河南理工大学2012级高等数学[下]期末试卷
一、填空（每小题4分，共24分）
1．函数2
2
ln(1)z x y =--的定义域是 ，函数在 是间断的.
2．设函数2
2
sin()z x y =+，则
z
x
?=? ，z y ?=? .
4．设2222
:x y z a ∑++=，则曲面积分
2
22()x
y z dS ∑
++??= .
5．设:11,02D x y -≤≤≤≤，则二重积分
2D
x yd σ??= . 6．如果微分方程的通解的所有任意常数的值确定后，所得到的微分方程的解称之
为 解. 二、解答下列各题（每小题6分，共18分） 1．求函数22
ax by z e
+=（,a
b 为常数）的全微分.
2．求曲面22
20x y z +-=在点处的切平面方程和法线方程.
3．求微分方程(1)x
x
e yy e '-=的通解. 三、解答下列各题（每小题6分，共18分） 1．设(),z xy xF u =+而,()y
u F u x
=为可导函数，试计算z z x y x y ?
?+??. 2．计算三重积分,.zdxdydz Ω
???
其中Ω是由曲面z =22z x y =+所围成的闭区域.
3．计算曲面积分
xyzdydz ∑
??
，其中∑是柱面222(0)x y a x +=≥介于平面0y =及(0)y h h =>之间部分的前侧。
四、（12分）求微分方程''3'2cos y y y x -+=的通解.
五、（12分）求曲线积分22
(1),(1)L ydx x dy
x y ---+?其中： （1）（8分）L 为圆周2
2
20x y y +-=的正向.
（2）（4分）L 为椭圆2
2
480x y x +-=的正向
六、（10分）求表面积为36，而体积为最大的长方体的体积.
七、（7分）讨论函数2222
3
222220(,)()0
0x y x y f x y x y x y ?+≠?=?+?
+=? 在（0，0）处的连续性.
河南理工大学2011级高等数学（下）期末试卷
一．填空题（每小题4分，共40分）
1．设函数3
3
z x y y x =-，则全微分dz = 2．设函数(,),u f x y xy f =+具有一阶连续偏导数，则u
x
?=? 3．二重积分1
20
(,)y
I dy f x y dx =
?
?
，改变积分次序后I = .
4．直角坐标系下的三次积分
1
1
I dx f dz -=?
化为球坐标系下
的三次积分I =
5．若区域2
2
2
2
:x y z R Ω++=，则三重积分
xyzdxdydz Ω
???=
6．当λ= 时，(2)()x y dx x y dy λ+++为某二元函数(,)u x y 的全微分.
7．曲线积分22
()L
I x y dx =-?
，其中L 是抛物线2
y x =上从点(0,0)A 到(2,4)B 的一段弧，
则I = .
8．当∑为xoy 面内的一个闭区域D 时，曲面积分与二重积分的关系为
(,,)f x y z dS ∑
??= .
9．二阶常系数齐次线性微分方程''2'0y y y ++=的通解为y = 10. 二阶常系数非齐次线性微分方程''2'2x
y y y e
--+=的特解形式为y *=
二．（10分）(,)u v Φ具有连续偏导数，证明由方程(,)0cx az cy bz Φ--= 所确定
的函数(,)z f x y =满足z z
a b c x y
??+=??
三．（10分）由锥面z =22z x y =+所围立体体积
四．（10分）求螺旋线cos ,sin ,x a y a z b θθ===在(,0,0)a 处的切线方程及法平面方程.
五、（10分）利用高斯公式计算曲面积分11()()x x
I f dydz f dzdx zdxdy y y x y
∑
=
++??
，
其中()f u 具有二阶连续导数，∑为上半球面z =与0z =所围成空间闭区
域Ω的整个边界曲面的外侧. 六．（10分）设曲线积分
2()[2()]L
yf x dx xf x x dy +-?
在右半平面(0)x ≥内与路径无关，其
中()f x 可导且(1)1f =，求()f x .
七．（10分）二阶常系数非齐次线性微分方程''2'33y y y x --=，求其通解.
河南理工大学2010级高等数学[下]期末试卷
一．填空题（每小题4分，共32分）
1．设函数2()y z tg x =，则z
x
?? ，z y ?? .
2．曲线2
2
3
3
,,x t y t z t ===在(1,1,1)M 处的切线方程为.
3．交换二次积分次序，
2
2
20
(,)y y dy f x y dx =?
?
.
4．设L 为右半圆周：2
2
1(0)x y x +=≥，则曲线积分L
I yds =?
.
5．设∑为平面
1234x y z
++=在第一卦限中的部分，则曲面积分()234x y z dS ∑
++=?? .
8．求微分方程22
9200d y dy
y dx dx
-+=的通解为 . 二．解答下列各题（每小题7分，共35分） 1．设0,z
e xyz dz -=求.
2．讨论函数2
2
(1)2z x y =--是否有极值
4．求微分方程sin ()1dy
x y x
dx y π?+=???=?
的特解.
5．求微分方程1y y '''+=的通解.
三．（11分）利用格林公式计算曲线积分(1cos )(sin 2)x x L
I e y dx e y x dy =
-+-?
，其中L 为
从原点(0,0)0O A π到（，）的正弦曲线sin y x =.
四．（11分）利用高斯公式计算曲面积分23
I ydydz x dzdx z dxdy ∑
=
++??，其中∑是球面
2222x y z a ++=的内侧.
五．（11
分）求由锥面z =22z x y =+所围成的立体的体积.
河南理工大学2009级高等数学[下]期末试卷
一．填空题（每小题4分，共32分） 1．设函数(),y z f f x =可微，则z z x
y x y
??+=?? . 2．曲线22
3
3
,,x t y t z t ===在t
=1处的法平面方程为： . 3．设区域D 由,2y x x ==及1
y x =
所围，则化二重积分(,)D
I f x y d σ=??为先x y 后的二次积分后的结果为 .
4．设L 为圆弧：22
2,0x y y +=≥，则曲线积分22()L
I x y ds =+=?
.
5．设:1)z z ∑=
≤≤，则曲面积分2I ds ∑
=?= .
8．二阶常系数非齐次线性微分方程32
4''12'9x y y y e
-++=的特解形式为y *= .（不
要求计算） 二．解答下列各题（每小题7分，共28分）
1．求函数z =(
,)0y x
F z z
=，其中F 具有一阶连续偏导数，求dz . 2．讨论22
4()z x y x y =--的极值.
