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著名的数学公式总结.

同时

主验证

验证此公式，可透过因式分解，首先运用环的原理，设以下公式：

然后代入：

透过因式分解，可得：

这样便可验证：

和立方验证

透过和立方可验证立方和的原理：

那即是只要减去及便可得到立方和，可设：

右边的方程

运用因式分解的方法：

这样便可验证出：

几何验证

图象化

透过绘立体的图像，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总和为：

把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：

要得到，可使用的空白位置。该空白位置可分割为3个

部分：

把三个部分加在一起，便得：

之后，把减去它，便得：上公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：

可透过

这样便可证明

反验证

透过也可反验证立方和。

以上计算方法亦可简化为一个表格：

这样便可证明

1. 把因式分解

?把两个数项都转为立方：

?运用立方和可得：

2. 把因式分解

?把两个数项都转为立方：

?运用立方和便可得：

?但这个并非答案，因为答案仍可被因式分解：

?亦可使用另一个方法来减省步骤。首先把公因子抽出：

?直接使用立方和，并得：

立方差

立方差也可以使用立方和来验证，例如：

运用负正得负，可得：

然后运用立方和，可得：

这个方法更可验证到立方差的公式是

平方差

及的排列并不重要，可随意排放。

来验证。先设及。

那即是，同时运用了

若上列公式是的话，就得到以下公式：

以上运用了，也即是两方是相等，就得到：

注：

塞尔伯格迹公式

空间的函数空间上某类算子的，其中而

设为紧致、负常曲率曲面，这类曲面可以表为上半平面对的某

离散子群的商。

考虑上的拉普拉斯算子

由于为紧曲面，该算子有离散谱；换言之，下式定义的

值至多可数

事实上，更可将其由小至大排列：

对应的特征函数，并满足以下周期条

件：

行变元代换

于是特征值可依排列。

塞尔伯格迹公式写作

和式中的取遍所有双曲共轭类。所取函数须满足下述性质：

?在带状区域上为解析函数，在此为某常数。?偶性：。

?满足估计：，在此为某常数。函数是的

。

后续发展

的尖点问题提供了纯粹的代数框架。最后，为紧的情形可藉

处理，然而，一旦取

泰勒公式

称为指数函数在0处的n阶泰勒展开公式。这个公式只对0附近的x有用，x离0越远，这个公式就越不准确。实际函数值和多项式的偏差称为泰勒公式的余项。

对于一般的函数，泰勒公式的系数的选择依赖于函数在一点的各阶导数值。

这个想法的原由可以由微分的定义开始。微分是函数在一点附近的最佳线性

近似：

，其中是

也就是说，或

。

注意到和在a处的零阶导数和一阶导数

都相同。对足够光滑的函数，如果一个多项式在a处的前n次导数值都与函数在a处的前n次导数值重合，那么这个多项式应该能很好地近似描述函数在a附近的情况。以下定理说明这是正确的：

定理：

设n是一个正整数。如果函数f是区间[a, b] 上的n阶连续可微函数，并且在区间[a, b) 上n+1 次可导，那么对于[a, b) 上的任意x，都有：

[2]

其中的多项式称为函数在a处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小。

的表达形式有若干种，分别以不同的数学家命名。

带有皮亚诺型余项的泰勒公式说明了多项式和函数的接近程度：

也就是说，当x无限趋近a时，余项将会是的高阶无穷小，或者说多项式和函数的误差将远小于[3]。这个结论可以由下面更强的结论推出。

带有拉格朗日型余项的泰勒公式可以视为拉格朗日微分中值定理的推广：

即，其中[4]。

带有积分型余项的泰勒公式可以看做微积分基本定理的推广[5]：

拉格朗日型余项或积分型余项可以帮助估计泰勒展开式和函数在一定区间之内的误差。设函数在区间[a?r, a + r]上n次连续可微并且在区间(a?r, a + r) 上n + 1 次可导。如果存在正实数M n使得区间(a?r, a + r) 里的任意x都

有，那么：

其中。这个上界估计对区间(a?r, a + r) 里的任意x都成

立，是一个一致估计。

如果当n趋向于无穷大时，还有，那么可以推出，

f是区间(a?r, a + r) 上解析函数。f在区间(a?r, a + r) 上任一点的值都等于在这一点的泰勒展开式的极限。

对所有，

其中的α 是多重指标。

其中的余项也满足不等式：

对所有满足|α| = n + 1 的α，

π的莱布尼茨公式

证明

初等证明

考虑如下分解

对于|x| < 1，右侧的分式是余下的几何级数的和。然而，上面的方程并没有包含无穷级数，并且对任何实数x成立。上式两端从0到1积分可得：

当时，除积分项以外的项收敛到莱布尼茨级数。同时，积分项收敛到0：

当

这便证明了莱布尼茨公式。

乘法公式

：。

10. 。

二倍角公式

二倍角公式是数学三角函数中常用的一组公式，通过角的三角函数值的一些变换关系来表示其二倍角的三角函数值，二倍角公式包括正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及正切二倍角公式。二倍角公式均可通过和角公式推出。

