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解二面角问题三种方法(习题及答案)之欧阳家百创编

解二面角问题三种方法(习题及答案)之欧阳家百创编
解二面角问题三种方法(习题及答案)之欧阳家百创编

C A B

D A 1 B D

C 1 B 1

解二面角问题

欧阳家百(2021.03.07)

(一)寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。

(1)定义法:利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点,过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角,当然这种找出的角要有利于解决问题。下面举几个例子来说明。

例1:如图,立体图形V -ABC 的四个面是全等的正三

角形,画出二面角V -AB -C 的平面角并求出它的度

数。

例2:在三棱锥P-ABC 中,

∠APB=∠BPC=∠CPA=600,求二面角A-PB-C 的余弦值。 这样的类型是不少的,如下列几道就是利用定义法

找出来的:

1、在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,找出二面角B -AC -B 1的平面角并求出它的度数。

2、.边长为a 的菱形ABCD ,∠ACB=600,现沿对角线BD 将其折成才600的二面角,则A 、C 之间的距离为。(菱形两条对角线互相垂直,对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线,则所成的角是二面角的平面角)

3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4,过BC 的一个平面与AA 1交于D ,若AD =3,求二面角D ―BC ―A 的正切值。

总之,能用定义法来找二面角的平面角的,一般是图形的性质较好,能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。在常见的几何体有正四面体,正三棱柱,正方体,以及一些平面图形,正三角形,等腰三角形,正方形,菱形等等,这些有较好的一些性质,可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。至于求角,通常是把这角放在一个三角形中去求解。由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角,再用解三角形的知识去求解。

(2)三垂线法:是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直,来找到二面角的平面角的方法。这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线。此方法是属于较常用的。

例3:如图,在三棱锥P-ABC 中,PA ⊥平面ABC ,

PA=AB ,AC=BC=1,∠ACB=900,M 是PB 的中点。(1)

求证:BC ⊥PC ,(2)平面MAC 与平面ABC 所成的二面 C B M A

P K

角的正切。

例4:如图,已知△ABC 中,AB ⊥BC ,S 为平面ABC 外的一点,SA ⊥平面ABC ,AM ⊥SB 于M ,AN ⊥SC 于

N,(1)求证平面SAB ⊥平面SBC (2)求证∠ANM 是

二面角A -SC -B 的平面角.

本题可变形为:如图,已知△ABC 中,AB ⊥BC ,S 为平面ABC 外的一点,SA ⊥平面ABC ,∠ACB =600,SA =AC =a ,(1)求证平面SAB ⊥平面SBC (2)求二面角A -SC -BC 的正弦值.

在运用三垂线找平面角时,找垂线注意应用已知的条件和有关垂直的判定和性质定理,按三垂线的条件,一垂线垂直二面角的一个面,还有垂直于棱的一条垂线。且两垂线相交,交点在二面角的面内。

(3)垂面法:作一与棱垂直的平面,该垂面与两二面角两半平面相交,得到交线,交线所成的角为二面角的平面角。这关键在找与二面角的棱垂直且与两二面角两半平面都有交线的平面。

A B C M N S

A l D C α β A l

B

C α β

E B D 例5:如图在三棱锥S -ABC 中,SA ⊥底面ABC ,

AB ⊥BC ,DE 垂直平分SC 且分别交AC 、SC 于D 、

E ,又SA =AB ,SB =BC ,求二面角E -BD -C 的度

数。 如图,βα??BD AC ,,α与β所成的角为600,l AC ⊥于C ,l BD ⊥于B ,AC =3,BD =4,CD =2,求A 、B 两点间的距离。 (二)寻找无棱二面角的平面角的方法和求解。 无棱的二面角一般是只已知一个共点,但两个面的交线不知道。若要找出二面角的平面角,则需要根据公理2或公理4来找出二面角的棱,化为有棱二面角问题,再按有棱二面角的解法解题。这种主要有两类:一类是分别在两个面内有两条直线不是异面又不是平行的二面角(两条在同一平面内且不平行)。那么延长这两条线有一交点,根据公理2,这点在二面角的棱上,连公共点和这点就是二面角的棱;另一类是分别在两个面内有两条直线是平行的二面角。这由直线和平面平行的判定和性质定理知这直线和面平行,所以直线平行于二面角的两个面的交线。由公理4,可知这两条直线平行于二面角的棱。所以过公共点作一条直线平行于这两直线,那么所作的直线是二面角的棱。

例6:如图,△ABC 在平面上的射影为正△

AB 1C 1,若BB 1=21

,CC 1=AB 1=1,求平面 A B C S D A B

C B 1 C 1

ABC 与平面AB 1C 1所成锐角二面角的大小。

变式:

1. 如图,在底面是直角梯形的立体图S -

ABCD 中,∠ABC =900,SA ⊥底面ABCD ,SA =

AB =BC =1,AD =0.5,求面SCD 与面SBA 所

成二面角的平面角的正切值。 2. 如图,在所给的空间图形中ABCD 是正方形,PD ⊥面ABCD ,

PD =AD 。求平面PAD 和PBC 所成的二面角的大小。

3. 如图,斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的棱长都是a ,侧

棱与底面成600角,侧面BCC 1B 1⊥面ABC ,求平面

AB 1C 1与底面ABC 所成的二面角的大小。

解关于二面角问题 二面角是立体几何中最重要的章节。二面角中的内容综合了线面垂直,三垂线定理及其逆定理和异面直线所成角等较多的知识点,是高考的热点和难点。在总结时,若能够引导学生进行对解二面角的问题进行探究和总结,对提高学生的数学思想方法是

A B C

D E S C A B D

P

A C D B

A 1E C 1B

有帮助的,对提高学生灵活运用所学的也有很重要的作用。为此我对这方面进行总结,以供教学和学习参考。

(一)对本内容进行思考时,必须弄清两个概念:

(1)什么是二面角,如何表示?而二面角的大小是可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是几度,就说这个二面角是几度.

