函数的概念与性质 训练题 (10)
一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）
1. 已知函数y =sinax +b(a >0)的图象如图所示，则函数y =a x+b 的图象可能是( )
A. B. C. D.
2. 若函数f(x)={
ln(x +1)?ax ?2,x >0x +1
x +a,x <0
的最大值为f(?1)，则实数a 的取值范围为( )
A. (--∞，e]
B. (0,1
e ] C. [1
e ,+∞)
D. [e,+∞) 3. 下列函数中，值域为[0,+∞)且为偶函数的是( )
A. y =x 2
B. y =|x ?1|
C. y =cosx
D. y =lnx
4. 已知函数f(x)=ln(1?x)?ln(1+x)，则f(x)( )
A. 是奇函数，且在定义域上是增函数
B. 是奇函数，且在定义域上是减函数
C. 是偶函数，且在区间(0,1)上是增函数
D. 是偶函数，且在区间(0,1)上是减函数
5. 函数f(x)=2sinx +sin|x|+|sinx|在[?2π,2π]的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
6.函数f(x)=x3+sinx
的大致图象是()
e x+e?x+cosx
A.
B.
C.
D.
7. 已知f (x )=
a x +1a x ?1
(a >1)，函数g (x )为幂函数且过点(1
2
,2)，则函数?(x )=f (x )?g (x )的图象大
致为
A.
B.
C.
D.
8. 函数y =lg?(2cos?x ?√3)的单调增区间是( )
A. (2kπ+π,2kπ+2π)(k ∈Z)
B. (2kπ+π,2kπ+
11π6
)(k ∈Z)
C. (2kπ?π
6,2kπ)(k ∈Z)
D. (2kπ,2kπ+π
6)(k ∈Z)
9. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、
牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x]表示不超过x
的最大整数，则y =[x]称为高斯函数，例如[?3.5]=?4，
[2.1]=2，已知函数f(x)=3x 1+3
x ?
1
3
，则函数y =[f(x)]的值域是( )
A. {0,1}
B. {1}
C. {?1,0}
D. {?1,0，1}
10. 已知定义在R 上的偶函数f (x )(函数f (x )的导函数为f′(x ))满足f(0)=e 2，且f(x)>f′(?x)，则
关于x 的不等式f(x +2)>1
e x 的解集为( )
A. (?∞,?2)
B. (?2,+∞)
C. (?∞,0)
D. (0,+∞)
二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）
11. 函数f(x)=|x +3|+|x ?2|的最小值为______．
12. 设函数f(x)={2x +a,x >2
ax +1,x ≤2
，若a =1，则f(f(2))=______；若f(x)的值域为R ，则实数a 的
取值范围是______．
13. 已知函数f(x)={ax +1,x ≤0
|lnx|,x >0
，给出下列三个结论：
①当a =?2时，函数f(x)的单调递减区间为(?∞,1)； ②若函数f(x)无最小值，则a 的取值范围为(0,+∞)；
③若a <1且a ≠0，
则?b ∈R ，使得函数y =f(x)?b 恰有3个零点x 1，x 2，x 3，且x 1x 2x 3=?1． 其中，所有正确结论的序号是______．
14. 天干地支纪年法(简称干支纪年法)是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，
即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、
2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是______年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年． 15. 函数f(x)={
x +1,x ≤0
|lnx |,x >0
，若函数g(x)=f(x)?tx 恰有两个不同的零点，则实数t 的取值
范围是______．
16. 已知函数f(x)={log 13x,x >0
2x
,x ≤0
，则f[f(9)]的值是______．
17. 函数f(x)=3x +sinx +1(x ∈R)，若f(t)=2，则f(?t)的值为________． 三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）
18. 设x ≥0，利用求函数的最大(小)值的方法证明不等式：x 3+4≥3x 2.(提示：令f(x)=x 3?
