2018-2019学年河南省洛阳市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知复数z满z+zi＝2﹣i（i为虚数单位），则|z|＝（）
A．B．2C．D．1
2．（5分）下列判断正确的是（）
A．两圆锥曲线的离心率分别为e1，e2，则“e1e2＜1”是“两圆锥曲线均为椭圆”的充要条件
B．命题“若x2＝1，则x＝1．”的否命题为“若x2＝1，则x≠1．”
C．若命题“p∧q”为假命题，则命题“p∨q”是假命题
D．命题“?x∈R，2x≥x2”的否定是“．”
3．（5分）设x，y，z均为正实数，a＝x+，b＝y+，c＝z+，则a，b，c三个数（）A．至少有一个不小于2B．都小于2
C．至少有一个不大于2D．都大于2
4．（5分）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白米为（）
A．96石B．78石C．60石D．42石
5．（5分）有下列说法：
①若某商品的销售量5（件）关于销售价格x（元/件）的线性回归方程为y，
当销售价格为10元时，销售量一定为300件；
②线性回归直线：﹣定过样本点中心（）；
③若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1；
④在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，
与带状区域的宽度无关；
⑤在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接
近于1，表示回归的效果越好；
其中正确的结论有几个（）
A．1B．2C．3D．4
6．（5分）在洛阳市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩X﹣N（90，σ2），已知P （70＜X≤90）＝0.35，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为（）
A．0.85B．0.70C．0.50D．0.15
7．（5分）已知实数x，y满足，则的最大值为（）A．5B．4C．D．
8．（5分）已知双曲线（m＞0，n＞0）和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（）
A．2B．4C．6D．9
9．（5分）设，则二项式展开式的所有项系数和为（）A．1B．32C．243D．1024
10．（5分）将5名教师分配到甲、乙、丙三所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它两所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有几种（）
A．60B．80C．150．D．360
11．（5分）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，若，则实数p的值为（）
A．B．1C．D．2
12．（5分）若函数f（x）＝6xe x﹣2ax3﹣3ax2存在三个极值点，则a的取值范围为（）A．（0，e）B．（0，）C．（e，+∞）D．（，+∞）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）1999年10月1日，在中华人民共和国建国50周年之际，中国人民银行陆续发行了第五套人民币（1999年版），第五套人民币纸币共有1元、5元、10元、20元、50元、100元6种面额，现有这6种面额纸币各一张，一共可以组成种币值．（用数字作答）
14．（5分）设随机变量ξ﹣B（2，p），η﹣B（4，p），若，则P（η≥3）＝．15．（5分）已知曲线在x＝1处的切线与直线：x+3y+1＝0垂直，则实数a 的值为．
16．（5分）已知F是椭圆（a＞b＞0）的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，直线AF与椭圆另一交点为B，且，则椭圆的离心率为
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知△ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为BC边的中点，a cos B ＝﹣（b+2c）cos A，AD＝1．
（1）求A；
（2）求△ABC面积的最大值．
18．（12分）设S n为正项数列{a n}的前n项和，且满足a n2+2a n＝4S n+3．（1）求{a n}的通项公式；
（2）令b n＝，若T n＜m恒成立，求m的取值范围．19．（12分）“微信运动”是手机APP推出的多款健康运动软件中的一款，某学校140名老师均在微信好友群中参与了“微信运动”，对运动10000步或以上的老师授予“运动达人”
称号，低于10000步称为“参与者”，为了解老师们运动情况，选取了老师们在4月28日的运动数据进行分析，统计结果如下：
运动达人参与者合计男教师602080
女教师402060
合计10040140（1）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关？
（2）从具有“运动达人号的教师中，采用按性别分层抽样的方法选取10人参加全国第四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动，若从选取的10人中随机抽取3人作为代表参加开幕式，设抽取的3人中女教师人数为X，写出X的分布列并求出数学期望E
（X）．
参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：
P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828 20．（12分）已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点0，AB＝4，∠BAD＝120°，将△ACD 沿AC折起，使点D到达点P位置，满足△OPB为等边三角形．
（1）求证：AC⊥PB；
（2）求二面角P﹣BC﹣A的余弦值．
21．（12分）过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F做直线l交抛物线于A，B两点，|AB|的最小值为2．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过A，B分别做抛物线C的切线，两切线交于点E，且直线AE，BE分别与x轴交于点P，Q，记△EPQ和△0AB的面积分别为S△EPQ和S△OAB，求证为定值．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+2lnx（a∈R）．
（1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且x2≥e，求|f（x1）﹣f（x2）|的最小值．
2018-2019学年河南省洛阳市高二（下）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知复数z满z+zi＝2﹣i（i为虚数单位），则|z|＝（）
A．B．2C．D．1
【分析】根据复数模长的定义与运算性质，计算即可．
【解答】解：复数z满z+zi＝2﹣i（i为虚数单位），
则z＝，
所以|z|＝＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的模长计算问题，是基础题．
2．（5分）下列判断正确的是（）
A．两圆锥曲线的离心率分别为e1，e2，则“e1e2＜1”是“两圆锥曲线均为椭圆”的充要条件
B．命题“若x2＝1，则x＝1．”的否命题为“若x2＝1，则x≠1．”
C．若命题“p∧q”为假命题，则命题“p∨q”是假命题
D．命题“?x∈R，2x≥x2”的否定是“．”
【分析】由椭圆的离心率的范围，以及充分必要条件的定义，可判断A；由否命题的定义，既对条件否定也对结论否定，可判断B；由复合命题的真假判断C；由全称命题的否定为存在性命题，可判断D．
【解答】解：两圆锥曲线的离心率分别为e1，e2，由椭圆的离心率介于（0，1），可得“两圆锥曲线均为椭圆”可得“e1e2＜1”，反之不成立，故A错误；
命题“若x2＝1，则x＝1．”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故B错误；
若命题“p∧q”为假命题，p，q中至少有一个为假命题，则命题“p∨q”可真可假，故C错误；
命题“?x∈R，2x≥x2”的否定是“．”故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查命题的否定和否命题的区别，充分必要条件的判断和复合命题的真假，考查转化思想和判断能力，属于基础题．
3．（5分）设x，y，z均为正实数，a＝x+，b＝y+，c＝z+，则a，b，c三个数（）A．至少有一个不小于2B．都小于2
C．至少有一个不大于2D．都大于2
【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，可以确定x+，y+至少有一个不小于2，从而可以得结论．
【解答】解：由题意，∵x，y均为正实数，
∴x++y+≥4，
当且仅当x＝y时，取“＝”号
若x+＜2，y+＜2，则结论不成立，
∴x+，y+至少有一个不小于2
∴a，b，c至少有一个不小于2
故选：A．
【点评】本题的考点是不等式的大小比较，考查基本不等式的运用，考查了反证法思想，难度不大
4．（5分）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白米为（）
A．96石B．78石C．60石D．42石
【分析】设甲乙丙分得的米重量分别为a1，a2，a3，则a1+a2+a3＝180，且a1﹣a3＝36，解得a2＝60，d＝﹣18，所以a1可求，
