《概率论与数理统计》习题答案(复旦大学出版社)第一章
- 格式:doc
- 大小:562.50 KB
- 文档页数:16
概率论与数理统计答案(汇总版)篇一:概率论与数理统计教程答案(徐建豪版)习题1、写出下列随机试验的样本空间.(1)生产产品直到有4件正品为正,记录生产产品的总件数.(2)在单位园中任取一点记录其坐标.(3)同时掷三颗骰子,记录出现的点数之和.解:(1)??{4,5,6,7,8?}(2)??{()x2?y2?1}(3)??{3,4,5,6,7,8,9,10,?,18}2、同时掷两颗骰子,x、y分别表示第一、二两颗骰子出现的点数,设事件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”,B表示“点数之差为零”,C表示“点数之积不超过20”,用样本的集合表示事件B?A,BC,B?C.解:B?A?{(),(),(),(),(),()}BC?{(),(),(),()}B?C?{(),(),(),(),(),(),(),(),(),()}3、设某人向靶子射击3次,用Ai表示“第i次射击击中靶子”(i?1,2,3),试用语言描述下列事件.(1)A1?A2 (2)(A1?A2)A3 (3)A1A2?A2A2解:(1)第1,2次都没有中靶(2)第三次中靶且第1,2中至少有一次中靶(3)第二次中靶4.设某人向一把子射击三次,用Ai表示“第i次射击击中靶子”(i=1,2,3),使用符号及其运算的形式表示以下事件:(1)“至少有一次击中靶子”可表示为;(2)“恰有一次击中靶子”可表示为;(3)“至少有两次击中靶子”可表示为;(4)“三次全部击中靶子”可表示为;(5)“三次均未击中靶子”可表示为;(6)“只在最后一次击中靶子”可表示为 . 解:(1)A1?A2?A3;(2) A123?1A23?12A3;(3)A1A2?A1A3?A2A3; (4) A1A2A3; (5) 123(6) 12A35.证明下列各题(1)A?B?A (2)A?B?(A?B)?(AB)?(B?A)证明:(1)右边=A(??B)?A?AB=A且??B??A?B=左边(2)右边=(AB)?(AB)?(BA)=A或??B??A?B习题1.设A、B、C三事件,P(A)?P(B)?P(C)?14P(AC)?P(BC)?18,P(AB)?0,求A、B、C至少有一个发生的概率.解:?P(AB)?0?P(ABC)?0P(A?B?C).?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC) =3?11 4?2?8?122.已知p()? ,P(B)? , P(B)?,求(1)P(AB)(2)P(A?B),(3)P(A?B), (4)P(AB).解:(1)?A?B,?AB?A?P(AB)?P(A)?(2)?A?B,?A?B?B?P(A?B)?P(B)?3.设P(A)=(A?B)= 互斥,求P(B).解:?A,B互斥,P(A?B)?P(A)?P(B), ,故P(B)?P(A?B)?P(A)4.设A、B是两事件且P(A)=,P(B)?(1)在什么条件下P(AB)取到最大值,最大值是多少?(2)在什么条件下P(AB)取到最小值,最小值是多少?解:由加法公式P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)=?P(A?B)(1)由于当A?B时A?B?B,P(A?B)达到最小,即P(A?B)?P(B)?,则此时P(AB)取到最大值,最大值为(2)当P(A?B)达到最大,即P(A?B)?P(?)?1,则此时P(AB)取到最小值,最小值为5.设P(A)?P(B)?P(C)?1115,P(AB)?P(BC)?P(AC)?,P(??)?, 4816求P(A?B?C). 解:P(ABC)?1?P(ABC)?1?P(??)?1?151?, 1616P(A?B?C).?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC) =3?1117?3 481616习题1.从一副扑克牌(52张)中任取3张(不重复)求取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率.解:设事件A={3张中至少有2张花色相同} 则A={3张中花色各不相同}3111C4C13C13C13P(A)?1?P(A)?1?? 3C52只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱,每个部件用3只铆钉,若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱,问发生一个部件强度太弱的概率.3解法一随机试验是从50只铆钉随机地取3个,共有C50种取法,而发生“某3C31一个部件强度太弱”这一事件只有C这一种取法,其概率为3?,而10C501960033个部件发生“强度太弱”这一事件是等可能的,故所求的概率为p??pi?i?110101 ?1960019603解法二样本空间的样本点的总数为C50,而发生“一个部件强度太弱”这13一事件必须将3只强度太弱的铆钉同时取来,并都装在一个部件上,共有C10C3种情况,故发生“一个部件强度太弱”的概率为13C10C31 p??31960C503.从1至9的9个整数中有放回地随机取3次,每次取一个数,求取出的3个数之积能被10整除的概率.解法一设A表示“取出的3个数之积能被10整除”,, A1表示“取出的3个数中含有数字5”, A2表示“取出的3个数中含有数字偶数”P(A)?P(A1A2)?1?P(A1A2)?1?P(A1?A2)?1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)?8??5??4??11???9??9??9?解法二设Ak为“第k次取得数字,Bk为“第k次取得偶数”,5”k?1,2,3。
概率论与数理统计习题集答案【篇一:《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案._】出下列随机试验的样本空间:(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解:连续5 次都命中,至少要投5次以上,故?1??5,6,7,??;(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解:?2??2,3,4,?11,12?;(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解:医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷,所以?3??0,1,2,?