4．求微分方程1cos sin 2dy dx x y y
=+的通解. 三．（10分）设L 为2
2
2
(0)x y a a +=>沿顺时针方向的上半圆，计算曲线积分
22L
I xy dy x ydx =-?.
四．（10分）求由球面2222()x y z a a ++-=及222
z x y =+所围成的立体的体积. 五．（10分）利用高斯公式计算曲面积分2
42I xzdydz y dzdx yzdxdy ∑
=
-+??，其中∑是球面2221x y z ++=外侧的上半部分.
六、（10分）求()f x ，使曲线积分2
[(2)()][()]L
I y xy f x y dx x
y f x dy '=
+-++/?与路径无
关，其中()f x 具有二阶连续导数，且(0)0,(0)1f f '==/.
河南理工大学2008级高等数学[下]期末试卷
一．填空题（每小题4分，共32分）
1．设函数4
4
2
2
4,z x y x y =+-则
2z
x y
?=?? . 2．设xy
z e =，则dz = .
3．曲线12
2
12,2,x t y t z t t =+=+=在=1处的法平面方程为 .. 4．交换二次积分次序，则
2
2
20
(,)y y dy f x y dx =?
?
.
5．设L 为圆周：2
2
2
x y a +=，则曲线积分22()n L
I x y ds =
+?
.
6．当∑为xoy 平面内的一个闭区域D 时，则曲面积分
dS ∑
=?? .
7．微分方程'ln 0xy y y -=的通解为 . 8．微分方程''6'130y y y ++=的的通解为 .
二．解答下列各题（每小题7分，共28分）
1．(,)z z x y =由方程(),0cx az cy bz ?--=所确定，其中?具有连续的偏导数，求,z z
x y
????. 2．计算二重积分
(),D
x y d σ+??
其中D 是由2
1,y y x ==所围成的闭区域. 3．利用高斯公式计算曲面积分222(3)(2)I xz dydz x y dzdx y z dxdy ∑
=+-++??
，其中∑是球
面2
2
2
2
x y z a ++=的外侧. 4．求微分方程226dx
y
x y dy
=-的通解. 三．（10分）某厂要用铁板做成一个体积为3
4m 的无盖长方形水箱，问长、宽、高各取多少时，
才能使用料最省.
四．（10分）求由曲面22
z x y =+及2
2
8z x y =--所围成的立体的体积.
五．（10分）微分方程2'''2x
y y y e +-=的通解. 六．（10分）曲线积分
2()L
xy dx y x dy ?+?
与路径无关，其中()x ?具有连续的导数，且
(0)0?=，计算(1,1)
2(0,0)()xy dx y x dy ?+?.
河南理工大学2007级高等数学[下]期末试卷
一、填空题（每小题3分，共30分）
（1）设3
3
2
2
3z x y x y =+-，则22___________z
x
?=?.
（2）设33
z x y y x =-，则全微分________________dz =.
（3）曲线223
3
2,3,x t y t z t ===在(2,3,1)M 处的切线方程为 . （4）交换二次积分次序，则
1
20
(,)y
dy f x y dx =?
?
.
（5）设有曲线：y x =的起点为（0，0），终点为（1，1）则曲线积分：L
yds =?
.
（6）设曲面∑是锥面(0)z a a =>在柱面222x y a +=内部那一部分上侧，则曲
面积分(I z dS ∑
=
+=??
. （7）设(,)f x y 具有连续偏导数，且2
2
1(,)1,(,),f x x f x x x '
==则2
2(,)f x x '
= . （8）当λ= 时，(2)()x y dx x y dy λ+++为某二元函数(,)u x y 的全微分. (9) 微分方程0x
x
ye dx e dy +=的通解为
(10) 微分方程22690d y dy y dx dx
-+=的通解为
二．（7分）设22
2
2230,;.z
z x y z z x
x
??++-=??求
. 三．（7分）利用拉格朗日乘数法求解问题：从斜边之长为l 的一切直 角三角形中，求有最大周长的直角三角形. 四 （7分）利用适当的坐标计算积分2
2
,D
x dxdy y
??
其中D 是由直线： 2,x y x ==及曲线1xy = 所围城的闭区域.
五 （10分）利用高斯公式计算曲面积分：333
,I x dydz y dzdx z dxdy ∑
=++??
其中∑
是曲面z =
上侧.
六．(10分) 利用格林公式，计算曲线积分：
(24)(536),L
x y dx y x dy -+++-?
其中L
为三顶点分别为（0，0）、（3，0）和（3，2）的三角形正向边界.
七．(10分) 求由抛物面2
21()2
z x y =
+与平面1z = 所围成空间闭区域内的立体的质 量，已知此立体的体密度为:(,,).x y z z ρ=
八．(10分) 二阶常系数非齐次线性微分方程 65y y y x '''--=，求其通解.
九．（9分）设曲线积分22
31()[()]22L
y x dx x x ydy ??+-?与路径无关, 其中()x ?具有连续的
一阶导数,且当其为起点在O （0，0）终点为B （1，1）的有向曲线时，该曲线积分值等于1
,4
求函数()x ?.
河南理工大学2006级高等数学[下]期末试卷
一、填空题（每小题3分，共30分）
（1）设(,,)u f x y z =,sin y x =，2
z x =,f 具有一阶连续偏导数，则du
dx
= （2）设2sin2x y z e
=，则全微分dz =
（3）曲面23z
z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 （4）交换二次积分次序，则2
1
1
(,)x
dx f x y dy =?
?
（5）计算二重积分的值
4D
xydxdy =?? ，其中:01,01D x y ≤≤≤≤
（6）曲线L 为球面2
2
2
2
x y z a ++=与平面x y =相交的圆周，其中0a >，则曲线积分
222L
y z ds +=?
（7）设曲面∑是在柱面2
2
2
x y a += (0)a >上介于;z h z h =-=(0)h >的部分，则曲面积
分I ds ∑
=
=??
（8）当a = 时，曲线积分3222(cos )(12sin 3)L
axy y x dx y x x y dy -+-+?
与路
径无关.
（9）微分方程
2x dy
y be dx -+=（b 为常数）的通解为 （10）微分方程22
90d y
y dx +=的通解为 二、（8分）已知三个正数,,x y z 之和为12，求32
u x y z =的最大值.