【解答】解：依题意，设甲乙丙分得的米重量分别为a1，a2，a3，
则a1+a2+a3＝3a2＝180，且a1﹣a3＝﹣2d＝36，
解得a2＝60，d＝﹣18，
所以a1＝a2﹣d＝60+18＝78，
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列的前n项和，等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题．
5．（5分）有下列说法：
①若某商品的销售量5（件）关于销售价格x（元/件）的线性回归方程为y，
当销售价格为10元时，销售量一定为300件；
②线性回归直线：﹣定过样本点中心（）；
③若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1；
④在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，
与带状区域的宽度无关；
⑤在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接
近于1，表示回归的效果越好；
其中正确的结论有几个（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用线性回归方程的特点及两个变量的相关性与相关系数的关系逐一核对5个命题得答案．
【解答】解：对于①，线性回归方程为，当销售价格为10元时，销售量近似为300件，故①错误；
对于②，线性回归直线：﹣定过样本点中心（），故②正确；
对于③，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故③错误；
对于④，与带状区域的宽度有关，带状区域越窄，说明回归方程的预报精确度越高，故
④错误；
对于⑤，R2越接近于1，表示回归的效果越好，故⑤正确．
∴正确的结论有2个．
故选：B．
【点评】本题考查统计基本知识，主要考查了线性回归方程及两个变量的相关性，属于
基础题．
6．（5分）在洛阳市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩X﹣N（90，σ2），已知P （70＜X≤90）＝0.35，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为（）
A．0.85B．0.70C．0.50D．0.15
【分析】由已知可得μ，求出P（90≤X＜1100）＝0.35，得P（X≥110）＝，再由对立事件的概率得答案．
【解答】解：∵X﹣N（90，σ2），∴μ＝90，
又P（70＜X≤90）＝0.35，∴P（90≤X＜1100）＝0.35，
∴P（X≥110）＝，
则P（X＜110）＝1﹣0.15＝0.85．
∴他的数学成绩小于110分的概率为0.85．
故选：A．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
7．（5分）已知实数x，y满足，则的最大值为（）A．5B．4C．D．
【分析】作出不等式组对应平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
＝的几何意义为动点到定点D（﹣1，﹣3）的斜率加1，由图象可知当动点位于C时，直线PC的斜率最大，
解得C（0，1）
此时z＝＝5，
故选：A．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键．
8．（5分）已知双曲线（m＞0，n＞0）和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（）
A．2B．4C．6D．9
【分析】由题意可得m+n＝1，利用“1”的代换结合基本不等式求最值．
【解答】解：椭圆是焦点在x轴上的椭圆，且c2＝5﹣4＝1．
∵双曲线（m＞0，n＞0）和椭圆有相同的焦点，
∴m+n＝1（m＞0，n＞0），
∴＝（）（m+n）＝5+．
当且仅当，即m＝，n＝时取等号．
∴的最小值为9．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的标准方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．9．（5分）设，则二项式展开式的所有项系数和为（）
A．1B．32C．243D．1024
【分析】由定积分、微积分基本定理及二项式展开式的系数得a＝＝﹣cos x＝2，所以二项式（2x+）5展开式中令x＝1可得：二项式（2x+）5展开式的所有项系数和为（2+1）5＝243，得解
【解答】解：因为a＝＝﹣cos x＝2，
所以二项式（2x+）5展开式中令x＝1可得：
二项式（2x+）5展开式的所有项系数和为（2+1）5＝243，
故选：C．
【点评】本题考查了定积分、微积分基本定理及二项式展开式的系数，属基础题．10．（5分）将5名教师分配到甲、乙、丙三所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它两所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有几种（）
A．60B．80C．150．D．360
【分析】由题意可分若甲校分配3名教师，若甲校分配2名教师，根据分类计数原理可得．
【解答】解：若甲校分配3名教师，则乙、丙学校各分配一名，故有C53A22＝20种，若甲校分配2名教师，则乙、丙学校有一个学校也分配2名，故有C52C32A22＝60种，则不同的分配方案共有20+60＝80种，
故选：B．
【点评】本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列，属于中档题．11．（5分）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，若，则实数p的值为（）
A．B．1C．D．2
【分析】F（，0），直线AB的参数方程为：（t为参数），将其代入y2＝2px，根据参数t的几何意义可得．
【解答】解：F（，0），直线AB的参数方程为：（t为参数），将其代入
y2＝2px，
得t2﹣4pt﹣4p2＝0，
设A，B对应的参数为t1，t2，
∴t1+t2＝4p，t1t2＝﹣4p2＜0，
∴﹣＝﹣＝＝＝＝＝1，
∴p＝．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题．
12．（5分）若函数f（x）＝6xe x﹣2ax3﹣3ax2存在三个极值点，则a的取值范围为（）A．（0，e）B．（0，）C．（e，+∞）D．（，+∞）
【分析】f′（x）＝6（x+1）e x﹣6ax2﹣6ax＝6（x+1）（e x﹣ax）．根据函数f（x）＝6xe x ﹣2ax3﹣3ax2存在三个极值点，可得e x﹣ax＝0必有两个不等于﹣1的不等实数根．化为：＝．令g（x）＝．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
【解答】解：f′（x）＝6（x+1）e x﹣6ax2﹣6ax
＝6（x+1）（e x﹣ax）．
∵函数f（x）＝6xe x﹣2ax3﹣3ax2存在三个极值点，
∴e x﹣ax＝0必有两个不等于﹣1的不等实数根．
化为：＝．
令g（x）＝．
g′（x）＝．
可得函数g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
∴x＝1时，函数g（x）取得极大值，g（1）＝．
∴，
解得a＞e．
则a的取值范围为（e，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、数形结合方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）1999年10月1日，在中华人民共和国建国50周年之际，中国人民银行陆续发行了第五套人民币（1999年版），第五套人民币纸币共有1元、5元、10元、20元、50元、100元6种面额，现有这6种面额纸币各一张，一共可以组成63种币值．（用数字作答）
【分析】由题意分6类，根据分类计数原理可得．
【解答】解：第一类，选1种面额，有6种，
第二类，选2种面额，有C62＝15种，
第三类，选3种面额，有C63＝20种，
第四类，选4种面额，有C64＝15种，
第五类，选5种面额，有C65＝6种，
第六类，选6种面额，有C66＝1种，
根据分类计数原理可得6+15+20+15+6+1＝63种，
故答案为：63．
【点评】本题考查了分类计数原理，属于基础题．
14．（5分）设随机变量ξ﹣B（2，p），η﹣B（4，p），若，则P（η≥3）＝．【分析】根据E（ξ）＝np＝求出P＝，然后根据P（η≥3）＝P（η＝3）+P（η＝4）＝C（）3（）1+C（）4可求得．
【解答】解：∵E（ξ）＝2p＝，∴p＝，
η～B（4，），∴P（η≥3）＝P（η＝3）+P（η＝4）＝C（）3（）1+C（）4＝+＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了二项分布与n次独立重复试验的模型，属基础题．
15．（5分）已知曲线在x＝1处的切线与直线：x+3y+1＝0垂直，则实数a 的值为4．
【分析】根据题意，求出曲线的导数，进而求出y′|x＝1＝a﹣1，由导数的几何意义以及直线互相垂直的判断方法可得k＝a﹣1＝3，解可得a的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，曲线，则y′＝﹣+，
则有y′|x＝1＝a﹣1，
则曲线在x＝1处的切线的斜率k＝a﹣1，
若曲线在x＝1处的切线与直线：x+3y+1＝0垂直，则k＝a﹣1＝3，
解可得a＝4；
故答案为：4．