3x 2+4(x ≥0))
19. 求多项式f(x)=x 5+5x 4+10x 3+10x 2+5x +1当x =?2时的值．
20. 已知函数f(x)=a(x +2)e x (a ≠0)．
(Ⅰ)求函数f(x)的最值；
(Ⅱ)当x ≥?2时，f(x)≥x 2+6x ，求实数a 的取值范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：解：由函数y =sinax +b(a >0)的图象可知，b =?12，且sinaπ?12=12，则a 可取1
2，
则此时y =a x+b =(1
2
)x?1
2，其图象相当于函数y =(12)x 的图象向右平移1
2个单位，选项D 符合．
故选：D ．
根据题意，可求得b =?1
2，a 可取1
2，则y =a x+b =(1
2
)x?1
2，观察选项即可得出答案．
本题考查三角函数的图象及性质，考查函数图象的变换，考查数形结合思想，属于基础题． 2.答案：C
解析：解：当x <0时，f(x)=x +1
x +a =?(?x +1
?x )+a ≤?2√?x ?1
?x +a =a ?2，
当且仅当x =?1时，f(x)取得最大值f(?1)=a ?2，
由题意可得x >0时，f(x)=ln(x +1)?ax ?2的值域包含于(?∞,a ?2]，
因为f′(x)=1
x+1?a ，当a ≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)递增，f(x)>?2，不成立； 当01
a ?1时，f′(x)<0，f(x)在(1
a ?1,+∞)递减，0 a ?1时，f′(x)>0，f(x)在(0,1 a ?1)递增， 可得f(x)在x =1 a ?1处取得极大值，且为最大值?lna +a ?3， 则?lna +a ?3≤a ?2，解得1 e ≤a <1； 若a ≥1，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)递减，可得f(x) e ,+∞)． 故选：C ． 由基本不等式求得x <0时，f(x)的值域，由题意可得x >0时，f(x)的值域应该包含在x <0时的值域内，讨论a >1，a =1，00的值域，注意运用导数判断单调性和极值、最值． 本题考查分段函数的最值，注意运用导数判断单调性、极值和最值，考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题． 3.答案：A 解析：解：A ：y =x 2为偶函数，且值域[0,+∞)，符合题意； B ：y =|x ?1|为非奇非偶函数，不符合题意； C ：y =cosx 的值域[?1,1]，不符合题意； D ：y =lnx 为非奇非偶函数，且值域R ，不符合题意． 故选：A ． 由已知结合函数奇偶性分别进行检验，然后求出函数的值域进行检验，即可求解． 本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础试题． 4.答案：B 解析：解：根据题意，函数f(x)=ln(1?x)?ln(1+x)，则有{1?x >0 1+x >0，解可得?1 的定义域为(?1,1)； 设任意x ∈(?1,1)，f(?x)=ln(1+x)?ln(1?x)=?f(x)，则函数f(x)为奇函数； f(x)=ln(1?x)?ln(1+x)=ln 1?x 1+x ，其导数f′(x)=2 x 2?1， 在区间(?1,1)上，f′(x)<0，则f(x)为(?1,1)上的减函数； 故选：B ． 根据题意，先求出函数的定义域，进而分析可得f(?x)=?f(x)，即可得函数为奇函数，求出函数的导数，分析可得f(x)为(?1,1)上的减函数；即可得答案． 本题考查函数奇偶性与单调性的判断，涉及对数的运算性质，属于基础题． 5.答案：C 解析：解：根据题意，f(x)=2sinx +sin|x|+|sinx|， 当?2π≤x ≤?π时，sinx ≥0，则|sinx|=sinx ，又由sin|x|=sin(?x)=?sinx ，则此时f(x)=2sinx ?sinx +sinx =2sinx ， 当?π 当0≤x ≤π时，sinx ≥0，则|sinx|=sinx ，又由sin|x|=sinx ，则此时f(x)=2sinx +sinx +sinx = 4sinx ， 当π 故f(x)={2sinx,?2π≤x ≤?π0,?π 4sinx,0≤x ≤π2sinx,π ； 故选：C ． 根据题意，将f(x)的解析式写成分段函数的形式，据此分析选项可得答案． 本题考查函数的图象分析，注意将函数的解析式写成分段函数的形式，属于基础题． 6.答案：A 解析：解：f(?x)=(?x)3+sin(?x)e +e +cos(?x)=?x 3+sinx e +e +cosx =?f(x)，所以函数为奇函数，排除选项B 和D ； 又f(π 2 )= (π2 )3+1e π 2+e ?π2+0>0，所以选项C 错误，A 正确． 故选：A ． 先计算f(?x)，并与f(x)比较，可得出函数的奇偶性，从而排除选项B 和D ，再计算f(π 2)>0，从而得出正确选项． 本题考查函数的图象与性质，一般从函数的奇偶性、单调性和特殊点处的函数值等方面着手思考问题，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题． 7.答案：A 解析：【分析】 本题考查指数函数，幂函数，函数的奇偶性，函数的图象，属中档题，利用奇函数的定义判定f(x)的奇偶性，根据幂函数的定义求得幂函数g(x)的解析式，?(x)的奇偶性，排除BD ，在根据x 趋近于0时?(x)的极限情况做出最终选择． 【解答】 解：由已知f(x)= a x +1a x ?1 (a >1)， f(?x)=?f(x)，故为奇函数，函数g(x)=1 x 为奇函数，则函数?(x)=f(x)·g(x)为偶函数，排除B ，D.又x →0时，?(x)→+∞， 故选A ． 8.答案：C 解析：【分析】 本题考查复合函数的单调性以及单调区间的求法，属于中档题． 求解三角不等式可得原函数的定义域，再由复合函数的单调性求解原函数的增区间． 【解答】 解：∵2cosx ?√3>0， ∴cosx > √3 2 ， ， ∴函数的定义域为(?π 6+2kπ,π 6+2kπ),k ∈Z ， ∵y =lgx 为单调递增函数， 所以y =lg?(2cos?x ?√3)的单调增区间为 ． 故选C ． 9.答案：C 解析：【分析】 本题考查了新定义的理解和应用，训练了分离常数法求函数的值域，属于中档题． 分离常数法化简f(x)，根据新定义即可求得函数y =[f(x)]的值域． 【解答】 解：f(x)= 3x 1+3x ?1 3 =3x +1?11+3x ?13 =23? 1 1+3x ∵1+3x >1， ∴1 1+3x ∈(0,1)， ∴?11+3x ∈(?1,0)， ∴2 3?1 1+3x ∈(?1 3 ,2 3 )， ∴当f(x)∈(?1 3 ,0)时，y=[f(x)]=?1， 当f(x)∈[0,2 3 )时，y=[f(x)]=0， ∴函数y=[f(x)]的值域是{?1,0}． 故选：C． 10.答案：B 解析：【分析】 本题考查了构造新函数，利用导数处理抽象函数问题，属于中档题． 由偶函数f(x)的导函数是奇函数，即f′(x)为奇函数，由题意额的f(x)+f′(x)>0，再令g(x)= f(x)e x，可得g(x)是单调增函数，而不等式f(x+2)>1 e x ?g(x+2)>g(0)，利用单调性即可得x 的取值． 【解答】 解：因为偶函数f(x)的导函数是奇函数，即f′(x)为奇函数， 因为f(x)>f′(?x)即f(x)?f′(?x)>0， 所以f(x)+f′(x)>0， 令g(x)=f(x)e x，则g′(x)=e x[f(x)+f′(x)]>0， 所以g(x)在R上单调递增， 不等式f(x+2)>1 e x ，即e x+2f(x+2)>e2，即g(x+2)>g(0)， 所以x+2>0，即x>?2． 故选B． 11.答案：5 解析：解：因为|x+3|+|x?2|≥|(x+3)?(x?2)|=5，当(x+3)(x?2)≤0， 即?3≤x≤2时取等号，则f(x)的最小值为5， 故答案为：5． 根据绝对值不等式的性质求出f(x)的最小值即可． 本题考查了绝对值不等式的性质，是一道基础题． 12.答案：9 [3,+∞) 解析：解：若a=1，则f(f(2))=f(3)=23+1=9， 当x>2时，f(x)=2x+a>4+a， 当x≤2时，由函数的值域为R可知，a>0，此时f(x)≤2a+1， 结合分段函数的性质可知，2a+1≥a+4即a≥3． 