《变量与函数》教学设计
一．内容和内容解析
【内容】变量与函数的概念
【内容解析】
“19.1.1变量与函数”是人教版义务教育课程标准实验教科书八年级下册第十九章第一节，本设计是第1课时，引导学生从生活实例中抽象出常量、变量与函数等概念，其中函数的概念是本节核心内容．函数概念的核心是两个变量间的特殊对应关系：（1）由哪一个变量确定另一个变量；（2）唯一对应关系.如果直接研究某个量y有一定困难，我们可以去研究另一个与之有关的量x，从而达到研究的目的.这也是一种化繁为简的转化思想。
本节课是函数入门课，首先必须准确认识变量与常量的特征，初步感受到现实世界各种变量之间联系的复杂性，同时感受到研究主要从化繁就简入手，在初中阶段主要研究两个变量之间的特殊对应关系．本设计把重点放在认识“两个变量间的特殊对应关系：由哪一个变量确定另一变量；唯一确定的含义。”而函数图象较为直观形象，有助于学生理解函数的概念，因此把函数图象中的部分内容提前到本课时学习。
二．目标和目标解析
【目标】理解常量、变量与函数的概念．
【目标解析】
（1）借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系。
（2）借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简。
（3）从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣。学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科。
三、教学问题诊断分析
变量与函数的概念把学生由常量数学的学习引入变量数学学习中。学生知道代数式中的字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数，另外，学生在日常生活中也接触到函数图象、两个变量的关系等朴素的函数关系的生活实例。但是学生初次接触函数的概念，难以理解定义中“唯一确定”的准确含义。
【教学重点】借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念。
【教学难点】怎样理解“唯一对应”．
四、教学过程设计
（一）导言：
我们生活在一个运动的世界中，周围的事物都是运动的，例如：地球在宇宙中的运动这一问题，此时地球在宇宙中的位置随着时间的变化而变化，这是生活中的常识，学生都很容易理解。再例如，气温随着高度的升高而降低，年龄随着时间的增长而增长。
这几个问题中都涉及两个量的关系，地球的位置与时间，温度与高度，年龄与时间。
【设计意图】从学生的生活入手，开门见山，在极短的时间(一两分钟)内指明本节课的学习内容。现实世界中各种量之间的联系纷繁复杂，应向学生说明我们数学的研究方法是化繁就简，本节课只关注一类简单的问题。
（二）概念的引入
1.票房收入问题：每张电影票的售价为10元。
（1）若一场售出150张电影票，则该场的票房收入是元；若售出205张、310张呢？
（2）若一场售出x张电影票，则该场的票房收入y元，则y= 。
思考：
（1）票房收入随售出的电影票变化而变化，即y随的变化而变化；
（2）当售出票数x取定一个确定的值时，对应的票房收入y的取值是否唯一确定？
2．行程问题：汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t 小时.请根据题意填表：
思考：
行驶路程随的变化而变化，有关系式s= ，即s随的变化而变化；
3.气温问题：图一是北京春季某一天的气温Ｔ随时间t变化的图象，看图回答：
（1）这天的8时的气温是℃，14时的气温是℃，最高气温是℃，最低气温是℃；
思考：
（1）天气温度随的变化而变化，即T随的变化而变化；
（2）当时间t取定一个确定的值时，对应的温度T的取值是否唯一确定？
【设计意图】这三个问题中都含有变量之间的单值对应关系，通过研究这些问题引出常量、变量、函数等概念，通过这种从实际问题出发开始讨论的方式，使学生体验从具体到抽象地认识过程。问题的形式有填空、列表、求值、写解析式、读图等，隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法。
（三）概念的界定
思考：上述三个问题中，分别涉及哪些量的关系？那些量是变化的？那些量是不变的？哪个量的变化导致另一个量的变化而变化？在一个问题中，当一个量取了确定的值之后，另一个量对应的能取几个值？
在上面的三个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按照某种规律变化），
变化的量叫做变量；有些量的值始终不变（例如电影票的单价10元……）．并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定，且它的对应值只有一个。
教师根据学生的回答，在黑板上板书：
售出票数－－－－票房收入
行驶时间－－－－行驶路程
时间－－－－－－－－气温
学生们会得出：??