(2)什么是二面角的平面角,如何表示?这一概念特别重要,要能够很快地反应出二面角的平面角是以二面角

的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱

的两条射线,这两条射线所成的角。,二面角的平面

角的定义三个主要特征是:过棱上任意一点;分别在两个面内作射线;射线垂直于棱。明白这一点对于能够作出或找出二面角的平面是很关键。在脑子里要能想象出二面角平面角的图形。

如图,0∈a,OA?α,OB?β,OA⊥a,OB⊥a。

(二)寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。

寻找和求作二面角的平面角是解二面角问题的关键,这也是个

难点。在从图形中作出二面角的平面角时,要结合已知条件来对图形中的线线、线面和面面的位置关系先进行分析,确定有哪些是平行、垂直的或者是特殊的平面图形,然后运用这些的有关性质和二面角的平面角的定义进行找出二面角的平面角。所以解关于二面角问题需要有很好的对线线、线面和面面的位置关系的分析判断能力。而在求作二面角的平面角的方法主要有三种:定义法、三垂线法、垂面法。至于在求解有关平面角的问题时,这平面角通常是在三角形中,所以常要用到解直角三角形和斜三角形的知识,这包括正弦和余弦定理的知识,也会用到其它的平面几何知识。

(1)定义法:利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点,过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角,当然这种找出的角要有利于解决问题。下面举几个例子来说明。

V B

A C D 例1:如图,立体图形V -ABC 的四个面是全等的正三

角形,画出二面角V -AB -C 的平面角并求出它的度

数。

分析:由图可知,所求的二面角的棱是AB ,两个面是面V AB 和面CAB 。由已知可知这是一个正四面体,各个面是全等的正三角形,根据二面角的平面角的定义,我们可利用

正三角形的性质来找出平面角,取AB 边上的中点D ,

连结VD 和CD 。则∠VDC 是所求二面角的平面角。可

设正三角形的边长为a ,用解三解形的知识求出VD =CD =a 23,在△VDC 中,利用余弦定理可求得cos ∠VDC=1/3,

∴∠VDC =arccos1/3

评注:在本题中主要是利用已知条件中的特殊条件和二面角平面角的定义来找出所要求的平面角。在求解时利用的是平面几何解三角形的知识。这也就是把立体图形的问题转化为平面几何的问题的数学思想。

.例2:在三棱锥P-ABC 中,∠APB=∠BPC=∠CPA=600,求二面角B C N M P Q

A

A 1

B D

C C 1 B 1 A-PB-C 的余弦值。

分析:所求二面角的棱是PB ,两个面为面PBA 和面

PBC 。用二面角的平面角的定义找出平面角,在二面角

的棱PB 上任取一点Q ,在半平面PBA 和半平面PBC 上

作QM ⊥PB ,QN ⊥PB ,则由定义可得∠MQN 即为二面角的平面角。设PM=a,则在Rt ?PQM 和Rt ?PQN 中可求得QM=QN=23

a ;又由?PQN ??PQM 得PN=a,故在正三角形PMN

中MN=a,在三角形MQN 中由余弦定理得cos ∠MQN=1/3,即二面角的余弦值为1/3。

这样的类型是不少的,如下列几道就是利用定义法找出来的:

1、如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,找出二面角B -AC -B 1的平面角并求出它的度数。

2、.边长为a 的菱形ABCD ,∠ACB=600,现沿对角线

BD 将其折成才600的二面角,则A 、C 之间的距离为。

(菱形两条对角线互相垂直,对折后的一条对角线成两

条线段仍都垂直于另一条对角线,则所成的角是二面角

的平面角)

3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4,过BC 的一 B A A 1 B 1 C C 1 D D 1

个平面与AA 1交于D ,若AD =3,求二面角D ―BC ―A 的正切值。

总之,能用定义法来找二面角的平面角的,一般是图形的性质较好,能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。在常见的几何体有正四面体,正三棱柱,正方体,以及一些平面图形,正三角形,等腰三角形,正方形,菱形等等,这些有较好的一些性质,可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。至于求角,通常是把这角放在一个三角形中去求解。由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角,再用解三角形的知识去求解。

(2)三垂线法:是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直,来找到二面角的平面角的方法。这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线。此方法是属于较常用的。

例3:如图,在三棱锥P-ABC 中,PA ⊥平面ABC ,

PA=AB ,AC=BC=1,∠ACB=900,M 是PB 的中点。(1)

求证:BC ⊥PC ,(2)平面MAC 与平面ABC 所成的二面

角的正切。 分析:第1小题较简单。第2小题,观察图形中的线面位置关系,已知PA ⊥平面ABC ,M 是PB 的中点,若在△PAB 中取AB 的中点N ,则很快发现MN ⊥平面ABC ,作KN ⊥AC ,连

MK ,则由三垂线定理可得MK ⊥AC ,所以∠MKN 为所 C B M A P N K N S

求的二面角的平面角。而求其正切值,在Rt△MNK中求出MN和KN,而求MN和KN,只需在△PAB和△ABC中就可求出,从而求出其正切值为2。

评注:本题用定义法较难以实现,但由图可找到二面角一个面的垂线。从而作棱的垂线,由三垂线定理证明是所要找的平面角。关键找到MN这条垂线。

例4:如图,已知△ABC中,AB⊥BC,S为平面ABC外的一点,SA⊥平面ABC,AM⊥SB于M,AN⊥SC于N,(1)求证平面SAB⊥平面SBC (2)求证∠ANM是二面角A-SC-B的平面角.

分析:由图和题意可得BC⊥平面SAB,从而可得证平面SAB⊥平面SBC,而要证

二面角A-SC-B的平面角是∠ANM,从已知条件AM⊥SB于M,由两个平面垂直的性质可得AM⊥平面SBC,又有AN⊥SC,所以由三垂线逆定理可得MN⊥SC,从而证明了∠ANM是二面角A-SC-BC的平面角.

评注:本题提供了运用如何从一系列的垂直关系中来逐步找到二

面角的一个面的垂线,再由三垂线的定理证明所要找的平面角。本题要特别注意的是这条垂线不是在水平上的,所以观察分析图时要注意多运用有关定理去判断。

本题可变形为:如图,已知△ABC中,AB⊥BC,S为平面ABC 外的一点,SA⊥平面ABC,∠ACB=600,SA=AC=a,(1)求证平面SAB⊥平面SBC (2)求二面角A-SC-BC的正弦值.

