货物配送问题
【摘要】
本文是针对解决某港口对某地区8个公司所需原材料A、B、C的运输调度问题提
出的方案。我们首先考虑在满足各个公司的需求的情况下，所需要的运输的最小
运输次数，然后根据卸载顺序的约束以及载重费用尽量小的原则，提出了较为合
理的优化模型，求出较为优化的调配方案。
针对问题一，我们在两个大的方面进行分析与优化。第一方面是对车次安排的优化分析，得出①~④公司顺时针送货，⑤~⑧公司逆时针送货为最佳方案。第二方面我们根据车载重相对最大化思想使方案分为两个步骤，第一步先是使每个车次满载并运往同一个公司，第二步采用分批次运输的方案，即在第一批次运输中，我们使A材料有优先运输权；在第二批次运输中，我们使B材料有优先运输权；在第三批次中运输剩下所需的货物。最后得出耗时最少、费用最少的方案。耗时为40.5007小时，费用为4685.6元。
针对问题二，加上两个定理及其推论数学模型与问题一几乎相同，只是空
载路径不同。我们采取与问题一相同的算法，得出耗时最少，费用最少的方案。耗时为26.063小时，费用为4374.4元。
针对问题三的第一小问，我们知道货车有4吨、6吨和8吨三种型号。我
们经过简单的论证，排除了4吨货车的使用。题目没有规定车子不能变向，所以
认为车辆可以掉头。然后我们仍旧采取①~④公司顺时针送货，⑤~⑧公司逆时针
送货的方案。最后在满足公司需求量的条件下，采用不同吨位满载运输方案，此
方案分为三个步骤：第一，使8吨车次满载并运往同一公司；第二，6吨位车次
满载并运往同一公司；第三，剩下的货物若在1~6吨，则用6吨货车运输，若在
7~8吨用8吨货车运输。最后得出耗时最少、费用最省的方案。耗时为19.6844
小时，费用为4403.2。
一、问题重述
某地区有8个公司(如图一编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所
需的三种原材料A,B,C从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。路线是唯一的双向
道路(如图１)。货运公司现有一种载重 6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。每辆车平
均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均
速度为60公里／小时(不考虑塞车现象)，每日工作不超过8小时。运输车载重
运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.4元/公里。一个单位的原材料A,B,C
分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小
件在上，大件在下。卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，另外必须要满足各公司当天的需求量(见表１)。问题：
1、货运公司派出运输车6辆，每辆车从港口出发(不定方向)后运输途中不允许掉头，应如何调度(每辆车的运载方案，运输成本)使得运费最小。
2、每辆车在运输途中可随时掉头，若要使得成本最小，货运公司怎么安排车辆
数？应如何调度？
3、(1)如果有载重量为4吨、6吨、8吨三种运输车，载重运费都是1.8元/吨公里，空载费用分别为0.2，0.4，0.7元/公里，其他费用一样，又如何安排车辆数和调度方案？(2)当各个公司间都有或者部分有道路直接相通时，分析运输调度的难度所在，给出你的解决问题的想法(可结合实际情况深入分析)。
公司
①②③④⑤⑥⑦⑧
材料
A 4 1 2 3 1 0 2 5
B 1 5 0 1 2 4 2 3
C 5 2 4 2 4 3 5 1
二、模型假设
1)港口的容量足够大，多辆运输车同时到达港口时不会发生阻塞现象；
2)多辆运输车可以在港口同时装车，不必等待；
3)双向道路上没有塞车现象；
4)8个公司之间没有优先级别，货运公司只要满足他们的需求量就可以；货车完成
他们日常的送货任务之后，回到港口。
5)假设运输车不会因天气状况，而影响其行驶速度，和装载、卸载时间。