(4) 从编号为1,2,3,4,5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解:属于不放回抽样,故两件产品不会相同,编号必是一大一小,故: ?4??i,j??i?j?5?;(5) 检查两件产品是否合格;解:用0 表示合格, 1 表示不合格,则?5???0,0?,?0,1?,?1,0?,?1,1??;(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于t1, 最高气温不高于t2); 解:用x表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间,故: ?6??x,y?1?x?y?t2?; ???;(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解:?7?x0?x?2?;(8) 在长为l的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解:?8??x,y?x?0,y?0,x?y?l?;1.2(1) a 与b 都发生, 但c 不发生; ab;(2) a 发生, 且b 与c 至少有一个发生;a(b?c);(3) a,b,c 中至少有一个发生; a?b?c;??(4) a,b,c 中恰有一个发生;a?b?;(5) a,b,c 中至少有两个发生; ab?ac?bc;(6) a,b,c 中至多有一个发生;??;(7) a;b;c 中至多有两个发生;abc(8) a,b,c 中恰有两个发生.bc?ac?ab ;注意:此类题目答案一般不唯一,有不同的表示方式。
习题解答1. 将一枚均匀的硬币抛两次,事件C,分别表示“第一次A,B出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”。
试写出样本空间及事件CA,,中的样本点。
B解:{=Ω(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}{=A(正,正),(正,反)};{=B(正,正),(反,反)}{=C(正,正),(正,反),(反,正)}2. 在掷两颗骰子的试验中,事件D,,分别表示“点数之BCA,和为偶数”,“点数之和小于5”,“点数相等”,“至少有一颗骰子的点数为3”。
试写出样本空间及事件-AB-A,,中的样本点。
,+,-BCBADACBC解:{})6,6(,2,1(),1,1(Ω;),=2,6(),1,6(,6,1(,),),6,2(,2,2(),1,2(),),{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(AB;={})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,+B=A;),3,1(),1,1(5,1(),CA;{})2,2(),1,1(=ΦBC;={})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。
试用C B A ,,表示以下事件:(1)只订阅日报; (2)只订日报和晚报; (3)只订一种报; (4)正好订两种报; (5)至少订阅一种报; (6)不订阅任何报; (7)至多订阅一种报; (8)三种报纸都订阅; (9)三种报纸不全订阅。
解:(1)C B A ;(2)C AB ; (3)C B A C B A C B A ++;(4)BC A C B A C AB ++; (5)C B A ++;(6)C B A ; (7)C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++(8)ABC ; (9)C B A ++4. 甲、乙、丙三人各射击一次,事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。
习题解答1. 将一枚均匀的硬币抛两次,事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”。
试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。
解:{=Ω(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}{=A (正,正),(正,反)};{=B (正,正),(反,反)}{=C (正,正),(正,反),(反,正)}2. 在掷两颗骰子的试验中,事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”,“点数之和小于5”,“点数相等”,“至少有一颗骰子的点数为3”。
试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。
解:{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω;{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ;{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ;Φ=C A ;{})2,2(),1,1(=BC ;{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。
试用C B A ,,表示以下事件:(1)只订阅日报; (2)只订日报和晚报; (3)只订一种报; (4)正好订两种报; (5)至少订阅一种报; (6)不订阅任何报; (7)至多订阅一种报; (8)三种报纸都订阅; (9)三种报纸不全订阅。
解:(1)C B A ; (2)C AB ;(3)C B A C B A C B A ++;(4)BC A C B A C AB ++; (5)C B A ++;(6)C B A ; (7)CB AC B A C B A C B A +++或C B C A B A ++(8)ABC ; (9)C B A ++4. 甲、乙、丙三人各射击一次,事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。
第一章 随机事件及其概率1.解:(1){}67,5,4,3,2=S(2){} ,4,3,2=S(3){} ,,,TTH TH H S =(4){}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S =2.解:81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ∴ )()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -==838121=-=87811)(1)(=-=-=AB P AB P )])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB ⊂218185=-= 3.解:用A 表示事件“取到的三位数不包括数字1”25189********)(191918=⨯⨯==C C C A P 4、解:用A 表示事件“取到的三位数是奇数”,用B 表示事件“取到的三位数大于330”(1) 455443)(2515141413⨯⨯⨯⨯==A C C C C A P = 2) 455421452)(251514122512⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=A C C C A C B P = 五、解:用A 表示事件“4只中恰有2只白球,1只红球,1只黑球”,用B 表示事件“4只中至少有2只红球”,用C 表示事件“4只中没有只白球”(1)412131425)(C C C C A P ==495120=338 (2)4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= 或16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P(3)99749535)(41247===C C C P 6.