特殊三角形的存在性问题
1、等腰三角形存在性问题
(一)例题讲解
例1.在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC=12，BD=16，E 为AD 的中点，点P 在BD 上移动，若△POE 为等腰三角形，则所有符合条件的点P 共有______个．
(二)课堂练习
1.操作：在△ABC 中，AC =BC =2,∠C =90°，将一块等腰直角三角板的直角顶
点放在斜边的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC 、CB 于D 、E 两点，图①②③是旋转三角板得到的图形中的其中三种.
探究：（1）三角板绕点P 旋转，观察线段PD 和PE 之间有什么大小关系？它们的关系为 ，不必写出证明过程.（本问1分）
（2）三角板绕点P 旋转，△PBE 能否成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即求出△PBE 为等腰三角形时线段CE 的长）；若不能，请说明理由. （本问4分）
（3）若将三角板顶点放在斜边上的M 处，且AM ∶MB =1∶n （n 为大于1的整数），和前面一样操作，试问线段MD 和ME 之间又有什么大小关系？仿照图①、图②、图③的情况，请选择一种，写出证明过程.（本问满分3分，仿照图①得1分、仿照图②得2分、仿照图③得3分；图④供操作、实验用）.
①
P
C E P
A
B ③
②
E P
C
2.已知：如图，在直角坐标系xOy 中，边长为2的等边△OAB 的顶点B 在第一象限，顶点A 在x 轴的正半轴上. 另一等腰△OCA 的顶点C 在第四象限，OC AC =，
120=∠C ．现有两动点P ，
Q 分别从A ，O 两点同时出发，点Q 以每秒1个单位的速度沿OC 向点C 运动，点P 以每秒3个
单位的速度沿A O B →→运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．
（1）求在运动过程中形成的△OPQ 的面积S 与运动的时间t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；
（2）在等边△OAB 的边上（点A 除外）存在点D ，使得△OCD 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标；
3.如图，在直角梯形OABC 中， OA ∥CB ，A 、B 两点的坐标分别为A （15，0），B （10，12），动点P 、Q 分别从O 、B 两点出发，点P 以每秒2个单位的速度沿OA 向终点A 运动，点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 向C 运动，当点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动．线段OB 、PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交AB 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P 、Q 运动时间为t （单位：秒）． （1）当t 为何值时，四边形PABQ 是等腰梯形，请写出推理过程； （2）当t ＝2秒时，求梯形OFBC 的面积；
（3）当t 为何值时，△PQF 是等腰三角形？请写出推理过程．
图①
A B
C O x
y
Q
P
O
y
x
D
C
B
A 4．已知：如图，平行四边形ABCD 在平面直角坐标系中，AD=6.OA 、O
B 的长是关于x 的方程
01272=+-x x 的两个根，且OA>OB.
(1)求cos ∠ABC 的值；
(2)若E 是x 轴正半轴上的一点，且3
16
=?AOE S ，求经过D 、E 两点的直线的解析式，并判断△AOE 与△DAO 是否相似，同时说明理由；
(3)点M 在平面直角坐标系中，点F 在直线AB 上，如果以A 、C 、F 、M 为顶点的四边形为菱形，请直接写出F 点坐标。（此问与等腰三角形的存在性问题一致）
5.（2013绵阳）如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象的顶点C 的坐标为（0，-2），交x 轴于A 、B 两点，其中A （-1，0），直线l ：x=m （m ＞1）与x 轴交于D 。 （1）求二次函数的解析式和B 的坐标；
（2）在直线l 上找点P （P 在第一象限），使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标（用含m 的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q ，使△BPQ 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由。
6.（2013山西）综合与探究：如图,抛物线
2
13
4
42
y x x
与x轴交于A,B两点(点B在点A的
右侧)与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q
（1）求点A,B,C的坐标。
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M,N。试探究m为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由。
（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点 Q，使△BDQ为直角
三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
7、（2013宁波）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．
①求证：∠BDE=∠ADP；
②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；
（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．
8、如图，已知：矩形ABCD,AB=6,BC=4,点P从点B出发在边BC上以每秒2个单位的速度向点C
运动，过点P作射线PM⊥BC交AD于点M,同时点Q从点P出发沿射线PM以每秒6个单位的速度
运动，当点P到达点C时，所有点均停止运动.在整个运动过程中，取PQ的中点E，以QE为直角
设运动时间为t秒.