故答案为：9，[3,+∞) 结合分段函数解析式即可直接求解f(f(2))， 分别结合指数函数与一次函数的性质分别求出每段函数的值域，然后结合函数值域的性质可求． 本题主要考查了分段函数的性质的简单应用，属于基础试题． 13.答案：②③ 解析：解：对于①，当a=?2时，函数y=ax+1在(?∞,0]单调递减，y=|lnx|在(0,1)上单调递减，但是函数f(x)在(?∞,1)不单调递减．因此①错误； 对于②，因为y=|lnx|≥0，当a=0时，x≤0，y=1，此时 函数的最小值为0； 当a>0时，y=ax+1在(?∞,0]上单调递增，没有最小值，且 x→?∞是，y→?∞； 当a<0时，y=ax+1在(?∞,0]上单调递减，最小值为1，所 以函数f(x)的最小值为0； 若函数f(x)无最小值，则a的取值范围为(0,+∞)，②正确； 对于③，令f(x)?b=0，即当x≤0时，ax+1=b；当x>0 时，|lnx|=b； 不妨设x1≤0 ≤0，x2=e?b，x3=e b， 若函数有三个零点，则x1=b?1 a 则x2x3=1． =?1，可得b=1?a． 令x1=b?1 a a<0时，b=1?a>0，则三个零点x1x2x3=?1． 0 综上可得：③正确． 故答案为：②③ 对于①，当a=?2时，函数y=ax+1在(?∞,0]单调递减，y=|lnx|在(0,1)上单调递减，作出函数图象即可判断出结论 对于②，对a分类讨论，利用一次函数的单调性及其对数函数的单调性即可判断出正误； 对于③，令f(x)?b=0，即当x≤0时，ax+1=b；当x>0时，|lnx|=b；不妨设x1≤0 ≤0，x2=e?b，x3=e b，进而判断出结论． 若函数有三个零点，可得x1=b?1 a 本题主要考查分段函数的性质、数形结合方法、方程与函数图象的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14.答案：己卯60 解析：解：根据题意，天干有十，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸， 地支有十二，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥； 其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…， 若2049年是己巳年，则2059年是己卯年； 天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列， 则天干地支共有60种组合，即使用干支纪年法可以得到60种不同的干支纪年； 故答案为：己卯，60． 根据题意，分析干支纪年法的规律，可得天干地支的对应顺序，据此可得2059年是己卯年，又由天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，据此可得天干地支共有60种组合，即可得答案． 本题考查合情推理的应用，关键是掌握“干支纪年法”的规律，属于基础题．15.答案：(1 e ,1)∪{0} 解析：【分析】 本题考查函数的零点问题，考查推理能力和计算能力，属于简单题． 作出函数f(x)图像，找到临界情况，由图像即可求解． 【解答】 解：作出f(x)的图像： 因为函数g(x)=f(x)?tx恰有两个不同的零点， 则y=f(x)与y=tx有两个不同的交点． 又因为直线y=tx恒过原点， 当t=0时，显然符合题意； 当y=tx与y=lnx相切时，设切点为(m,lnm)， 因为(lnx)′=1 x ，则1 m =lnm?0 m?0 ，解得m=e， 此时t=1 e ． 当y=tx与直线y=x+1平行时，t=1． 由图像可知，实数t的取值范围是(1 e ,1)?{0}， 故答案为(1 e ,1)∪{0}． 16.答案：1 4 解析：【分析】 本题考查分段函数的函数值问题，要注意定义域，由内向外计算，属于基础题．逐层计算，先计算f(9)，再计算f[f(9)]的值． 【解答】 解：因为9>0，所以f(9)=log1 39=?2，又?2<0，所以f[f(9)]=f(?2)=2?2=1 4 ． 故答案为1 4 ．17.答案：0 解析：【分析】 本题考查函数的奇偶性及函数的求值，属于基础题． 先由f(t)=2求出的值，然后把它带人f(?t)的式子中即可． 【解答】 解：∵f(t)=3t+sint+1=2， ∴3t+sint=1， f(?t)=?3t?sint+1=?1+1=0； 故答案为0． 18.答案：证明：令f(x)=x3?3x2+4(x≥0)， 则f′(x)=3x2?6x=3x(x?2)， 令f′(x)=0可知x=0或x=2， 故在区间[0,2]上f′(x)<0，即函数f(x)=x3?3x2+4单调递减， 在区间[2,+∞)上f′(x)>0，即函数f(x)=x3?3x2+4单调递增， 于是函数f(x)=x3?3x2+4在区间[0,+∞)上的最小值f(x)min=f(2)=23?3×22+4=0， 故当x≥0时f(x)≥0，即x3?3x2+4≥0，x3+4≥3x2． 解析：通过令f(x)=x3?3x2+4(x≥0)，并对其求导判断函数f(x)的单调性，进而求出最小值，整理即得结论． 本题考查函数最值及其几何意义，考查利用导数判断函数的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题． 19.答案：解：f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1 =(x+1)5， 所以x=?2时，f(?2)=(?2+1)5=?1． 所求多项式x=?2时的值为：?1． 解析：通过已知多项式，利用二项式定理，代入x的值即可求解． 本题考查二项式定理的应用，考查计算能力． 20.答案：解：(Ⅰ)易知定义域为R，且f′(x)=ae x(x+3)，∴f′(x)=0得x=?3， ∴当a>0时，f(x)在(?∞,?3)上递减，在(?3,+∞)上递增． ∴f(x)有最小值f(?3)=?a e3 ， 同理，当a<0时，f(x)有最大值f(?3)=?a e3 ． (Ⅱ)当x=?2，有0≥?8，∴a∈R， 当x>?2时，f(x)≥x2+6x?a≥x2+6x (x+2)e x ． 设g(x)=x 2+6x (x+2)?e x (x>?2)，则g′(x)=?(x+3)(x2+4x?4) (x+2)2?e x ， 由x>?2和g′(x)=0，得x=2√2?2，x=?2√2?2(舍)∴g(x)在(?2,2√2?2)上递增，在(2√2?2,+∞)上递减，∴g(x)max=g(2√2?2)=2?e2?2√2， ∴a≥2?e2?2√2． 解析：(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值即可； (x>?2)，求出g(x)的最(Ⅱ)x=?2时，显然成立，x≠2时，分离参数a，得到a≥g(x)=x2+6x (x+2)?e x 大值，从而求出a的范围． 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题． 函数解析式的表示形式及五种确定方式 函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。 一、解析式的表达形式 解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式，例 一次函数：b kx y += )0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、分段式 若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。 例1、设函数(]() ???+∞∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 的值为 。 解：当(]1,∞-∈x 时，由4 12= -x 得，2=x ，与1≤x 矛盾； 当()+∞∈,1x 时，由4 1log 81=x 得，3=x 。 ∴ 3=x 3、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例2、已知3)(,12)(2 +=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(2 2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g 二、解析式的求法 根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。 