2019 年山东省济南市中考数学试卷
一、选择题（每小题4 分，共48 分）
1．﹣7 的相反数是（）
A．﹣7 B．﹣C．7 D．1
2．以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（）
A．B．
C．D．
3．2019 年1 月3 日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177.6 度、南纬45.5度附近，实现了人类首次在月球背面软着陆．数字177.6 用科学记数法表示为（）A．0.1776×103 B．1.776×102 C．1.776×103 D．17.76×102
4.如图，DE∥BC，BE 平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE 的度数为（）
A．20°B．35°C．55°D．70°
5.实数a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）
A．a﹣5＞b﹣5 B．6a＞6b C．﹣a＞﹣b D．a﹣b＞0
6．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A.赵爽弦图B．笛卡尔心形线
C．科克曲线D．斐波那契螺旋线
7.化简+的结果是（）
A．x﹣2 B．C．
D． 8．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的 7 次成绩如统计图所示，则这7 次成绩的中
位数和平均数分别是（）
A．9.7m，9.9m B．9.7m，9.8m C．9.8m，9.7m D．9.8m，9.9m 9．函数y＝﹣ax+a 与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）
A．B．
C．D．
10.如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 的中点，以C 为圆心、CE 为半径作弧，交CD 于点
F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（）
A．9﹣3πB．9﹣2πC．18﹣9πD．18﹣6π
11.某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A 测得历下亭C 在北偏东37°方向，继续
向北走 105m 后到达游船码头B，测得历下亭C 在游船码头B 的北编东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（）（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）
A．225m B．275m C．300m D．315m
12.关于x 的一元二次方程ax2+bx+＝0 有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图
象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（）
A．＜t＜B．﹣1＜t≤C．﹣≤t＜D．﹣1＜t＜
二、填空题（每小题 4 分，共 24 分．）
13．分解因式：m2﹣4m+4＝．
14.如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6 个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，
指针落在红色区域的概率等于．
15.一个n 边形的内角和等于720°，则n＝．
16.代数式与代数式3﹣2x 的和为4，则x＝．
17.某市为提倡居民节约用水，自今年1 月1 日起调整居民用水价格．图中l1、l2分别表
示去年、今年水费y（元）与用水量x（m3）之间的关系．小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多元．
18.如图，在矩形纸片ABCD 中，将AB 沿BM 翻折，使点A 落在BC 上的点N 处，BM 为折痕，
连接MN；再将CD 沿CE 翻折，使点D 恰好落在MN 上的点F 处，CE 为折痕，连接EF 并延长交B M 于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE 的长等于．
三、解答题
19．（6 分）计算：（）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+
20．（6 分）解不等式组，并写出它的所有整数解．
21．（6 分）如图，在?ABCD中，E、F分别是AD和BC上的点，∠DAF＝∠BCE．求证：BF ＝DE．
22．（8 分）为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购
买A 种图书花费了 3000 元，购买B 种图书花费了 1600 元，A 种图书的单价是B 种图书的1.5 倍，购买A 种图书的数量比B 种图书多 20 本．
（1）求A 和B 两种图书的单价；
（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按 8 折销售学校当天购买了A 种图书 20 本和B 种图书 25 本，共花费多少元？
23．（8 分）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，过点C的⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AC、BD．