解第2小题的第一步是按例4做出二面角的平面角,然后利用各个直角三角形求出AN和AM的长。

总之,在运用三垂线找平面角时,找垂线注意应用已知的条件和有关垂直的判定和性质定理,按三垂线的条件,一垂线垂直二面角的一个面,还有垂直于棱的一条垂线。且两垂线相交,交点在二面角的面内。

(3)垂面法:作一与棱垂直的平面,该垂面与两二面角两半平面相交,得到交线,交线所成的角为二面角的平面角。这关键在找与二面角的棱垂直且与两二面角两半平面都有交线的平面。

例5:如图在三棱锥S -ABC 中,SA ⊥底面ABC ,

AB ⊥BC ,DE 垂直平分SC 且分别交AC 、SC 于D 、

E ,又SA =AB ,SB =BC ,求二面角E -BD -C 的度

数。 分析:由题意和图,可得SC ⊥平面BDE ,则SC ⊥DB ,又SA ⊥平面ABC ,则SA ⊥DB ,从而得BD ⊥平面SAC 。所以BD ⊥DC ,BD ⊥DE ,则∠DEC 是二面角的平面角。要求它的度数,可在Rt △SAC 和△DEC 中求,先求出∠SCA 的度数。设SA =a ,在图的直角三角形中求出SB =BC =

2a ,AC =3a ,故得到∠SCA =300,从而得到∠DEB =600。

评注:本题的垂直关系很多,如何利用好这些关系?这需解题的目标要明确才能运用好这些关系。从这些垂直关系很容易就判定BD ⊥平面SAC ,而BD 是二面角的的棱,所以平面SAC 是二面角的垂面,由二面角的平面角的定义就找到了∠EDC 是所求二面角的平面角。它的应用例如:

如图,βα??BD AC ,,α与β所成的角为600,l AC ⊥于C ,l

BD ⊥A B C S D

于B ,AC =3,BD =4,CD =2,求A 、B 两点间的距离。

由题意要应用二面角的度数,要找出它的平面角,可过C 作CE ∥DB ,且CE =DB ,连AE ,则很容易得到l ⊥面ACE ,∠ACE 是二面角的平面角,为了求AB ,连BE ,在△ACE 中由余弦定理求出AE ,在Rt △AEB 中可求出AB 的长。

总之要会运用此法,对线线、线面、面面的垂直关系要有很好的判断能力,才能找到解的思路。

(三)寻找无棱二面角的平面角的方法和求解。

无棱的二面角一般是只已知一个共点,但两个面的交线不知道。若要找出二面角的平面角,则需要根据公理2或公理4来找出二面角的棱,化为有棱二面角问题,再按有棱二面角的解法解题。这种主要有两类:一类是分别在两个面内有两条直线不是异面又不是平行的二面角(两条在同一平面内且不平行)。那么延长这两条线有一交点,根据公理2,这点在二面角的棱上,连公共点和这点就是二面角的棱;另一类是分别在两个面内有两条直线是平行的二面角。这由直线和平面平行的判定和性质定理知这直线和面平行,所以直线平行于二面角的两个面的交线。由公理4,可知这两条直线平行于二面角的棱。所以过公共点作一条直线平行于这两直线,那么所作的直线是二面角的棱。

例5:如图,△ABC 在平面上的射影为正△

AB 1C 1,若BB 1=21

,CC 1=AB 1=1,求平面ABC 与平面AB 1C 1所成锐角二面角的大小。

分析:所求的二面角只各一个公共点A ,观察图可知二面角的两个面内BC 和B 1C 1共面但不平行,所以若延长它们必交于一点D ,由公理2知,点D 在二面角的棱上。所以连AD 就找到棱。接

A B

C B 1 C 1

着是找出二面角的平面角。由图形的性质知,C 1D=2B 1C 1=2,A 1C 1=1,∠AC 1B =600,用正弦定理或余弦定理都可求出∠C 1AD =900,再由三垂线定理得∠CAC 1为二面角的平面角,然后在Rt △CAC 1中可求得∠CAC 1=450。

评注:本题是属于第一类的问题。延长两条直线交于一点从而得到棱,再用三垂线法找二面角的平面角。此题可变为: 如图,在底面是直角梯形的立体图S -ABCD

中,∠ABC =900,SA ⊥底面ABCD ,SA =AB =

BC =1,AD =0.5,求面SCD 与面SBA 所成二面角

的平面角的正切值。

由图可知二面角有一个公共点S ,但在两面中的AB

和CD 共面且不平行,所以延长交于点E 。再由题意证明BC ⊥平面SAB ,SB ⊥SE ,由三垂线定理可知∠BSC 是所求的二面角。在Rt △SBC 中可求得正切值为22

例6:如图,在所给的空间图形中ABCD 是正方

形,PD ⊥面ABCD ,PD =AD 。求平面PAD 和PBC

所成的二面角的大小。 D A B C B 1

C 1 A B C

D E S C A B

D E P

分析:由图知二面角有一个公共点P ,在两面内的AD 和BC 是共面且平行,所以AD ∥平面PBC ,由直线和平面平行的性质知,过AD 的平面PAD 与平面平面PBC 的交线(即为二面角的棱)与AD 平行,所以过P 作PE ∥AD ,则PE 为二面角的棱。由题意PD ⊥面ABCD ,所以PD ⊥AD ,PD ⊥PE ,又可证得CD ⊥平面PAD ,由三垂线定理可得∠CPD 为所求二面角的平面角。在Rt △CPD 中可求得∠CPD =450。

评注:本题是属于第二类的问题。二面角有一个共

点,在分别两面内的两条直线平行,则平行于棱。找

出二面角的棱后,再用三垂线法找二面角的平面角。 例7:如图,斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的棱长都是a ,侧棱与底面成600角,侧面BCC 1B 1⊥面ABC ,求平面AB 1C 1与底面ABC 所成的二面角的大小。

分析:此题A 是二面角的一个公共点。又在两面的BC 和B 1C 1平行,故过点A 作AE ∥BC ,则AE 为二面角的棱。如何找平面角是本题的难点。因为各棱长都相等,所以侧面是菱形,底面是正三

A D

B A 1

E

C 1

角形。又侧面BCC1B1⊥面ABC,过C1作C1D⊥BC,由两平面垂直的性质得C1D⊥面ABC,侧棱与底面成600角,所以∠C1CD=600,由此可得D为BC的中点。连AD得AD⊥BC,从而AD⊥AE,由三垂线定理得∠C1AD为二面角的平面角,在Rt△C1AD中可求得∠C1AD=450。