1待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。 高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结（详细） 第三章函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点。（实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标） 2、函数零点的意义：方程f(x)=0 有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点 3、零点定理：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程f(x)=0 的根。 4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点： （1）（代数法）求方程f(x)=0 的实数根； （2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 5、二次函数的零点：二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)． 1）△＞0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点． 2）△＝0，方程f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． 3）△＜0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 二、二分法 1、概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 2、用二分法求方程近似解的步骤: ⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε； ⑵求区间(a,b)的中点c; 高中数学函数常用函数图形及其基本性质 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 常见函数性质汇总 常数函数f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴） 的直线 一次函数f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R)|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓； 图象及其性质：直线型图象。b=0；k>0；k<0 定义域：R 值域：R 单调性：当k>0时，当k<0时 奇偶性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 反函数：有反函数。K=±1、b=0的时候 周期性：无 补充：一次函数与其它函数之间的lianxi 1、与一元一次函数之间的联系 2、与曲线函数的联合运用 反比例函数f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第 一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定义域：),0()0,(+∞-∞ 值域：),0()0,(+∞-∞ 单调性：当k>0时；当k<0时 奇偶性：奇函数反函数：原函数本身周期性：无 x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b x y O f (x )=x k 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个— —⑴直接带入，李永二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图）f (x )= d cx b ax ++(c ≠0且d ≠0) （对比标准反比例函数，总结各项内容） 二次函数 一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点当00时，函数图象与x 轴有两个交点（）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2≠++=a c bx ax x f 关系)0()(2≠=a ax x f 定义域：R 值域：当0>a 时，值域为（）；当0a 时；当0 专题 函数基本性质 考点精要 会运用函数图像理解和研究函数的性质． 热点分析 主要考查函数的性质及运用 知识梳理 1．函数的单调性： 设函数y=f （x ）的定义域为A ，区间M A ?．如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，设改变量210x x x ?=->，则当21()()0y f x f x ?=->时，就称函数y=f （x ）在区间M 上是增函数，当21()()0y f x f x ?=-<时，就称函数y=f （x ）在区间M 上是减函数． 如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性．（区间M 称为单调区间） 函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间内任取x 1，x 2,当x 1 < x 2时判断相应的函数值f （x 1）与f （x 2）的大小． 利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是图象观察得到的．对于[]()y f x φ=型复合形式的函数的增减性，可换过换元，令()u x φ=，然后分别根据()u x φ=，()f f u =在相应区间上的增减性进行判断，一般规律是：“同则增，异则减”，即内外层函数的单调性相同（同增或同减）则[]()y f x φ=为增；内外层函数的单调性相反（内增外减或内减外增）则 []()y f x φ=为减．其本质源于复合函数求导的连锁法则以及函数单调性与其导函 数符合的关系． 此外，利用导数研究函数的单调性，更是一种非常重要的方法，是“大规大法”，由导数正负与单调性的关系及两函数和、差、积、商的求导法则可以推出许多判定函数单调性的简单技巧． 求函数解析式的六种常用方法 一、换元法 已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可. 例1 已知f （x x 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 1 1-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 1 11)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）. 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知f （x +1）= x+2 x ，求f （x ）的解析式. 解： f （x +1）= 2)(x +2 x +1－1=2)1(+x －1， ∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ， 则有 f （x ）= x 2－1 （x ≥1）. 评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错. 三、待定系数法 例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式. 解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ???=++=+822b a b b a 解得 ???==. 7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式. 