第9讲圆
圆有关的性质
圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，①所对的弧相等，①所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
【经典例题】
二阶训练:（方法总结、讲练结合、思维突破）
1．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（）
A．10B．13C．15D．16
2．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，若∠CAB＝25°，则∠ADC的度数为（）A．65°B．55°C．60°D．75°
3．如图，A，B，C是⊙O上的三点，AB，AC的圆心O的两侧，若∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，则∠BOC的度数为（）
A．100°B．110°C．125°D．130°
4．（2020?眉山）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD＝45°，则∠ADB的度数为（）
A．55°B．60°C．65°D．70°
5．（2020?十堰）如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E．若∠ADC＝30°，AE＝1，则BC＝（）
A．2B．4C．D．2
6．（2020?荆门）如图，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为（）A．14°B．28°C．42°D．56°
7．（2019?德州）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB＝6，
则弦AF的长度为．
8．（2018?毕节市）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，
∠ACE的度数为．
9．如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝AC，⊙O交BC于D，DE⊥AC于E，⊙O的半径为2.5，AD＝3，则DE的长为．
10．如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，
则弦BC的长为．
综合性问题
三阶训练:（过程完整、运算准确）
1．如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM＝45°，求正方形的边长．
2．如图，已知AB，CG是⊙O的两条直径，AB⊥CD于点E，CG⊥AD于点F．
（1）求∠AOG的度数；
（2）若AB＝2，求CD的长．
3．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F．（1）求证：CB平分∠ABD；
（2）若AB＝8，AD＝6，求CF的长．
4．如图，BD是⊙O的直径．弦AC垂直平分OD，垂足为E．
（1）求∠DAC的度数；
（2）若AC＝6，求BE的长．
作业：二阶训练题
1．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，
∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（）
A．8B．10C．11D．12
2．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（）A．60°B．75°C．80°D．90°
3．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B为弧AD的中点，P是直径CD上一动点，⊙O的半径是2，则PA+PB的最小值为（）
A．2B．C．D．
4．如图，AB为⊙O直径，BC＝8，AC＝6，CD平分∠ACB，则AD＝（）
A．5B．6C．5D．2
5．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）若∠ACO＝25°，求∠BCD的度数．
（2）若EB＝4cm，CD＝16cm，求⊙O的直径．