评注:本题除了要找棱外,用三垂线法找平面角时,关键在能分析已知条件的作用,来找垂线,和利用直线和平面所成的角来推算出点D为BC的中点,从而可用三垂线法找出平面角。

总之,无棱的二面角按两类的方法找出棱,转化为有棱的二面角问题来解。

从上面几个例题的分析和介绍的方法中,可以看出,二面角问题可以综合较多知识点,可以综合有关的平行、垂直的关系。用到的定理几乎是我们所学立几的知识。所以要有较扎实的基础知识才能够对付得了这类问题。在计算方面要用到解三角形的知识,要会在图中有关的三角形中求出所需的边或角,然后通常归结在一个三角形中去求出最后的结果。总的,解这类题,找平面

角是关键的一步,要注意运用题中的条件分析图形,然后用有关的方法找出平面角,计算时要分析所要求的量是可由图中的哪些平面图形去逐步去求出。

二面角的几种方法及例题

二面角大小的求法(例题) 二面角的类型和求法可用框图展现如下: 一、定义法: 直接在二面角的棱上取一点(特殊点),分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性; 例、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. O OA PA OB PAOB OA AOB AOB=120APB=60OB PB PB βαβ⊥⊥∴⊥⊥⊥∴⊥∴⊥∠∠?∠?做交线,交于点,连接平面交线同理交线又交线交线面交线即可得为面的二面角,所以 例、在四棱锥P-ABCD 中,ABCD 是正方形,PA ⊥平面ABCD ,PA=AB=a ,求二面角B-PC-D 的大小。 提示:PAB PCD ?,而且是直角三角形 P

二、三垂线定理法: 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角; 例、在四棱锥P-ABCD 中,ABCD 是平行四边形,PA ⊥平面ABCD ,PA=AB=a ,∠ABC=30°,求二面角P-BC-A 的tag 大小。 A AH BC BC H PH ABCD PA AB PA BC PHA PHA H ABH=30AB=a AH=a/2 tag PHA 2 PA BC AB ⊥⊥∴⊥⊥∴⊥∴∠∠?∴∴∠=过做,交于,连接面,面为二面角在中 , 例:如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. 提示:CO ⊥DE ,而且是长方体!!! p A B L H A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E O

二面角求法及经典题 专题训练

立体几何二面角求法 一:知识准备 1、二面角的概念:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念:平面角是指以二面角的棱上一点为端点,在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围:[0°,180°] 4、三垂线定理:平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量:直线L垂直平面α,取直线L的方向向量,则这个方向向量叫做平面α的法向量。(显然,一个平面的法向量有无数个,它们是共线向量) 6、二面角做法:做二面角的平面角主要有3种方法:(1)、定义法:在棱上取一点,在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线,这2条所夹的角; (2)、垂面法:做垂直于棱的一个平面,这个平面与2个半平面分别有一条交线,这2条交线所成的角;(3)、三垂线法:过一个半平面内一点(记为A)

α βa O A B 做另一个半平面的一条垂线,过这个垂足(记为B)再做棱的垂线,记垂足为C,连接AC,则∠ACB即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系? 二:二面角的基本求法及练习 1、定义法: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取 点,分别在两面内引两条射线与棱垂直, 这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知点(B)向棱AM作垂线,得垂足(F);在另一半平面ASM内过该垂足(F)作棱AM的垂线(如GF),这两条垂线(BF、GF)便形成该二面角的一个平面角,再在该平面角内建立一个可解三角形,然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,求(1)二面

高中数学二面角求法及经典题型归纳

αβa O A B 立体几何二面角求法 一:知识准备 1、二面角的概念:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念:平面角是指以二面角的棱上一点为端点,在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围:[0°,180°] 4、三垂线定理:平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量:直线L 垂直平面α,取直线L 的方向向量,则这个方向向量叫做平面α的法向量。(显然,一个平面的法向量有无数个,它们是共线向量) 6、二面角做法:做二面角的平面角主要有3种方法: (1)、定义法:在棱上取一点,在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线,这2条所夹 的角; (2)、垂面法:做垂直于棱的一个平面,这个平面与2个半平面分别有一条交线,这2条交线所成的角; (3)、三垂线法:过一个半平面内一点(记为A )做另一个半平面的一条垂线,过这个垂足(记为B )再做棱的垂线,记垂足为C ,连接AC ,则∠ACB 即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系? 二:二面角的基本求法及练习 1、定义法: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这 两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直, 这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点(B )向棱AM 作垂线,得垂足(F ); 在另一半平面ASM 内过该垂足(F )作棱AM 的垂线(如GF ),这两条垂线(BF 、GF )便形成该二面角的一个平面角,再在该平面角内建立一个可解三角形,然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,求 (1)二面角11A B C A --的大小; (2)平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 C1

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二面角的基本求法例题 一、平面与平面的垂直关系 1.判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 例 1.在空间四边形ABCD 中, AB=CB ,AD=CD ,E、F、G 分别是 AD 、 DC、CA 的中点。 求证:平面 BEF ^ 平面 BDG 。 A A F E E G D B F D B C C 例 2. AB ^ 平面 BCD,BC = CD ,? BCD 90°,E、F分别是AC、AD的中点。 求证:平面 BEF ^ 平面 ABC 。D1 C1 A1 B1 2.性质定理:若两个平面互相垂直,则在一个平面内垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面。中,求和平面所成的角。 例 3.在正方体 ABCD—A1 1 1 1 1 1 1 B C D A B A B CD . D C A B 二、二面角的基本求法D1 C1 1.定义法:在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直。A1 B1 例4.在正方体 ABCD—A1B1 C1D1中, 求( 1)二面角A- B1C - A1的大小; ( 2)平面A1DC1与平面 ADD1 A1所成角的正切值。 D C A B P 练习:过正方形ABCD 的顶点 A 作 PA ^ 平面 ABCD ,设 PA=AB= a,求 二面角 B - PC - D 的大小。 A D 2.三垂线法 B C 例 5 .平面ABCD ^平面ABEF,ABCD是正方形, ABEF 是矩形且 D C AF= 1 AD= a,G 是 EF 的中点, 2 ( 1)求证:平面AGC ^平面BGC; ( 2)求 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值;A B 1 G E