三、（8分）计算二重积分sin D
x
dxdy x ??的值，其中D 是由直线y x =及曲线2y x =所围成的闭区域.
四、（10分）求旋转抛物面2
2
2z x y =--
与锥面z =
.
五、（10分）求(24)(536)L
x y dx y x dy -++++?
，其中L 为顶点坐标分别是(0,0)，(3,0)，
(3,2)的三角形的正向边界.
六、（10分）利用高斯公式计算曲面积分：
323232()()()x az dydz y ax dxdz z ay dxdy ∑
+++++??，其中∑
是曲面z =的上侧(0)a >.
七、（10分）求二阶常系数非齐次线性微分方程44ax
y y y e '''++=的通解（其中a 为常数）. 八、（10分）设()f x 具有一阶连续导数，且()1f π=，又
[sin ()]()0y
x f x dx f x dy x
-+= (0)x >是全微分方程，求()f x .
九、（6分）已知()z z u =，且()()x y
u u p t dt ?=+
?
，其中()z z u =可微，()u ?'连续，且
()1u ?'≠，()p t 连续，求()
()z z
p y p x x y
??+??. 河南理工大学2005级高等数学[下]期末试卷
一．填空题（每小题4分，共40分）
1.由曲线1
y x
=
与直线y x =及2x =围成的图形的面积为,A 若以x 为积分变量,面积A 可用定积分表示为A = . 2.设(,)f x y 为连续函数，则交换二次积分次序后
2
1
00(,)x dx f x y dy =?? .
3.22
()L
I x y ds =+=? ,其中L 是圆弧221,0x y y +=≥.
4.()x y z dS I
∑
++==?? ，其中∑为平面1x y z ++=在第一卦限中的部分.
5.设
∑
为
xoy
面上的闭区域,取下侧, D 表示
∑
在
xoy
面的投影,将
(,,)(,,)(,,)I P x y z dydz Q x y z dxdz R x y z dxdy ∑
=++??化为D 上的二重积分,则
I = .
9.全微分方程3
2
2
2(13)0xy dx x y dy ++=的通解为 .
10.一阶线性非齐次方程:()()y P x y Q x '+=的通解为y = . 二、计算下列各题(每小题5分，共10分)
1.求曲线
2y x =与x y =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.
2.2
.||,:||1,01I y x dxdy D x y D
=-≤≤≤??
三、（7分）计算三重积分
2222I x y z z
Ω
=Ω++=???，其中是由球面所围成的
闭区域。
四、（7分）计算22
()()L
x y dx x y dy I x y =+--+?，其中L 为圆周222(0)x y a a +=>（按
逆时针方向绕行） 五、(8
分)计算()
2
2I x
y dS ∑
=+??，其中∑是锥面z =1z =所围成的区域的
整个边界曲面.
六、(8分)利用高斯公式计算曲面积分222
().axdydz z a
dxdy I
x y z
∑
++=++??
其中∑是曲面
z =.(0a >为常数）.
八、计算下列各题（每题6分 共12分） 1.如果可微函数()f x 满足关系式
()()x
f x f t dt =?，求()f x .
2.求微分方程222x
y y y e '''+-=的通解.
各年期末试卷参考解答
2012级高等数学[下]期末试卷参考解答
一．填空（每小题4分，共24分）
1.
220x y +<,
220x y +≥; 2.
22222cos(),2cos()z z
x x y y x y x y
??=+=+??，
3． 略 ; 4. 4
4a π; 5.
4
3
; 6. 通 . 二．解答下列各题（每小题6分，共18分） 1. [解]：2
2
22
ax
by ax by ++;
3. [解]：分离变量得: 1x e ydy dx e =
-,积分得: 1x
e ydy dx e =-??,即微分方程的通解为ln ln(1)x y e c =--+.
三．解答下列各题（每小题6分，共18分）
1. [解]：
21
()()(),()()z y y y z y y F xF x xF x x x x y x x
??
''=++?-=+???,故 2()z z y x y xy xF x y x
??+=+??. 2. [解]：由22
z z x y
?=???=+??交线2211z x y z ?=+=?
=?，由柱面坐标 2
21007.12r zdxdydz d r ππ
θΩ
==????? 3. [解]：由于∑关于xoz 面对称,而被积函数xyz 关于y 为奇函数,故
0xyzdydz ∑
=??.
四. [解]：对应齐次方程通解为1212x x
y c e c e =+.由于0i ±不是特征方程的根，可设特解：
*cos sin y a x b x =+,代入原方程得:(3)cos (3)sin cos a b x a b x x -++=,故：
13110303
10a a b a b b ?=
?-=?????+=??=-??
,故所求通解为：212
13*cos sin 1010x x
y c e c e y x x =+++-. 五. [解]：(1)由于L 不包含奇点(1,0),由格林公式并注意到Q P
x y
??=??得： 22(1)0(1)L ydx x dy
x y --=-+?;
(2) 由于L 包含奇点(1,0),不能直接使用格林公式，由于Q P
x y
??=??，故由连续变形 原理可以将L 压缩为小圆222
:(1)l x y r -+=（r 较小），积分22
(1)(1)L ydx x dy x y ---+?的值不变，
即：
22222(1)(1)1
(1)(1)(1)L l l ydx x dy ydx x dy ydx x dy x y x y r ----==---+-+???，此时， 则可以使用格林公式得2222221(1)12
22(1)L D ydx x dy dxdy r r x y r r
ππ---=-=?=--+???. 六. [解]：设长、宽、高分别为,,x y z ，则体积(,,)V x y z xyz =,且22236
xy xz yz ++=由拉格朗日乘数法作辅助函数(),,(18)F x y z xyz xy xz yz λ=-++-，其中λ为参
数，解方程组
()(),,()0,,()018x y
F x y z yz y z F x y z xz x xz xy xz yz λλ?
=-+????
=-+??
?
++=???
令令， 由对称性,x y z x y z ==∴=== 时，才能使体积为
最大, 最大体积为.
七．略.
2011级高等数学[下]期末试题参考解答
一．填空：1.2332
(3)(3)x y y dx x y x dy -+- 2.12f f y + 3.
2
1
2
(,)x dx f x y dy ?
?
4.
21
220
()sin o
d d f r r dr π
πφθφ?
??； 5.0； 6. 2； 7. 5615
-
; 8.