此式就是正弦二倍角公式：

余弦二倍角公式

余弦二倍角公式有三组表示形式，三组形式等价：

正切二倍角公式

此式就是正切二倍角公式：

全概率公式

又因为

条件概率的期望值

在离散情况下，上述公式等于下面这个公式。但后者在连续情况下仍然成立：

这个公式还可以表达为：

全期望公式

验证

验证方法与两数和平方差不多，可透过多项式乘法验证：

透过几何验证也同样，根据右图将所有部分加在一起：

因式分解

因式分解，在数学中一般理解为把一个多项式分解为两个或多个的因式的过程。在这个过后会得出一堆较原式简单的多项式的积。

两个平方之和或两个平方之差

（请参见平方差）

根据以上两条恒等式，如原式符合以上条件，即可运用代用法直接分解。两个n次方数之和与差

两个立方数之和

可分解为

两个立方数之差

可分解为

两个n次方数之差

两个奇数次方数之和

一次因式检验法

一个整系数的一元多项式，假如它有整系数因式，且p,q互质，则以下两条必成立：（逆叙述并不真）

不过反过来说，即使当和都成立时，整系数多项式也不一定是整系数多项式的因式

另外一个看法是：

一个整系数的ｎ次多项式，若是f(x)之因式，且p,q互质，则：（逆叙述并不真）

因式定理

指出，一个多项式有一个因式当且仅当。

因式定理普遍应用于找到一个多项式的因式或多项式方程的根的两类问题。从定理的推论结果，这些问题基本上是等价的。

若多项式已知一个或数个零点，因式定理也可以移除多项式中已知零点的部份，变成一个阶数较低的多项式，其零点即为原多项式中剩下的零点，以简化多项式求根的过程。方法如下：

1. 先设法找出多项式的一个零点。

2. 利用因式定理确认是多项式的因式。

3. 利用长除法计算多项式。

4. 中，所有满足条件的根都是方程式的根。因为

的多项式阶数较要小。因此要找出多项式的零点可能会比较简单。

另外欲使A=BQ+R成立,就令除式BQ=0,则被除式A=R,能使此方程式成立,被除式=(商式)(除式)+余式or被除式/除式=商式+余式/除式

外尔特征标公式

外尔特征标公式（Weyl's character formula) 描述紧李群不可约表示的特征标。其名来自证明者赫尔曼·外尔。

定义：群G的表示r的特征标为一函数，，其中

Tr为线性算子之迹。（由彼得-外尔定理可知紧李群的任何不可约表示都是有限维的；故迹之定义为线性代数中之定义。）

特征标χ 记住了表示r本身的重要讯息。外尔特征标公式用群G的其他资料来表达χ 。本文考虑复表示，不失一般亦设其为酉表示，因而“不可约”亦等价于“不可分解”（即非二子表示之直和）。

其中

在1 维表示的特例中，特征标为1, 而外尔特征标公式简化成外尔分母公式：

。

外尔维度公式

若只考虑单位元1之迹，则外尔特征标公式特殊化成外尔维数公式

其中

?VΛ为有限维表示，其最高权为Λ；

?ρ为外尔向量，

?α 遍历所有正根。

由于式中分子与分母俱为高阶零，故必须取G中之元素渐近单位元1时之极限。

；

其中

?Λ 为一最高权，

?λ 为另一权，

?dim Vλ为权λ 之重数，

?ρ 为外尔向量，

?外和中之α 历遍所有正根。

[实用参考]大学数学公式总结大全

导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：

一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式： ·和差角公式：·和差化积公式： 2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(

·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：·余弦定理： ·反三角函数性质：高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：中值定理与导数应用：曲率：定积分的近似计算：定积分应用相关公式：空间解析几何和向量代数：多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用：方向导数与梯度：多元函数的极值及其求法：重积分及其应用：柱面坐标和球面坐标：曲线积分：曲面积分：高斯公式：

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数：级数审敛法：绝对收敛与条件收敛：幂级数：函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：欧拉公式：三角级数：傅立叶级数：周期为的周期函数的傅立叶级数：微分方程的相关概念：阳光怡茗工作室https://www.doczj.com/doc/9413963916.html, 一阶线性微分方程：全微分方程：二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

初中的数学重要公式的总结

乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．一、公式：设有n个数x1，x2，…，x n，那么： ①平均数为： 12 ...... n x x x x n +++ = ； ②极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值； ③方差：数据1x、2x……, n x的方差为2s，则 2 s= ()()() 222 12 1 ..... n x x x x x x n 轾 -+-++-犏臌标准差：方差的算术平方根. 数据1x、2x……, n x的标准差s，则 s= 一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。设∠A是Rt△ABC的任一锐角，则∠A的正弦：sinA＝，∠A的余弦：cosA＝，∠A的正切：tanA＝．并且sin2A＋cos2A ＝1． 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小余角公式：sin(90o－A)＝cosA，cos(90o－A)＝sinA．

特殊角的三角函数值：sin30o＝cos60o＝，sin45o＝cos45o＝ -，sin60o＝cos30o＝， tan30o＝，tan45o＝1，tan60o- ＝． ④斜坡的坡度：i ＝铅垂高度水平宽度＝．设坡角为α，则i ＝tan α＝二次函数的有关知识： 1.定义：一般地，如果 c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0