（1）求证；∠ABD＝∠CAB；
（2）若B 是OE 的中点，AC＝12，求⊙O 的半径．
24．（10 分）某学校八年级共 400 名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取
40 名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：
4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.1
5.2
5.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.2
4.4 4.2 4.3
5.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.1
4.2 4.4 4.5 4.1 4.5
5.1 4.4 5.0 5.2 5.3
根据数据绘制了如下的表格和统计图：
等级视力（x）频数频率
A x＜4.2 4 0.1
B 4.2≤x≤4.412 0.3
C 4.5≤x≤4.7a
D 4.8≤x≤5.0b
E 5.1≤x≤5.310 0.25
合计40 1
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）统计表中的a＝，b＝；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E 级”的有多少人？
（4）该年级学生会宣传部有 2 名男生和 2 名女生，现从中随机挑选 2 名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男 1 女”的概率．
25．（10 分）如图 1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数
y＝（x＞0）的图象经过点B．
（1）求a 和k 的值；
（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当m＝3 时，过D 作DF⊥x 轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值；
②在线段AB 运动过程中，连接BC，若△BCD 是以BC 为腰的等腰三形，求所有满足条件
的m 的值．
26．（12 分）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
（一）猜测探究
在△ABC 中，AB＝AC，M 是平面内任意一点，将线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转与
∠BAC 相等的角度，得到线段AN，连接NB．
（1）如图1，若M 是线段BC 上的任意一点，请直接写出∠NAB 与∠MAC 的数量关系是，NB 与MC 的数量关系是；
（2）如图 2，点E 是AB 延长线上点，若M 是∠CBE 内部射线BD 上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
（二）拓展应用
如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P 是B1C1上的任意
点，连接A1P，将A1P 绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线
段B1Q 长度的最小值．
27．（12 分）如图 1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C 绕点O 旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标；
（2）如图2，直线l：y＝kx﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，
求m 的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE 下方的抛物线C 上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1.解：﹣7 的相反数为 7，
故选：C．
2.解：A、主视图是圆，俯视图是圆，故A 不符合题意；
B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故B 不符合题意；
C、主视图是三角形，俯视图是圆，故C 不符合题意；
D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D 符合题意；
故选：D．
3．解：177.6＝1.776×102．
故选：B．
4．解：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠ABC＝70°，
∵BE 平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABC＝35°，
故选：B．
5．解：由图可知，b＜0＜a，且|b|＜|a|，
∴a﹣5＞b﹣5，6a＞6b，﹣a＜﹣b，a﹣b＞0，
∴关系式不成立的是选项
C．故选：C．
6．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
7．解：原式＝+＝＝，故选：B．
8.解：把这 7 个数据从小到大排列处于第 4 位的数是9.7m，因此中位数是 9.7m，
平均数为：（9.5+9.6+9.7+9.7+9.8+10.1+10.2）÷7＝9.8m，
故选：B．
9.解：a＞0 时，﹣a＜0，y＝﹣ax+a 在一、二、四象限，y＝在一、三象限，无选项符
