2019年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题
（说明：本试卷满分150分，共13题， 10道填空题，3道解答题。填空题的答案和解答
题的解答过程书写在答题纸上。）
一、填空题（每题8分，共80分）
1.如图，将长度为1的线段分为,x y 两段，再将长度为x 的线段弯成半圆周ACB ，将长度为y 的线段折成矩形ABDE 三条边（,,BD DE EA ），构成闭“曲边形”
ACBDEA ，则该曲边形面积的最大值为_______________.
答案
1
2(4)
π+
解 记圆的半径为r ，矩形的宽为h ，则有
12,[1]1222x r x x
r h x x r h πππ=??==--?
-=+?
， 所以曲边形的面积为
2222222
1122(4)4(1)[()()]222244x x x x x S x x πππππππππππππ
++=?+?--=-=--++， 因此，当4
x ππ=
+时，max 1
2(4)
S π=
+.
2.已知集合{1,2,,},,A k k k n k n =+++L 为正整数，若集合A 中所有元素之和为2019，则当n 取最大值时，集合A =______________________. 答案 {334,335,336,337,338,339}A = 解 由已知
21
36732
k n n ++?=?. 当2n m =时，得到(221)36733,6,333k m m m n k ++=??===； 当21n m =+时，得到(1)(21)36731,3k m m m n +++=??==. 所以n 的最大值为6，此时集合{334,335,336,337,338,339}A =
3.设(0,)2
πθ∈，则2sin cos (sin 1)(cos 1)θθ
θθ++的最大值为________.
答案
6-
解 令sin cos t θθ=+
，则)4
t π
θ=+∈
222sin cos 14
2(0,61(sin 1)(cos 1)1
12
t t t t θθθθ-==-∈--+++++
4. 设三条不同的直线：1:23(1)0l ax by a b ++++=,2:2(1)30l bx a b y a ++++=，
3:(1)230l a b x ay b ++++=，则它们相交于一点的充分必要条件为
_______________.
答案1
2a b +=-
解 设1c a b =++
230,)230
230
ax by c x y bx cy a cx ay b ++=??
++=??++=?
设三条直线相交于点(，则有 消去,x y 得33330,a b c abc ++-=即222()()0a b c a b c ab bc ac ++++---=
把1c a b =++代入得，2
2
2
(221)[()(1)(1)]0a b a b b a ++-++++=， 当2
2
2
()(1)(1)0a b b a -++++=时，解得1a b ==-，不合题意舍去； 所以2210a b ++=，解得1
2
a b +=-
. 反之，当1
2
a b +=-时，方程组有解.
5. 如图，在△ABC 中，∠ABC =120°，AB =BC =2. 在AC 边上取一点D （不含A 、C ），将△ABD 沿线段BD 折起，得到△PBD . 当平面PBD 垂直平面ABC 时，则P 到平面ABC 距离的最大值为 . 答案 2
解 在ABC ?中，因为2,120AB BC ABC ==∠=o ，所以30BAD BCA ∠==o .
C
D
P B
C
D
P B
由余弦定理可得23AC =.
设AD x =，则023x <<，23DC x =-.
在ABD ?中，由余弦定理可得2234BD x x =-+.
在PBD ?中，PD AD x ==，2PB BA ==,30BPD ∠=o ，
设P 到平面ABC 距离为d ，则11
sin 22PBD S BD d PD PB BPD ?=?=?∠，
解得2
2234
2341d x x x x
=
=-+-
+，由023x <<得max 2d =.
6.如图,在ABC ?中,,,D E F 分别为,,BC CA AB 上的点，且31
,,
52
CD BC EC AC ==1
.3AF AB = 设P 为四边形AEDF 内一点（P 点不在边界上）.若
1,3DP DC xDE =-+u u u r u u u
r u u u r 则实数x 的取值范围为________________.
答案 14
(,)23
.
解答：由已知，在BD 上取一点G 且1
.3DG DC =
设3,DC a =则DG a =.有5BC a =，则BG a =. 过G 作//GH DE 分别交,DF AE 于,K H .
由124
//,333
GH DE HE EC AH EC HG DE ?=?==.
又
11
//23AH AF FH BC FH BC HC FB ==??=. 由
331
.582
FH KH KG HK KG HG DE DG KG =?=?== 所以x 14
(,)23
∈.
7.设10101009
(),10091010
x f x x +=
+定义(1)()(1)()(),()(()),2,3,i i f x f x f x f f x i -===L ，则()()n f x =________________.
答案()
(20191)20191()(20191)20191
n n n n n x f
x x ++-=-++
解 由已知(1)()(1)()
(1)
()(1)1010()1009()11()1(),1009()1010()12019()1
n n n n n n n f x f x f x f
x f x f x f x ----+--=?=?+++
以此类推，()()
()()111(20191)20191()()1(2019)1(20191)20191
n n n n n n n n f x x x f x f x x x --++-=??=++-++
8.设12,z z 为复数，且满足1
12
5,2z z i z ==+（ 其中i 为虚数单位），则12z z -取值为________________________. 答案 10
解 由15,z =设15(cos sin )z i αα=+，由
1
2
2z i z =+得2(2)(cos sin )z i i αα=-+，于是，12(3)(cos sin )10z z i i αα-=++=.
9. 设120x x ≤≤，数列{}n x 满足21,1n n n x x x n ++=+≥. 若712x ≤≤，则8x 的取值范围为__________________. 答案 2113[
,]134
解 由已知得
312412512612712812,2,23,35,58,813,x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+=+=+=+=+=+
因为712x ≤≤，所以121582,x x ≤+≤结合120x x ≤≤，在12O x x -坐标下所围成的
线性规划区域为四边形，它的四个顶点坐标分别为111221
(0,),(,),(,),(0,)8131313134
，
所以8122113
813[,]134x x x =+∈.