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 课题：___函数的解析式___ 教学任务 教 学 目 标 知识与技能目标会求简单函数的解析式 过程与方法目标 学生通过“回顾－反思－巩固－小结”的过程中 总结简单函数的解析式三种类型及解法。理解掌握 换元法、待定系数法，体会建立数学模型。培养学 生分类讨论的数学思想。 情感,态度与价值 观目标 使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创 造，让他们在学习活动中培养独立的分析和建模的能力。 重点理解掌握应用换元法、待定系数法求简单函数的解析式 难点能初步掌握用数学模型解决实际问题，并能注意实际问题中的定义域 教学过程设计 问题与情境 设计 意图 活动1课前热身（资源如下） 1、设 ? ? ? ? ? < = > + = )0 (0 )0 ( )0 (1 ) ( x x x x x fπ，则f{f[f(－1)]}=_______ ___ 2、若一次函数f(x)，使f[f(x)]=9x+1，则() f x= 3、已知：) (x f=x2-x+3 ，则 f(x+1) = , f( x 1 )= 4、若 x x x f - = 1 ) 1 (求f(x) = 5、客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙 地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙 地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过 的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（）. A. B. C. D. . 从正 反两 种情 况出 发，让 学生 回忆 体会 函数 解析 式用 法和 求法。 活动2类型解法 函数的解析式的几种类型及解法： 1、已知所要求的函数类型（一次、二次、反比例、指对数等）， 利用待定系数法来求； 2、已知复合函数一般用变量代换（换元）法； 3、涉及实际问题求解析式，需建立数学模型即：把实际问题转 化为数学问题。 培 养学 生用 自己 的语 言来 总结 类型 与解 法 活动3提高探究 资源1、求满足下列条件的函数() f x的解析式： ①已知一次函数() f x，满足3(1)2(1)217 f x f x x +--=+. ②若二次函数满足(0)0 f=，且(1)()1 f x f x x +=++ ③设二次函数f(x)满足f(x－2)=f(－x－2),且图象在y轴上的截距为1,在x轴上截得 的线段长为2 2. 掌 握利 用待 定系 数法 求解 析式。 人教版高中数学公式整理 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有 个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式 (3)零点式；当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式 4切线式：。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 . 7.方程在内有且只有一个实根,等价于或。 8.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若，则； ，，. (2)当a<0时，若，则， 若，则，. 9.一元二次方程＝0的实根分布 1方程在区间内有根的充要条件为或； 2方程在区间内有根的充要条件为 或或； 3方程在区间内有根的充要条件为或 . 10.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如 ，，不同上含参数的不等式(为参 数)恒成立的充要条件是 。 (2)在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数) 恒成立的充要条件是 。 (3) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数) 的有解充要条件是 。 (4) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数) 有解的充要条件是 。 对于参数及函数.若恒成立，则；若恒成立，则；若有解，则 ；若 有解，则 ；若 有解，则 . 若函数无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论 11.真值表 12.常见结论的否定形式 ， 或且 ，成立 且或 13.四种命题的相互关系(右图): 14.充要条件记表示条件，表示结论 1充分条件：若，则是充分条件. 2必要条件：若，则是必要条件. 3充要条件：若，且，则是充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 15.函数的单调性的等价关系 (1)设那么 上是增函数； 上是减函数. (2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数. 课题：对数函数及其性质（一） 课 型：新授课 教学目标： 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型.能够用描点法画出对数函数的图象.能根据对数函数的图象和性质进行值的大小比较.培养学生数形结合的意识.用联系的观点分析问题. 教学重点：对数函数的图象和性质 教学难点：对数函数的图象和性质及应用 教学过程： 一、复习准备： 1. 画出2x y =、1 ()2 x y =的图像，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质. 2. 讨论：t 与P 的关系？（对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系log P =， 生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数） 二、讲授新课： 1.教学对数函数的图象和性质： ① 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞） ② 辨析： 对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：22log y x =，5log (5)y x = 都不是对数函数， 而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 0(>a ，且)1≠a ． ③ 探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． ④ 练习：同一坐标系中画出下列对数函数的图象 x y 2log =；0.5log y x = ⑤ 讨论：根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？ 列表归纳：分类 → 图象 → 由图象观察（定义域、值域、单调性、定点） 引申：图象的分布规律？ 2、总结出的表格 函数的基本性质【教学目标】 【教学重点】 函数的基本性质及应用 【教学难点】 函数关系的建立、用函数的性质解决简单的实际问题与领悟数学思想方法。 【教学过程】： 一．知识整理 1．基本思想 （1）函数主要研究两个变量的相互联系，故涉及到两个变量的相互作用、相互影响的问题，大多可用函数的观点来解决。 （2）研究函数的主要途径是函数的图象和基本性质（以图象说明性质）。 2.主要问题： （1）函数图象的基本作法：a.分段 b.平移 c.对称 d.伸缩 （2）函数单调性的求法：a.图象 b.单调运算 c.复合函数 d.定义 （3）函数最值（或范围）的求法：a.图象 b.单调性 c.不等式 d.复合函数 e.换元 f.数形结合 （4）反函数求法：①解出x =φ(y)，②调换x,y, ③写出反函数定义域 3.函数的基本性质 函数定义：在某个变化过程中有两个变量x,y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与之对应，那么y就是x函数，记作y = f (x)，x∈D，x叫做自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x 的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 函数的相等：定义域相同，对应法则相同 函数图象：以自变量x的值为横坐标，与x的值对应的y的值为纵坐标所构成的点集，即{(x,y)|y = f (x), x∈D} a.