(,,0)D
f x y dxdy ??
； 9.12()x c c x e + ； 10. 2x Bx e -
二.解:由隐函数求导公式得
112c z x a b Φ?=?Φ+Φ ，112
c z y a b Φ?=?Φ+Φ， ∴
左边z z a
b x y
??=+=
??11
12ac bc c a b Φ+Φ==Φ+Φ右边. 三.解法一:（用三重积分）V dv Ω=???，由22z z x y
?=???=+?
?交线2211z x y z ?=+=?
=? 由柱面坐标 221006
r r V d rdr dz ππ
θ==???
解法二:（用二重积分）21
22
2
()()6
D
V x y dxdy d r r r dr ππ
θ=
+=-=????
四.解:当,0,0x a y z ===时,θ=0,
00dx d θθ
==,
0dy a d θθ
==,
dx b d θθ
==，∴切线方程
000x a y z a b ---==
或0
x a by az
-=??=?,法平面方程为0()(0)(0)0x a a y b z -+-+-=. 五.解:
2111'()()'()()11P Q R x x x
f f x y z y y y x y y
???++=+-+=??? 由Guass 公式3
2 3I dxdydz a πΩ
==???(球体积的一半)
六.解:2
() ,Q 2()P yf x xf x x
==-,
(),2()2'()2P Q
f x f x xf x x y x
??==+-??，由P Q
y x
?
?=??得 1
'()()12f
x f x x +
= （一阶线性微分方程），
两端同乘12dx
x e ?=得((f x '=积分得1
22(
)3
f x x cx -=+，再由(1)1f = 得
1
3c =， 2()3f x x ∴=+.
七．解：对应齐次方程通解为312x x
y c e c e -=+.由于0λ=不是特征根，
∴设特解01*y b x b =+,代入原方程求得011
23
b b =-???=??
,所求通解为312
23x x
y c e c e x -=+-+. 2010级高等数学[下]期末试卷参考解答
一．填空题（每小题4分，共32分）
1、22
2222sec (),sec ();y y
y y x x x x
- 2、692170;x y z ++-= 3
、4
2
(,);x dx f x y dy ?
?
4、0;
5、略； 7、略； 8、4512;x x
y c e c e =+
二．解答下列各题（每小题7分，共35分）
1.解：微分得()()0,z
e dz xy dz z xdy ydx --+=即()
z
z xdy ydx dz e xy
+=
-. 2.解:2(1),4,2,4,0x y xx yy xy z x z y A z B z C z =-=-====-==，故由2
0AC B -<知
函数22
(1)2z x y =--无极值. 3．略
4.解：由sin dy
x
y x dx
+=得()sin xy x '=，积分得cos xy x c =-+，由()1y π=得 1c π=-，故原微分方程的特解为cos 1xy x π=-+-.
5.解：对应齐次方程通解为012x x
y c e c e -=+.由于0λ=不是特征根，观察易得特解*y x =,
所求通解为12x
y c c e x -=++
三.解：(1)(sin 2)(1)(sin 2)x x x x L l
l
I e coy dx e y x d y e coy dx e y x dy +=
-+---+-?
?，其
中l 为从原点0(0,0)A
O π（，）到的直线段，利用格林公式得 204D
I dxdy =---=??.
四.解:由高斯公式21
242
433sin cos 5
I z dv d d r dr π
ππθ???Ω
=-
=-=??????. 五.解法一:（用三重积分）V dv Ω=???
，由22
z z x y
?=???=+??交线2211z x y z ?=+=?
=? 由柱面坐标 221006
r r V d rdr dz ππ
θ==???
解法二:
（用二重积分）22()V x y dxdy Ω
=+?? 由极坐标 21
20
()6
V d r r r dr π
π
θ=
-=
?
?
2009级高等数学[下]期末试卷参考解答
一．填空题（每小题4分，共32分） 1、0； 2、692170;x y z ++-= 3、1
222
11
1
2
(,)(,)y
y
dy
f x y dx dy f x y dx +?
?
??; 4
、
; 5．
; 6．略; 7．略. 8．3
2
2
x ax e -
二． 1．求函数z=(,)0y x
F z z
=，其中F 具有一阶连续偏导数，求dz . 解
：
1222
(,)(,)y x zdy ydz y x zdx xdz dz F F z z z z z z
--=+,12212(,)(,)(,)(,)y x y x F dy F dx
z z z z dz z y x y x z F y F x
+∴=++. 32得（，-4,xy -AC 4．解
cos sin 2dx x y y =+可变为cos sin 2x y y dy
-=，此为一阶线性方程，同乘以
sin coydy y e e --?=得sin sin ()sin 2y y xe e y --'=，积分得通解
sin sin 2[sin 1]y y xe y e c --=-++
三．解：2222L l
l
I xy dy x ydx xy dy x ydx +=
---?
?，其中l 为从原点0(,0)A
a O a -（，）到的 直线段，利用格林公式得
22222
3400:,0
()04a
D x y a y I x y dxdy d r dr a ππ
θ+≤>=-
+-==????.
四．解：(V a dxdy Ω=+??,
由z a z ?=+??=??交线
22z x y a z a
?=+=?=?,
由极坐标32005()6a a V d a r rdr ππθ=+=??. 五．解：0
224242I xzdydz y dzdx yzdxdy xzdydz y dzdx yzdxdy ∑+∑∑=
-+--+??
??，其中
0:0z ∑=，高斯公式21
2
30
404sin cos I zdv d d r dr π
π
θ???πΩ
=-==??????.
六．解：由条件得
P Q y x
??=??，即22()2()xy f x xy f x '''+-=+，()()2f x f x '''+=， 此为二阶非齐次线性微分方程，又由2
10r +=，得r i =±，对应齐次方程通解：
12()cos sin f x c x c x =+，又0λ=不是特征根，故设：*y A =，代入方程得2A =，故非齐次线性微分方程通解为 12()cos sin 2f x c x c x =++ 由12'()sin cos f x c x c x =-+，(0)0,
'(0)1f f ==，得122,1c c =-=
()2cos sin 2f x x x ∴=-++
2008级高等数学[下]期末试卷参考解答
一． 1．16xy -; 2．()xy
dz e xdy ydx =+; 3．1
2(3)2(3)(1)02
x y z -+-+-=; 4
．
4
2
(,);x dx f x y dy ?
