第十六期：一元二次方程
一元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的，一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的应用是中考的重点。题型多样，一般分值在6－9分左右。
知识点1：一元二次方程及其解法
例1：方程0232
=+-x x 的解是（ ）
A ．11=x ，22=x
B ．11-=x ，22-=x
C ．11=x ，22-=x
D ．11-=x ，22=x
思路点拨：考查一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：一是因式分解法；二是配方法；三是求根公式法．此题可以用此三种方法求解，此题以因式分解法较简单，此式可以分解为（x －1）(x －2)=0,所以x －1=0或x －２=0，解得x １=１，x ２=２．故此题选Ａ．
例2：若2
20x x --= ）
A ．3
B ．3
C
D 3
思路点拨：本题考查整体思想，即由题意知x 2－x=2,
所以原式=
3323123222=+-+，选A. 练习：
1.关于x 的一元二次方程2x 2－3x －a 2+1=0的一个根为2，则a 的值是（ ）
A ．1
B
C ．
D ．2.如果1-是一元二次方程230x bx +-=的一个根，求它的另一根．
3.用配方法解一元二次方程：x 2－2x －2=0．
答案：1.D.
2.解：1-是230x bx +-=的一个根，
2(1)(1)30b ∴-+--=．解方程得2b =-．
∴原方程为2230x x --=
分解因式，得(1)(3)0x x +-=
11x ∴=-，23x =.
3.移项，得x 2－2x=2．
配方x 2－2x+12=2+12，
（x －1）2=3.
由此可得x －1=±3，
x 1=1+3，x 2=1－3.
最新考题
1.（2009威海）若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______．
2.（2009年山西省）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ．
3.（2009山西省太原市）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）
A ．()216x +=
B ．()216x -=
C ．()229x +=
D ．()229x -=
答案：1.1； 2.答案不唯一，如21x = 3. B
知识点2：一元二次方程的根与系数的关系
例1：如果21,x x 是方程0122=--x x 的两个根，那么21x x +的值为：
（A ）－1 （B ）2 （C ）21- （D ）21+ 思路点拨：本题考查一元二次方程02=++c bx ax 的根与系数关系即韦达定理，两根之和是a b -， 两根之积是a
c ，易求出两根之和是2。答案：B 例2：设一元二次方程2730x x -+=的两个实数根分别为1x 和2x ，
则12x x += ，x 1、·x 2 ．
思路点拨：本体考查一元二次方程根与系数的关系，x 1、x 2是一元二次方程
ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x 1、+x 2=a b -
，x 1、·x 2=a
c .要特别注意的是方程必须有实数根才能用这一结论，即△=b 2－4ac≥0.
答案：7，3
练习： 1.已知关于x 的一元二次方程22
(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．
（1）求实数m 的取值范围；
（2）当22120x x -=时，求m 的值． （友情提示：若1x ，2x 是一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠两根，则有12b x x a +=-，12c x x a
?=） 2.当m 为何值时，关于x 的一元二次方程02
142=-+-m x x 有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？
答案：1.解：（1）由题意有22(21)40m m ?=--≥，解得14m ≤
． 即实数m 的取值范围是14
m ≤． （2）由22120x x -=得1212()()0x x x x +-=．
若120x x +=，即(21)0m --=，解得12
m =． 1124>，12
m ∴=不合题意，舍去． 若120x x -=，即12x x = 0∴?=，由（1）知14m =
． 故当22120x x -=时，14
m =． 2.解：由题意，△=(－4)2－4(m －2
1)=0 即16－4m+2=0，m=29． 当m=2
9时，方程有两个相等的实数根x 1=x 2=2． 最新考题
1.（2009年兰州）阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a
.根据该材料填空：已知x 1、
x 2是方程x 2+6x +3＝0的两实数根，则21x x +12
x x 的值为 ． 2.（2009年崇左）一元二次方程230x mx ++=的一个根为1-，则另一个根为 ． 答案：1. 10 2. 3-
知识点3：一元二次方程的应用
例1：某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价的百分率为x ，则下列方程中正确的是（ ）
A ．55 (1+x )2=35
B ．35(1+x )2=55
C ．55 (1－x )2=35
D ．35(1－x )2=55
思路点拨： 列一元二次方程解决实际问题是一个难点，但在中考试题中经常出现，所以我们要学好列方程解决实际问题。则需要在这方面加大训练力度。列方程的全过程，其步骤如下：
1、弄清题意，正确理解，准确把握题目条件中的数量关系，必要时可用图表辅助分析；
2、用字母表示问题中的一个未知数；
3、将题设条件中的语句都“翻译”成含有“字母”的代数式；
4、寻找等量关系，列出方程.
因为增长率问题是“加”；下降率问题是“减”，所以本题正确的是55 (1－x )2=35.所以本题选C.