定义域：自变量x的取值范围；亦为函数图象上点的横坐标的集合 b.值域：因变量y的取值范围；亦为函数图象上点的纵坐标的集合 c.奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)= f(a)，则称函数 f(x)为偶函数； 如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)=-f(a)，则称函数f(x) 为奇函数； 函数解析式 1、已知2(21)42f x x x +=-,求()f x 表达式。 2、已知1()2()23f x f x x +=+，求()f x 表达式。 3、已知2(1)21f x x +=+，求(1)f x -，()f x 。 4、已知23()2()23f x f x x --=-，不求()f x 的解析式，直接求(0)f ，(2)f 。 5、已知2 211()11x x f x x --=++，求()f x 解析式。 6、设()f x 是R 上的函数，且满足(0)1f =，并且对任意的实数x,y 都有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 。 7、若函数2 2()1x f x x =+，求111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++。 8、已知函数()x f x ax b =+，(2)1f =且方程()0f x x -=有唯一解，求()f x 表达式。 9、设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 。 10、已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式。 11、已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式。 12、已知函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式。 13、设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 。 14、设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1 1)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式。 15、设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f 。 16、已知f （x ＋1）＝x ＋2x ，求()f x 的解析式。 17、已知f （x ＋ x 1）＝x 3＋31x ，求()f x 的解析式。 18、已知函数()f x 是一次函数，且满足关系式3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x 的解析式。 19、已知2(1)lg f x x +=，求()f x 。 20、已知()f x 满足1 2()()3f x f x x +=，求()f x 。 O O O O （1） （2） （3） （4） 时间 时间 时间 时间 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题 第一部分 函数及其表示 知识点一：函数的基本概念 1、函数的概念： 一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数。记作： A x x f y ∈=，)(。 x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，y 叫函数值，y 的取值范围叫函数的值域。 说明：①函数首先是两个非空数集之间建立的对应关系 ②对于x 的每一个值，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与数之间的“一对一”或“多对一”。 ③认真理解)(x f y =的含义：)(x f y =是一个整体，)(x f 并不表示f 与x 的乘积，它是一种符号，可以是解析式，也可以是图象，还可以是表格； 2、函数的三要素：定义域，值域和对应法则 3、区间的概念：三种区间：闭区间、开区间、半开半闭区间 4、两个函数相等：同时满足（1）定义域相同；（2）对应法则相同的两个函数才相等 5、分段函数： 说明：①在求分段函数的函数值时，首先要确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值。 ②分段函数是一种重要的函数，它不是几个函数，而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同。 6、函数图像 练习 1.下列图象中表示函数图象的是 （ ） （A ） (B) (C ) (D) 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．x x y y ==,1 B ．1,112 -=+?-=x y x x y C ．3 3 ,x y x y = = D ． 2 )(|,|x y x y == 3.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。 A 、（1）（2）（4） B 、（4）（2）（3） C 、（4）（1）（3） D 、（4）（1）（2） 4.下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：2 2x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5.在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重()040x x <≤克的函数，其表达式为()f x ＝____ ____ 6.设函数? ??<+≥-=10110 2)(2x x x x x f ，则)9(f = ，)15(f = 7.设函数?? ?<-≥-=5 35 2)(2 x x x x x f ，若)(x f =13，则x= 。 8.函数()1,3,x f x x +?=?-+? 1, 1,x x ≤>则()()4f f = ． 9.下列各组函数是同一函数的有 ①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与2()g x x =； ③0 ()f x x =与0 1()g x x = ；④2()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 10.作出函数(]6,3,762 ∈+-=x x x y 的图象 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 函数的概念与性质 【知识要点】 1.函数的概念及函数的三要素 2.怎么判断函数的单调性 3.怎么判断函数的奇偶性 【典型例题】 例1．求下列函数的解析式，并注明定义域． （1）若x x x f 2)1(+=-，求)(x f ． （2）若31 )1(44-+=+x x x x f ，求)(x f ． 例2.求下列函数的值域． （1）)1(1 3 2≥++=x x x y （2）1)(--=x x x f （3）232--=x x y （4）246 (),[1,4]1 x x f x x x ++= ∈+ 例3.已知函数f （x ）=m （x +x 1）的图象与函数h （x ）=41（x +x 1 ）+2的图象关于点A （0，1）对称. （1）求m 的值； （2）若g （x ）=f （x ）+ x a 4在区间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围. 例4．判断下列函数的奇偶性 （1）334)(2-+-=x x x f （2）x x x x f -+?-=11)1()( 例5．设定义在[-2，2]上的偶函数，)(x f 在区间[0，2]上单调递减，若)()1(m f m f <-，求实为数m 的取值范围。 例6．