线与平面所成角之间的关系及空间想象能力．【思路点拨】先找出二面角、直线与平面所成角对应的平面角,把题中的三个角转化到直角三角形内,进而可以找出他们的关系．【答案】βαθsin sin sin =【解析】如图,过A 作AO ⊥平面Q 垂足为O ,过O 作OC ⊥交线l 于点C ,连结AC ,易证AC ⊥l ,∴ACO ∠为二面角P -l-Q 的平面角,即α=∠ACO ,β=∠ABC ,因为AO ⊥平面Q ,所以ABO ∠为A 和平面Q 所成的角,所以θ=∠ABO ．分别在Rt △AOB 、Rt △AOC 、Rt △ACB 中,有AB AO =θsin ,ACAO=αsin ,AB AC =βsin ,故βαθsin sin sin =．（文）【命题立意】本题考查类比推理及与球有关的组合体的计算问题,对空间想象能力要求较高． 学科网ZXXK]【思路点拨】根据组合体的主视图进行分析,分别计算出外接球和内切球半径即可． 【答案】3:1【解析】设该三棱锥的边长为a ,计算可得高为a 36,设外接球半径为R ,则根据球和三棱锥的对称性可知,球心在高所在的线段上,由勾股定理可得222)33()36(R a R a =+-,则a R 46=,故内切球半径为a a a r 1264636=-=,故外接球与内切球半径之比为3:1．13．【命题立意】本题考查圆锥侧面积与全面积的计算方法．【思路点拨】根据条件求出底面半径与母线的关系,再表示出全面积与侧面积即可． 【答案】23【解析】设圆锥的底面半径为r ,母线长为l ,则由条件可得。
专题六立体几何第一讲空间几何体及三视图素能演练提升九SUNENG YANLIAN TISHENGJIU掌握核心,赢在课堂1.(2014福建高考,理2)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( )A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱解析:因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形,而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形,所以选A.答案:A2.设一个球的表面积为S1,它的内接正方体的表面积为S2,则的值等于( )A. B.C. D.解析:设球的半径为R,其内接正方体的棱长为a,则易知R2=a2,即a=R,则.故选D.答案:D3.(2014云南昆明三中、玉溪一中统考,4)如图,三棱锥V-ABC的底面为正三角形,侧面VAC与底面垂直,且VA=VC,已知其正视图的面积为,则其侧视图的面积为( )A. B. C. D.解析:设三棱锥V-ABC的底面边长为a,侧面VAC边AC上的高为h,则ah=,其侧视图是由底面三角形ABC边AC上的高与侧面三角形VAC边AC上的高组成的直角三角形,其面积为.故选B.答案:B4.(2014甘肃兰州、张掖联考,4)下面为一个几何体的三视图,尺寸如图所示,则该几何体的体积为( )A. B.πC.3πD.3解析:由三视图知该几何体是由直径为1的球与底面边长为2、高为3的正三棱柱组合的几何体.故该几何体的体积V=V正三棱柱+V球=×2××3+×π×=3.答案:D5.在三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,△ABC,△ACD,△ADB的面积分别为,则该三棱锥外接球的表面积为( )A.2πB.6πC.4πD.24π解析:依题意可知解得而三棱锥A-BCD可补成一个长方体,该三棱锥与该长方体的外接球是同一个球,故其外接球的半径R=,所求表面积S球=4πR2=6π.答案:B6.球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面,△ABC是边长为2的正三角形,平面SAB⊥平面ABC,则三棱锥S-ABC的体积的最大值为( )A. B. C. D.解析:记球O的半径为R,作SD⊥AB于D,连接OD,OS,则有R=,SD⊥平面ABC.注意到SD=,因此要使SD最大,则需OD最小,而OD的最小值等于,因此高SD的最大值是=1.又三棱锥S-ABC的体积等于S△ABC·SD=×22×SD=SD,因此三棱锥S-ABC的体积的最大值是×1=.答案:D7.已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形,俯视图是两个同心圆,如图所示,则该几何体的全面积为.解析:由三视图知该几何体为上底直径为2,下底直径为6,高为2的圆台,则此几何体的全面积S=π×1+π×9+π=10π+4π=26π.答案:26π8.(2014河南洛阳高三统考,14)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上,若AB=BC=2,∠ABC=90°,AA1=2,则球O的表面积为.解析:由题设可知,直三棱柱ABC-A1B1C1可以补成一个球的内接长方体,所以球的直径为长方体的体对角线长,即=4,故球O的表面积S=4πR2=16π.答案:16π9.在半径为25cm的球内有一个截面,它的面积是49πcm2,求球心到这个截面的距离.解:设球半径为R,截面圆的半径为r,球心到截面的距离为d,如图.∵S=πr2=49πcm2,∴r=7cm.∴d==24(cm).∴球心到这个截面的距离为24cm.10.(2014四川资阳模拟)如图,四边形ABCD是梯形,四边形CDEF是矩形,且平面ABCD⊥平面CDEF,∠BAD=∠CDA=90°,AB=AD=DE=CD=2,M是线段AE上的动点.(1)试确定点M的位置,使AC∥平面MDF,并说明理由;(2)在(1)的条件下,求平面MDF将几何体ADE-BCF分成的两部分的体积之比.解:(1)当M是线段AE的中点时,AC∥平面MDF.证明如下:连接CE,交DF于N,连接MN,由于M,N分别是AE,CE的中点,所以MN∥AC,由于MN⊂平面MDF,又AC⊄平面MDF,所以AC∥平面MDF.(2)如图,将几何体ADE-BCF补成三棱柱ADE-B'CF,三棱柱ADE-B'CF的体积为V=S△ADE·CD=×2×2×4=8,则几何体ADE-BCF的体积V ADE-BCF=V三棱柱ADE-B'CF-V F-BB'C=8-×2=.三棱锥F-DEM的体积V三棱锥M-DEF=×1=,故两部分的体积之比为=1∶4(答1∶4,4,4∶1均可).11.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点.(1)证明:平面BDC1⊥平面BDC;(2)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.(1)证明:由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.(2)解:设棱锥B-DACC1的体积为V1,AC=1.由题意得V1=×1×1=.又三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=1,所以(V-V1)∶V1=1∶1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.。