最新版,二面角求法与经典题型归纳

αβa O A B 立体几何二面角求法 一:知识准备 1、二面角的概念:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念:平面角是指以二面角的棱上一点为端点,在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围:[0°,180°] 4、三垂线定理:平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量:直线L 垂直平面α,取直线L 的方向向量,则这个方向向量叫做平面α的法向量。(显然,一个平面的法向量有无数个,它们是共线向量) 6、二面角做法:做二面角的平面角主要有3种方法: (1)、定义法:在棱上取一点,在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线,这2条所夹 的角; (2)、垂面法:做垂直于棱的一个平面,这个平面与2个半平面分别有一条交线,这2条交线所成的角; (3)、三垂线法:过一个半平面内一点(记为A )做另一个半平面的一条垂线,过这个垂足(记为B )再做棱的垂线,记垂足为C ,连接AC ,则∠ACB 即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系? 二:二面角的基本求法及练习 1、定义法: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这 两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直, 这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点(B )向棱AM 作垂线,得垂足(F ); 在另一半平面ASM 内过该垂足(F )作棱AM 的垂线(如GF ),这两条垂线(BF 、GF )便形成该二面角的一个平面角,再在该平面角内建立一个可解三角形,然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,求 (1)二面角11A B C A --的大小; (2)平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 C1

五种方法求二面角及练习题

五种方法求二面角及练习题 一、 定义法: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 1.如图,在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,求: (1)二面角C 1—BD —C 的正切值(2)二面角11B BC D -- 2.如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,, ,点M 在侧棱上,=60,M 在侧棱的中点 (1)求二面角的余弦值。 二、三垂线法:三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 1. 如图,在直四棱柱ABCD-A B C D 中,底面ABCD 为等腰梯形,AB//CD , AB=4, BC=CD=2, AA =2, E 、E 、F 分别是棱AD 、AA 、AB 的中点。 (1) 证明:直线EE //平面FCC ;(2)求二面角B-FC -C 的余弦值。 S ABCD -ABCD SD ⊥ ABCD AD 2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --1111111111E A B C F E 1 A B 1 C 1 D D A B C D A D C B

2.如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是矩形.已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB . (Ⅰ)证明⊥AD 平面PAB ; (Ⅱ)求异面直线PC 与AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角A BD P --的大小. 三.补棱法 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时,要将两平面的图形补充完整,使之有明确的交线(称为补棱),然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时,一般用补棱法解决 1.已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ,侧棱与底面成600的角,侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。 (1)求证:AC 1⊥BC ; (2)求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角(锐角)的大小。 2:如图5,E 为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点,求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值. 3如图所示,四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形,∠BCD =60°,E 是CD 的中 点,PA ⊥底面ABCD ,PA =2. (Ⅰ)证明:平面PBE ⊥平面PAB ; (Ⅱ)求平面PAD 和平面PBE 所成二面角(锐角)的大小. 角的平面角(锐角). A B C E D P A B B 1 C 1 A 1 L A 1 D 1 B 1 C 1 E D B C A 图5

二面角的几种方法及例题

二面角大小的求法(例题)二面角的类型和求法可用框图展现如下: 、定义法: 甬 片+—*■垂面法 化 T不见播型 直接在二面角的棱上取一点(特殊点),分别在两个半平面内作 棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性; 例、如图,已知二面角a - a - B等于120° ,PA丄a ,A €a ,PB丄B ,B .求/ APB的大小. 做OB 交线,交于点O,连接OA Q PB 平面 PB 交线 同理PA 交线 又Q OB 交线 交线面PAOB 交线OA 即可得AOB为面的二面角,AOB=120 所以APB=60 例、在四棱锥P-ABCD中, ABCD是正方形,PA!平面 ABCQPA=AB=a 求二面角B-PC-D的大小。 提示:VPAB VPCD,而且是直角三角形 可见槻型I解法? f三垂线法 A

、三垂线定理法: 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或 逆定理作出二面角的平面角; 例、在四棱锥P-ABCD中,ABCD是平行四边形,P从平面ABCD PA=AB=a / ABC=30,求二面角P-BC-A的tag 大小。 过A做AH BC,交BC于H,连接PH Q PA 面ABCD PA AB, PA BC BC 面PHA PHA为二面角 在VABH中 ABH=30 , AB=a AH=a/2 tag PHA 2 例:如图,ABCD-ABGD是长方体,侧棱AA长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC勺中点,求面CD%面CD所成二面角的正切值. 提示:CO DE而且是长方体! !!

例、△ ABC 中,/ A=90°, AB=4 AC=3 平面 ABC 外一点 P 在平 面ABC 内的射影是AB 中点M 二面角P-AC — B 的大小为45°。 求(1) 二面角P-BC — A 的大小;(2)二面角C-PB-A 的大小 提示:角PAB 是二面角,找到每个面的直角! 射影,那么PM 为面ABC 的垂线! 例、如图4,平面丄平面,A =l , A € , B € ,点A 在 直线I 上的射影为A,点B 在I 的射影为B,已知AB=2AA=1,BBp/2, 求:二面角A — AB- B 的大小. 提示:AA1与BB1互相垂直 AF 是辅助线且垂直AB,FE 平行BB 四、射影法:(面积法) 利用面积射影公式S 射=S 原cos ,其中 为平面 B D i' M 图4

二面角问题求解方法大全

v1.0 可编辑可修改 五法求二面角 一、 定义法: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 例1如图,四棱锥S ABCD -中,底面 ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD ,2AD = 2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上,ABM ∠=60° (I )证明:M 在侧棱SC 的中点 (II )求二面角S AM B --的大小。 练习1如图,已知四棱锥P -ABCD ,底面ABCD 为菱形,PA ⊥平面ABCD ,60ABC ∠=?,E ,F 分别是BC , PC 的中点.(Ⅰ)证明: AE ⊥PD ; (Ⅱ)若H 为PD 上的动点,EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为 6 2 ,求二面角E —AF —C 的余弦值. 二、三垂线法 三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 例2. 如图,在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为等腰梯形, AB 1 1 1 1 1 1 ABCD P -ABCD ο60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ⊥ AD PAB PC AD A BD P -- (Ⅰ)证明:平面PBE ⊥平面PAB ; (Ⅱ)求平面PAD 和平面PBE 所成二面角(锐角)的大小. 练习3已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ,侧棱与底面成600 的角,侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。 (1)求证:AC 1⊥BC ; (2)求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角(锐角)的大小。 四、射影面积法(cos s S q = 射影) 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式(cos 斜 射S S = θ)求出二面角的大小。 A B C E D P E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D