合．
a＜0 时，﹣a＞0，y＝﹣ax+a 在一、三、四象限，y＝（a≠0）在二、四象限，只有
D 符合；
故选：D．
10.解：连接AC，
∵四边形A BCD 是菱形，
∴AB＝BC＝6，
∵∠B＝60°，E 为BC 的中点，
∴CE＝BE＝3＝CF，△ABC 是等边三角形，AB∥CD，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，
由勾股定理得：AE＝＝3 ，
∴S△AEB＝S△AEC＝×6×3×＝4.5 ＝S△AFC，
∴阴影部分的面积S＝S△AEC+S△AFC﹣S 扇形
CEF＝4.5 +4.5﹣＝9﹣3π，
故选：A．
11.解：如图，作CE⊥BA 于E．设EC＝xm，BE＝ym．
在Rt△ECB 中，tan53°＝，即＝，
在Rt△AEC 中，tan37°＝，即＝，
解得x＝180，y＝135，
∴AC＝＝＝300（m），
故选：C．
12.解：∵关于x 的一元二次方程ax2+bx+＝0 有一个根是﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+的图象过点（﹣1，0），
∴a﹣b+ ＝0，
∴b＝a+，t＝2a+b，
则a＝，b＝，
∵二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，
∴﹣＞0，﹣＞0，
将a＝，b＝代入上式得：
＞0，解得：﹣1＜t＜，
﹣＞0，解得：t或1＜t＜3，
故：﹣1＜t＜，
故选：D．
二、填空题：（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分．）
13．解：原式＝（m﹣2）2，
故答案为：（m﹣2）2
14.解：由于一个圆平均分成 6 个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的，
所以指针指向每个扇形的可能性相等，
即有 8 种等可能的结果，在这 6 种等可能结果中，指针指向红色部分区域的有 2 种可能结果，
所以指针落在红色区域的概率是＝；
故答案为．
15.解：依题意有：
（n﹣2）?180°＝720°，
解得n＝6．
故答案为：6．
16．解：根据题意得：+3﹣2x＝4，
去分母得：2x﹣1+9﹣6x＝12，
移项合并得：﹣4x＝4，
解得：x＝﹣1，
故答案为：﹣1
17.解：设当x＞120 时，l2对应的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
即当x＞120 时，l2对应的函数解析式为y＝6x﹣240，
当x＝150 时，y＝6×150﹣240＝660，
由图象可知，去年的水价是480÷160＝3（元/m3），故小雨家去年用水量为 150m3，需要缴费：150×3＝450（元），
660﹣450＝210（元），
即小雨家去年用水量为 150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 210 元，故答案为：210．
18.解：过点P 作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，
由折叠得：ABNM 是正方形，AB＝BN＝NM＝MA＝5，
CD＝CF＝5，∠D＝∠CFE＝90°，ED＝EF，
∴NC＝MD＝8﹣5＝3，
在Rt△FNC 中，FN＝＝4，
∴MF＝5﹣4＝1，
在Rt△MEF 中，设EF＝x，则ME＝3﹣x，由勾股定理得，
12+（3﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∵∠CFN+∠PFG＝90°，∠PFG+∠FPG＝90°，
∴△FNC∽△PGF，
∴FG：PG：PF＝NC：FN：FC＝3：4：5，
设FG＝3m，则PG＝4m，PF＝5m，
∴GN＝PH＝BH＝4﹣3m，HN＝5﹣（4﹣3m）＝1+3m＝PG＝4m，
解得：m＝1，
∴PF＝5m＝5，
∴PE＝PF+FE＝5+ ＝，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共 9 个小题，共 78 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．解：（）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+
＝2+1﹣2×+3
＝3﹣1+3
＝5
20．解：
解①得：x≤4；
解②得：x＞ 2；
∴原不等式组的解集为 2＜x≤10；
∴原不等式组的所有整数解为 3、4、5、6、7、8、9、
10． 21．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，
∵∠DAF＝∠BCE，
∴∠ABF＝∠DCE，
在△ABF 和△CDE 中，，
∴△ABF≌△CDE（ASA），
∴BF＝DE．
22.解：（1）设B 种图书的单价为x 元，则A 种图书的单价为 1.5x 元，
依题意，得：﹣＝20，
解得：x＝20，
经检验，x＝20 是所列分式方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝30．
答：A 种图书的单价为 30 元，B 种图书的单价为 20 元．
（2）30×0.8×20+20×0.8×25＝880（元）．
答：共花费 880 元．
23.解：（1）证明：∵AB、CD 是⊙O 的两条直径，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴∠OAC＝∠OCA，∠ODB＝∠OBD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠ODB＝∠OBD，
