7.3球的表面积和体积
[学习目标] 1.了解球的截面． 2.掌握球的表面积和体积公式． 3.会运用这些公式进行简单的有关计算.
【主干自填】
1．球的表面积公式：S球面＝□014πR2(R为球的半径)．
2．球的体积公式：V球＝□0243πR3(R为球的半径)．
【即时小测】
1．思考下列问题
(1)用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？
提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．
若球的半径为R，截面圆的半径为r，OO′＝d.
在Rt△OO′C中，OC2＝OO′2＋O′C2，即R2＝r2＋d2.
(2)球的半径为R，它的体积公式为________，它的表
面积公式________，观察这两个公式，想想它们都有什么特点？
提示：V＝4
3πR
3S＝4πR2这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径
R唯一确定．其中球的体积是半径R的三次函数，球的表面积是半径R的二次函数，并且表面积为半径为R的圆面积的4倍．
2．球的表面积扩大2倍，球的体积扩大()
A ．2倍 B.2倍 C ．22倍 D ．32倍
提示：C 球的表面积扩大2倍，半径扩大2倍，从而体积扩大(2)3＝22倍． 3．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( ) A ．1∶9 B ．1∶27 C ．1∶3 D ．1∶1
提示：A 设两球的半径为R 1，R 2，∵R 1∶R 2＝1∶3，∴两个球的表面积之比
为S 1∶S 2＝4πR 21∶4πR 22＝R 21∶R 2
2＝1∶9.
例1 已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，求球面面积与球的体积．
[解] 如图所示，设球心为O ，截面圆圆心O 1，球半径为R ，
连接OO 1，则OO 1是球心到截面的距离． 由于OA ＝OB ＝OC ＝R ， 则O 1是△ABC 的外心．
设M 是AB 的中点，由于AC ＝BC ，则O 1在CM 上． 设O 1M ＝x ，易知O 1M ⊥AB ，则O 1A ＝22＋x 2，
O 1C ＝CM －O 1M ＝62－22－x . 又O 1A ＝O 1C ，∴
22＋x 2＝
62－22－x .
解得x ＝724.则O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝92
4.
在Rt △OO 1A 中，O 1O ＝R
2，∠OO 1A ＝90°，OA ＝R . 由勾股定理，得? ????R 22＋?
????9242
＝R 2.解得R ＝362. 故S 球面＝4πR 2＝54π，V 球＝4
3πR 3＝276π.
类题通法
球的表面积和体积的解题方法
计算球的表面积和体积的关键是求出球的半径，这里就要充分利用球的截面的性质进行求解．已知条件中的等量关系，往往是建立方程的依据，这种解题的思想值得重视．
[变式训练1] 用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为2π，则球的体积为( )
A.
323π B.8π
3
C ．82π
D ．43π 答案 D
解析 所得截面圆的半径为r ＝2，因此球的半径R ＝12＋(2)2＝3，球
的体积为4
3πR 3＝43π.
例2 轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积．
[解] 如下图所示，作出轴截面，O 是球心，与边BC 、AC 相切于点D 、E . 连接AD ，OE ，∵△ABC 是正三角形，
∴CD ＝1
2AC . ∵CD ＝1 cm ，
∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm ， ∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ，∴OE AO ＝CD
AC . 设OE ＝r ，则AO ＝(3－r ) cm ，∴
r 3－r
＝1
2， ∴r ＝33 cm ，V 球＝43π? ????333＝43
27π(cm 3)，
即球的体积等于43
27π cm 3.
类题通法
截面在有关球计算中的作用
解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常是指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面包含体和体之间的主要位置关系和数量关系．
[变式训练2] 如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，求球的表面积和体积．
解 作轴截面如图所示，
CC ′＝6，AC ＝2·6＝23， 设球的半径为R ，
则R 2＝OC 2＋CC ′2＝(3)2＋(6)2＝9， ∴R ＝3，
∴S 球＝4πR 2＝36π，V 球＝4
3πR 3＝36π.
例3 过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，截面面积是48π cm 2，求球的表面积．
[解] 如图所示，设O ′为截面圆圆心，则OO ′⊥O ′A ，O ′A 为截面圆的半径，OA 为球的半径R .
∵48π＝π·AO ′2， ∴AO ′2＝48.
在Rt △OO ′A 中，OA 2＝OO ′2＋AO ′2， ∴R 2＝? ????
R 22＋48，解得R ＝8.
∴S 球＝4πR 2＝4π×64＝256π(cm 2)．
即球的表面积为256π cm2.
类题通法
一般情况下，在球的截面问题中，截面圆的半径、球心到截面的距离、球的半径之间的数量关系是解决与之有关的计算问题的基础，而球的轴截面(过球的直径的截面)是将球的问题(立体问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析、解决问题.
[变式训练3]已知球的两平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，求这个球的体积．
解作球的轴截面，如下图所示，设以r1为半径的截面面积为5π，以r2为半径的截面面积为8π，O1O2＝1，球的半径为R，OO2＝x.
∵r22＝R2－x2，
∴πr22＝π(R2－x2)＝8π.
∵r21＝R2－(x＋1)2，
∴πr21＝π[R2－(x＋1)2]＝5π.
于是π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π，
即2x＋1＝3，解得x＝1.
又π(R2－x2)＝8π，∴R2－1＝8，R2＝9，∴R＝3.
∴球的体积V＝4
3＝36π.