10.在复平面上，任取方程10010z -=的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形的数目为____________________. 答案 39200
解 易知10010z -=的根在单位圆上，且两根之间弧长相等，都为
2100
π
，即将单位圆均匀分成100段小弧. 首先选取任意一点A 为三角形的顶点，共有100种取法. 按顺时针方向依次取顶点B 和顶点C ，设AB 弧有x 段小弧，CB 弧有y 段小弧，AC 弧有z 段小弧，则
10097
(1)
1,,490,,48
x y z x y z ABC x y z x y z ++=++=??????≤≤≤≤??L 为锐角三角形的等价条件为 计算方程组（1）的整数解个数，记
{{1297,49},97,49},P x x y z x P y x y z y =++=≥=++=≥
{{397,z 49},(,,)97,,,z 0},P z x y z S x y z x y z x y =++=≥=++=≥
2
12312399123123C []i j i j
P P P S P P P P P P P P P P P
22995031176.C C =-=
1001176
3920.
303
?=由于重复计算次，所以所求锐角三角形个数为
二、解答题（第11题20分，第12、13题各25分） 11.如图，椭圆2
21:14
x C y +=,抛物线22:2(0)C x py p =>，
设12,C C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点. （1）若ABO ?的外心在椭圆上，求实数p 的值； （2）若ABO ?的外接圆经过点13
(0,
)2
N ，求实数p 的值. 解（1）由抛物线、椭圆和圆的对称性可知，ABO ?的外
心为椭圆的上顶点(0,1)M .则有 1.MA MB MO ===设000(,)(0)B x y x >，则有
20022
00220021
4(1)1x py x y x y ?=??+=???+-=?
解得2004(2135)
11337136x y p ?-=
??
?-+=??
?-=?
?
（2）因为,,,O A N B 四点共圆，设AB 与y 轴相交于0(0,)C y ，由相交弦定理得
AC CB CN CO ?=?,即0000013(
)22y y x x py -==，解得013
2,2y p =- ① 代入20
02x py =,解得，2
0132(2)2
x p p =-， ② 将①②代入椭圆方程得
2213413
(2)142
p p p -+-=， 解得3p =.
12. 设1,0(11),0(i i i i a b i n b b δδ+>≤≤+-≥>为常数）.若11n
i i a ==∑，证明：
证法一
121
1
1
1
1
()(n
i i i
i a a a b
b δ=+≤
-
+++∑L
11212121
1
{[(()n
i i i i
a a a a a a a
b δ-==
+++++++∑L L
121
1
(n n a a a b +-
+++L
>）
11212121{)()]}n
i i i a a a a a a a δ-=<++++-+++L L
11221
11
[[]n
n
i i i i i
a a a
b b δδδ===+<+=∑. 证法二 记01
,0k
k i i i s a b s ===∑，则有1
k k k k
s s a b --=
. 由已知11111111
1()n
n
n n
i i i i i i i i i i i i i i i i i s s s s s s
a b b b b b b δ-====+++-===-+≥∑∑∑∑
（因为i is ≥
11
n
i i i δ=+≥
13.设X 是有限集，t 为正整数，F 是包含t 个子集的子集族：12{,,,}t F A A A =L . 如果F 中的部分子集构成的集族S 满足：对S 中任意两个不相等的集合A 、B ，
,A B B A ??均不成立，则称S 为反链.设1S 为包含集合最多的反链，2S 是任意反链. 证明存在2S 到1S 的单射f ，满足2,A S ?∈()f A A ?或()A f A ?成立. 证 记1S r =, 称包含r 个元素的反链为最大反链，最大反链可能不唯一. 称F 的子集P 为链，如果,,,A B P A B B A ?∈??之一成立.我们证明结论：F 可以拆分为r 个链i P (1i r ≤≤)的并（即Dilworth 定理）.
对t 进行归纳证明.1t =显然成立.设命题对1t -成立， 先假设存在一个最大反链S , 使得F 中既有集合真包含S 中的某个集合，也有集合是
S 中的某个集合的真子集.记前者的全体为1F ,后者的全体为2F ,即
1{i i F A F A =∈包含S 中的某个集合}， 2{i i F A F A =∈是S 中的某个集合的子集}，
则12S,F F S ??均是F 的真子集，从而由归纳假设可将12S,F F S ??都可以拆成r 个链的并. 1S F ?中的链以S 中的元素开始2,F S ?中的链以S 中的元素结束.将这些链“接”起来就将F 分成了r 条链.
现在假设不存在这样的反链，从而每个最大反链要么满足1F =?，要么满足2F =?. 前者意味着S 中的子集都是“极大”子集（不是另一个
i A 的真子集）, 后者意味着S 中的子集都是“极小”子集（不真包含另一个i A ）, 从而至多两个最大反链.如果极大子集构成的反链和极小子集构成的
反链均为最大反链，则任取极大子集A ，以及极小子集B A ?, 将A ，B 都去
掉.用归纳假设将剩下的集合拆分成1r -条链，再加上链B A ?即可.如果其中之一不是最大反链，不妨设极大子集构成的反链是唯一的极大反链，任意去掉一个极大子集归纳即可.结论证毕.
现在将F 拆分成r 条链，则每条链中恰有一个1S 中的子集，且至多一个
2S 中的子集.将每个2S 中的子集对应到所在链中1S 的元素，就得到了从2S 到1S 满足要求的映射.