???只有一个值与之对应取一个确定值的时候，当的变化而变化随着都是变量都有两个变量y x x y y x ,
师生对上述三个问题进行分析，找出它们的共性，归纳出函数的概念。
在某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 总有唯一的值与它对应，我们就说x 是自变量，y 是x 的函数。
【设计意图】（1）如何把具体的实例进行抽象，形式化为数学知识是本课的关键。这里提出的问题“上述三个问题中，分别涉及哪些量的关系？通过哪一个量可以确定另一个量？”是一个关键的“脚手架”，借助“脚手架”，学生经历数学概念的形成过程，引导学生认识为什么要引进变量、常量、函数的概念，逐步了解如何给数学概念下定义。（2）此处板书是“脚手架”的重要组成部分，揭示“两个量的对应关系”。
问题回顾：指出前面三个问题中涉及到的量，并指出其中的变量、常量、自变量与函数。
【设计意图】巩固常量、变量、自变量、函数的概念。
例1 一辆汽车油箱中现有汽油50 L ，它在高速公
路上匀速行驶时每千米的耗油量固定不变．行驶了100
km 时，油箱中剩下汽油40 L ．假设油箱中剩下的油量
为 y （单位：L ），已行驶的里程为 x （单位：km ） ．
（1）在这个变化过程中，y 是x 的函数吗？
（2）能写出表示 y 与 x 的函数关系的式子吗？
（3）这个变化过程中，自变量 x 的取值范围是什么？
（4）汽车行驶了200 km 时，油箱中还剩下多少汽油？
行驶了320 km 呢？
【设计意图】（1）引导学生从逆向思维的角度进行思考，更全面地理解函数的概念。（2）培养学生逆向思维的习惯。（3）让学生对这三个问题留下更深刻的印象，特别是“成绩问题，”
它将在函数这一章书的教学中反复被引用，帮助学生深入理解函数的概念。
（四）概念巩固
1.请同学们找出这些函数的常量、变量、自变量和函数：
π；
(1) y =3000-300x； (2) y=x； (3) S= 2r?
解：(1)常量是3000，－300；变量是x，y；自变量是x；y是x的函数。
(2)常量是1；变量是x，y；自变量是x；y是x的函数。
(3)常量是π；变量是r，s；自变量是r；s是r的函数。
2.根据所给的条件，写出y与x的函数关系式：
① y 比 x的1/3 少2。
②矩形的周长是18 cm ,它的长是ycm，宽是x cm。
③等腰三角形的顶角度数y与底角x的关系。
【设计意图】（1）例题和巩固练习，巩固变量与函数等概念，让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系，隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法。（2）练习二提出具有实际背景的问题有利于学生理解函数，在理解了函数的基础上，让学生自己根据题意写出函数关系。
（五）质疑、小结
1．这一节课你有什么收获？还有什么疑问？你可以编一道题考一考同学，也可以向同学请教。
2．函数是一种“数”吗？
【设计意图】通过小结，让学生抓住函数概念的实质。
学情分析
初中生的思维和兴趣还仍然保留在直观、形象上，学生对本部分内容的学习兴趣不太浓厚，加上本部分知识本身的抽象性和知识点的琐碎程度，学生的学习起来会感到乏味和枯燥，这就需要老师在进行教学设计的时候要做到精心且贴近学生的生活。
效果分析
虽然这是新授课，但不能纯粹的给学生把知识灌一遍，我们可以适当的添加
新元素进去，保持知识的新鲜性，激发学生的学习兴趣。让学生产生直观的印象，体会到了生活处处有数学的理念。
由于是让学生自己在下边完成的基础梳理部分，掌握的情况参差不齐，所以在上课的时候会让学生根据多媒体的提示再进行简单的回顾和梳理。通过这一次的再回顾，大部分同学对基础知识有了更深一层次的认识。进而做题的时候就会容易的多，通过学生做题的反馈情况来看，大部分同学的复习效果较好。
但是，还是有很多不足的地方，比如：课堂气氛不活跃，教师语言的连贯性、逻辑性还有待提高，学生理解巩固的时间不足等。
教材分析