解:用A 表示事件“某一特定的销售点取得k 张提货单”n kn k n MM C A P --=)1()( 7、解:用A 表示事件“3只球至少有1只配对”,用B 表示事件“没有配对”(1)3212313)(=⨯⨯+=A P 或321231121)(=⨯⨯⨯⨯-=A P (2)31123112)(=⨯⨯⨯⨯=B P 八、解 1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P(1)313.01.0)()()(===B P AB P B A P , 515.01.0)()()(===A P AB P A B P 7.01.03.05.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P)()()()()()]([)(B A P AB P B A P AB A P B A P B A A P B A A P ===757.05.0== 717.01.0)()()()])([()(====B A P AB P B A P B A AB P B A AB P 1)()()()]([)(===AB P AB P AB P AB A P AB A P (2)设{}次取到白球第i A i = 4,3,2,1=i那么)()()()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =0408.020592840124135127116==⨯⨯⨯= 九、解: 用A 表示事件“取到的两只球中至少有1只红球”,用B 表示事件“两只都是红球”方式1 651)(2422=-=C C A P ,61)(2422==C C B P ,61)()(==B P AB P 516561)()()(===A P AB P A B P方式2 在减缩样本空间中计算51)(=A B P 10、解:A 表示事件“一病人以为自己得了癌症”,用B 表示事件“病人确实得了癌症” 由已知得,%40)(%,10)(%,45)(%,5)(====B A P B A P B A P AB P(1)B A AB B A AB A 与, =互斥5.045.005.0)()()()(=+=+==∴B A P AB P B A AB P A P同理 15.01.005.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P(2)1.05.005.0)()()(===A P AB P A B P (3)2.05.01.0)()()(,5.05.01)(1)(====-=-=A P B A P A B P A P A P (4)17985.045.0)()()(,85.015.01)(1)(====-=-=B P B A P B A P B P B P (5)3115.005.0)()()(===B P AB P B A P 1一、解:用A 表示事件“任取6张,排列结果为ginger ”92401)(61113131222==A A A A A A P 1二、解:用A 表示事件“A 该种疾病具有症状”,用B 表示事件“B 该种疾病具有症状” 由已知2.0)(=B A P 3.0)(=B A P 1.0)(=AB P(1),B A AB B A B A S =且B A AB B A B A ,,,互斥()6.01.03.02.0)()()(=++=++=∴AB P B A P B A P B A P4.06.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P()()()4.0)(1=---=AB P B A P B A P B A P(2)()()()6.01.03.02.0)(=++=++=AB P B A P B A P AB B A B A P (3)B A AB B =, B A AB ,互斥4.03.01.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P)()()(])[()(B P AB P B P B AB P B AB P ==414.01.0== 13、解:用i A 表示事件“讯号由第i 条通信线输入”,,4,3,2,1=i B 表示“讯号无误差地被同意” ;2.0)(,1.0)(,3.0)(,4.0)(4321====A P A P A P A P9998.0)(1=A B P ,9999.0)(2=A B P ,,9997.0)(3=A B P 9996.0)(4=A B P 由全概率公式得9996.02.09997.01.09999.03.09998.04.0)()()(41⨯+⨯+⨯+⨯==∑=ii i A B P A P B P 99978.0=14、解:用A 表示事件“确实患有关节炎的人”,用B 表示事件“检验患有关节炎的人”由已知 1.0)(=A P ,85.0)(=A B P ,04.0)(=A B P ,那么 9.0)(=A P ,85.0)(=A B P ,96.0)(=A B P ,由贝叶斯公式得017.096.09.015.01.015.01.0)()()()()()()(=⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 1五、解:用A 表示事件“程序交与打字机A 打字”,B 表示事件“程序交与打字机B 打字”,C 表示事件“程序交与打字机C 打字”;D 表示事件“程序因运算机发生故障被打坏” 由已知得 6.0)(=A P ,3.0)(=B P ,1.0)(=C P ;01.0)(=A D P ,05.0)(=B D P ,04.0)(=C D P由贝叶斯公式得)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P A D P A P D A P ++=24.025604.01.005.03.001.06.001.06.0==⨯+⨯+⨯⨯= )()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P B D P B P D B P ++= 6.05304.01.005.03.001.06.005.03.0==⨯+⨯+⨯⨯= )()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P C D P C P D A P ++= 16.025604.01.005.03.001.06.004.01.0==⨯+⨯+⨯⨯=1六、解:用A 表示事件“收到可信讯息”,B 表示事件“由密码钥匙传送讯息” 由已知得 95.0)(=A P ,05.0)(=A