高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结

二面角的求法 一、 定义法: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点(B )向棱AM 作垂线,得垂足(F );在另一半平面ASM 内过该垂足(F )作棱AM 的垂线(如GF ),这两条垂线(BF 、GF )便形成该二面角的一个平面角,再在该平面角内建立一个可解三角形,然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1 如图,四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD ,2AD = 2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上,ABM ∠=60° (I )证明:M 在侧棱SC 的中点 (II )求二面角S AM B --的大小。 ? 证(I )略 解(II ):利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ,则点F 为AM 的中点,过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥,GF 交AS 于G , 连结AC ,∵△ADC ≌△ADS ,∴AS-AC ,且M 是SC 的中点, · ∴AM ⊥SC , GF ⊥AM ,∴GF ∥AS ,又∵F 为AM 的中点, ∴GF 是△AMS 的中位线,点G 是AS 的中点。 则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ,则2 2 = GF , 又∵6= =AC SA ,∴2=AM ,∵2==AB AM ,060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形,∴ 3=BF 。在△GAB 中,26= AG ,2=AB ,0 90=∠GAB ,∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG F G F G

二面角的基本求法例题

C1 C1 B 二面角的基本求法例题 一、平面与平面的垂直关系 1.判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 例1.在空间四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD,E、F、G分别是AD、DC、CA的中点。 求证:BEF BDG ^ 平面平面。 例2.AB BCD BC CD ^= 平面,,90 BCD° ?,E、F分别是AC、AD的中点。 求证:BEF ABC ^ 平面平面。 2.性质定理:若两个平面互相垂直,则在一个平面内垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面。 例3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,求A1B和平面A1B1CD所成的角.。 二、二面角的基本求法 1.定义法:在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直。 例4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中, 求(1)二面角 11 A B C A --的大小; (2)平面 11 A DC与平面 11 ADD A所成角的正切值。 练习:过正方形ABCD的顶点A作PA ABCD ^平面,设PA=AB=a, 求二面角B PC D --的大小。 2.三垂线法 例5.ABCD ABEF ABCD ^ 平面平面,是正方形,ABEF是矩 AF= 1 2 AD=a,G是EF的中点, (1)求证:AGC BGC ^ 平面平面; (2)求GB与平面AGC所成角的正弦值; C

C (3)求二面角B AC G --的大小。 例6.点P 在平面ABC 外,ABC 是等腰直角三角形,90ABC °?,PAB 是正三角形,PA BC ^。 (1)求证:^平面PA B 平面A BC ; (2)求二面角P AC B --的大小。 练习:正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,P 是AD 的中点,求二面角1A BD P --的大小。 B1 B A 3.垂面法 例7.SA ABC AB BC SA AB BC ^^==平面,,, (1)求证:SB BC ^; (2)求二面角C SA B --的大小; (3)求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。 4.无棱二面角的处理方法 (1)找棱 例8.过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面,设PA=AB=a , 求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小。 (2)射影面积法(cos s S q = 射影) 例9.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,P 是棱1AA 的中点, 求平面11PB C 与平面ABCD 所成二面角的大小。

二面角的基本求法例题及练习

C1 C1 一、平面与平面的垂直关系 1.判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 例1.在空间四边形ABCD 中,AB=CB ,AD=CD ,E 、F 、G 分别是AD 、DC 、CA 的中点。 求证:。 BEF BDG ^射射射射 例2.,,E 、F 分别是AC 、AD 的中点。 AB BCD BC CD ^=射射射90BCD ° D= 求证: 。 BEF ABC ^射射射射2.性质定理:若两个平面互相垂直,则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 例3.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,求A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角.。 二、二面角的基本求法 1.定义法:在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直。 例4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, 求(1)二面角的大小; 11A B C A -- (2)平面与平面所成角的正切值。 11A DC 11ADD A 练习:过正方形ABCD 的顶点A 作,设PA=AB=, PA ABCD ^ 射射a 求二面角的大小。 B P C D -- 2.三垂线法 例5.是正方形,ABEF 是矩形且AF= AD=,G 是EF 的中点, ABCD ABEF ABCD ^射射射射射1 2 a

(1)求证:; AGC BGC ^射射射射(2)求GB 与平面AGC 所成角的正弦值; (3)求二面角的大小。 B A C G --例6.点P 在平面ABC 外,是等腰直角三角形,,是正三角形,。 ABC V 90ABC ° D=PAB V PA BC ^(1)求证:; ^射射PAB 射射ABC (2)求二面角的大小。 P AC B -- 练习:正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,P 是AD 的中点,求二面角的大小。 1A BD P -- B1 B A 3.垂面法 例7., SA ABC AB BC SA AB BC ^^==射射射射 (1)求证:; SB BC ^(2)求二面角的大小; C SA B --(3)求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。 4.无棱二面角的处理方法 (1)找棱 例8.过正方形ABCD 的顶点A 作,设PA=AB=, PA ABCD ^射射a 求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小。

二面角求法及经典题型归纳

二面角求法归纳 18题,通常是立体几何(12-14分),本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明,考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力,同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。 以下是求二面角的五种方法总结,及题形归纳。 定义法: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点(B )向棱AM 作垂线,得垂足(F );在另一半平面ASM 内过该垂足(F )作棱AM 的垂线(如GF ),这两条垂线(BF 、GF )便形成该二面角的一个平面角,再在该平面角内建立一个可解三角形,然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1(2009全国卷Ⅰ理)如图,四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面 ABCD ,AD =2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上,ABM ∠=60° (I )证明:M 在侧棱SC 的中点 (II )求二面角S AM B --的大小。 证(I )略 解(II ):利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ,则点F 为AM 的中点,过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥,GF 交AS 于G , 连结AC ,∵△ADC ≌△ADS ,∴AS-AC ,且M 是SC 的中点, ∴AM ⊥SC , GF ⊥AM ,∴GF ∥AS ,又∵F 为AM 的中点, ∴GF 是△AMS 的中位线,点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ,则2 2 = GF ,又∵6==AC SA ,∴2=AM ∵2==AB AM ,0 60=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形,∴3= BF 在△GAB 中,26= AG ,2=AB ,0 90=∠GAB ,∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 222-=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG F G F G