第3讲 立体几何中的向量方法(推荐时间：60分钟)一、填空题1．两不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1＝(1,0，－1)，v 2＝(－2，0,2)，则l 1与l 2的位置关系是________．2.在空间中，已知AB ＝(2,4,0)， BC →＝(－1,3,0)，则∠ABC 的大小为________．3．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于________．4．过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD .若PA ＝BA ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是________．5．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCO —A ′B ′C ′D ′，A ′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为________．6．如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是________．7．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是________．8.在空间四边形ABCD 中，AB ＝a －2c ， CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为P 、Q ，则PQ →＝__________.9．已知a ＝(1－t ，1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________．10．在四面体PABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，设PA ＝PB ＝PC ＝a ，则点P 到平面ABC 的距离为________．11．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是________．12．已知ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，①（1AC ＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2；②1AC ·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|.其中正确命题的序号是________．二、解答题13．已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝4，AA 1＝4，点M 是棱D 1C 1的中点．求直线AB 1与平面DA 1M 所成角的正弦值．14.(2010·全国Ⅰ)如图，四棱锥S －ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AB ＝AD ＝1，DC ＝SD ＝2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .(1)证明：SE ＝2EB ；(2)求二面角A －DE －C 的大小．15．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PBC ⊥底面ABCD ，且PB ＝PC ＝ 5.(1)求证：AB ⊥CP ；(2)求点B 到平面PAD 的距离；(3)设面PAD 与面PBC 的交线为l ，求二面角A －l －B 的大小．答 案1．平行 2．135° 3.64 4．45° 5.22a 6．60° 7．60° 8．3a ＋3b －5c 9.355 10.33a 11.6612．①② 13．解建立如图所示的空间直角坐标系，可得有关点的坐标为D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，C (0,2,0)，A 1(4,0,4)，B 1(4,2,4)，C 1(0,2,4)，D 1(0,0,4)．于是，M (0,1,4).DM →＝(0,1,4)，DA 1→＝(4,0,4)，AB 1→＝(0,2,4)．设平面DA 1M 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DM →＝0n ·DA 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋4z ＝04x ＋4z ＝0.取z ＝－1，得x ＝1，y ＝4.所以平面DA 1M 的一个法向量为n ＝(1,4，－1)．设直线AB 1与平面DA 1M 所成角为θ，则sin θ＝|n ·AB 1→||n |·|AB 1→|＝1015，所以直线AB 1与平面DA 1M 所成角的正弦值为1015. 14．方法一 (1)证明 如图所示，连结BD ，取DC 的中点G ，连结BG ，由此知DG ＝GC ＝BG ＝1，即△DBC 为直角三角形，故BC ⊥BD .又SD ⊥平面ABCD ，故BC ⊥SD ，所以BC ⊥平面BDS ，BC ⊥DE .作BK ⊥EC ，K 为垂足．因为平面EDC ⊥平面SBC ，故BK ⊥平面EDC ，BK ⊥DE ，即DE 与平面SBC 内的两条相交直线BK 、BC 都垂直，所以DE ⊥平面SBC ，所以DE ⊥EC ，DE ⊥SB .又DB ＝AD 2＋AB 2＝2，SB ＝SD 2＋DB 2＝6，DE ＝SD ·DB SB ＝23， EB ＝DB 2－DE 2＝63，SE ＝SB －EB ＝263， 所以SE ＝2EB . (2)解 由SA ＝SD 2＋AD 2＝5，AB ＝1，SE ＝2EB ，AB ⊥SA ，知 AE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13SA 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB 2＝1.又AD ＝1.故△ADE 为等腰三角形．取ED 中点F ，连结AF ，则AF ⊥DE ，AF ＝AD 2－DF 2＝63. 连结FG ，则FG ∥EC ，FG ⊥DE .所以∠AFG 是二面角A －DE －C 的平面角．连结AG ，AG ＝2，FG ＝DG 2－DF 2＝63. cos∠AFG ＝AF 2＋FG 2－AG 22AF ·FG ＝－12. 所以二面角A －DE －C 的大小为120°.方法二 (1)证明以D 为坐标原点，线段DA ，DC ，DS 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z轴．建立如图所示的直角坐标系D －xyz ，设A (1,0,0)，则B (1,1,0)，C (0,2,0)，S (0,0,2)． S C →＝(0,2，－2)，B C →＝(－1,1,0)．设平面SBC 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，由n ⊥S C →，n ⊥B C →，得n ·S C→＝0，n ·B C →＝0.故2b －2c ＝0，－a ＋b ＝0.