已知函数f （x ）=x + x p +m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值. （2）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值. 例7．（2005年北京东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D ={x |x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ， 有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）. （1）求f （1）的值； （2）判断f （x ）的奇偶性并证明； （3）如果f （4）=1，f （3x +1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值范围. 竞赛讲义：函数的基本性质 基础知识： 函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. 关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》。. 例题： 1、已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2)，那么g(x)( ) A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增 C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增 2、设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤2 3时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 3、定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立， 若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B.2303 C.152 D.2 305 4、实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5y ＝______________. 5、已知x ＝9919+是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，求b ＋c 6、已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有 两个实数根，求证：a ＞4. 7、已知f(x)＝x 2＋ax ＋b(－1≤x≤1)，若|f(x)|的最大值为M ，求证：M≥ 21. 8、⑴解方程:(x ＋8)2001＋x 2001＋2x ＋8＝0 ⑵解方程：2)1x (222221)1x (1x 1 x 4x 2-=++++++ 9、设f(x)＝x 4＋ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，f ⑴＝1，f ⑵＝2，f ⑶＝3，求 41[f ⑷＋f(0)]的值 10、设f(x)＝x 4－4x 3＋213x 2－5x ＋2，当x ∈R 时，求证：|f(x)|≥2 1 函数解析式的求法大盘点 函数解析式的求解方法较多，在此，我归纳了几类供大家学习，希望对大家有所帮助。 一． 方程组法 型型和此法主要适用(x) )()()()()(c tx bf x af x c x t bf x af =+=+。 。即函数的解析式为得：替换为解析：把。 联立方程组，即可解出替换为分析：把的解析式。 ，求满足函数例3)(3)(-)(2)-()(2)(,)(,)()(2)()(.1x x f x x f x x f x f x x f x f x x x f x x x f x x f x f x f ==????=-=----=-- 。即函数的解析式为得：替换为解析：把。联立方程组，即可解出替换为分析：把的解析式。，求满足函数例)2(31)()2(31)(1 )(2)1()1(2)(,1)(,1)()1(2)()(.2x x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x f x x x f x x f x f x f +--=+--=???? ????-=--=----=-- 点评：方程组法求函数解析式关键是根据所给表达式列出方程组。 )()()()()()()()()()(x f x t c x bf x t af x c x t bf x af x t x x c x t bf x af 即可解出，即替换为型需把???????=+=+=+， ).()()()()()()((x) )()(x f tx c x bf tx af x c tx bf x af tx x c tx bf x af 即可解出，即替换为型需把???=+=+=+ 高中数学必修 第二章 函数 1.函数的有关概念 (1)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (2)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (3)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 2. 求给出解析式的函数定义域的基本方法： （1）)(x f 为整式型函数时，定义域为R ； （2）)(x f 为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合； （3）)(x f 为偶次根式型函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合； （4）)(x f 为零次幂型函数时，定义域为底数不为零的实数的集合； （5）若)(x f 是由上述几部分式子构成，则定义域为各个简单函数定义域的交集。 3．增函数、减函数 一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ?I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2，则都有： (1)f (x )在区间D 上是增函数?f (x 1)＜f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数?f (x 1)＞f (x 2)． 4.利用定义法判断函数单调性的步骤： （1）取值：在指定区间上任取)(,,122121x x x x x x <<或且令； （2）作差：将)]()()[()(1221x f x f x f x f --或进行化简变形，变形的方向应有利于判断)()(21x f x f - )]()([12x f x f -或的符号，主要的变形方法有因式分解、配方、有理化等； （3）定号：对变形后盾额差进行判断，确定)]()()[()(1221x f x f x f x f --或的符号； （4）判断：判断函数符合增函数还是减函数的定义，从而得出结论。 复合函数单调性的确定： “同增异减”. 5．函数的奇偶性 （1）一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f --=，那么函数)(x f 就叫做奇函数；奇函数的图象关于)0,0(对称；0)0(=f 高一数学函数知识点归纳_高一数学函数的性质 同学们升入高中，有没有感觉到高中的数学不再像初中数学那样简单易懂了?高中的数学知识点非常多，同学们要学会对知识点进行总结归纳，下面小编给大家准备了高一数学函数知识点归纳，希望能帮助到大家。 高一数学函数知识点归纳 1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合 B={f(x)∣x∈A }叫做函数的值域。 2、函数定义域的解题思路： ⑴若x处于分母位置，则分母x不能为0。 ⑵偶次方根的被开方数不小于0。 ⑶对数式的真数必须大于0。 ⑷指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。 ⑸指数为0时，底数不得为0。 ⑹如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。 ⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。 3、相同函数 ⑴表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。 ⑵定义域一致，对应法则一致。 4、函数值域的求法 ⑴观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。 ⑵图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。 ⑶配方法：主要用于二次函数，配方成 y=(x-a)2+b 的形式。 ⑷代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。 5、函数图像的变换 ⑴平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。 ⑵伸缩变换：在x前加上系数。 ⑶对称变换：高中阶段不作要求。 6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A 中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，那么就称对应f： A→B为从集合A到集合B的映射。 ⑴集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。 ⑵集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。 ⑶不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 7、分段函数 ⑴在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。 ⑵各部分自变量和函数值的取值范围不同。 ⑶分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。 8、复合函数：如果(u∈M)，u=g(x) (x∈A),则，y=f[g(x)]=F(x) (x∈A)，称为f、g 的复合函数。 高一数学函数的性质 1、函数的局部性质——单调性 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对应定义域I内的某个区间D内的任意两个变量 x1、x2，当x1< x2时，都有f(x1)f(x2)，那么那么y=f(x)在区间D上是减函数，D是 函数y=f(x)的单调递减区间。 ⑴函数区间单调性的判断思路 ⅰ在给出区间内任取x1、x2，则x1、x2∈D，且x1< x2。 求函数解析式的几种基本方法及例题： 1、凑配法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 此法较适合简单题目。 例1、（1）已知f(x+1)=x 2+2x,求f(x)及f(x-2). （2） 已知2 2 1)1(x x x x f + =+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：（1）f(x+1)=(x+1)2-1,∴f （x ）=x 2-1.f(x-2)=(x-2)2-1=x 2-4x+3. （2） 2)1()1(2 -+ =+ x x x x f ， 21≥+ x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x 2、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例2 （1） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f (2)如果).(,,)(x f x x x x f 时，求则当1011≠-= 解：（1）令1+= x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(2 2 -=-+-=t t t t f 1)(2 -=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(2 2 +=-+=+∴ )0(≥x (2)设 .)(,,,1 11 1111 11-= ∴-= - = = =x x f t t t f t x t x t ）（代入已知得则 3、待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法。应用此法解题时往往需要解恒等式。 例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解：设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c +a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x, 则应有.)(12121 0224 2222 --=∴?? ???-=-==∴?????=+-==x x x f c b a c a b a 四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 例4 设,)1 (2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 解 x x f x f =-)1 (2)( ① 显然,0≠x 将x 换成 x 1，得： x x f x f 1 )(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得： x x x f 323)(-- = 五、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。 例5 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式 课题7：函数的概念（一） 一、复习准备： 1． 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2．回顾初中函数的定义： 在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课： （一）函数的定义： 设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作： (),y f x x A =∈ 其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。显然，值域是集合B 的子集。 （1）一次函数y=ax+b (a ≠0)的定义域是R ，值域也是R ； （2）二次函数2 y ax bx c =++ (a ≠0)的定义域是R ，值域是B ；当a>0时，值域244ac b B y y a ??-??=≥?????? ；当a ﹤0时，值域244ac b B y y a ??-??=≤?????? 。 （3）反比例函数(0)k y k x =≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠。 （二）区间及写法： 设a 、b 是两个实数，且a≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞。 巩固练习：用区间表示R 、{x|x ≥1}、{x|x>5}、{x|x ≤-1}、{x|x<0} （三）例题讲解： 例1．已知函数2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。 变式：求函数223, {1,0,1,2}y x x x =-+∈-的值域 例2．已知函数1()2f x x =+， （1） 求()()2 (3),(),33f f f f --的值；(2) 当a>0时，求(),(1)f a f a -的值。 （四）课堂练习： 1． 用区间表示下列集合： {}{}{}{}4,40,40,1,02x x x x x x x x x x x x ≤≤≠≤≠≠-≤>且且或 2． 已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值； 3． 课本P 19练习2。高中数学函数解析式求法
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