2019年浙江省高中数学高考考纲 一、三角函数、解三角形 1．了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算． 2．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象与性质，了解三角函数的周期性．3．理解同角三角函数的基本关系，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式． 4．了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的实际意义，掌握y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响． 5．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式．6．掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明． 7．掌握正弦定理、余弦定理及其应用． 二、立体几何 1．了解多面体和旋转体的概念，理解柱、锥、台、球的结构特征． 2．了解简单组合体，了解中心投影、平行投影的含义． 3．了解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体．会用斜二测画法画出它们的直观图． 4．会计算柱、锥、台、球的表面积和体积． 5．了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义．掌握如下可以作为推理依据的公理和定理． 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行． 定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 6．理解空间线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理． (1)判定定理： ①平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行； ②一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； ③一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直； ④一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． (2)性质定理：
数学必修一浙江省高中新课程作业本答案 答案与提示仅供参考 第一章集合与函数概念 1．1集合 1 1 1集合的含义与表示 列举法表示为{(-1,1),(2,4)},描述法的表示方法不唯一,如可表示为(x,y)|y=x+2, y=x2. ,12,2. 1 1 2集合间的基本关系 ,{-1},{1},{-1,1}.5. .6.①③⑤. = ,{1},{2},{1,2}},B∈A. =b=1． 1 1 3集合的基本运算(一) 或x≥5}.∪B={-8,-7,-4,4,9}.. 11.{a|a=3,或-22＜a＜22}．提示:∵A∪B=A，∴B A．而A={1，2}，对B进行讨论：①当B= 时，x2-ax+2=0无实数解，此时Δ=a2-8＜0，∴-22＜a＜22.②当B≠时，B={1,2}或B={1}或B={2};当B={1,2}时，a=3;当B={1}或B={2}时，Δ=a2-8=0，a=±22，但当a=±22时，方程x2-ax+2=0的解为x=±2，不合题意．
1 1 3集合的基本运算(二) 或x≤1}.或或x≤2}.={2,3,5,7},B={2,4,6,8}． ,B的可能情形有:A={1,2,3},B={3,4};A={1,2,4},B={3,4};A={1,2,3,4},B={3,4 }. =4,b=2.提示:∵A∩綂UB={2}，∴2∈A，∴4+2a-12=0 a=4，∴A={x|x2+4x-12=0}={2,-6},∵A∩綂UB={2}，∴－6 綂UB，∴－6∈B，将x=-6代入B,得b2-6b+8=0 b=2,或b=4.①当b=2时,B={x|x2+2x-24=0}={-6,4},∴-6 綂UB，而2∈綂UB，满足条件A∩綂UB={2}.②当b=4时,B={x|x2+4x-12=0}={-6,2}, ∴2 綂UB，与条件A∩綂UB={2}矛盾． 1．2函数及其表示 1 2 1函数的概念（一） ，且x≠-3}．略.(2) 2 1函数的概念（二） 且x≠-1}.5.［0，+∞).. ,-13,-12,.(1)y|y≠25.(2)［-2,+∞). 9.(0,1］．∩B=-2,12;A∪B=［-2,+∞).11.［-1,0). 1 2 2函数的表示法(一) 略. 8. x1234y9.略. 2 2函数的表示法(二)
2019-2020学年人教版高一数学新教材 全套题库含答案详解 目录 专题01 集合及其表示方法 专题02 集合的基本关系 专题03 集合的基本运算 专题04 《集合》单元测试卷 专题05 命题与量词 专题06 全称量词命题与存在性量词命题的否定 专题07 充分条件、必要条件 专题08 《常用逻辑用语》单元测试卷 专题09 《集合与常用逻辑用语》综合测试卷 专题10 等式的性质与方程的解 专题11 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 专题12 方程组的解集 专题13 《等式》单元测试卷 专题14 不等式及其性质 专题15 不等式的解集 专题16 一元二次不等式的解法 专题17 均值不等式及其应用 专题18《不等式》单元测试卷 专题19《等式与不等式》综合测试卷
专题01 集合及其表示方法 一、选择题 1．下列给出的对象中，能表示集合的是（ ）． A ．一切很大的数 B ．无限接近零的数 C ．聪明的人 D ．方程 的实数根 2．已知集合A={x ∈N|-1＜x ＜4}，则集合A 中的元素个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3．用列举法表示集合正确的是（ ） A. ?2,2 B. {?2} C. {2} D. {?2,2} 4．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是( ) A ．9 B ．5 C ．3 D ．1 5．下列说法正确的是（ ） A ．我校爱好足球的同学组成一个集合 B ．是不大于3的自然数组成的集合 C ．集合 和 表示同一集合 D ．数1，0，5，，，， 组成的集合有7个元素 6．集合{x |x ≥2}表示成区间是 A ．（2，+∞） B ．[2，+∞） C ．（–∞，2） D ．（–∞，2] 7．集合A ＝{x ∈Z|y ＝ ，y ∈Z}的元素个数为( ) A ．4 B ．5 C ．10 D ．12 8．不等式 的解集用区间可表示为 A ．（–∞，） B ．（–∞，] C ．（，+∞） D ．[，+∞） 9．下列说法正确的是（ ） A ．0与{}0的意义相同 B ．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合 {} 2 |40A x x =-=