P ,1)(=A B P ,001.0)(=A B P由贝叶斯公式得999947.0001.005.0195.0195.0)()()()()()()(≈⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 17、解:用A 表示事件“第一次得H ”,B 表示事件“第二次得H ”,C 表示事件“两次得同一面”那么 ,21)(,21)(==B P A P ,21211)(2=+=C P ,4121)(2==AB P ,4121)(2==BC P ,4121)(2==AC P )()()(),()()(),()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ===∴C B A ,,∴两两独立 而41)(=ABC P ,)()()()(C P B P A P ABC P ≠ C B A ,,∴不是彼此独立的1八、解:用A 表示事件“运动员A 进球”,B 表示事件“运动员B 进球”,C 表示事件“运动员C 进球”,由已知得 5.0)(=A P ,7.0)(=B P ,6.0)(=C P那么 5.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=C P(1){})(C B A C B A C B A P P =恰有一人进球)()()(C B A P C B A P C B A P ++= (C B A C B A C B A ,,互斥))()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 相互独立)C B A ,,( 29.06.03.05.04.07.05.04.03.05.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= (2){})(C B A BC A C AB P P =恰有二人进球)()()(C B A P BC A P C AB P ++= (C B A BC A C AB ,,互斥))()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 相互独立)C B A ,,( 44.06.03.05.06.07.05.04.07.05.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=(3){})(C B A P P =至少有一人进球)(1C B A P -=)(1C B A P -=)()()(1C P B P A P -= 相互独立)C B A ,,(4.03.05.01⨯⨯-=94.0=19、解:用i A 表示事件“第i 个供血者具有+-RH A 血型”, ,3,2,1=i B 表示事件“病人获救”,4321321211A A A A A A A A A A B =4321321211,,,A A A A A A A A A A 互斥,i A ( ,3,2,1=i )彼此独立()()(1P A P B P +=∴+)21A A )()(4321321A A A A P A A A P +8704.04.06.04.06.04.06.04.032=⨯+⨯+⨯+=20、解:设i A 表示事件“可靠元件i ” i=1,2,3,4,5 ,B 表示事件“系统可靠”由已知得p A P i =)(1,2,3,4,5)(i = 54321,,,,A A A A A 相互独立法1:54321A A A A A B = )()(54321A A A A A P B P =∴()()()()()()542154332154321A A A A P A A A P A A A P A A P A P A A P ---++= ()54321A A A A A P + 543322p p p p p p p +---++= ()相互独立54321,,,,A A A A A543222p p p p p +--+=法2:)(1)(54321A A A A A P B P -=)()()(154321A A P A P A A P -= ()相互独立54321,,,,A A A A A()()]1][1)][(1[154321A A P A P A A P ----=()()()]1][1)][()(1[154321A P A P A P A P A P ----= ()相互独立54321,,,,A A A A A ()()()221111p p p ----=543222p p p p p +--+=2一、解:用A 表示事件“真含有杂质”,用B 表示事件“次检验认为不含有杂质次检验认为含有杂质次检验中有123”由已知得 4.0)(=A P ,6.0)(=A P ,8.0)(=A B P ,9.0)(=A B P由贝叶斯公式得9.01.06.02.08.04.02.08.04.0)()()()()()()(223223223⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+=C C C A B P A P A B P A P A B P A P B A P 905.016981536==。
《概率论与数理统计》典型例题第一章 随机事件与概率例1.已知事件,A B 满足,A B 与同时发生的概率与两事件同时不发生的概率相等,且()P A p =,则()P B = 。
分析:此问题是考察事件的关系与概率的性质。
解:由题设知,()(P AB P A B =∩),则有()()()1()1()()()P AB P A B P A B P A B P A P B P AB ===−=−−+∩∪∪而,故可得。
()P A p =()P B =1p −注:此题具体考察学生对事件关系中对偶原理,以及概率加法公式的掌握情况,但首先要求学生应正确的表示出事件概率间的关系,这三点都是容易犯错的地方。
例2.从10个编号为1至10的球中任取1个,则取得的号码能被2或3整除的概率为 。
分析:这是古典概型的问题。
另外,问题中的一个“或”字提示学生这应该是求两个事件至少发生一个的概率,即和事件的概率,所以应考虑使用加法公式。
解:设A :“号码能被2整除”,B :“号码能被3整除”,则53(),()1010P A P B ==。
只有号码6能同时被2和3整除,所以1()10P AB =,故所求概率为 5317()()()()10101010P A B P A P B P AB =+−=+−=∪。
注:这是加法公式的一个应用。
本例可做多种推广,例如有60只球,又如能被2或3或5整除。
再如直述从10个数中任取一个,取得的数能被2或3整除的概率为多少等等。
例3.对于任意两事件,若,则 A B 和()0,()0P A P B >>不正确。
(A )若AB φ=,则A 、B 一定不相容。
(B )若AB φ=,则A 、B 一定独立。
()若C AB φ≠,则A 、B 有可能独立。
()若D AB φ=,则A 、B 一定不独立。
分析:此问题是考察事件关系中的相容性与事件的独立性的区别,从定义出发。
解:由事件关系中相容性的定义知选项A 正确。