【点评】本题考查利用导数分析切线的斜率，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．16．（5分）已知F是椭圆（a＞b＞0）的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，直线AF与椭圆另一交点为B，且，则椭圆的离心率为
【分析】根据三角形相似求出B点坐标，代入椭圆方程得出a，c的关系即可求出椭圆的离心率．
【解答】解：设A为椭圆上顶点，过B作x轴的垂线BD，垂足为D，
则＝，
∴DF＝OF＝，BD＝OA＝，
∴B（，﹣），
代入椭圆方程可得：+＝1，∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的简单性质，属于中档题．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知△ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为BC边的中点，a cos B ＝﹣（b+2c）cos A，AD＝1．
（1）求A；
（2）求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）根据正弦定理边化角可得；
（2）根据向量数量积以及基本不等式，面积公式可得．
【解答】解：（1）由a cos B＝﹣（b+2c）cos A以及正弦定理可得sin A cos B＝﹣（sin B+2sin C）cos A，
得sin A cos B+cos A sin B＝﹣2sin C cos A，
得sin C＝﹣2sin C cos A，
∵0＜C＜π，∴sin C≠0，
∴cos A＝﹣，
又0＜A＜π，∴A＝．
（2）∵点D为BC边的中点，
∴2＝+，
∴42＝（+）2＝2+2+2，
又AD＝1，∴4＝b2+c2+2bc cos＝b2+c2﹣bc≥bc，
∴bc≤4，当且仅当b＝c时等号成立．
∴S△ABC＝bc sin A＝bc，当且仅当b＝c时等号成立，
∴△ABC面积的最大值为．
【点评】本题考查了三角形中的几何计算，属中档题．
18．（12分）设S n为正项数列{a n}的前n项和，且满足a n2+2a n＝4S n+3．（1）求{a n}的通项公式；
（2）令b n＝，若T n＜m恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）由已知和数列的性质，可推出此数列为等差数列，利用定义写出通项即可；
（2）首先将b n变形成差的形式，T n利用b n这一特点可以消项化简，解不等式的m范围．【解答】解：（1）由题a n2+2a n＝4s n+3，…①
令n＝1，得a12+2a1＝4s1+3，解得a1＝3，
当n≥2时，a n﹣12+2a n﹣1＝4s n﹣1+3，…②
①﹣②得：（a n﹣a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0，
∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1﹣2＝0，
即a n﹣a n﹣1＝2
∴{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列，
∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
（2）b n＝＝，
∴T n＝[（）+（）+…+（）]
＝（）＝﹣＜，
若T n＜m恒成立，则m，
∴m的取值范围为[，+∞）．
【点评】本题属于一般题型，考察了数列的定义和基本性质，对式子的变形有所考察，总体上属于中档题．
19．（12分）“微信运动”是手机APP推出的多款健康运动软件中的一款，某学校140名老师均在微信好友群中参与了“微信运动”，对运动10000步或以上的老师授予“运动达人”
称号，低于10000步称为“参与者”，为了解老师们运动情况，选取了老师们在4月28日的运动数据进行分析，统计结果如下：
运动达人参与者合计男教师602080
女教师402060
合计10040140
（1）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关？
（2）从具有“运动达人号的教师中，采用按性别分层抽样的方法选取10人参加全国第四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动，若从选取的10人中随机抽取3人作为代表参加开幕式，设抽取的3人中女教师人数为X，写出X的分布列并求出数学期望E （X）．
参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：
P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828
【分析】（1）根据列联表数据得到k≈1.167＜3.841，从而不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关．
（2）根据分层抽样方法得选取的10人中，男教师有6人，女教师有4人，由题意得X 的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）根据列联表数据得到：
k＝≈1.167＜3.841，
∴不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关．（2）根据分层抽样方法得：
男教师有（人），
女教师有（人），
∴选取的10人中，男教师有6人，女教师有4人，
由题意得X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
∴X的分布列为：
X0123
P
E（X）＝＝．
【点评】本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，考查分层抽样、古典概率、排列组合等基础知识，是中档题．
20．（12分）已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点0，AB＝4，∠BAD＝120°，将△ACD 沿AC折起，使点D到达点P位置，满足△OPB为等边三角形．
（1）求证：AC⊥PB；
（2）求二面角P﹣BC﹣A的余弦值．
【分析】（1）由AC⊥PO，AC⊥OB，得AC⊥平面POB，由此能证明AC⊥PB．
（2）取OB中点M，连结PM，则PM⊥OB，AC⊥面POB，得AC⊥PM，以OC为x轴，OB为y轴，过点O作MP的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣BC﹣A的余弦值．
【解答】证明：（1）由已知，翻折后AC⊥PO，AC⊥OB，PO∩OB＝O，
∴AC⊥平面POB，
又PB?平面POB，∴AC⊥PB．
解：（2）在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，∠BAD＝120°，
∴BD＝4，OB＝2，
取OB中点M，连结PM，则PM⊥OB，
又AC⊥面POB，∴AC⊥PM，
又AC∩PO＝O，∴PM⊥面ABC，PM＝3，
以OC为x轴，OB为y轴，过点O作MP的平行线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则P（0，），B（0，2，0），C（2，0，0），
＝（2，﹣2，0），＝（0，，﹣3），
设平面PBC的法向量＝（x，y，z），
则，取z＝1，得＝（3，），
平面ABC的一个法向量＝（0，0，1），
∴cos＜＞＝＝，
∵二面角P﹣BC﹣A的平面角是锐角，
∴二面角P﹣BC﹣A的余弦值为．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．（12分）过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F做直线l交抛物线于A，B两点，|AB|的最小值为2．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过A，B分别做抛物线C的切线，两切线交于点E，且直线AE，BE分别与x轴交于点P，Q，记△EPQ和△0AB的面积分别为S△EPQ和S△OAB，求证为定值．
【分析】（1）设直线AB的方程并代入抛物线方程，求得弦长AB的解析式，再求出最小值与已知最小值相等，可得．
（2）通过求导，利用导数的几何意义求得A，B两点处抛物线的切线方程，并联立解得交点E的坐标，再根据面积公式求得两个面积再求比值可得．
【解答】解：（1）由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx+，
A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程，得x2﹣2pkx﹣p2＝0，
△＝（﹣2pk）2+4p2＞0，x1+x2＝2pk，x1x2＝﹣p2，
∴y1+y2＝k（x1+x2）+p，
∴|AB|＝y1+y2+p＝2pk2+2p＝2p（k2+1），
当k2＝0，|AB|最小，此时2p＝2，所以p＝1，
即抛物线的标准方程为x2＝2y
（2）由x2＝2y得y＝x2，∴y′＝x，
∴k AE＝x1，k BE＝x2，
直线AE：y﹣＝x1（x﹣x1），令y＝0得P（x1，0）；
直线BE：y﹣＝x2（x﹣x2），令y＝0得P（x2，0），
则联立两直线方程，消去x得y E＝﹣，
∴S△EPQ＝|y F||x P﹣x Q|＝|x1﹣x2|，
S OAB＝|OF||x1﹣x2|＝|x1﹣x2|，
所以＝，即为定值．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+2lnx（a∈R）．
（1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且x2≥e，求|f（x1）﹣f（x2）|的最小值．