浙江省高中数学教材知识大纲 (文理通用) 必修1 第一章集合与函数概念 1.1集合 1.2函数及其表示 1.3函数的基本性质 第二章基本初等函数Ⅰ 2.1指数函数 2.2对数函数 2.3幂函数 第三章函数的应用 3.1函数与方程 3.2函数模型及其应用 必修2 第一章空间几何体 1.1空间几何体的结构 1.2空间几何体的三视图和直观图 1.3空间几何体的表面积与体积 第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线、平面的位置关系 2.2直线、平面平行的判定及其性质 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 第三章直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.2直线的方程 3.3直线的交点坐标与距离公式 第四章圆与方程 4.1 圆的方程 4.2直线与圆的位置关系 4.3空间直角坐标系 必修3 第一章算法初步 1.1算法与程序框图
1.2基本算法语句 1.3算法案例 第二章统计 2.1随机抽样 2.2用样本估计总体 2.3变量间的相关关系 第三章概率 3.1随机事件的概率 3.2古典概型 3.3几何概型 必修4 第一章三角函数 1.1任意角和弧度制 1.2任意角的三角函数 1.3三角函数的诱导公式 1.4三角函数的图象与性质 1.5函数sin()yAx的图像 1.6三角函数模型的简单应用 第二章平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念 2.2平面向量的线性 2.3平面向量的基本定理及坐标表示 2.4平面向量的数量积 2.5平面向量应用举例 第三章三角恒等变换 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.2简单的三角恒等变换 必修5 第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.2应用举例 1.3实习作业 第二章数列 2.1数列的概念与简单表示法 2.2等差数列 2.3等差数列的前n项和
1
2 课后测评 一、选择题 1. 在ABC ?中，一定成立的等式是（ ） B b A a A sin sin .= B b A B cos cos .= A b B a C sin sin .= A b B a D cos cos .= 2. 在ABC ?中，已知,75,60,8?=?==C B a 则b 等于（ ） 3 32. 64.34.24.D C B A 3. 在锐角ABC ?中，角A ，B 所对应的边分别为a,b.若b B a 3sin 2=，则角A 等于（ ） 3 .4.6 .12. ππππD C B A 4. 在ABC ?中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a,b,c,,45,2,?===B b x a 若解该三角形有两解，则x 的取值范围是（ ) 3 22.222.2.2.<<<<<>x D x C x B x A 5. 在ABC ?中，,60,10,6?===B c b 解此三角形的解的情况是（ ） A. 一解 B.两解 C.无解 D.解的个数不能确定 6. 设锐角三角形ABC 的三个内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,且a=1,B=2A,则b 的取值范围是（ ） A. (0,2) )3,2.(B )3,1.(C )2,2.(D 二、填空题 7. 已知ABC ?外接圆的半径是2cm ，?=60A ，则BC 的边长为___________ 8. 在ABC ?中，__________,60,65,10=?===B C c b 则 9. 在ABC ?中，__________,2,30,45==?=?=b a B A 则 10.在ABC ?中，已知__________sin sin ,3cos cos 3cos 的值为则C A b a c B C A -=-
谈虚设零点消元法在导数压轴大题中的应用 ------以 2019 年几道模拟题为例 在高考的导数压轴题中，经常会遇到导函数具有零点但求解又相对比较复杂甚至是无法求解的问题，这个时候，从正面去强求函数的零点值是很困难的，我们不妨只须设出函数的零点，然后利用其满足的关系式，谋求一种整体的替换和过 渡，往往会给我们带来意向不到的效果，最后再结合题目的其他条件，就可以很快 解决这类问题。对于最近的几道地市模拟题的导数压轴题，我们发现它们 用的好像都是同一个方法 -- 虚设零点消元法，只分析第一道，其他同理，顺便再看看之前曾经出现过的两道经典题． 一、【 2019 合肥一模理科 21】 二、【 2019 顺德三模理科 21】 三、【 2019 佛山 3 月统考（北京燕博园）理科21】 四、【 2019 广州一模理科 21】 五、【 2019 广东模拟理科 21】 六、【 2018 广州二模理科 21】 七、【 2013 全国二卷理科 21】 一、【 2019 合肥一模理科21】 21．(本小题满分12 分 ) 已知函数 f (x) e x ln(x 1) ( e 为自然对数的底数 )． (Ⅰ )求函数 f (x) 的单调区间； (Ⅱ )若 g(x) f (x) ax ， a R ，试求函数g(x) 极小值的最大值． 解析： ( Ⅰ) 易知x 1 ，且 f (x) e x 1 . x 1 【求一阶导数发现是超越函数，无法确定导数的零点】 令 h(x) e x 1 ，则 h (x) e x 1 0 ， x 1 (x 1)2 【进一步求二阶导数，发现二阶导数恒大于0, 说明一阶导数递增】 ∴函数 h(x) e x 1 在 x ( 1， ) 上单调递增，且h(0) f (0) 0 . x 1 【找到一阶导数的一个零点，而且是唯一的由负变正的零点，从而确定单调区间】可知，当 x ( 时，h(x) f (x) 0 ， f (x) x ln(x 1) 单调递减； 1, 0) e 当 x (0, ) 时， h(x) f (x) 0 ， f (x) e x ln(x 1) 单调递增. ∴函数 f (x) 的单调递减区间是( 1, 0) ，单调递增区间是 (0, ) . 【反思：有的学生提出，我们很容易就观察得到了h(0) f (0) 0 . 但是，对于
2014年浙江省普通高中学业水平 考试标准 数学 浙江省教育考试院编制