? 5．212n a π+； 6．D
d σ??=区域D 面积. 7．lnln ln y x c =+.
8．3312cos 2sin 2x
x c e
x c e x --+.
二．1．解:由隐函数求导公式得
112c z x a b Φ?=?Φ+Φ ，212
c z
y a b Φ?=?Φ+Φ. 2
．解：
10
{0}
4
()2
5
D
D
D
D x x y d xd yd yd dy ydx σσσσ?>+=+===
?????????.
3．解：由高斯公式22
2
2
4
5
4()sin 5
a
I x y z dv d d r dr a π
ππθ??Ω
=
++=
=??????. 4．解2
26dx y x y dy
=-可变为32dx y x dy y -=-，此为一阶线性方程，同乘以3
3dy y e y --?=得321()2xy y -'=-，积分得通解
3
12xy c y
-=+. 三．解：设长、宽、高分别为,,x y z ，则用料(,,)22,4S x y z xy xz yz xyz =++=,由拉格朗
日乘数法作辅助函数(),,22(4)F x y z xy xz yz xyz λ=+++-，其中λ为参数，解方程组()()(
),,20,,20
,,20
4
x y z F x y z y z yz F x y z x z xz F x y z x yz xyz λλλ?
=++????=++??
?
?=+???=?令令令， 由对称性x y =,得220
2024x z xz x x z z x z λλ++=??
+=?=??=?
.
2,1x y z ∴===，即当长、宽、高各取2,2,1时，才能使用料最省.
四．2
22222{[8()]()}2(4()]D
D
V x
y x y dxdy x y dxdy =
-+-+=-+????,
由22
22
8z x y
z x y
?=--???=+??交线2241z x y z ?=+=?=?,由极坐标 22
20
2(4)8V d r r dr πθπ=-=??.
五．解：对应齐次方程通解为1
2
12x x y c e
c e -=+.由于1λ=不是特征方程的根，可设特解
*x y ae =,代入2'''2x y y y e +-=得22,1x x x x ae ae ae e a +-=?=，故所求通解为12x x y c c e e -=++.
六．解：由条件得
P Q y x
??=??，即2(),2()xy y x x x φφ''==，此为一阶可分离变量的微分方程，解得2
(),x x c φ=+由(0)0φ=得0c =，故2
()x x φ=.从而
(1,1)
(1,1)
(1,1)
222(0,0)
(0,0)
(0,0)
()()
xy dx y x dy xy dx yx dy xy ydx xdy φ+=+=+?
?
?
22(1,1)
(0,0)(1,1)
()() 1.22(0,0)
xy xy d ===? 2007级高等数学[下]期末试卷参考解答及评分标准
一. 填空题(每题3分,共30分)
（1）2
66x y - （2）2332(3x y-y )dx+(x -3y x)dy dz =，（3）
231
.249
3
x y z ---==
（4）交换二次积分的积分秩序有：122
10
2
(,)(,)y x I dy f x y dx dx f x y dy ==?
?
??
(5)
L
yds =?
2=
?
. (6)3
D
I dxdy a ==?? . (7) 12
-
（注：对2
(,)1f x x =两边对x 求全导数有 2221212222(,)(,)20,(,);1
(,)20(,))
2
f x x f x x x f x x x x f x x x f x x '''+==?
''+=?=-又已知
（8）2λ= （9）x
ye C = （10） 312()x y c c x e =+
二（7分）解：设22
2(,,)23,
:2,2 3.()x z F x y z x y z z F x F z =++-==-分
22()32x x
z z
=
-分故
再一次对x 求偏导数，得 2
222
2
2322
3
126442(32)22
(64)(32)832(32)(32)(32)824188.
()
(32)x z
z x z x z
z z x z x x z z z z z x z ?-+-+??--+-?==
=?----++=-分
分
三 （7分）解 设两直角边 ,x y 则周长x y l ++ 且 2
2
2
x y l += 记2
2
2
()F x y l x y l λ=++++- （3分）
222120120x y F x F y x y l
λλ?=+=?
=+=??+=? （2分） 得当
2
x y ==时，有最大周长 （2分） 四（7分）解：
22222
11221142
2
32
11
11()(4)
9()(
).(3)
424
x x
x D
x
x dxdy x dx dy x dx y y y x x x x dx ==-=-=-=??
????分分
五 （10分）解 :记1∑为曲面2
2
2
0;z x y a =+≤下侧，（1分） 则有：1
1
333
(2)I x dydz y dzdx z dxdy ∑
∑+∑∑=
++=-??????
分
1
333 0;(2)
x dydz y dzdx z dxdy ∑++=??分
所以：
1
1
1
3333332
2
2
5
24
20
()
(3)
3()()
63`sin (2)
5
a I x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz a d d r dr π
ππθ∑
∑+∑∑∑+∑Ω
=++=
-=
++=++=ΦΦ=
??????
??
????
??
高斯公式分球坐分
六（10分）解：
2(3)
(2)
3
330
1,3(3)
2(31)4412(2)3
x
green L
D
P Q y x
x
dxdy dx dy dx ??=-=??=
+===?
????
?
公式
分分分分
或法2：
12
)()13(3,1=+=
=??-=?????
由积分的几何意义公式
D
green L
dxdy x
Q y P
七 （10分）解 ：由柱坐标：
22
2
21
211
2
2
50(2)(4)()2
22().(4)
283
r r
z M zdV d rdr zdz d rdr
r r dr ππθθπ
πΩ====-=????
?
??
?
分分分
八、（10分）解：先解得 2
12603,2r r r r --==?==- （2分）
故对应齐次方程的通解为3212x x
y c e c e -=+ （2分）
0λ=不是特征根， 设 *01y b x b =+ 代入原方程有 （2分）
0010155
665,,,636
b b x b x b b ---=?=-=
（2分） 所以 非齐次方程的通解为：
321255
636
x x y c e c e x -=+-
+
（2分） 九（9分）解：因为曲线积分与路径无关，所以
2231
,(),[()]3()(())(3)223()()()3()P Q P y x Q x x y y x x x y y x x x x x x x
??????????'===-?=-??''=-?-=而分 333333331
()()()
3
1111
()(3)(1)
3339
x x x x x x x x x e x e dx c e xde c e xe e dx c x ce ?----=+=-+=-++=--+???分
记点 (1,0),A 则
1220
3111
()[()]0[(1)](2)222411
(1)(1)122
OA AB y x dx x x ydy ydy ?????++-=+-=?-
=?=??分
代回（1）得3
3413(1)199
ce c e ?-==-+?=
, 331113
()(1)399
x x x e ?-=--+分
2006级高等数学[下]期末试卷参考解答
（4）
2
1
(,)y
dy f x y dx ?