【分析】（1）f′（x）＝2x+2a+＝．x∈（0，+∞）．由f（x）是单调函数，可得f′（x）在x∈（0，+∞）上恒非负．令y＝x2+ax+1，则，或﹣≤0，即可得出a的取值范围．
（2）f（x）的两个极值点x1，x2是方程x2+ax+1＝0的两个实数根．可得x1+x2＝﹣a，x1x2＝1．又x2≥e，可得0＜x1＜1＜e＜x2．f（x）在[x1，x2]上单调递减．可得
|f（x1）﹣f（x2）|＝f（x1）﹣f（x2）＝﹣+2a（x1﹣x2）+2ln，把根与系数代入化简可得：|f（x1）﹣f（x2）|＝﹣﹣2ln．设＝t≥e2．设h（t）＝t﹣﹣2lnt．，利用导数研究其单调性即可得出．
【解答】解：（1）f′（x）＝2x+2a+＝．x∈（0，+∞）．
∵f（x）是单调函数，∴f′（x）在x∈（0，+∞）上恒非负．
令y＝x2+ax+1，则，或﹣≤0，
解得a≥﹣2．
∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．
（2）f（x）的两个极值点x1，x2是方程x2+ax+1＝0的两个实数根．
∴x1+x2＝﹣a，x1x2＝1．
2019高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．在复平面内，复数z 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称，则复数z=（ ） A ．﹣1﹣i B ．1+i C ．2i D ．﹣1+i 2．某年龄段的女生体重y （kg ）与身高x （cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的线性回归直线方程为=0.85x ﹣85.71，给出下 列结论，则错误的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．若该年龄段内某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg C ．回归直线至少经过样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ）中的一个 D ．回归直线一定过样本点的中心点（，） 3．设随机变量ξ～N （2，9），若P （ξ＞c +3）=P （ξ＜c ﹣1），则实数c 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 4．定积分 dx 的值是（ ） A ． +ln2 B ． C ．3+ln2 D ． 5．下列说法正确的是（ ） A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B ．“?x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是“?x ∈R ，x 3﹣x 2+1＞0” C ．命题“若a 2+b 2=0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2+b 2≠0” D ．若命题“￢p”与“p 或q”都是真命题，则命题q 一定是真命题 6．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（ ） A ． B ． C ． D ． 7．“x ＜2”是“ln （x ﹣1）＜0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的． 1．命题〝假设2x =，那么2 320x x -+=〞的逆否命题是〔 〕 A 、假设2x ≠，那么2320x x -+≠ B 、假设2320x x -+=，那么2x = C 、假设2320x x -+≠，那么2x ≠ D 、假设2x ≠，那么2 320x x -+= 2．〝直线l 垂直于ABC △的边AB ，AC 〞是〝直线l 垂直于ABC △的边BC 〞的 〔 〕 A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既非充分也非必要条件 3 ．过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．假设AB 中点M 到抛物线 准线的距离为6，那么线段AB 的长为〔 ) A 、6 B 、9 C 、12 D 、无法确定 4．圆 042 2=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 ( ) A 、023=-+y x B 、043=-+y x C 、043=+-y x D 、023=+-y x 5．圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 〔 〕 A 、0 122 2 =+--+y x y x B 、041 222=- --+y x y x C 、0 122 2 =+-++y x y x D 、 041222=+ --+y x y x 6．在空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2)，(2,2,0)， (0,2,0)，(2,2,2)．那么该四面体在xOz 平面的投影为〔 〕
高二上学期期末数学试卷（理科） 一、选择题 1. 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（） A . B . C . D . 2. 直线x+y﹣3=0的倾斜角为（） A . B . C . D . 3. 为研究两变量x和y的线性相关性，甲、乙两人分别做了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程m和n，两人计算相同，也相同，则下列说法正确的是（） A . m与n重合 B . m与n平行 C . m与n交于点（，） D . 无法判定m与n是否相交 4. 一束光线从A（1，0）点处射到y轴上一点B（0，2）后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是（） A . x+2y﹣2=0 B . 2x﹣y+2=0 C . x﹣2y+2=0 D . 2x+y﹣2=0 5. 完成下列抽样调查，较为合理的抽样方法依次是（） ①从30件产品中抽取3件进行检查． ②某校高中三个年级共有2460人，其中高一890人、高二820人、高三810人，为了了解学生对数学的建议，拟抽取一个容量为300的样本； ③某剧场有28排，每排有32个座位，在一次报告中恰好坐满了听众，报告结束后，为了了解听众意见，需要请28名听众进行座谈．
A . ①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 B . ①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样 C . ①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 D . ①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 6. 有四个游戏盒，将它们水平放稳后，在上面仍一粒玻璃珠，若玻璃珠落在阴影部分，则可中奖，则中奖机会大的游戏盘是（） A . B . C . D . 7. 以点（5，4）为圆心且与x轴相切的圆的方程是（） A . （x﹣5）2+（y﹣4）2=16 B . （x+5）2+（y﹣4）2=16 C . （x﹣5）2+（y﹣4）2=25 D . （x+5）2+（y﹣4）2=25 8. 直线l1：（a+3）x+y﹣4=0与直线l2：x+（a﹣1）y+4=0垂直，则直线l1在x轴上的截距是（） A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 9. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近于圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的（四舍五入精确到小数点后两位）的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin75°=0.1305）
2019-2020学年高二年级上学期期末考试数学试卷 一、填空题（每小题 3分，共36 分） 1.关于,x y 的二元一次方程的增广矩阵为123015-?? ??? ，则x y += 。 【答案】8- 2.已知(5,1),(3,2)OA OB =-=，则AB 对应的坐标是 。 【答案】）（3,2 3.已知直线420ax y +-=与直线10x ay ++=重合,则a = 。 【答案】2- 4.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 中点，F 为BC 中点，则直线1A E 与1C F 的位置关系是 。 【答案】相交 5.圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于 。 【答案】2 6.已知复数22i z i +=，则z 的虚部为 。 【答案】1- 7..经过动直线 20kx y k -+=上的定点，方向向量为(1,1)的直线方程是 。 【答案】02=+-y x 8.复数34i +平方根是 。 【答案】） （i +±2 9.过点() ,0M 且和双曲线2222x y -=有相同的焦点的椭圆方程为 。 【答案】13 62 2=+y x 10.已知双曲线22 :1916 x y C -=的左、右焦点分别为12,F F P ，为双曲线C 的右支上一点， 且212PF F F =，则12PF F ?的面积等于 。 【答案】48 11.平面上一机器人在行进中始终保持与点(1,0)F 的距离和到直线1x =-的距离相等。 若机器人接触不到过点(1,0)P -且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是 。 【答案】）（）（+∞∞,11-,- 【解析】由抛物线定义可知，机器人的轨迹方程为x y 42 =，过点)0,1(-P 且斜率为k 的直
浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（4分）准线方程是y=﹣2的抛物线标准方程是（） A．x2=8y B．x2=﹣8y C．y2=﹣8x D．y2=8x 2．（4分）已知直线l1：x﹣y+1=0和l2：x﹣y+3=0，则l1与l2之间距离是（）A．B．C．D．2 3．（4分）设三棱柱ABC﹣A1B1C1体积为V，E，F，G分别是AA1，AB，AC的中点，则三棱锥E ﹣AFG体积是（） A．B．C．D． 4．（4分）若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，则m的值是（） A．0或2 B．2 C．D．或2 5．（4分）在四面体ABCD中（） 命题①：AD⊥BC且AC⊥BD则AB⊥CD 命题②：AC=AD且BC=BD则AB⊥CD． A．命题①②都正确 B．命题①②都不正确 C．命题①正确，命题②不正确D．命题①不正确，命题②正确 6．（4分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（） A．m⊥α，n?β，m⊥n?α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β?m⊥n C．α⊥β，m⊥α，n∥β?m⊥n D．α⊥β，α∩β=m，n⊥m?n⊥β 7．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣BD1﹣B1的大小是（） A．B．C． D． 8．（4分）过点（0，﹣2）的直线交抛物线y2=16x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y12﹣y22=1，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（） A．B．C．D． 9．（4分）已知在△ABC中，∠ACB=，AB=2BC，现将△ABC绕BC所在直线旋转到△PBC，设二面角P﹣BC﹣A大小为θ，PB与平面ABC所成角为α，PC与平面PAB所成角为β，若0＜θ＜π，则（）
2019学年山东省高二上期末理科数学试卷【含答案及 解析】 姓名___________ 班级____________ 分数__________ 一、选择题 1. 在△ ABC中，若，则等于（） A ． B ． C ． D ． 2. 已知命题，则的否定形式为（） A． B ． C．____________________________ D ． 3. 抛物线的焦点坐标是（） A ．______________ B ．____________________ C ． ______________ D ． 4. 已知，，那么（） A． B． _________ C．________ D ． 5. 数列的前项和为，若，则 = （） A ．______________ B ．______________ C ．
______________ D ． 6. 在△ ABC 中，若 a 、 b 、 c 成等比数列，且 c = 2 a ，则 等于（） A ．___________ B ．_________ C ．_________ D ． 7. 一元二次不等式的解集是，则的值是（） A ．____________________ B ．___________________ C ． ______________ D ． 8. 已知数列，则数列的前10项和为（） A ．______________ B ．______________________ C ． _______________________ D ． 9. 以下有关命题的说法错误的是（） A ．命题“若，则”的逆否命题为“若，则 ” B ．“ ”是“ ”的充分不必要条件 C ．命题“在△ABC中，若”的逆命题为假命题； D ．对于命题，使得，则，则 10. 设为等比数列的前n项和，，则（） A ．______________ B ．___________________________________ C ． _________ D ． 11. 不等式成立的一个充分不必要条件是（） A ．________ B ．___________ C ．
高 二 上 学 期 数 学 期 末 测 试 题 一、选择题：1．不等式21 2 >++ x x 的解集为（ ） A.()()+∞-,10,1Y B.()()1,01,Y -∞- C.()()1,00,1Y - D.()()+∞-∞-,11,Y 2．0≠c 是方程 c y ax =+22 表示椭圆或双曲线的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．不充分不必要 3.若,20πθ≤≤当点()θcos ,1到直线01cos sin =-+θθy x 的距离为41,则这条直线的斜率为（ ） B.－1 C.2 3 D.－ 3 3 4.已知关于x 的不等式012 3 2>+-ax ax 的解集是实数集 R ，那么实数a 的取值范围是（ ） A.[0，9 16] B.[0, 9 16） C.（9 16,0） D.????? ? 38,0 5.过点（2，1）的直线l 被04222=+-+y x y x 截得的最长弦所在直线方程为：( ) A. 053=--y x B. 073=-+y x C. 053=-+y x D. 013=+-y x 6.下列三个不等式：①;232x x >+②2,0,≥+≠∈b a a b ab R b a 时、；③当0>ab 时，.b a b a +>+其中恒成立的不等 式的序号是（ ）A.①② B.①②③ C.① D.②③ 7.圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ） A ．041 222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y x C ．0122 2 =+--+y x y x D ．04 1222=+--+y x y x 8.圆C 切y 轴于点M 且过抛物线452+-=x x y 与x 轴的两个交点，O 为原点，则OM 的长是（ ） A ．4 B ． C ．22 D ．2 9.与曲线14924 22=+y x 共焦点，而与曲线164 36 2 2=-y x 共渐近线的双曲线方程为（ ） A ．19 1622=-x y B ．191622=-y x C ．116922=-x y D ．116 92 2=-y x 10.抛物线x y 42-=上有一点P ，P 到椭圆115 162 2=+y x 的左顶点的距离的最小值为（ ） A ．32 B ．2+ 3 C ． 3 D ．3 2- 11.若椭圆)1(122>=+m y m x 与双曲线)0(122 >=-n y n x 有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则2 1PF F ?的面积是（ ）A ．4 B ．2 C ．1 D ．
东联现代中学２014-2015学年第一学期高二年级期末考 试 文科数学 【试卷满分:１5０分，考试时间:1２０分钟】 一、选择题:本大题共1２小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1、抛物线x y 162 =的焦点坐标为（ ) A ． )4,0(- Ｂ. )0,4( C. )4,0( D. )0,4(- 2．在ABC ?中,“3 π = A ”是“1 cos 2 A = ”的（ ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭 圆的离心率为（ ) A. B ． C. Ｄ. ４、ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，若A b c cos <，则ABC ?为 （ ） A 、等边三角形 B 、锐角三角形 Ｃ、直角三角形 Ｄ、钝角三角形 5．函数ｆ（x )=ｘ-ln x 的递增区间为（ ) A ．(－∞，１) ?B.(0,1) C.（１，＋∞) D.(0，+∞) 6. 已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图 所示,那么函数()f x 的图象最有可能的是( ） 220x y -+=22 221(0)x y a b a b +=>>55122552 3
7．设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ,则 2 4 a S 的值为( ) (A ）154 ? (B)152? ?(C)74 （D ）72 8．已知实数x y ，满足2203x y x y y +≥?? -≤??≤≤? ， ，，则2z x y =-的最小值是（ ） (Ａ）5 （B ） 52 （Ｃ)5- (D ）52 - 9．已知12(1,0),(1,0)F F -是椭圆的两个焦点，过1F 的直线l 交椭圆于,M N 两点,若 2MF N ?的周长为8，则椭圆方程为（ ） (A ）13422=+y x (B ）1342 2=+x y (C ） 1151622=+y x (Ｄ）115 162 2=+x y １0、探照灯反射镜的轴截面是抛物线)0(22>=x px y 的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口圆的直径为６0cm,灯深４0cm ，则抛物线的焦点坐标为 ( ) Ａ、??? ??0,245 B 、??? ??0,445 C 、??? ??0,845 Ｄ、?? ? ??0,1645 11、双曲线C 的左右焦点分别为21,F F ，且2F 恰好为抛物线x y 42=的焦点,设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ,若21F AF ?是以1AF 为底边的等腰三角形,