考试性质与对象 浙江省普通高中学业水平考试是在教育部指导下，由省级教育行政部门组织实施的全面衡量普通高中学生学业水平的考试。其主要功能是引导普通高中全面贯彻党的教育方针，落实必修课程教学要求，检测高中学生的学业水平，监测、评价和反馈高中教学质量。考试成绩是高中生毕业的基本依据，也是高校招生录取和用人单位招聘的重要参考依据。 根据《浙江省普通高中学业水平考试实施方案》规定，普通高中数学学业水平考试是以《普通高中数学课程标准（实验）》（下文简称为《课程标准》）和《浙江省普通高中新课程实验数学学科教学指导意见》（下文简称为《教学指导意见》）为依据，是全面衡量普通高中学生学业水平的考试。 高中数学学业水平考试实行全省统一命题、统一施考、统一阅卷、统一评定成绩，每年开考2次。考试的对象是在本省中小学学生电子学籍系统中注册获得普通高中学籍的且修完必修课程的所有在校学生。 考试目标与要求 （一）考试目标 普通高中数学学业水平考试是全面考察和评估我省普通高中学生的数学学业水平是否达到《课程标准》所规定的课程基本要求和所必须具备的数学素养的检测考试。考试成绩是浙江省普通高中学生毕业的基本依据之一，也是高校招生录取和用人单位招聘的重要参考依据。 （二）考试要求 根据浙江省普通高中学生文化素质的要求，数学学业水平考试面向全体学生，有利于促进学生全面、和谐、有个性的发展，有利于中学实施素质教育，有利于体现数学学科新课程理念，充分发挥学业水平考试对普通高中数学学科教学的正确导向作用。 突出考查数学学科基础知识、基本技能和基本思想方法，考查初步应用数学学科知识与方法分析问题、解决问题的能力。关注数学学科的主干知识和核心内容，关注数学学科与社会的联系，贴近学生的生活实际。
全册综合检测 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题所给的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分) 1．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (a )＝1，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选B 由题意知log 2(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝2，∴a ＝1. 2．函数y ＝x －1·ln(2－x )的定义域为( ) A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2] D ．[1,2] 解析：选B 要使解析式有意义，则? ?? ?? x －1≥0， 2－x ＞0，解得1≤x ＜2，所以所求函数的定义域 为[1,2)． 3．已知O ，A ，B 是同一平面内的三个点，直线AB 上有一点C 满足2AC ―→＋CB ―→＝0，则OC ―→ ＝( ) A ．2OA ―→－O B ―→ B ．－OA ―→＋2OB ―→ C.23OA ―→－13 OB ―→ D ．－13OA ―→＋23 OB ―→ 解析：选A 依题意，得OC ―→＝OB ―→＋BC ―→＝OB ―→＋2AC ―→＝OB ―→＋2(OC ―→－OA ―→)，所以OC ―→ ＝2OA ―→－OB ―→ ，故选A. 4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．至少有一个黑球与都是红球 B ．至少有一个黑球与都是黑球 C ．至少有一个黑球与至少有一个红球 D ．恰有1个黑球与恰有2个黑球 解析：选D A 中的两个事件是对立事件，不符合要求；B 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C 中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D 中是互斥而不对立的两个事件．故选D.
浙江省2017高考考试说明 数学 （必修＋限定选修） 一、考试性质与对象 数学是普通高等学校招生全国统一考试的必考科目，数学高考是由合格的高中毕业生和 具有同等学力的考生参加的选拔性考试。高等学校根据考生的成绩，按已确定的招生计划， 考试成绩及综合素质评价，择优录取。因此，数学高考应具有较高的信度、效度，必要的区 分度和适当的难度。 二、考核要求 依据高校人才选拔要求和国家课程标准，科学设计命题内容，增强基础性、综合性，突 出能力立意。主要考查学生运用所学知识独立思考与分析问题、解决问题的能力。数学学科 的考试，要发挥数学作为主要基础学科的作用，既考查考生的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查考生对数学思想方法、数学本质的理解水平以及进入高等学校继续学习的潜能。 (一) 知识要求 知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》中的必修课程及限定选修课程中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及与其相关的基础知识和思想方法。 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次。 1．了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识。知道这一知识内容是什么，能在有关的问题中加以区分。按照一定的程序和步骤简单模仿。 2．理解：要求对所列知识内容有理性认识，知道知识间的逻辑关系。能用数学语言对相关问题进行描述，对比较、判别、讨论的过程作出恰当的表述。具备利用所学知识解决简单问题的能力。 3．掌握：要求对所列知识内容有深刻的理性认识，熟悉相关知识间的逻辑关系。对所列的知识内容能够推导证明，灵活运用相关知识与思想方法进行分析、研究、讨论。具备综合利用相关知识解决问题的能力。“会”或“能”相当于此层次的要求。 （二）能力要求 数学具有严密的逻辑性、结论的确定性和应用的广泛性等特点，在培养学生能力的过程中发挥重要的作用。数学学科考试既要考查基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验，又要考查考生的逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力、数据处理能力、综合应用能力。 （一）逻辑思维能力 逻辑思维能力是指通过对事物观察、比较、判断、分析、综合进行归纳、概括、抽象、演绎、推理，准确有条理地表达自己思维过程的能力。