概率论与数理统计复旦大学此答案非常详细非常全,可供大家在平时作业或考试前使用,预祝大家考试成功习题一1.略.见教材习题参考答案.2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C的运算关系式表示下列事件:(1)A发生,B,C都不发生;(2)A与B发生,C不发生;(3)A,B,C都发生;(4)A,B,C至少有一个发生;(5)A,B,C都不发生;(6)A,B,C不都发生;(7)A,B,C至多有2个发生;(8)A,B,C至少有2个发生.【解】(1)A BC(2)AB C(3)ABC(4)A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C (6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A,B为随机事件,且P(A)=0.7,P(A B)=0.3,求P(AB).【解】P(AB)=1P(AB)=1[P(A)P(A B)]=1[0.70.3]=0.65.设A,B是两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,求:(1)在什么条件下P(AB)取到最大值?(2)在什么条件下P(AB)取到最小值?【解】(1) 当AB =A 时,P (AB )取到最大值为0.6.(2) 当A ∪B =Ω时,P (AB )取到最小值为0.3.6.设A ,B ,C 为三事件,且P (A )=P (B )=1/4,P (C )=1/3且P (AB )=P (BC )=0,P (AC )=1/12,求A ,B ,C 至少有一事件发生的概率.【解】 P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C )P (AB )P (BC )P (AC )+P (ABC )=14+14+13112=347.从52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?【解】 p =5332131313131352C C C C /C8.对一个五人学习小组考虑生日问题:(1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率;(3) 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1) 设A 1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故P (A 1)=517=(17)5 (亦可用独立性求解,下同) (2) 设A 2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故P (A 2)=5567=(67)5 (3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P (A 3)=1P (A 1)=1(17)5 9.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件,其中M 件正品.从中随机地取出n 件(n <N ).试求其中恰有m 件(m ≤M )正品(记为A )的概率.如果:(1) n 件是同时取出的;(2) n 件是无放回逐件取出的;(3) n 件是有放回逐件取出的.【解】(1) P (A )=C C /C m n m n M N M N --(2) 由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有P n N 种,n 次抽取中有m次为正品的组合数为C m n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从M 件正品中取m 件的排列数有P m M 种,从NM 件次品中取n m 件的排列数为P n m N M --种,故P (A )=C P P P mm n m n M N M n N -- 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成P (A )=C C C mn m M N M n N-- 可以看出,用第二种方法简便得多.(3) 由于是有放回的抽取,每次都有N 种取法,故所有可能的取法总数为N n 种,n 次抽取中有m 次为正品的组合数为C mn 种,对于固定的一种正、次品的抽取次序,m 次取得正品,都有M 种取法,共有M m 种取法,nm 次取得次品,每次都有N M 种取法,共有(N M )n m 种取法,故()C ()/m m n m n n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型,共做了n 重贝努里试验,每次取得正品的概率为M N,则取得m 件正品的概率为()C 1m n m mn M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少?【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A == 【解】 设A i ={甲进i 球},i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.3207617.从5双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.某地某天下雪的概率为0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求:(1) 在下雨条件下下雪的概率;(2) 这天下雨或下雪的概率.【解】 设A ={下雨},B ={下雪}.(1) ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === (2) ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.已知一个家庭有3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的).【解】 设A ={其中一个为女孩},B ={至少有一个男孩},样本点总数为23=8,故 ()6/86()()7/87P AB P B A P A === 或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7.6()7P B A = 20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半).【解】 设A ={此人是男人},B ={此人是色盲},则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯ 21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图 题22图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|xy |>30.如图阴影部分所示.22301604P == 22.从(0,1)中随机地取两个数,求:(1) 两个数之和小于65的概率; (2) 两个数之积小于14的概率. 