?； （5） 1 ； （6）22a π； （7）4ah π；
（8）2a =； （9）2x
x y ce
be --=+； （10）12cos 3sin 3y C x C x =+
解]：.设32
(,,)(12)F x y z x y z x y y λ=+++-，令22332
30
20012
x y z F x y z F x yz F x y x y z λλλ?=+=?=+=??=+=??
++=?，
解得：6,4,2x y z ===，所以点(6,4,2)为唯一驻点，则所求最大值为6912.
三、[解]：21100sin sin (sin sin )x x D
x
x dxdy dx dy x x x dx x x ==-????? 11
00[(1)cos ](sin )x x x =--1sin1=-
五、[解]：
(,)24,(,)536P x y x y Q x y y x =-+=++ ,
1P y ?=-?,3Q
x ?=? 由格林公式得(24)(536)L
x y dx y x dy -++++?=()412D D Q P
dxdy dxdy y x ??-==?????? 或2
3
30
412x dx dy =
=?
?
六、[解]：补1∑：2
2
2
0,()z x y a =+≤取下侧
323232()()()I x az dydz y ax dxdz z ay dxdy ∑
=+++++??
1
1
22223()D
x y z dv ay dxdy
∑+∑∑Ω
=
-=+++?????????
224
32200
0003sin sin a
a
d d r dr d ar dr π
π
π
θ??θθ=+?????=5555129
6420
a a a πππ+=
七、[解]：特征方程为：2
440r r ++=，1,22r =-，所以212()x Y C C x e -=+
当2a =-时，*
2ax
y Ax e =，12A =
，通解为：222121()2x
x y C C x e
x e --=++ 当2a ≠-时，*ax
y Ae =，2
1(2)
A a =+，通解为：21221()(2)x ax y C C x e e a -=+++ 八、[解]：因为(,)[sin ()],(,)()y
P x y x f x Q x y f x x
=-= ,由P Q y x ??=??得：1sin ()()x f x f x x x '+=，通解为：1
()(cos )f x x C x
=-+，又()1f π=得1C π=-
所以：1
()(cos 1)f x x x
π=-+-
解]：设(,,)()()x y
F u x y u u p t dt ?=--?
，所以：1(),u F u ?'=-(),x F p x =-
()y F p y =，则
()1()u p x x u ??='?-，()1()
u p y y u ??-='?- ()()()()()()1()
z u p x p y p y z u p y z u x x u ???''=='??-
()()()()()()1()
z u p y p x p x z u p x z u y y u ???-''=='??-
所以：()()()()()()()()01()1()
z z p x p y p y p x p y z u p x z u x y u u ????-''+=+=''??-- 2005级高等数学[下]期末试卷参考解答及评分标准
一、（每小题4分）1.2
1.1
()x dx x
-?
2.110(,).dy f x y dx ?
3.π
.
5..(,,0)D
R x y dxdy -?? 6. 12S U -.7. (ln 3)!0n
x n n ∞∑=.8. 收敛. 9. 23.x y y C +=
10. ()()[()].P x dx P x dx
y e Q x e dx C -??=+?
二、1. 241()0V x x dx x π=-? 3分 2
.15
π= 5分
2. 2
21
11
221012
()()||x x
dx x y dy dx y x dy I y x dxdy D --=
-+-=-???
??? 3分
11
.15
= 5分
三、22cos 32000
sin d d d I
π
π
?
θ?ρ?ρ=??
?
5分
8
.5π= 7分 四、21
()()L x y dx x y dy a I =+--? 2分
22
D
d a σ-=?? 5分
2.π=- 7分
五、1
2
2222()()x y ds x y ds I ∑∑=
+++????
2222(()D
D
x y x y d σσ=+++???? 4分
21
300
(1d r dr πθ=+?? 6分
(1
2
π
=
+分
六、2
1 ().a I axdydz z a dxdy ∑
=
++?? 1分
补()2
22
1:0
z x
y a ∑=+≤取下侧 3分
1
1
2
1 []()()a I axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy ∑+∑
∑
-=
++++??
??
21
[(1)]D
a dv a d a σΩ=
++????? 6分 (52)3
a a π=+ 8分
七、1.12
2!2
lim
lim lim 0,(1)!1(1)n n n n n
a n n n R a n n n ρ
+→∞→∞→∞++====∴=+∞+++
收敛区间(,)-∞+∞； 4分
2.设01()!n
n n S x x n ∞
=+=
∑， 则100
0001()!!!n n x x n n n n n x x S x dx x dx x n n n +∞∞∞===+===∑∑∑??0()!
n x x
n x xe e n ∞===∑ 所以()()(1)x x
S x xe e x '==+ 8分
八、1. '
()()
(0)0f x f x f == ()x f x Ce ∴= 4分 .(0)00,()0f C f x =∴==又， 6分
2．微分方程的特征方程2
20r r +-=
其特征根为122,1r r =-=，故对应齐次方程的通解为212x
x Y C e
C e -=+ 3分
因为2()2x
f x e
=，2λ=不是特征方程的根，
故原方程的特解设为：2*x
y Ae
=，代入原方程得
22224222x x x x Ae Ae Ae e +-=?22122x x Ae e A =?=
，21*2
x
y e = 因此，原方程的通解为*y Y y =+221212
x
x x C e
C e e
-=++ 6分
高等数学模拟试题一
内蒙古农业大学农科《高等数学》模拟试卷（一） 一、单项选择题（每小题2分，共20分） 1.设 ln(12)0()10 x x f x x x +?≠?=??=? ，则()f x 在0x =处（ ）. A.极限不存在 B. 极限存在但不连续 C.连续但不可导 D.可导 2.设22()1 2 x e x f x x ?+≤?=? >??，则[]()f f x =（ ）. A ．22e + B. 2 C. 1 D. 4 3.1()x f x e =在0x =处的极限为（ ） A.∞ B.不存在 C. 1 D. 0 4．0sin lim x y k xy x →→=（ ） A ．1 B.不存在 C. 0 D. k. 5．若()2sin 2 x f x dx C =+?，则()f x =（ ） A ．cos 2x B.cos 2x C + C. 2cos 2x C + D. 2sin 2 x 6. 设(,)z f x y =是由方程(,)0F x az y bz --=所定义的隐函数，其中(,)F u v 可微，,a b 为常数，则必有（ ） A ．1f f a b x y ??+=?? B.1f f a b x y ??-=?? C. 1f f b a x y ??+=?? D.1f f b a x y ??-=?? 7.1 10 (,)y dy f x y dx -=?? （ ） A ．11 00 (,)y dx f x y dy -? ? B. 1 10 0(,)y dx f x y dy -?? C. 1 1 (,)dx f x y dy ?? D. D. 1 10 (,)x dx f x y dy -??