课时跟踪检测（十九） 基本不等式： ab ≤a ＋b 2 A 级——学考水平达标 1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1 lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋ 1 x ≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1 x 的最小值为2 D ．当0 高中数学新课标测试题 一选择题： 1.高中数学课程在情感、态度、价值观方面的要求下面说法不正确的是( ) A.提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心 B.形成锲而不舍的钻研精神和科学态度 C.开阔数学视野,体会数学的文化价值 D.只需崇尚科学的理性精神 2.《高中数学课程标准》在课程目标中提出的基本能力是( ) A.自主探究、数据处理、推理论证、熟练解题、空间想象 B.运算求解、数据处理、推理论证、空间想象、抽象概括 C.自主探究、推理论证、空间想象、合作交流、动手实践 D.运算求解、熟练解题、数学建模、空间想象、抽象概括 3.高中数学新课程习题设计需要( ) A.无需关注习题类型的多样性,只需关注习题功能的多样性 B.只需关注习题类型的多样性,无需关注习题功能的多样性 C.既要关注习题类型的多样性,也要关注习题功能的多样性 D.无需关注习题类型的多样性,也无需关注习题功能的多样性 4.下面关于高中数学课程结构的说法正确的是( ) A.高中数学课程中的必修课程和选修课程的各模块没有先后顺序的必要 B.高中数学课程包括4个系列的课程 C.高中数学课程的必修学分为16学分 D.高中数学课程可分为必修与选修两类 5.在教学中激发学生的学习积极性方法说法正确的是( ) A.让学生大量做题,挑战难题 B.创设问题情境,让学生有兴趣、有挑战 C.让学生合作交流讨论、动手操作、有机会板演讲解 D.通过数学应用的教学使学生了解数学在现实生活中的作用和意义 6.要实现数学课程改革的目标,关键是依靠( ) A.学生 B.教师 C.社会 D.政府领导 7.在新课程中教师的教学行为将发生变化中正确的是( ) A.在对待自我上,新课程强调反思 B.在对待师生关系上,新课程强调权威、批评 C.在对待教学关系上,新课程强调教导、答疑 D.在对待与其他教育者的关系上,新课程强调独立自主精神 8.在新课程改革中,受新的理念指导,教师在课堂中的地位、角色发生了较大的变化,这种变化主要体现在多方面,下面说法中不正确的选项是( ) 第二章 平面向量 1 向量和差作图全攻略 两个非零向量的和差作图，对同学们是一个难点，这里对其作图方法作出细致分析，以求尽快掌握. 一、向量a 、b 共线 例1 如图，已知共线向量a 、b ，求作a ＋b. (1)a 、b 同向； (2)a 、b 反向，且|a|＞|b|； (3)a 、b 反向，且|a|＜|b|. 作法 在与a 平行的同一条直线上作出三个向量OA →＝a ，AB →＝b ，OB → ＝a ＋b ，具体作法是：当a 与b 方向相同时，a ＋b 与a 、b 的方向相同，长度为|a|＋|b|；当a 与b 方向相反时，a ＋b 与a 、b 中长度长的向量方向相同，长度为||a|－|b||.为了直观，将三个向量中绝对值最大的向量沿与a 垂直的方向稍加平移，然后分别标上a ，b ，a ＋b.作图如下： 例2 如图，已知共线向量a 、b ，求作a －b. (1)a 、b 同向，且|a|＞|b|； (2)a 、b 同向，且|a|＜|b|； (3)a 、b 反向. 作法 在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA → ＝a －b.事实上a －b 可看作是a ＋(－b)，按照这个理解和a ＋b 的作图方法不难作出a －b ，作图如下： 二、向量a 、b 不共线 如果向量不共线，可以应用三角形法则或平行四边形法则作图. 例3 如图，已知向量a 、b. 求作：(1)a ＋b ；(2)a －b. 作法1 (应用三角形法则) (1)一般情况下，应在两已知向量所在的位置之外任取一点O. 第一步：作OA → ＝a ，方法是将一个三角板的直角边与a 重合，再将直尺一边与三角板的另一直角边重合，最后将三角板拿开，放到一直角边过点O ，一直角边与直尺的一边重合的位置，在此基础上取|OA →|＝|a|，并使OA → 与a 同向. 第二步：同第一步方法作出AB →＝b ，一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把AB → 作成与b 的方向相反.) 第三步：作OB →，即连接OB ，在B 处打上箭头，OB → 即为a ＋b. 作图如下： (2)第一步：在平面上a ，b 位置之外任取一点O ； 第二步：依照前面方法过O 作OA →＝a ，OB → ＝b ； 第三步：连接AB ，在A 处加上箭头，向量BA → 即为a －b. 作图如下： 点评 向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连”；向量减法作图的特点是“共起点，连终点，箭头指被减”. 作法2 (应用平行四边形法则) 在平面上任取一点A ，以点A 为起点作AB → ＝a ， AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作?ABCD ，则AC →＝a ＋b ，DB → ＝a －b.作图如下： 点评 向量的平行四边形法则和三角法则在本质上是一样的，但在解决某些问题时平行四边形法则有一定的优越性，因此两种法则都应熟练掌握. 向量和差作图，要注意的是保证所作向量与目标向量“方向相同，长度相等”，最忌讳的是“作法不一”，比如作法中要求的是作AB →＝b ，可实际上作的是AB → ＝－b.只要作图的过程与作法的每一步相对应，一定能作出正确的图形. 2 向量线性运算的应用 平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用.在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面. 一、化简 例1 化简下列各式： 绝密★启用前 2019年1月浙江省普通高中学业水平考试 数 学 试 题 姓名 准考证号 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。 一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。) 1．已知集合A={1，3，5}，B={3，5，7)，则A ∩B= A ．{1，3，5，7} B ．{1，7} C ．{3，5} D ．{5} 2．函数f (x)=log 5(x －1)的定义域是 A ．(－∞，1)U(1，+∞) B ．[0，1) C ．[1，+∞) D ．(1，+∞) 3．圆x2+(y －2)2=9的半径是 A ．3 B ．2 C ．9 D ．6 4．一元二次不等式x 2－7x<0的解集是 A ．{x|0 7．cos15°·cos75°= A ．23 B ． 2 1 C ．43 D ．4 1 8．若实数x ，y 满足不等式组?? ???≤+≥≥+,3,0,01y x y x ，则x －2y 的最大值是 A ．9 B ．－1 C ．3 D ．7 9．若直线l 不平行于平面a ，且l ?a ，则下列结论成立的是 A ．a 内的所有直线与l 异面 B ．