【解】 设两数为x ,y ,则0<x ,y <1.(1) x +y <65. 11441725510.68125p =-== (2) xy =<14. 1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭⎰⎰ 23.设P (A )=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5,求P (B |A ∪B )【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+- 24.在一个盒中装有15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛中任意取出3个球,比赛后放回原盒中;第二次比赛同样任意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球},i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式,有30()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =•+•+•+•0.089=25. 按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试及格,不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问:(1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人?(2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人?【解】设A ={被调查学生是努力学习的},则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P(A )=0.8,P (A )=0.2,又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P (B |A )=0.9,P (B |A )=0.9,故由贝叶斯公式知(1)()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯ 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯ 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为0.02,而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ,试问原发信息是A 的概率是多少?【解】 设A ={原发信息是A },则={原发信息是B }C ={收到信息是A },则={收到信息是B }由贝叶斯公式,得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+ 2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯ 27.在已有两个球的箱子中再放一白球,然后任意取出一球,若发现这球为白球,试求箱子中原有一白球的概率(箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种)【解】设A i ={箱中原有i 个白球}(i =0,1,2),由题设条件知P (A i )=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知 111120()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯ 28.某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品},B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯ 29.某保险公司把被保险人分为三类:“谨慎的”,“一般的”,“冒失的”.统计资料表明,上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30;如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少? 【解】 设A ={该客户是“谨慎的”},B ={该客户是“一般的”},C ={该客户是“冒失的”},D ={该客户在一年内出了事故}则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++ 0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯ 30.加工某一零件需要经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率.【解】设A i ={第i 道工序出次品}(i =1,2,3,4).412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯=31.设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n ≤故 n ≥11至少必须进行11次独立射击.32.证明:若P (A |B )=P (A |B ),则A ,B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B = 亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B =故A 与B 相互独立.33.三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为15,13,14,求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}(i =1,2,3),则 31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率.【解】设A ={飞机被击落},B i ={恰有i 人击中飞机},i =0,1,2,3由全概率公式,得30()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为25%,为试验一种新药是否有效,把它给10个病人服用,且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效,反之则认为无效,求:(1) 虽然新药有效,且把治愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率.(2) 新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率.【解】(1) 3101100C(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241k k k k p -===∑36.