即∠ABD＝∠CAB；
（2）连接BC．
∵AB 是⊙O 的两条直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE 为⊙O 的切线，
∴∠OCE＝90°，
∵B 是OE 的中点，
∴BC＝OB，
∵OB＝OC，
∴△OBC 为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∴BC＝AC＝4 ，
∴OB＝4 ，
即⊙O 的半径为4．
24.解：（1）由题意知C 等级的频数a＝8，
则C 组对应的频率为8÷40＝0.2，
∴b＝1﹣（0.1+0.3+0.2+0.25）＝0.15，故答案为：8、0.15；
（2）
D 组对应的频数为40×0.15＝6，
补全图形如下：
（3）估计该校八年级学生视力为“E级”的有400×0.25＝100（人）；
（4）列表如下：
得到所有等可能的情况有 12 种，其中恰好抽中一男一女的情况有 8 种，
所以恰好选到1 名男生和1 名女生的概率＝．
25．解：（1）∵点A（0，8）在直线y＝﹣2x+b 上，
∴﹣2×0+b＝8，
∴b＝8，
∴直线AB 的解析式为y＝﹣2x+8，
将点B（2，a）代入直线AB 的解析式y＝﹣2x+8 中，得﹣2×2+8＝a，∴a＝4，
∴B（2，4），
将B（2，4）在反比例函数解析式y＝（x＞0）中，得k＝xy＝2×4＝8；
（2）①由（1）知，B（2，4），k＝8，∴反比例函数解析式为y＝，
当m＝3 时，
∴将线段AB 向右平移 3 个单位长度，得到对应线段CD，
∴D（2+3，4），
即：D（5，4），
∵DF⊥x 轴于点F，交反比例函数y＝的图象于点E，
∴E（5，），
∴DE＝4﹣＝，EF＝，
∴＝＝；
②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，∴CD＝AB，AC＝BD＝m，
∵A（0，8），B（2，4），
∴C（m，8），D（（m+2，4），
∵△BCD 是以BC 为腰的等腰三形，
∴Ⅰ、当BC＝CD 时，
∴BC＝AB，
∴点B 在线段AC 的垂直平分线上，
∴m＝2×2＝4，
Ⅱ、当BC＝BD 时，
∵B（2，4），C（m，8），
∴BC＝，
∴＝m，
∴m＝5，
即：△BCD 是以BC 为腰的等腰三形，满足条件的m 的值为 4 或 5．
26．解：（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．理由：如图 1 中，
∵∠MAN＝∠CAB，
∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，
∴∠NAB＝∠MAC，
∵AB＝AC，AN＝AM，
∴△NAB≌△MAC（SAS），
∴BN＝CM．
故答案为∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．
（2）如图 2 中，①中结论仍然成立．
理由：∵∠MAN＝∠CAB，
∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，
∴∠NAB＝∠MAC，
∵AB＝AC，AN＝AM，
∴△NAB≌△MAC（SAS），
∴BN＝CM．
（二）如图 3 中，在A1C1上截取A1N＝A1Q，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．
∵∠C1A1B1＝∠PA1Q，
∴∠QA1B1＝∠PA1N，
∵A1A＝A1P，A1B1＝AN，
∴△QA1B1≌△PA1N（SAS），
∴B1Q＝PN，
∴当PN 的值最小时，QB1的值最小，
在Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝8，
∴A1M＝A1B1?sin60°＝4，
∵∠MA1C1＝∠B1A1C1﹣∠B1A1M＝75°﹣30°＝45°，
∴A1C1＝4 ，
∴NC1＝A1C1﹣A1N＝4 ﹣8，
在Rt△NHC1，∵∠C1＝45°，
∴NH＝4 ﹣4，
根据垂线段最短可知，当点P 与H 重合时，PN 的值最小，
∴QB1的最小值为4﹣4．
27．解：（1）将A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入y＝ax2+bx中，得
解得
∴抛物线C 解析式为：y＝﹣x2﹣4x，
配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴顶点为：G（﹣2，4）；
（2）∵抛物线C 绕点O 旋转180°，得到新的抛物线C′．
∴新抛物线C′的顶点为：G′（2，﹣4），二次项系数为：a′＝1
∴新抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x
将A（﹣4，0）代入y＝kx﹣中，得0＝﹣4k﹣，解得k＝，
∴直线l解析式为y＝x﹣，
∵D（m，﹣m2﹣4m），
∴直线DO 的解析式为y＝﹣（m+4）x，
由抛物线C 与抛物线C′关于原点对称，可得点D、E 关于原点对称，
∴E（﹣m，m2+4m）
如图 2，过点D 作DH∥y 轴交直线l 于H，过E 作EK∥y 轴交直线l 于K，
则H（m，m﹣），K（﹣m，m﹣），
∴DH＝﹣m2﹣4m﹣（m﹣）＝﹣m2m+，EK＝m2+4m﹣（m﹣）＝m2+
m+ ，
∵DE＝2EM
∴＝，
∵DH∥y 轴，EK∥y 轴
∴DH∥EK
∴△MEK∽△MDH
∴＝＝，即DH＝3EK
∴﹣m2m+＝3（m2+m+）
解得：m1＝﹣3，m2＝，
∵m＜﹣2