a 内不存在与l 平行的直线 C ．a 内存在唯一的直线与l 平行 D ．a 内的直线与l 都相交 10．函数f (x)=x x x ?+222 =的图象大致是 A B C D 11．若两条直线11：x+2y －6=0与l 2：x+ay －7=0平行，则l 1与l 2间的距离是 A ．5 B ．25 C ．25 D ．5 5 12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 A ．π B ．2π (第12题图) C ．3π D ．4π 浙江省普通高中学校课程安排参考表 （征求意见稿） 表1：选考政、史、地为例 学业水平考试：必考▲选考★ 英语社会化考试※ 表2：选考理、化、生为例 学业水平考试：必考▲选考★ 英语社会化考试※ 表3：选考理、地、技为例 学业水平考试：必考▲选考★ 英语社会化考试※ 浙江省普通高中学校课程安排参考表 说明 优点： 1.如果按每课时40分钟，每周39节计算，如此设计能保证每周选修课程至少20%的要求。如果按每课时45分钟，每周35节计算，则在高一历史、地理、物理、化学、生物等学科中，选择1门到高二年级开始开课，也能保证每周选修课程至少20%的要求。 2.高一学生不参加学业水平考试，大大缓解了各学科开快车赶进度现象，引导学校按客观规律合理安排课程。各学科学业水平考试普遍推后，避免高三年级只开语、数、外现象。 3.如此设计能保证高中学业水平考试每门学科都能考2次。 问题： 1. 高一年级并开科目过多。 为满足学生学业水平考试考2次的需要，高一年级并开科目会达到10门，突破了原来规定学业水平考试科目不超过8门的规定，并会挤压或削弱四类选修课程开设。 2.高二下、高三上学生学业水平考试科目过于集中。 高二下学业考试科目7门，高三上达到8门。 3.英语学科学习压力大大增加。 由于全国社会化考试词汇量达到3500，高于我省2015、16年高考2800单词要求，增加了选修模块数量，不得不从高二开始增加英语课时。 4.自主选修空间减少。 根据我省深化课改方案中毕业标准规定，选修学分需要48学分，其中职业技能类至少6学分，社会实践类不超过8学分。现在按照新的高考改革方案，语数统一高考和英语社会化考试，再加上3门选考，限定选修模块数达到14个，28个学分。如果加上职业技能类和社会实践类14学分，真正自主选修学分可能仅仅6学分。 2019学年浙江省高中数学竞赛 一、填空题：本大题共10个小题，每小题8分，共80分. 1. 在多项式103)2()1(+-x x 的展开式中6x 的系数为 2. 已知5log )35(log 172+=-a a ，则实数a= 3. 设()b ax x x f ++=2在[]1,0中两个实数根，则b a 22-的取值范围为 4. 设R y x ∈,，且1) sin(sin sin cos cos cos sin 222222=+-+-y x y x y x x x ，则x -y= 5. .已知两个命题，命题P ：函数())0(log >=x x x f a 单调递增；命题q ：函数)(1)(2R x ax x x g ∈++=.若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则实数a 的取值范围为 6. 设S 是?? ? ??85,0中所有有理数的集合，对简分数()1,,=∈q p S p q ，定义函数()32,1=+=??? ? ??x f p q p q f 则在S 中根的个数为 7. 已知动点P ，M ，N 分别在x 轴上，圆()()12122=-+-y x 和圆()()34322=-+-y x 上，则PN PM +的最小值 8. 已知棱长为1的正四面体ABC P -,PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围为 9. 已知平面向量→a ，→b ，→c ，满足1=→a ，2=→b ，3=→c ，10<<λ，若0=?→→c b ，则→→→---c b a )1(λλ所有取不到值的集合为 10. 已知()???≥-<-=0 ,10,22x x x x x f ，方程()()04212122=*---+-+a x x f x x x f 有三个根321x x x <<.若)(21223x x x x -=-，则实数a= 二、解答题：本大题共5个小题，满分120分，将答案填在答题纸上 11. 设.,2,1,)(3 16)(,32)(2121Λ=+=+=+n x f x x f x x f n n 对每个n ，求x x f n 3)(=的 1 必修Ⅰ 集合、函数概念与基本初等函数Ⅰ中潜在的命题点预测 预测1：函数的个数问题 教材习题：函数解析式2x y =，值域为[]4,1，这样的函数有几个？ 变式1：函数解析式2x y =，值域为[]4,0，定义域为[]b ,1-，求b 的取值范围； 变式2：函数解析式2x y =，值域为[]4,0，定义域为[]b ,2-，求b 的取值范围； 变式3：函数解析式2x y =，值域为[]4,1，定义域为[]b a ,，求,a b 的值； 变式4：函数解析式2x y =，值域为[]4,0，定义域为[]b a ,，求,a b 的值； 变式5：函数解析式2x y =，值域为{}4,1，这样的函数有几个？ 变式6：函数解析式2x y =，值域为{}2,9,4,1n () *N n ∈，这样的函数有几个？ 预测1-1：设a ＞1，函数log a y x =的定义域为[m ，n ],m ＜n ，值域为[0,1]，定义：区间 [m ，n ]的长度等于n m -．若区间[m ，n ]长度的最小值为5 6 ，则实数a 的值为 6 提示：令log 1a x =，则x a =，或1a ．显然 111a a ->-，所以15 16 a -=，即6a =． 预测2：函数最值的定义问题 教材例题：已知函数)(x f y =的定义域是[]b a ,，b c a <<，当[]c a x ,∈时，)(x f 是单调增函数；当[]b c x ,∈时，)(x f 是单调减函数.试证明)(x f 在c x =取得最大值. 2 两个和最值定义有关的试题： 预测2-1：已知定义在R 上的函数)3()(2 -=ax x x f ，若函数]2,0[),()()(∈'+=x x f x f x g ， 0=x 处取得最大值，则正数a 的范围 . 6 (0,]5 局部缩小策略，可通过不等式)0()2(f f ≤将a 的取值范围进行缩小 预测2-2：已知)(x f 是二次函数，且方程03)(=+x x f 的根是0和1，若函数图像开口向下，求证：)(x f 的最大值非负 由题易知：0)0(=f ,又因为)(x f 的图像开口向下，所以0)0()(max =≥f x f 预测3：反函数问题 预测题3-1：已知点P 在曲线x y ln =上运动，点Q 在曲线x e y =上运动，则PQ 的最小值为______ 变式： 预测题3-2：已知1>a ，若函数4)(-+=x a x f x 的零点为m ，函数 4log )(-+=x x x g a 的零点为n ，则 n m 4 1+的取值范围是__________ ?? ????