2019-2020学年度上学期期末考试 高二数学（理科）试卷 考试时间：120分钟 试题分数：150分 卷Ⅰ 一、 选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 对于常数m 、n ，“0mn <”是“方程221mx ny +=的曲线是双曲线”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是 A ．所有不能被2整除的数都是偶数 B ．所有能被2整除的数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的数是偶数 D ．存在一个能被2整除的数不是偶数 3. 已知椭圆116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为7，则P 到另一焦点距离为 A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 4 . 在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()()p q ?∨? B ．()p q ∨? C ．()()p q ?∧? D ．p q ∨ 5. 若双曲线22 221x y a b -=3 A ．2± B. 1 2 ± C. 222± 6. 曲线sin 1 sin cos 2 x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为 A. 22 B. 22- C. 12 D. 1 2 -
7． 已知椭圆)0(1222222>>=+b a b y a x 的焦点与双曲线122 22=-b x a y 的焦点恰好是一个 正方形的四个顶点，则抛物线2bx ay =的焦点坐标为 A. )0,43( B. )0,123( C. )123,0( D.)43,0( 8．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜. 记三种盖法屋顶面积分别为123,,P P P ， ① ② ③ 若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 A. 123P P P == B. 123P P P =< C. 123P P P <= D. 123P P P << 9. 马云常说“便宜没好货”,他这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的 A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 10. 设0>a ，c bx ax x f ++=2)(，曲线)(x f y =在点P （)(,00x f x ）处切线的倾斜角的取值范围是]4 ,0[π ，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为 A. ]1,0[a B. ]21 ,0[a C. ]2,0[a b D. ]21,0[a b - 11. 已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在α内，且60POB ∠=?.若对于β内异于O 的任意一点Q ，都有60POQ ∠≥?，则二面角AB αβ--的大小是 A. 30? B.45? C. 60? D.90? 12. 已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象 限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且2 1 tan 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为
高二上学期期末数学试卷（理科A卷） 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共12题；共24分) 1. （2分） (2016高二下·玉溪期中) 复数的共轭复数是a+bi（a，b∈R），i是虛数单位，则点（a，b）为（） A . （1，2） B . （2，﹣i） C . （2，1） D . （1，﹣2） 2. （2分） (2017高二下·嘉兴期末) 已知实数x，y满足，则x+2y的取值范围为（） A . [﹣3，2] B . [﹣2，6] C . [﹣3，6] D . [2，6] 3. （2分）设，则“”是“”的（） A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 4. （2分）函数f（x）=（）的单调递增区间为（）
A . （﹣∞，﹣1] B . [2，+∞） C . （﹣∞，） D . （，+∞） 5. （2分）点A(x,y)是300°角终边上异于原点的一点，则值为（） A . B . - C . D . - 6. （2分）设(5x－1)n的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N，若M－N＝240,则展开式中x3的系数为（） A . －150 B . 150 C . －500 D . 500 7. （2分） (2019高三上·长治月考) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A . B . C . 2 D . 8. （2分）如图所示为一电路图，从A到B共有（）条不同的线路可通电（） A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 9. （2分） (2017高二下·临川期末) 已知变量x ， y具有线性相关关系，测得（x ， y）的一组数据如下：（0,1），（1,2），（2,4），（3,5），其回归方程为，则的值是（） A . 1 B . 0.9 C . 0.8 D . 0.7 10. （2分） (2016高二下·邯郸期中) 2+22+23…+25n﹣1+a被31除所得的余数为3，则a的值为（） A . 1 B . 2
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题（理科） 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合0，，，则 A. B. 0， C. D. 【答案】C 【解析】解：； ． 故选：C． 可求出B，然后进行并集的运算即可． 考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及并集的运算． 2.已知数列中，，则 A. 4 B. 9 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】解：数列中，， 则． 故选：D． 利用通项公式即可得出． 本题考查了数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.已知椭圆C：中，，，则该椭圆标准方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：根据题意，椭圆C：，其焦点在x轴上， 若，，则， 则椭圆的方程为； 故选：A． 根据题意，分析椭圆的焦点位置，由椭圆的几何性质可得b的值，代入椭圆的方程即可得答案． 本题考查椭圆的标准方程，注意掌握椭圆标准方程的形式，属于基础题． 4.若向量，，则 A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】解：向量，， 0，，
． 故选：D． 利用向量坐标运算法则求解0，，由此能求出的值． 本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是基础题． 5.设a，，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】解：若， ，不等式等价为，此时成立． ，不等式等价为，即，此时成立． ，不等式等价为，即，此时成立，即充分性成立． 若， 当，时，去掉绝对值得，，因为，所以，即． 当，时，． 当，时，去掉绝对值得，，因为，所以，即即必要性成立， 综上“”是“”的充要条件， 故选：C． 根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键． 6.若x，y满足，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：x，y满足的区域如图： 设， 则， 当此直线经过时z最小，所以z的最小值 为； 故选：B． 画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最 小值． 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合
高二上学期数学期末考试试卷 一、解答题 1. 直线的倾斜角的大小为________． 2. 设直线，， ． （1）若直线，，交于同一点，求m的值； （2）设直线过点，若被直线，截得的线段恰好被点M平分，求直线的方程． 3. 如图，在四面体中，已知⊥平面， ，，为的中点． （1）求证：； （2）若为的中点，点在直线上，且， 求证：直线//平面． 4. 已知，命题{ |方程 表示焦点在y轴上的椭圆}，命题{ |方程