解二面角问题三种方法(习题及答案)

C A B D A A 1 B D C C 1 B 1 解二面角问题 (一)寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。 (1)定义法:利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点,过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角,当然这种找出的角要有利于解决问题。下面举几个例子来说明。 例1:如图,立体图形V -ABC 的四个面是全等的正三角形,画出二面角V -AB -C 的平面角并求出它的度数。 例2:在三棱锥P-ABC 中,∠APB=∠BPC=∠CPA=600,求二面角A-PB-C 的余弦值。 这样的类型是不少的,如下列几道就是利用定义法找出来的: 1、在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,找出二面角B -AC -B 1的平面角并求出它的度数。 2、.边长为a 的菱形ABCD ,∠ACB=600,现沿对角线BD 将其折成才600的二面角,则A 、C 之间的距离为 。(菱形两条对角线互相垂直,对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线,则所成的角是二面角的平面角) 3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4,过BC 的一个平面与AA 1交于D ,若AD =3,求二面角D ―BC ―A 的正切值。 总之,能用定义法来找二面角的平面角的,一般是图形的性质较好,能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。在常见的几何体有正四面体,正三棱柱,正方体,以及一些平面图形,正三角形,等腰三角形,正方形,菱形等等,这些有较好的一些性质,可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。至于求角,通常是把这角放在一个三角形中去求解。由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角,再用解三角形的知识去求解。

二面角的基本求法例题及练习

C1 C1 B 一、平面与平面的垂直关系 1.判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 例1.在空间四边形ABCD 中,AB=CB ,AD=CD ,E 、F 、G 分别是AD 、DC 、CA 的中点。 求证:BEF BDG ^平面平面。 例2.AB BCD BC CD ^=平面,,90BCD °?,E 、F 分别是AC 、AD 的中点。 求证:BEF ABC ^平面平面 。 2.性质定理:若两个平面互相垂直,则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 例3.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,求A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角.。 二、二面角的基本求法 1.定义法:在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直。 例4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, 求(1)二面角11A B C A --的大小; (2)平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 练习:过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面,设PA=AB=a , 求二面角B PC D --的大小。 2.三垂线法 C

例5.ABCD ABEF ABCD ^平面平面,是正方形,ABEF 是矩形且AF=1 2 AD=a ,G 是EF 的中点, (1)求证:AGC BGC ^平面平面; (2)求GB 与平面AGC 所成角的正弦值; (3)求二面角B AC G --的大小。 例6.点P 在平面ABC 外,ABC 是等腰直角三角形,90ABC °?,PAB 是正三角形,PA BC ^。 (1)求证:^平面PA B 平面A B C ; (2)求二面角P AC B --的大小。 练习:正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,P 是AD 的中点,求二面角1A BD P --的大小。 B1 3.垂面法 例7.SA ABC AB BC SA AB BC ^^==平面,,, (1)求证:SB BC ^; (2)求二面角C SA B --的大小; (3)求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。 4.无棱二面角的处理方法 (1)找棱 例8.过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面,设PA=AB=a , 求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小。

高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结

二面角的求法 一、 定义法: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点(B )向棱AM 作垂线,得垂足(F );在另一半平面ASM 内过该垂足(F )作棱AM 的垂线(如GF ),这两条垂线(BF 、GF )便形成该二面角的一个平面角,再在该平面角内建立一个可解三角形,然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1 如图,四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD ,AD = 2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上,ABM ∠=60° (I )证明:M 在侧棱SC 的中点 (II )求二面角S AM B --的大小。 证(I )略 解(II ):利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ,则点F 为AM 的中点,过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥,GF 交AS 于G , 连结AC ,∵△ADC ≌△ADS ,∴AS-AC ,且M 是SC 的中点, ∴AM ⊥SC , GF ⊥AM ,∴GF ∥AS ,又∵F 为AM 的中点, ∴GF 是△AMS 的中位线,点G 是AS 的中点。 则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ,则2 2 = GF , 又∵6= =AC SA ,∴2=AM ,∵2==AB AM ,060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形,∴ 3=BF 。在△GAB 中,26= AG ,2=AB ,0 90=∠GAB ,∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)3 6arccos(- F G F G

五种方法求二面角及练习题

五种方法求二面角及练习题 一、 定义法: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 1.如图,在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,求: (1)二面角C 1—BD —C 的正切值(2)二面角11B BC D -- ~ 2.如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,, ,点M 在侧棱上,=60,M 在侧棱的中点 (1)求二面角的余弦值。 : S ABCD -ABCD SD ⊥ABCD 2AD = 2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --A B C D A ~ C B

二、三垂线法:三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 1. 如图,在直四棱柱ABCD-A B C D 中,底面ABCD 为等腰梯形,AB 图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是矩形.已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB . (Ⅰ)证明⊥AD 平面PAB ; (Ⅱ)求异面直线PC 与AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角A BD P --的大小. 三.补棱法 ¥ 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时,要将两平面 的图形补充完整,使之有明确的交线(称为补棱),然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时,一般用补棱法解决 1.已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ,侧棱与底面成600 的角,侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。 (1)求证:AC 1⊥BC ; (2)求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角(锐角)的大小。 111111 1111 E A < C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 【 A C B B 1 C 1 、 L

解二面角问答三种方法(习题集及规范标准答案)

C A B D A A 1 B D C C 1 B 1 解二面角问题 (一)寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。 (1)定义法:利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点,过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角,当然这种找出的角要有利于解决问题。下面举几个例子来说明。 例1:如图,立体图形V -ABC 的四个面是全等的正三角形,画出二面角V -AB -C 的平面角并求出它的度数。 例2:在三棱锥P-ABC 中,∠APB=∠BPC=∠CPA=600,求二面角A-PB-C 的余弦值。

