普宁市第二中学2016-2017学年度高二级下学期第一次月考
文科数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷上。
2.用2B铅笔将选择题答案在答题卷对应位置涂黑；答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；不准使用铅笔或涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卷的整洁。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，B={C|C?A}，则集合B中元素的个数为（）
A．2 B．3 C．5 D．4
2．已知i为虚数单位，复数z满足iz=3+4i，则|z|=（）
A．25 B．7 C．5 D．1
3．命题p：“非零向量，，若?＜0，则，的夹角为钝角”，命题q：“对函数f（x），若f′（x0）=0，则x=x0为函数的极值点”，则下列命题中真命题是（）
A．p∧q B．p∨q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）
4．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+5a1，a7=2，则a5=（）
A．B．﹣ C．2 D．﹣2
5．已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣
6．《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．
A．B．C．D．
7．若一个α角的终边上有一点P（﹣4，a）且sinα?cosα=，则a的值为（）
A．4 B．±4C．﹣4或﹣D．
8．已知f（x）=x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）
A．B．C．D．
9．已知函数：y=a n x2（a n≠0，n∈N*）的图象在x=1处的切线斜率为2a n﹣1+1（n≥2，n∈N*），且当n=1时其图象过点（2，8），则a7的值为（）
A．B．7 C．5 D．6
10．函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（）
A．20 B．18 C．3 D．0
11．已知f（x）=则f（﹣2016）的值为（）
A．810 B．809 C．808 D．806
12．f（x），g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g （x）＜f（x）g′（x），且f（﹣3）=0，＜0的解集为（）
A．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3） C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．
13．若tan（α+）=2，则sin2α的值为．
14．定义行列式运算： =a1a4﹣a2a3．若将函数f（x）=的图象向左平移m（m ＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是．
15．设f（x）是定义在R上的奇函数，对任意x∈R有f（+x）=﹣f（﹣x），若f（1）=2，则f（2）+f（3）= ．
16．已知函数f（x）=|x﹣2|+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不等实数根，则实数k 的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知a，b为常数，且a≠0，f（x）=ax2+bx，f（2）=0．
（1）若函数y=f（x）﹣x有唯一零点，求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间上的最大值；
（3）当x≥2时，不等式f（x）≥2﹣a恒成立，求实数a的取值范围．
18．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x．
（1）求f（）的值；
（2）若函数f（x）在区间上是单调递增函数，求实数m的最大值．
19．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN 上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米．
（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
（Ⅱ）当DN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．
20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a（tanB﹣1）=．（1）求角C的大小；
（2）若三角形的周长为20，面积为10，且a＞b，求三角形三边长．
21．已知函数f（x）=xlnx+ax2﹣（2a+l）x+1，其中a＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）对于任意的x∈（x﹣1）2﹣1﹣1，22，+∞），
设g（x）=，
∵函数g（x）在区间2，+∞）上恒成立，
因此a≥2 …
18．解：（1）∵f（x）=sin2x+cos2x+1
=2（sin2x+cos2x）+1
=2sin（2x+）+1，
∴f（）=2sin（+）+1=2sin+1=，
（2）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得k≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）在区间，k∈Z上是增函数，
∴当k=0时，f（x）在区间上是增函数，
若函数f（x）在区间上是单调递增函数，则?，
∴，解得0＜m≤，
∴m的最大值是．
19．解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则AN=（x+2）米
∵DN：AN=DC：AM，
∴AM=，…
∴S AMPN=AN?AM=．
由S AMPN＞32，得＞32，又x＞0，
得3x2﹣20x+12＞0，解得：0＜x＜1或x＞4，
即DN长的取值范围是（0，1）∪（4，+∞）．…
（Ⅱ）矩形花坛AMPN的面积为y==3x++12≥2+12=24…
当且仅当3x=，即x=2时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值24．
故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米．…
20．解：（1）∵a（tanB﹣1）=，
∴可得：sinA（tanB﹣1）=，
∴tanA（tanB﹣1）=tanB+tanC，
∴tanA+tanB+tanC=tanAtanB，
∴tanC=，
∴C=60°．
（2）由面积公式：S=absinC=10，解得ab=40，
由余弦定理可得：a2+b2﹣c2=ab=40，
而a+b+c=20，
可得c=20﹣a﹣b，代入上式，化简整理可得a+b=13，
所以a，b是方程x2﹣13x+40=0的两根，
所以a=8，b=5，c=7．
21．解：（1）函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数f′（x）=lnx+1+2ax﹣2a﹣1=lnx+2a（x﹣1），
∵a＞0，
∴当0＜x＜1时，lnx＜0，2a（x﹣1）＜0，此时f′（x）＜0，函数f（x）在（0，1）上单调递减，当x＞1时，lnx＞0，2a（x﹣1）＞0，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），递减区间是（0，1）；
（2）①当0＜a＜1时，由（1）知，f（x）在a，+∞），都有f（x）≥f（1）=﹣a，
∵对于任意的x∈a，+∞），都有f（x）≥a3﹣a﹣，
②求当a≥1时，1，+∞），
由（1）得f（x）在a，+∞），有f（x）≥f（a）=alna+a3﹣2a2﹣a+1，
∵对于任意的x∈1，+∞）上单调递减，
则当a≥1时，g′（a）=h（a）≤h（1）=﹣3＜0，
则g（a）在．
22．解：（I）函数f（x）=e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=e x﹣a，
若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，所以函数f（x）=e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．
若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=e x﹣a＜0；
当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x﹣a＞0；
所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．
（II）由于a=1，所以，（x﹣k） f′（x）+x+1=（x﹣k）（e x﹣1）+x+1
故当x＞0时，（x﹣k） f′（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①
令g（x）=，则g′（x）=
由（I）知，当a=1时，函数h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，
而h（1）＜0，h（2）＞0，
所以h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，
故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；
所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．
又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）
由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2．