+∞,49 提示：令,0)(=m f 则m a m -=4，从而m m a =-)4(log ，变形得04)4()4(log =--+-m m a ，即0)4(=-m g ，而函数)(x g 在()+∞,0上单调递增， 所以n m =-4，即4=+n m ，且0,0>>n m ，则 m m 41+=,4 9454141)(41≥??? ?? ++=??? ??+?+n m m n m m n m 当且仅当n m =2时等号成立． 数学 一、考试性质与对象 浙江省普通高中数学学业水平考试是在教育部指导下，由省教育行政部门组织实施的全面衡量普通高中学生数学学业水平的考试。考试成绩是普通高中学生毕业的基本依据之一，也是高校招生录取和用人单位招聘的重要参考依据。 浙江省普通高中数学学业水平考试实行全省统一命题、统一施考、统一阅卷、统一评定成绩，每年开考2次。考试的对象是2014年秋季入学的高中在校学生，以及相关的往届生、社会人员和外省在我省异地高考学生。 二、考核目标、要求与等级 (一)考核目标 普通高中数学学业水平考试是全面考察和评估我省普通高中学生的数学学业水平是否达到《课程标准》所规定的基本要求和所必须具备的数学素养的检测考试。 (二)考核要求 根据浙江省普通高中学生文化素质的要求，数学学业水平考试面向全体学生，有利于促进学生全面、和谐、有个性的发展，有利于中学实施素质教育，有利于体现数学学科新课程理念，充分发挥学业水平考试对普通高中数学学科教学的正确导向作用。 突出考查数学学科基础知识、基本技能和基本思想方法，考查初步应用数学学科知识与方法分析问题、解决问题的能力。关注数学学科的主干知识和核心内容，关注数学学科与社会的联系，贴近学生的生活实际。 充分发挥数学作为主要基础学科的作用，既考查中学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查对数学思想方法、数学本质的理解水平．全面检测学生的数学素养。 1．知识要求 知识是指《教学指导意见》所规定的必修课程中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法。 对知识的要求从低到高分为四个层次，依次为：了解、理解、掌握、综合应用，其含义如下： (1)了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，能记住和识别数学符号、图形、定义、定理、 公式、法则等有关内容，并能按照一定的程序和步骤模仿，进行直接应用。 这一层次所涉及的主要行为动词有：了解、知道、识别、模仿、会求、会解等。 (2)理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识．知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明，用数学语言表达，利用所学的知识内容对有关问题作比较、判别、讨论，有利用所学知识解决简单问题的能力。 这一层次所涉及的主要行为动词有：描述、说明、表达、推测、想象、比较、判别、初步应用等。 (3)掌握：在对知识理解的基础上，通过练习形成技能．在新的问题情境中．能运用所学知识按基本的模式与常规的方法解决问题。 这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析、推导、证明、研究、讨论、运用、解决问题等。 (4)综合运用：掌握知识的内在联系与基本属性，能熟练运用有关知识和基本数学思想方法，综合解决较复杂的数学问题和实际问题。 这一层次所涉及的主要行为动词有：熟练掌握，综合解决问题等。 2019年高中数学学业水平测试知识点（精简版） 【必修一】 一、 集合与函数概念 并集：记作：A ∪B 交集：记作：A ∩B 补集：记作：C U A 1、集合{}n a a a ,...,,21的子集个数共有2n 个；真子集与非空子集各有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 2、求)(x f y =的反函数：解出)(1y f x -=，y x ,互换，写出)(1 x f y -=的定义域；函数图象关于y=x 对称。 Eg:y=log a x 与y=a x 互为反函数 3、（1）函数定义域：①分母不为0；②开偶次方被开方数0≥；③对数的真数0>.④x 0 要求x ≠0⑤log a x 中x>0 4、函数的单调性判断：①求定义域（单调区间定义域内找） ②任取x 1 2019年浙江省高中数学竞赛试题 参考解答与评分标准 说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。 一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1. 已知53[ ,]42 ππ θ∈ D ） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ 解答：因为53[ ,]42 ππ θ∈cos sin cos sin θθθθ--+ 2c o s θ =。正确答案为D 。 2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ C ） A. 2 B. C. 2± D. ± 42a =?=±。正确答案为C 。 3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈?， 命题q ：x A ∈或x B ∈， 则p 是q 的（ B ） A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件 解答：P 是q 的充分非必要条件。正确答案为B 。 4. 过椭圆2 212 x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则AB 为（ C ） A. B. C. 3 D. 解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB 为1,y x =-代入椭圆方程得 21243400,33 x x x x AB -=?== ?==。正确答案为C 。 5. 函数150()51 x x x f x x -?-≥=?-
2019版高中数学新课程标准测试题及答案
【精选8套高考试卷】2019版高中数学导学案
2019年1月浙江省普通高中学业水平考试数学答案解析
浙江省普通高中学校课程安排参考表
2019学年浙江省高中数学竞赛
2019届高中数学必修1教材必考基本知识点归纳
2017浙江新高考学考考纲 考试标准数学(学考选考标准word版)
2019高中数学学业水平考试知识点
2019年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准
相关主题
文本预览