高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =
2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
2008年成人高考专升本高等数学模拟试题一 高等数学（二） 一. 选择题（1-10小题，每题4分，共40分） 1. 设0 lim →x sinax x =7,则a 的值是（ ） A 17 B 1 C 5 D 7 2. 已知函数f(x)在点x 0处可等，且f ′(x 0)=3,则0 lim →h f(x 0+2h )-f(x 0)h 等于（ ） A 3 B 0 C 2 D 6 3. 当x 0时，sin(x 2+5x 3)与x 2比较是（ ） A 较高阶无穷小量 B 较低阶的无穷小量 C 等价无穷小量 D 同阶但不等价无穷小量 4. 设y=x -5+sinx ，则y ′等于（ ） A -5x -6+cosx B -5x -4+cosx C -5x -4-cosx D -5x -6-cosx 5. 设y=4-3x 2 ，则f ′(1)等于（ ） A 0 B -1 C -3 D 3 6. ??(2e x -3sinx)dx 等于（ ） A 2e x +3cosx+c B 2e x +3cosx C 2e x -3cosx D 1 7. ? ??0 1 dx 1-x 2 dx 等于（ ） A 0 B 1 C 2 π D π 8. 设函数 z=arctan y x ，则x z ??等于（ ）y x z ???2 A -y x 2+y 2 B y x 2+y 2 C x x 2+y 2 D -x x 2+y 2 9. 设y=e 2x+y 则y x z ???2=（ ） A 2ye 2x+y B 2e 2x+y C e 2x+y D –e 2x+y 10. 若事件A 与B 互斥，且P （A ）＝0.5 P （AUB ）＝0.8,则P （B ）等于（ ） A 0.3 B 0.4 C 0.2 D 0.1 二、填空题（11-20小题，每小题4分，共40分） 11. ∞ →x lim (1-1x )2x = 12. 设函数f(x)= 在x=0处连续，则 k ＝ Ke 2x x<0
《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（）
高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；
《高等数学》模拟题）（1 __________ 成绩学号________________ _____________ 姓名_______________ 年级 名词解释第一题 ．区间：1 ; 2. 邻域 函数的单调性：3. 导数：4. 最大值与最小值定理：5. 选择题第二题 x?1的定义域是（．函数） 1y?1?x?arccos2x?1?3?x?1；； (B) (A)????1x??x?3xx?1?)13(?,. ； (D)(C)x?(x)f)xf(定义为（在点2、函数的导数）00f(x??x)?f(x)；）A （00?x f(x??x)?f(x)；（B）00lim x?xx?0． f(x)?f(x)0lim；（C） ?x x?x0))x?f(xf( D）；（0lim xx?xx?003、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（） （A）它们都给出了ξ点的求法 . （B）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。
?点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以它们都先肯定了） （C 用定 理给出的公式计算ξ的值 . （D ） 它们只肯定了ξ的存在，却没有说出ξ的值是什么，也没有给出求ξ的方法 . I )(xx),FF(内连续函数4、设是区间的两个不同的原函数，且)(xf 21I 0?(x)f 内必有（ 则在区间） ,F(x)?F(x)?C (A) ；） ； （B C))?F(x ?(Fx 1221 F(x)?CF(x)F(x)?F(x)?C . (C) ； (D) 2121nnn ?? ( ) 5、lim ???? ?? 22222n ?1n ?2n ?n ????n 01； ） （ （A ）B ； 2?? . ） （ （C ）D ； 42 x ?e 1y ?0xyln ? 所围成及，与 直线 6的区域的面、曲线?x e S ?（ ）；积11e ?)1?2(； ）（A （B ）； e e11e ??1 . ）（）（C ； D ee ???? a ?a ?b b . 为共线的单位向量，则它们的数量积 （， ）若 、 7 -1；）； （B （A ） 1??),bcos(a . ）（C ） 0； （D 41的定义域是8( ). 、二元函数z ?ln ?arcsin 2222 yx ?x ?y 22?yx4?1?22?4?y1?x ；）A ） ；（B （2222 4y1?x ???4?y1?x . ）（ C ）； （D 11?x ??f(x,dxy)dy =(D ) 9、0011?x 11?x ； (B) (A)； ??,dydxxf(y)??dx)dyx,yf( 00001111?y ???? (D)；.