练习：
1.某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是( )
A 、256)x 1(2892=-
B 、289)x 1(2562
=-
C 、256)x 21(289=-
D 、289)x 21(256=-
2.乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是学校．2005年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2007年校舍改造的投入资金是8058.9万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为 ．
答案：1. A 2.25786(1)8058.9x +=
最新考题：
1.（2009山西省太原市）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x ，根据题意列出的方程是 ．
2.（2009年包头）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 2．
3．(2009年本溪)由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题意可列方程为 ．
答案： 1.200()212500x -=；2.
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或12.5；3.216(1)9x -= 过关检测
一、选择题
1．一元二次方程3x 2=5x 的二次项系数和一次项系数分别是（ ）．
A ．3，5
B ．3，－5
C ．3，0
D ．5，0
2．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）．
A ．3（x+1）2=2（x+1）
B ．211x x
+－2=0 C ．ax 2+bx+c=0 D ．x 2+2x=x 2－1
3．下列方程中，两根是－2和－3的方程是（ ）．
A ．x 2－5x+6=0
B ．x 2－5x －6=0
C ．x 2+5x －6=0
D ．x 2+5x+6=0
4．若分式2926
x x --的值为零，则x 的值为（ ）． A ．3 B ．3或－3 C ．0 D ．－3
5．若a+b+c=0，则关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有一根是（ ）．
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．无法判断
6．方程2x （x －1）=x －1的解是（ ）．
A ．x 1=
12，x 2=1 B ．x 1=－12，x 2=1 C ．x 1=－12，x 2=1 D ．x 1=12
，x 2=－1
7．一元二次方程x 2－x+2=0的根的情况是（ ）．
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．无实数根
D ．无法确定
8．某商店将一批夏装降价处理，经过两次降价后，由每件100元降至81元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程（ ）．
A ．100（1－x ）2=81
B ．81（1+x ）2=100
C ．100（1+x ）=81×2
D ．2×100（1－x ）=8
9．已知一个三角形的两边长是方程x 2－8x+15=0的两根，则第三边y 的取值范围是（ ）．
A ．y<8
B ．3 10．如果x 2+x －1=0，那么代数式x 3+2x 2－7的值是（ ）． A ．6 B ．8 C ．－6 D ．－8 二、填空题（每题2分，共20分） 1．一元二次方程（x+1）（x+3）=9的一般形式是________． 2．请写出一个根为1，另一根满足－1 3．方程（x+1）2=3的解是_________． 4．配方x 2+3x+（______）=（x+_____）2． 5．已知m 是方程x 2－x －2=0的一个根，则代数式m 2－m 的值是________． 6．当x=________时，代数式3x 2－6x 的值等于12． 7．某超市经销一种成本为40元/kg 的水产品，市场调查发现，按50元/kg 销售，?一个月能售出500kg ，销售单位每涨1元，月销售量就减少10kg ，?针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，设销售单价为x 元，则x 应满足的方程是________． 8．要给一幅长30cm ，宽25cm 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，?且镜框所占面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为xcm ，?则依据题意列出的方程是_____． 9．一个小球以5m/s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速滚动5m 后小球停下来，如果小球滚动到3m 时约用了xs ，则列一元二次方程是_________． 10．如果x 、y 是两个实数（x·y≠1）且3x 2－2005x+2=0，2y 2－2005y+3=0，?则22x x y y 的值等于_________． 三、解答题（1题6分，2、3、4每题4分，共18分） 1．解方程：（每题3分，共6分） （1）（x－5）2=2（x－5）（2）x2－4x－5=0 2．已知方程2（m+1）x2+4mx+3m2=2有一根为1，求m的值． 3．解方程x2+x+1= 22 x x . 4．已知a，b是方程x2+x－1=0的两根，求a2+2a+1 b 的值． 四、综合应用题（每题7分，共42分） 1．为响应国家“退耕还林”的号召，改变我区水地流失的状况，2002?年我区退耕还林1万亩，计划到2004年总退耕还林共5亩，请你计算这两年平均每年退耕还林的增长率（精确到0。01）． 2．小芳调查某县城商品房2003年销售均价（即销售平均价）为1400元/m2，2005?年销售均价为1694元/m2，同时调查某城市2003年销售均价为2400元/m2，2005年销售均价为3000元/m2，那么，某县城或某城市的商品房的销售价大幅提高，并估计2006?年商品房的销售均价各为多少．（保留4个有效数字）． 3．将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）?所占的面积为原来荒地面积的三分之二．（精确到0.1m） （1）设计方案1（如图1）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路． （2）设计方案2（如图2）花园中每个角的扇形都相同． 以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图22－12?甲中的小路的宽和图22－13乙中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由．
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