(1)当点F在CD上时，求出此时t的值.
(2)求出QF经过点D时t的值.
(3)设直角三角形QEF与矩形ABCD重叠部分的面积是S，求S与t之间的
函数关系式
(4)直接写出△CPF为等腰三角形时t的值.
9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝16cm ，DE ＝4cm ．动线段DE (端点D 从点B 开始)沿BC 边以1cm/s 的速度向点C 运动，当端点E 到达点C 时运动停止．过点E 作EF ∥AC 交AB 于点F (当点E 与点C 重合时，EF 与CA 重合)，连接DF ，设运动的时间为t 秒(t ≥0)． (1) 直接写出用含t 的代数式表示线段BE 、EF 的长；
(2) 在这个运动过程中，△DEF 能否为等腰三角形？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由； (3) 设M 、N 分别是DF 、EF 的中点，求整个运动过程中，MN 所扫过的面积．
2、直角三角形存在问题
(一)例题讲解
例1.如图，抛物线两点轴交于与B A x bx ax y ,32
-+=，与y 轴交于点C ，且OA OC OB 3==． （I ）求抛物线的解析式；
（II ）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P
点坐标，若不存在，请说明理由； （III ）直线13
1
+-=x y 交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点．若α=∠DBC ，βαβ-=∠求,CBE 的值．
A
B
C
D
E
F
D
C
B
A
(二)课堂练习
1．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90o，AB ＝12cm ，BC ＝9cm,DC ＝13cm ，点P 是线段AB 上一个动点.设BP 为x cm ，△PCD 的面积为y cm 2
. （1）求AD 的长；
（2）求y 与x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？ （3）在线段AB 上是否存在点P ，使得△PCD 是直角三角形？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由.
2.已知抛物线22
--=x x y ． （1）求抛物线顶点M 的坐标；
（2）若抛物线与x 轴的交点分别为点A 、B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点N 为线段BM 上的一点，
过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为
t ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐
标；若不存在，请说明理由．
3.如图，已知二次函数12
12
++=
mx x y 的图象过x 轴上点A （21，0）和点B ，且与y 轴交于点
C .
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点P 是直线AC 上一动点，当∠OPB =90°时,求点P 坐标.
（3）若点P 在过点C 的直线b kx y +=上移动，只存在一个点P 使∠OPB =90°,求此时这条过点C 的直线的解析式.
4.已知抛物线1C 如图1所示，现将1C 以y 轴为对称轴进行翻折，得到新的抛物线2C . (1)求抛物线2C 的解析式；
(2)在图1中,将△OAC 补成矩形,使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,请直接(不需要写过程)写出矩形的周长； （与直角三角形的存在性问题类似）
(3)如图2,若抛物线1C 的顶点为M ，点P 为线段BM 上一动点(不与点M 、B 重合),PN ⊥x 轴于N ，请求出PC+PN 的最小值.
相似三角形的存在性问题
(一)例题讲解
例1.如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。
⑴求抛物线的解析式；
⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；
⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，
求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。
(二)课堂练习
1.已知抛物线2
y ax bx c =++
经过02P E ??
? ???
及原点(00)O ，．
（1）求抛物线的解析式．
（2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？
2.如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D
处。已知折叠CE =，且3
tan 4
EDA ∠=。 （1）判断OCD △与ADE △是否相似？请说明理由； （2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标；
（3）是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。
3.在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，． （1）求此二次函数的表达式；
（2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线
l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D
的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO
∠
与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．
4.如图所示，已知抛物线2
1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标．
（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积． （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥
x 轴于点G
的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．
5.已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC △是直角三角形，90ACB ∠=，点A C ，的坐标分别为(30)A -，，(10)C ，
，3
tan 4
BAC ∠=． （1）求过点A B ，的直线的函数表达式；
（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得ADB △与ABC △相似（不包括全等），并求点D 的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P Q ，分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP DQ m ==，问是否存在这样的m 使得APQ △与ADB △相似，如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．
O
练习4图
x
7．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(1，0)、B(4，0)两点，与y轴交于C(0，2)，连接AC、BC．
(1) 求抛物线解析式；
(2) BC的垂直平分线交抛物线于D、E两点，求直线DE的解析式；
(3) 若点P在抛物线的对称轴上，且∠CPB＝∠CAB，求出所有满足条件的P点坐标．
备用图