6)运输路不会影响运输车行驶速度。
7)运输车正常出车。
三、问题分析
运输过程的最大特点是三种原料重量不同，分为大小件，当大小件同车，卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，要区别对待运输途中是否可以调头的费用。在问题一中，运输途中不能调头，整个送货路线是一个环形闭合回
路，如果沿着某一方向同时给多家公司送货时，运输车必须为距离港口近的公司卸下小件，为距离港口远的公司运送大件；而在问题二中，运输途中可以调头，可以首先为远处公司运送小件，在返回途中为距离较近的公司卸下大件。从表面上看，这样运输能够节省车次，降低出车费用。但我们通过分析，在本题中，载重调头运输并不能降低费用。
运费最小是货运公司调度运输车的目标，运费包括派车固定成本、从港口出车成本、载重费用和空载费用。
建立模型时，要注意以下几方面的问题：
目标层：
如果将调度车数、车次以及每车次的载重和卸货点都设为变量，模型中变量过多，不易求解。由于各辆运输车之间相互独立，可以将目标转化为两个阶段的求解过程，第一阶段是规划车次阶段，求解车次总数和每车次的装卸方案；第二阶段是车辆调度阶段，安排尽量少的车辆数，每车次尽量满载，使总的运费最小。
约束层：
(1)运输车可以从顺时针或者逆时针方向送货，要考虑不同方向时的载重用；
(2)大小件的卸车顺序要求不同原料搭配运输时，沿途必须有序卸货；
(3)每车次的送货量不能超过运输车的最大载重量；
(4)满足各公司当日需求。
四、符号说明和名词约定
五、建立模型
一、问题一
i.车次规划模型的分析
车次规划阶段只涉及到载重费用、空载费用和港口出车费用。运输途中不能掉头，所以每车次都是沿闭合回路绕圈行驶。
1)运输途中不能掉头，所以为某些公司送货时，运输车从港口出发，按顺时针方向
沿闭合回路绕行，为其它公司送货时，按逆时针方向沿闭合回路绕行。公司和港口之间存在顺时针距离和逆时针距离，如下表：
由表可知，运输过程中不可以掉头，为使得货运费用最低，我们按照问题分析中给出的最佳运输路径进行货物的分配运输。即若港口按顺时针和逆时针两个不同方向出发，根据货运里程短，④点为顺时针货运方向最远点，也是空载回港口的最近点，根据货运里程短，⑤点为逆时针货运方向最远点，也是空载回港口的最近点。
结论：在符合载重相对最大化情况下，①~④公司顺时针送货为最佳方案，⑤~⑧公
2）根据3种原料的重量和运输车的最大运载量可以看出，A和C可以搭配运输，B和C 可以搭配运输，而A与B不能同车运输。不论是以顺时针方向送货还是以逆时针方向送货，当大小件搭配运输时，必须首先卸下小件，在后续公司卸下大件。
我们把这种特点总结如下：
1、若在第j个公司卸下的是大件A，说明本车次的货物已经卸完，不能够再为后续
公司运送小件C（A与B不能同车运输，更不可能有B）；
2、若在第j个公司卸下的是B，说明本车次的货物已经卸完，不能够再为后续公司
运送小件C。
ii.模型建立
基于以上约束条件建立如下模型：
第一步：根据车载重相对最大化的基本思想。可以分为两小步：
分为两种满载方案：第1种为每个车次装载1单位A和2单位C；第2种是每个车次装载2个单位B。并使每一车次在同一公司卸货。满载运载方案如下表1：
表1
对于剩下各公司所需要货物单位数量如下表：
第二步：我们采用批次运输方案：第一批次运输，我们使A材料有优先运输权，在保证满足各公司对A需求量条件下，1C与1A搭配满足载重相对最大化方法运输；第二批次运输，我们使B材料有优先运输权，在此次运输我们满足各公司尚缺B材料的量小于或等于2个单位；第三批次运输剩下所需的货物。
具体运输方式：首先优先考虑A货物的处理方法，可知1公司还需1个车次的1A 和一个车次的1A1C，4公司还需要2个车次的1A，8公司还需要4个车次的1A和1个车次的1A1C；接着处理B货物，1公司和2公司共需要1个车次的2B,8公司和4公司共需要1个车次的2B;最后处理C货物，5、6、7公司共需要1个车次的6C。由此可知共出车28次。如下表2：
2)根据1）和2）的结论及方法，不记派车成本和出车成本的28车次方案所需运费
及时间如下表3：
表3