表示双曲线}，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数的取值范围． 5. 如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直， ，． （1）求二面角的大小； （2）求点到平面的距离. 6. 已知圆C的圆心为，过定点 ，且与轴交于点B，D． （1）求证：弦长BD为定值； （2）设，t为整数，若点C到直线的距离为，求圆C的方程． 7. 已知函数（a为实数）. （1）若函数在处的切线与直线 平行，求实数a的值； （2）若，求函数在区间上的值域； （3）若函数在区间上是增函数，求a的取值范围． 8. 设动点是圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，若点在线段上，且满足．
（1）求点的轨迹的方程； （2）设直线与交于，两点，点 坐标为，若直线，的斜率之和为定值3，求证：直线必经过定点，并求出该定点的坐标． 二、填空题 9. 命题“对任意的”的否定是________． 10. 设，，且// ，则实数________． 11. 如图，已知正方体的棱长为a，则异面直线 与所成的角为________． 12. 以为准线的抛物线的标准方程是________． 13. 已知命题: 多面体为正三棱锥，命题:多面体为正四面体，则命题是命题的________条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”之一） 14. 若一个正六棱柱的底面边长为，侧面对角线的长为，则它的体积为________． 15. 函数的单调递减区间为________．
华中师大一附中2018—2019学年度上学期期末考试 高二年级数学(理科)试题 时间：120分钟 满分：150分 命题人：黄倩 审题人：黄进林 一、 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.) 1.用秦九韶算法求多项式542()2253f x x x x x =-+++当3x =的值时，02,v =15v =，则2v 的值是 A.2 B.1 C.15 D.17 2.某宠物商店对30只宠物狗的体重(单位：千克)作了测量，并根据所得数据画出了频率分布直方图如下图所示，则这30只宠物狗体重(单位：千克)的平均值大约为 A.15.5 B.15.6 C.15.7 D.16 3.若方程12348x x x x +++=，其中22x =，则方程的正整数解的个数为 A.10 B.15 C.20 D.30 4.过(2,1)作圆223x y +=的切线，切点分别为,A B ，且直线AB 过双曲线22 21(0)2 x y a a -=>的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 A.2y x =± B.y =± C.y = D.y = 5.给出下列结论： (1)某学校从编号依次为001，002，…，900的900个学生中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为053，098，则样本中最大的编号为862. (2)甲组数据的方差为5，乙组数据为5、6、9、10、5，那么这两组数据中较稳定的是甲. (3)若两个变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1. (4)对A 、B 、C 三种个体按3:1:2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A 种个体有15个，则样本容量为30. 则正确的个数是 A.3 B.2 C.1 D.0 6.已知,x y 是0~1之间的两个均匀随机数，则“,,1x y 能构成钝角三角形三边”的概率为 A.24π- B.44π- C.43π- D.23 π- 7.已知实数,x y 满足3301 1101 x x y x y y ?≤≤? ? -≥-?? ?≤≤?，则121y x --的取值范围是 A.(－∞，0]∪(1，+∞) B.(－∞，0]∪[1，+∞) C.(－∞，0]∪[2，+∞) D.(－∞，0]∪(2，+∞) 8.在二项 式n 的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，则系数最小的项是 A.第6项 B.第5项 C.第4项 D.第3项 9.已知椭圆2 2 22 :1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆C 交于,M N 两点， 若2 1225MNF MF F S S ??=且2121F F N F NF ∠=∠，则椭圆C 的离心率为 A.25 C.35 10.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷三次，则数字之和能被3整除的概率为
（选修2-1） 说明： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共36分) 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、座号、考试科目涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，在试题卷上作答无效。 一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。） 1.下列命题是真命题的是 A 、“若0=x ，则0=xy ”的逆命题； B 、“若0=x ，则0=xy ”的否命题； C 、若1>x ，则2>x ； D 、“若2=x ，则0)1)(2(=--x x ”的逆否命题 2.已知p:522=+，q:23>，则下列判断中，错误．．的是 A 、p 或q 为真，非q 为假； B 、p 且q 为假，非p 为真； C 、p 且q 为假，非p 为假； D 、p 且q 为假，p 或q 为真； 3．对抛物线24y x =，下列描述正确的是 A 、开口向上，焦点为(0,1) B 、开口向上，焦点为1(0, )16 C 、开口向右，焦点为(1,0) D 、开口向右，焦点为1(0, )16 4．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么A ?是B ?的 A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 5.经过点)62,62(-M 且与双曲线1342 2=-y x 有共同渐近线的双曲线方程为 A ．18622=-y x B ．18 62 2=-x y C ． 16822=-y x D ．16822=-x y 6.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆13 43 2=+y x 上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是 A.23 B. 8 C.34 D. 4
高二上学期数学期末考试试卷及答案 考试时间：120分钟试题分数：150分 卷Ⅰ 一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.对于常数、，“”是“方程的曲线是双曲线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是 A.所有不能被2整除的数都是偶数 B.所有能被2整除的数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的数是偶数 D.存在一个能被2整除的数不是偶数 3.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为 A.B.C.D. 4.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题是“甲降落在指定范围”,是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A.B.C.D. 5.若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为 A.B.C.D. 6.曲线在点处的切线的斜率为
A.B.C.D. 7.已知椭圆的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线的焦点坐标为 A.B.C.D. 8.设是复数,则下列命题中的假命题是 A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 9.已知命题“若函数在上是增函数，则”，则下列结论正确的是 A.否命题“若函数在上是减函数，则”是真命题 B.逆否命题“若，则函数在上不是增函数”是真命题 C.逆否命题“若，则函数在上是减函数”是真命题 D.逆否命题“若，则函数在上是增函数”是假命题 10.马云常说“便宜没好货”,他这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的 A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条 件 11.设，，曲线在点()处切线的倾斜角的取值范围是，则到曲线 对称轴距离的取值范围为 A.B.C.D. 12.已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数 为 A.2 B.3 C.4 D.5 卷Ⅱ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.=（） A. 5 B. 5i C. 6 D. 6i 2.