3π×3
易错点?考虑问题不全面致误
[典例] 一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．
[错解] 如图所示，设OD＝x，
由题知π·CA2＝49π，∴CA＝7 cm.
π·BD2＝400π，∴BD＝20 cm.
设球半径为R，则有
(CD＋DO)2＋CA2＝R2＝OD2＋DB2，
即(9＋x)2＋72＝x2＋202，
∴x＝15，R＝25.
∴S
＝4πR2＝2500π cm2.
球
[错因分析] 本题错解的原因在于考虑不周，由于球心可能在两个截面之间，也可能在两个截面的同一侧，因此解决此题要分类讨论．
[正解](1)当球心在两个截面的同侧时，解法同错解．
(2)当球心在两个截面之间时，如图所示，设OD＝x，则OC＝9－x，
设球半径为R，
可得x2＋202＝(9－x)2＋72＝R2，
此方程无正数解，即此种情况不可能．
综上可知，球的表面积是2500π cm 2. 课堂小结
1.已知球的半径求球的表面积与体积的计算.
2.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算.
3.解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.
1．若一个球的体积为43π，则它的表面积为( ) A ．12π B ．3π C.4
3π D.3π 答案 A
解析 设球的半径为R ，则有4
3πR 3＝43π，解得R ＝3，则球的表面积S ＝4π×(3)2＝12π.
2．一个平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm ，则球的体积为( )
A.100π3 cm 3
B.208π
3 cm 3 C.500π3 cm 3 D.41613π3 cm 3
答案 C
解析 由球的性质知，球的半径R ＝32
＋42
＝5，所以V 球＝4π3×53＝500π
3
(cm 3)．
3．一个正方体与一个球的表面积相等，那么它们的体积的比值是( )
A.6π
6 B.
π
2 C.
2π
2 D.
3π
π
答案A
解析设正方体的棱长为a，球的半径为r，则6a2＝4πr2，即a＝6π
3r，所
以V正
V球
＝a3
4
3πr
3
＝6π
6.
4．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，
则该球的体积为()
A.32π
3B．4π C．2π D.
4π
3
答案D
解析因为该正四棱柱的外接球的半径是该正四棱柱体对角线长的一半，所
以半径r＝1
21
2＋12＋(2)2＝1，所以V球＝4π3×13＝4π3.
时间：25分钟
1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为()
A.32
3π B.
8π
3C．82π D.
82
3π
答案D
解析所得截面圆的半径为r＝1，因此球的半径R＝12＋12＝2，球的体
积为4
3πR
3＝823π.
2．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是()
A．1∶2∶3 B．1∶2∶3
C．1∶22∶3 3 D．1∶4∶7
答案C
解析三个球的表面积之比是1∶2∶3，即r2
1∶r2
2
∶r2
3
＝1∶2∶3.∴r1∶r2∶r3＝
1∶2∶3，∴V 1∶V 2∶V 3＝1∶22∶3 3.
3．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )
A.6π B ．43π C ．46π D ．63π 答案 B
解析 设球的半径为R ，由球的截面性质得R ＝(2)2＋12＝3，所以球的
体积V ＝43πR 3
＝43π.
4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A ．πa 2 B.7
3πa 2 C.11
3πa 2 D ．5πa 2 答案 B
解析 正三棱柱内接于球，则球心在正三棱柱两底面中心连成中点处，在直角三角形中可得R ＝
? ????a 22＋? ????33a 2＝7a 12
，∴S ＝4πR 2
＝4π×7a 212＝7π3a 2.
5．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如右图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8 答案 B
解析 由题中的三视图可知，该几何体由一个半圆柱与一个半球拼接而成，其表面积为2r ×2r ＋2πr 2＋2πr 2＋πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2.
6．若一个球和一个正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是( ) A ．S 球>S 正方体 B ．S 球＝S 正方体 C ．S 球
解析 设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，由体积相等可得4
3πR 3＝a 3，则有R ＝334πa .所以S 球＝4πR 2＝4π·? ???? 334πa 2＝4πa 2·332(4π)2＝336πa 2.而S 正方体＝
6a 2.因为3
36π<6，所以S 球
7．已知正四棱锥O －ABCD 的体积为32
2，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．
答案 24π
解析 过O 作底面ABCD 的垂线段OE ，则E 为正方形ABCD 的中心．由题意可知13×(3)2×OE ＝322，所以OE ＝322，故球的半径R ＝OA ＝OE 2＋EA 2＝
6，则球的表面积S ＝4πR 2＝24π.
8．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是___cm.
答案 4
解析 设球的半径为r cm ，
则有8πr 2＋3×4
3πr 3＝πr 2×6r ，由此解得r ＝4.
9．已知球的某截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离为3，则球的表面积为________．
答案100π
解析因为截面圆的面积为16π，所以截面圆的半径为4.又球心到截面的距离为3，所以球的半径为5，所以球的表面积为100π.
10．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)：
(1)求该几何体的表面积(结果保留π)；
(2)求该几何体的体积(结果保留π)．
解由三视图可知，该几何体是一个四棱柱和一个半球构成的组合体，且半球的直径为2，该四棱柱为棱长为2的正方体．
(1)该几何体的表面积为
S＝2πR2＋6×2×2－π×R2＝π＋24(m2)．
(2)该几何体的体积为
V＝1
2×
4
3πR
3＋23＝23π＋8(m3)．