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。为了帮助学生理解函数概念的本质，教材从函数的变量、常量、自变量等角度对函数概念进行细化，之后将其推广到了图像，并在后续基本初等函数的学习中，逐步加深理解。函数的表示方法是对函数概念的深化与延伸．解析法、图像法和列表法从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．这三种表示方法既可以独立的表示函数，又可以相互转化；既各有侧重和优势，又各有劣势和不足；既相互补充，又使函数随自变量的变化而变化的规律直观和具体．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，所以它不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的内容，也是加深理解函数概念的过程．在研究函数的过程中，采用不同的方法表示函数，可以从不同的角度帮助我们理解函数的性质，是研究函数的重要手段．初中教材介绍了函数的三种表示法，高中阶段对函数表示法的学习则需要在此基础上让学生了解三种表示法各自的特点，并会根据实际情境的需要选择恰当的方法表示函数．同时，基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而使得学习函数的表示也是渗透数形结合方法的重要过程．
变量与函数习题
基础卷
一、选择题
1．当圆的半径发生变化时，面积也发生变化，圆面积S与半径r的关系为S＝2r ．下面的说法中，正确的是（）
A ．S ，π，r 都是变量
B ．只有r 是变量
Ｃ．S ，r 是变量，π是常量
D ．S ，π，r 都是常量
2．下面函数中，自变量的取值范围是全体实数的是（）
A ．x y 1=
B ．
1233++=x x y Ｃ．x y =
D ．11
+=x y
3．当0=x 时，函数
231
+=x y 的值为（） A ．0
B ．1
Ｃ．21
D ．51
4．如图11—1—1所示为自动测温仪记录的北京的春季某天气温度T （℃）随时间t （h ）变化的图象，下面的说法中，错误的是（）
A ．这一天的最高气温是8℃，最低气温是一3℃
B ．中午14时气温最高
C ．从0时到14时气温是不断上升的
D ．从14时到24时气温呈下降状态
5．三角形的一个内角的度数为x ，与它相邻的外角的度数为y ，则y 与x 的函数关系式是（）
A ．x y =
B ．x y 2=
C ．
x y -= 90 D ．
x y -= 180 二、填空题
6．每支铅笔售0.2元，买x （支）铅笔应付y （元），则y 与x 的关系式是y ＝________，其中，x 是________量，y 也是________量，常量是________．
7．汽车离开北京后以120km ／h 的速度前往珠海，汽车离开北京的路程s （km ）与汽车行驶的时间t （h ）之间的关系式是________．其中，________是常量，________是变量；________是________的函数，________称作自变量．
8．在一根弹簧下悬挂重物，弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．一弹簧原长为10cm ，最多能挂20kg 重物，且每挂lkg 重物，弹簧就伸长0.5cm ．那么，弹簧挂重物后的长度l （cm ）与所挂重物的质量m （kg ）之间的函数关系式是________，自变量m 的取值范围是________，当挂10kg 重物时，弹簧长度为________cm ．
9．等边三角形的边长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式是________．
10．等腰三角形是有两条边相等的三角形．如果一个等腰三角形的两条边长都为x ，第三条边的边长为y ，周长为30，那么，y 与x 的关系式是________。
11．在函数52-=x y 中，自变量x 的取值范围是________，当x ＝5时，函数y 的值为________。
三、解答题
12．判断下列式子中y 是否为x 的函数?如果是，求出自变量的取值范围．
（1）32+-=x y （2）x y 3
=
13．分别求出当x=2和x=50时，下列函数y 的值．
（1）12
--=x x y （2）1-=x y
14．已知函数2+-=x y ．
（1）作出它的图象．
（2）求这个函数与x 轴的交点A 的坐标．