已知集合A={x∈N|x＜3}，B={x|x2-x≤0}，则A∩B=（） A. {0，1} B. {1} C. [0，1] D. （0，1] 3.若曲线y=x2+ax在点（1，a+1）处的切线与直线y=7x平行，则a=（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4.某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6：5，为了解学生的视力情况， 现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多12 人，则n=（） A. 990 B. 1320 C. 1430 D. 1560 5.设向量与向量垂直，且=（2，k），=（6，4），则下列下列与向量+共线的是 （） A. （1，8） B. （-16，-2） C. （1，-8） D. （-16，2） 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （） A. 3π B. 4π C. 6π D. 8π 7.若函数f（x）=有最大值，则a的取值范围为（） A. （-5，+∞） B. [-5，+∞） C. （-∞，-5） D. （-∞，-5] 8.设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值与最小值的比值为（） A. -1 B. C. -2 D. 9.已知函数，若对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成 立，则|x1-x2|的最小值为（） A. 2 B. 1 C. D. 4
10.等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10=10，S30=30，则S20=（） A. 20 B. 10 C. 20或-10 D. -20或10 11.若点（log147，log1456）在函数f（x）=kx+3的图象上，则f（x）的零点为（） A. 1 B. C. 2 D. 12.若实轴长为2的双曲线C：上恰有4个不同的点 2,3,满足,其中,,则双曲线C的虚轴长的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.按文献记载，《百家姓》成文于北宋初年，表1记录了《百家姓）开头的24大姓 氏 表1 表记录了年中国人口最多的前大姓氏： 表2 从《百家姓》开头的24大姓氏中随机选取1个姓氏，则这个姓氏是2018年中国人口最多的前10大姓氏的概率为______ 14.已知tan（α+β）=1，tan（α-β）=5，则tan2β=______． 15.阿基米德公元前287年公元前212年不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家, 他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为,面积为 ,则椭圆C的标准方程为______. 16.四棱锥P-ABCD的每个顶点都在球O的球面上，PA与矩形ABCD所在平面垂直， AB=3，AD=，球O的表面积为13π，则线段PA的长为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17.已知数列,的前n项和分别为,,,且． 求数列的前n项和； 求的通项公式． 18.某市A，B两校组织了一次英语笔试（总分120分）联赛，两校各自挑选了英语笔 试成绩最好的100名学生参赛，成绩不低于115分定义为优秀．赛后统计了所有参赛学生的成绩（都在区间[100，120]内），将这些数据分成4组：[100，105），[105，
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．方程x2+y2+2ax﹣by+c=0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c 的值依次为（） A．2，4，4 B．﹣2，4，4 C．2，﹣4，4 D．2，﹣4，﹣4 2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（） A．①②B．①③C．①④D．②④ 3．点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．a=±1 4．直线y=x﹣1上的点到圆x2+y2+4x﹣2y+4=0上的点的最近距离为（） A．B．C．D．0 5．给出下列四个命题： （1）平面内的一条直线与平面外的一条直线是异面直线； （2）若三个平面两两相交，则这三个平面把空间分成7部分； （3）用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台； （4）一条直线与两条异面直线中的一条直线相交，那么它和另一条直线可能相交、平行或异面． 其中真命题的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 6．直线x+y﹣2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是（） A．B．C．D． 7．若圆台的上、下底面半径的比为3：5，则它的中截面分圆台上下两部分面积之比为（） A．3：5 B．9：25 C．5：D．7：9 8．过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）
A．y=B．y=﹣C．D． 9．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形 C．顶角为30°的等腰三角形 D．其他等腰三角形 10．已知，N={（x，y）|y=x+b}，若M∩N≠?，则b∈（） A．B．C．D． 11．用若干个棱长为1cm的小正方体叠成一个几何体，图1为其正视图，图2为其俯视图，若这个几何体的体积为7cm3，则其侧视图为（） A．B．C．D． 12．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，B1C1的中点，则过这三点的截面图的形状是（） A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．以点A（1，4）、B（3，﹣2）为直径的两个端点的圆的方程为．14．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是． 15．正四面体的内切球与外接球的体积之比． 16．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm2）为．
2019学年湖北省高二上学期期末数学试卷【含答案及 解析】 姓名___________ 班级____________ 分数__________ 一、选择题 1. （2013?宣武区校级模拟）用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的机率是（） A． B． C． D． 2. （2015?安徽模拟）已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α ∥ β是“l ∥ β” 的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. （2010?云南模拟）已知向量 =（1，1，0）， =（﹣1，0，2），且 与互相垂直，则k的值是（） A．1 B． C． D． 4. （2015秋?黄冈校级期末）为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地作10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1 和l 2 ．已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t．那么下列说法正确的是（） A．直线l 1 和l 2 相交，但是交点未必是点（s，t） B．直线l 1 和l 2 有交点（s，t） C．直线l 1 和l 2 由于斜率相等，所以必定平行
D．直线l 1 和l 2 必定重合 5. （2015秋?黄冈校级期末）“若a≠0或b≠0，则ab≠0”的否命题为（） A．若a≠0或b≠0，则ab=0 B．若a≠0且b≠0，则ab=0 C．若a=0或b=0，则ab=0 D．若a=0且b=0，则ab=0 6. （2014?开福区校级模拟）若椭圆和双曲线的共同焦点为F 1 ，F 2 ，P是两曲线的一个交点，则|PF 1 |?|PF 2 |的值为（） A． B．84 C．3 D．21 7. （2015秋?黄冈校级期末）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数（满分10分）茎叶图如图：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（） A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.016 8. （2011?洛阳二模）巳知F 1 ，F 2 是椭圆（a＞b＞0）的两焦点，以线 段F 1 F 2 为边作正三角形PF 1 F 2 ，若边PF 1 的中点在椭圆上，则该椭圆的离心率是（） A．﹣1 B． +1 C． D． 9. （2015秋?黄冈校级期末）某人有5把钥匙，其中2把能打开门．现随机取钥匙试着开门，不能开门就扔掉．则恰好在第3次才能开门的概率为（） A． B． C． D． 10. （2015秋?黄冈校级期末）已知双曲线的一条渐近线方程为3x﹣ 2y=0．F 1 、F 2 分别是双曲线的左、右焦点，过点F 2 的直线与双曲线右支交于A，B 两点．若|AB|=10，则△ F 1 AB的周长为（）