令a ＝1，则b ＝1，c ＝1，n ＝(1,1,1)．又设S E →＝λEB →(λ＞0)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ1＋λ，λ1＋λ，21＋λ， D E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ1＋λ，λ1＋λ，21＋λ，D C →＝(0,2,0)． 设平面CDE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，由m ⊥DE ，m ⊥DC ，得m ·DE ＝0，m ·DC ＝0. 故λx 1＋λ＋λy 1＋λ＋2z 1＋λ＝0,2y ＝0. 令x ＝2，则m ＝(2,0，－λ)．由平面DEC ⊥平面SBC ，得m ⊥n 所以m ·n ＝0,2－λ＝0，λ＝2.故SE ＝2EB .(2)解 由(1)知DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23，取DE 中点F ，则 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13，FA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13，－13，故FA ·DE ＝0，由此得FA ⊥DE . 又EC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，43，－23，故EC ·EC ＝0，由此得EC ⊥DE ，向量F A →与E C →的夹角等于二面角A －DE －C 的平面角．于是cos 〈F A →，E C →〉＝FA ECFA EC ＝－12， 所以二面角A －DE －C 的大小为120°.15. (1)证明 以BC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B (1,0,0)，A (1，－2,0)，C (－1,0,0)，P (0,0,2)，D (－1，－2,0)．AB →＝(0,2,0)，CP →＝(1,0,2)，则有AB →·CP →＝0，∴AB →⊥CP →.即AB ⊥CP .(2)解 设平面PAD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PD →＝0，n ·AD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －x －2y －2z ＝0，－2x ＝0.令x ＝0，则y ＝1，z ＝－1，得n ＝(0,1，－1)，又BP →＝(－1,0,2)，∴点B 到平面PAD 的距离d ＝|BP →·n ||n |＝|0＋0－2|2＝ 2. (3)解 由(2)知平面PAD 的法向量n ＝(0,1，－1)，而平面PBC ⊥平面ABCD ，∴平面PBC 的法向量m ＝(0,1,0)．∴二面角A －l －B 的余弦值为|m ·n ||m ||n |＝22. 由图形知二面角A －l －B 为锐二面角，∴二面角A －l －B 的大小为45°.。
- 1 - / 14 立体几何 1．一个物体的三视图的排列规则是俯视图放在正(主)视图下面，长度与正(主)视图一样，侧(左)视图放在正(主)视图右面，高度与正(主)视图一样，宽度与俯视图一样，即“长对正，高平齐，宽相等”．在画一个物体的三视图时，一定注意实线与虚线要分明． [问题1] 如图，若一个几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均为面积等于2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为________．
答案 43 2．在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．” [问题2] 如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是________． 答案 22 3．简单几何体的表面积和体积 (1)S直棱柱侧＝c·h(c为底面的周长，h为高)．
(2)S正棱锥侧＝12ch′(c为底面周长，h′为斜高)．
(3)S正棱台侧＝12(c′＋c)h′(c与c′分别为上、下底面周长，h′为斜高)． (4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl(r为底面半径，l为母线)，
S圆锥侧＝πrl(同上)，
S圆台侧＝π(r′＋r)l(r′、r分别为上、下底的半径，l为母线)．
(5)体积公式 V柱＝S·h (S为底面面积，h为高)，
V锥＝13S·h(S为底面面积，h为高)，
V台＝13(S＋SS′＋S′)h(S、S′为上、下底面面积，h为高)．
(6)球的表面积和体积 S球＝4πR2，V球＝43πR3. - 2 - / 14
[问题3] 如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧(左)视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为( ) A．4π B．3π
C．2π D.32π 答案 D 4．空间直线的位置关系：①相交直线——有且只有一个公共点．②平行直线——在同一平面内，没有公共点．③异面直线——不在同一平面内，也没有公共点． [问题4] 在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的中点，则直线EG和FH的位置关系是________． 答案 相交 5．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面 ①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交． ②直线与平面平行的判定定理和性质定理： 判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行． ③直线与平面垂直的判定定理和性质定理： 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行． (2)平面与平面 ①位置关系：平行、相交(垂直是相交的一种特殊情况)． ②平面与平面平行的判定定理和性质定理： 判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． ③平面与平面垂直的判定定理和性质定理： 判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． [问题5] 已知b，c是平面α内的两条直线，则“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的________条件． 答案 充分不必要 6．空间向量 (1)用空间向量求角的方法步骤 ①异面直线所成的角 若异面直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，它们所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈v1，v2〉|.