《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．
2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．
《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面 积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ）
(A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2
高等数学模拟试题一 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
内蒙古农业大学农科《高等数学》模拟试卷（一） 一、单项选择题（每小题2分，共20分） 1.设ln(12)0()10 x x f x x x +?≠? =??=? ，则()f x 在0x =处（ ）. A.极限不存在 B. 极限存在但不连续 C.连续但不可导 D.可导 2.设22()1 2 x e x f x x ?+≤?=? >??，则[]()f f x =（ ）. A ．22e + B. 2 C. 1 D. 4 3.1()x f x e =在0x =处的极限为（ ） A.∞ B.不存在 C. 1 D. 0 4．0sin lim x y k xy x →→=（ ） A ．1 B.不存在 C. 0 D. k. 5．若()2sin 2x f x dx C =+?，则()f x =（ ） A ．cos 2x B.cos 2x C + C. 2cos 2x C + D. 2sin 2 x 6. 设(,)z f x y =是由方程(,)0F x az y bz --=所定义的隐函数，其中(,)F u v 可微， ,a b 为常数，则必有（ ）
A ．1f f a b x y ??+=?? B.1f f a b x y ??-=?? C. 1f f b a x y ??+=?? D.1f f b a x y ??-=?? 7.1 10 (,)y dy f x y dx -=?? （ ） A ．1100 (,)y dx f x y dy -? ? B. 110 0(,)y dx f x y dy -?? C. 1 1 (,)dx f x y dy ?? D. D. 1 10 (,)x dx f x y dy -?? 8. 设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，则()0f x '=在区间[]1,4上有（ ）个根. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9. 若在(,)a b 内()0,()0f x f x '''<>，则在此区间内下列（ ）成立. A. ()f x 单调减少曲线上凸 B ．()f x 单调减少曲线下凸 C ．()f x 单调增加曲线上凸 D ．()f x 单调减少曲线下凸 10.已知12cos ,3cos y x y x ωω==是方程20y y ω''+=的解，则11122y C y C y =+ （其中1C ，2C 为任意常数）（ ） A ．是方程的解但非通解 B ．是方程的通解 C ．不是方程的解 D ．不一定是方程的解 二、填空题（每小题2分，共20分） 1 ．函数z =. 2.设(2) lim x f x A x →∞ =，则lim (3)x x f x →∞= . 3.设函数()y f x =在1x =处的切线方程为32x y +=，则()y f x =在1x =处自变量的增量为0.03x ?=的微分dy =. 4．设()f x ''连续，则0002 ()()2() lim x f x x f x x f x x →++--=.
《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+
A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.
高等数学模拟试题1 一、填空题 1.函数1 ||)3ln(--= x x y 的定义域为_____________. 2..____________1lim =?? ? ??+-∞→x x x x 3.曲线33)4(x x y -+=在点（2，6）处的切线方程为__________. 二、选择题 1. 设)(x f 在点0x 处可导，且2)(0-='x f ,则=--→h x f h x f h ) ()(lim 000 ( ) 21).A ( 2).B ( 2 1 ).C (- 2).D (- 2. .当0→x 时, 2 x 与x sin 比较是 ( ). (A).较高阶的无穷小 (B). 较低阶的无穷小 (C). 同阶但不等价的无穷小 (D).等价的无穷小 3.设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3,则点M 的坐标为( ) )0,1).(A ( )0,1).(B (- )4,2).(C ( )0,-2).(D ( )cos(arcsin ).C (C x y += C x +arcsin ).D ( 三、计算题 1.计算) 1ln(arctan lim 3 x x x x +-→ 2.设,cos ,,sin t v e u t uv z t ==+=求全导数.dt dz 3.求微分方程x x y y x cos =+'的通解.
4.求幂级数∑∞ =--1 2 1)1(n n n x n 的收敛域. 答案 一、填空题： 1.分析 初等函数的定义域，就是使函数表达式有意义的那些点的全体. 解 由? ??>->-010 3|x |x 知，定义域为{}131-<< 四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分） 高等数学 一、填空 、选择题（每题3分，共30分） 1．曲面z xy =上点(1,2,2)处的法线方程为 . 2.已知D 是由直线1,1x y x y +=-=及0x =所围,则D yd σ=?? . 3.若曲线L 是2 2 1x y +=在第一象限的部分,则L xds =? . 4.设(,)ln()2y f x y x x =+ ,则(1,0)xx f = . 5.若级数 1 (2)n n u ∞ =+∑收敛,则lim n n u →∞ = . 6.函数3 2 2 (,)42f x y x x xy y =-+-,下列说法正确的是( ). (A)点(2,2)是(,)f x y 的极小值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(2,2)不是(,)f x y 的驻点; (D)(0,0)f 不是(,)f x y 的极值. 7.函数2 2 (,)f x y x y =+在点(1,1)处沿着那个方向的方向导数最大?( ) (A) (1,1); (B) (2,2); (C) (0,1); (D) (1,0). 8.曲线L 为沿2 24x y +=顺时针一周,则 1 2 L xdy ydx -=??( ). (A)2π- (B) 4π; (C) 4π-; (D)0. 9. 累次积分1 (,)y dy f x y dx ? 改变积分次序后等于( ). (A) 2 1 0(,)x x dx f x y dy ? ? ; (B) 21 (,)x x dx f x y dy ? ?; (C) 1 (,)x dx f x y dy ? ; (D) 21 (,)x dx f x y dy ?. 10. 下列各级数中条件收敛的是（ ） (A) 1 1 (1) n n ∞ +=-∑; (B) 1 2 11 (1)n n n ∞ +=-∑; (C) 1 1 (1) 1 n n n n ∞ +=-+∑; (D) 1 1 1 (1)(1) n n n n ∞ +=-+∑; 二解答题(6*4) 1.设函数22 ln()y x z x y e =++,求(1,0) dz . 2.设sin ,,2u z e v u xy v x y ===-,求 ,z z x y ????. 武汉大学网络教育入学考试 专升本 高等数学 模拟试题 一、单项选择题 1、在实数范围内，下列函数中为有界函数的是( b ) A.x y e = B.1sin y x =+ C.ln y x = D.tan y x = 2、函数2 3 ()32 x f x x x -= -+的间断点是( c ) A.1,2,3x x x === B.3x = C.1,2x x == D.无间断点 3、设()f x 在0x x =处不连续，则()f x 在0x x =处( b ) A. 一定可导 B. 必不可导 C. 可能可导 D. 无极限 4、当x →0时，下列变量中为无穷大量的是（ D ） A.sin x x B.2x - C. sin x x D. 1sin x x + 5、设函数()||f x x =，则()f x 在0x =处的导数'(0)f = ( d ) A.1 B.1- C.0 D.不存在. 6、设0a >，则2(2)d a a f a x x -=? ( a ) A.0 ()d a f x x -? B.0 ()d a f x x ? C.0 2()d a f x x ? D.0 2()d a f x x -? 7、曲线2 3x x y e --= 的垂直渐近线方程是( d ) A.2x = B.3x = C.2x =或3x = D.不存在 8、设()f x 为可导函数，且()() 000 lim 22h f x h f x h →+-=，则0'()f x = ( c ) A. 1 B. 2 C. 4 D.0 9、微分方程''4'0y y -=的通解是( d ) A. 4x y e = B. 4x y e -= C. 4x y Ce = D. 412x y C C e =+ 10、级数 1 (1) 34 n n n n ∞ =--∑的收敛性结论是（ a ） A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 无法判定 高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+ 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2） 《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin高等数学上考试试题及答案
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