这样的类型是不少的,如下列几道就是利用定义法找出来的: 1、在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,找出二面角B -AC -B 1的平面角并求出它的度数。 2、.边长为a 的菱形ABCD ,∠ACB=600,现沿对角线BD 将其折成才600的二面角,则A 、C 之间的距离为 。(菱形两条对角线互相垂直,对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线,则所成的角是二面角的平面角) 3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4,过BC 的一个平面与AA 1交于D ,若AD =3,求二面角D ―BC ―A 的正切值。 总之,能用定义法来找二面角的平面角的,一般是图形的性质较好,能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。在常见的几何体有正四面体,正三棱柱,正方体,以及一些平面图形,正三角形,等腰三角形,正方形,菱形等等,这些有较好的一些性质,可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。至于求角,通常是把这角放在一个三角形中去求解。由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角,再用解三角形的知识去求解。 (2)三垂线法:是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直,来找到二面角的平面角的方法。这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线。此方法是属于较常用的。 例3:如图,在三棱锥P-ABC 中,PA ⊥平面ABC ,PA=AB ,AC=BC=1,∠ACB=900,M 是PB 的中点。(1)求证:BC ⊥PC ,(2)平面MAC 与平面ABC 所 成的二面角的正切。 C B M A P N K

向量法求二面角专题练习

1,在底面是直角梯形的四棱锥S —A BCD 中,AD//BC ,∠A BC=900,S A ⊥ 面A BCD ,S A =21,A B=BC=1,A D=2 1 。 求侧面SCD 与面SB A 所成的二面角的 大小。 2如图,正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为 2,D 为1CC 中点. (Ⅰ)求证:1AB ⊥平面1A BD ; (Ⅱ)求二面角11C B A A --的大小; 3.如图,已知四棱锥P ABCD -,底面ABCD 为菱形, PA ⊥平面ABCD ,60ABC ∠= ,E F ,分别是BC PC ,的中点. (1)证明:AE PD ⊥; (2)若H 为PD 上的动点,EH 与平面PAD 面角E AF C --的余弦值. A B C D 1 A 1 C 1 B P B E C D F A

4.如图,在底面是菱形的四棱锥P —ABC D中,∠ABC=600,PA=AC=a ,PB=PD=a 2,点E 在PD 上,且PE:ED=2:1. (1)证明PA ⊥平面ABCD ; (2)求以AC 为棱,EAC 与DAC 为面的二面角 的大小 5.如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,∠ACB=90°,AC=AA 1=1,,AB 1与A 1B 相 交于点D ,M 为B 1C 1的中点. (1)求证:CD ⊥平面BDM ; (2)求平面B 1BD 与平面CBD 所成二面角的大小.

6.如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,且PD=AB=a,E为PB 的中点. (1)求异面直线PD与AE所成的角的大小; (2)在平面PAD内求一点F,使得EF⊥平面PBC; (3)在(2)的条件下求二面角F—PC—E的大小. 7. 如图,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1, E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1 的中点. (1)用向量方法求直线EF与MN的夹角; (2)求直线MF与平面ENF所成角的余弦值; (3)求二面角N—EF—M的平面角的正切值.

二面角问题求解方法大全

五法求二面角 一、 定义法: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 例1如图,四棱锥S ABCD -中,底面 ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD ,AD =2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上,ABM ∠=60° (I )证明:M 在侧棱SC 的中点 (II )求二面角S AM B --的大小。 练习1如图,已知四棱锥P -ABCD ,底面ABCD 为菱形,P A ⊥平面ABCD ,60ABC ∠=?,E ,F 分别是BC , PC 的中点.(Ⅰ)证明:AE ⊥PD ; (Ⅱ)若H 为PD 上的动点,EH 与平面P AD E —A F —C 的余弦值. 二、三垂线法 三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 例2. 如图,在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为等腰梯形,AB//CD ,AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。 (1)证明:直线EE 1//平面FCC 1; (2)求二面角B-FC 1-C 的余弦值。 练习2如图,在四棱锥ABCD P - 中,底面ABCD 是矩形. 已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB . (Ⅰ)证明⊥AD 平面PAB ; (Ⅱ)求异面直线PC 与AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角A BD P --的大小. 三.补棱法 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时,要将两平面的图形补充完整,使之有明确的交线(称为补棱),然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时,一般用 补棱法解决 例3如图所示,四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形,∠BCD =60°,E 是CD 的 中点,P A ⊥底面ABCD ,P A =2. (Ⅰ)证明:平面PBE ⊥平面P AB ; (Ⅱ)求平面P AD 和平面PBE 所成二面角(锐角)的大小. A B C E D P E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D

二面角的基本求法例题及练习

C1 C C1 C B 一、平面与平面的垂直关系 1.判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 例1.在空间四边形ABCD 中,AB=CB ,AD=CD ,E 、F 、G 分别是AD 、DC 、CA 的中点。 求证:BEF BDG ^平面平面。 例2.AB BCD BC CD ^=平面,,90BCD °?,E 、F 分别是AC 、AD 的中点。 求证:BEF ABC ^平面平面 。 2.性质定理:若两个平面互相垂直,则在一个平面内垂直于它们交 线的直线垂直于另一个平面。 例3.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,求A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角.。 二、二面角的基本求法 1.定义法:在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直。 例4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, 求(1)二面角11A B C A --的大小; (2)平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 练习:过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面,设PA=AB=a 求二面角B PC D --的大小。 2.三垂线法 例5.ABCD ABEF ABCD ^平面平面,是正方形,ABEF AF= 1 2 AD=a ,G 是EF 的中点,

C (1)求证:AGC BGC ^平面平面; (2)求GB 与平面AGC 所成角的正弦值; (3)求二面角B AC G --的大小。 例6.点P 在平面ABC 外,ABC 是等腰直角三角形,90ABC °?,PAB 是 正三角形,PA BC ^。 (1)求证:^平面PA B 平面A BC ; (2)求二面角P AC B --的大小。 练习:正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,P 是AD 的中点,求二面角 1A BD P --的大小。 B1 A 3.垂面法 例7.SA ABC AB BC SA AB BC ^^==平面,,, (1)求证:SB BC ^; (2)求二面角C SA B --的大小; (3)求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。 4.无棱二面角的处理方法 (1)找棱 例8.过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面,设PA=AB=a 求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小。

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