一架升降机开始时有6位乘客,并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率:(1) A =“某指定的一层有两位乘客离开”;(2) B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”;(3) C =“恰有两位乘客在同一层离开”;(4) D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开,故所有可能结果为106种.(1) 2466C 9()10P A =,也可由6重贝努里模型: 224619()C ()()1010P A = (2) 6个人在十层中任意六层离开,故6106P ()10P B = (3) 由于没有规定在哪一层离开,故可在十层中的任一层离开,有110C 种可能结果,再从六人中选二人在该层离开,有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况,因此可包含以下三种离开方式:①4人中有3个人在同一层离开,另一人在其余8层中任一层离开,共有131948C C C 种可能结果;②4人同时离开,有19C 种可能结果;③4个人都不在同一层离开,有49P 种可能结果,故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++ (4) D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=- 37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐,求下列事件的概率:(1) 甲、乙两人坐在一起,且乙坐在甲的左边的概率;(2) 甲、乙、丙三人坐在一起的概率;(3) 如果n 个人并排坐在长桌的一边,求上述事件的概率.【解】 (1) 111p n =- (2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>- (3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.将线段[0,a ]任意折成三折,试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x ,y ,a x y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a x y <a 所构成的图形,有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形,即02022a x a y a x y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣ 如图阴影部分所示,故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙,其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开(抽样是无放回的).证明试开k 次(k =1,2,…,n )才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--===40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体,在这些小立方体中,随机地取出一个,试求它有i 面涂有颜色的概率P (A i )(i =0,1,2,3).【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色},i =0,1,2,3.在1千个小立方体中,只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的,这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上(除去八个角外)的小立方体是两面涂色的,这样的小立方体共有12×8=96个.同理,原立方体的六个面上(除去棱)的小立方体是一面涂色的,共有8×8×6=384个.其余1000(8+96+384)=512个内部的小立方体是无色的,故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====. 41.对任意的随机事件A ,B ,C ,试证P (AB )+P (AC )P (BC )≤P (A ). 【证】 ()[()]()P A P A B C P AB AC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+-()()()P AB P AC P BC ≥+-42.将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯中球的最大个数分别为1,2,3的概率.【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中,全部可能放法有43种,杯中球的最大个数为1时,每个杯中最多放一球,故 3413C 3!3()48P A == 而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中,故1433C 1()416P A == 因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43.将一枚均匀硬币掷2n 次,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币,可能出现:A ={正面次数多于反面次数},B ={正面次数少于反面次数},C ={正面次数等于反面次数},A ,B ,C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的,故P (A )=P (B ).所以1()()2P C P A -= 由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44.掷n 次均匀硬币,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数},B ={出现反面次数多于正面次数},由对称性知P(A )=P (B )(1) 当n 为奇数时,正、反面次数不会相等.由P (A )+P (B )=1得P (A )=P (B )=0.5(2) 当n 为偶数时,由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.设甲掷均匀硬币n +1次,乙掷n 次,求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数,甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数,乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正(甲乙)=(甲正≤乙正)=(n +1甲反≤n乙反)=(甲反≥1+乙反)=(甲反>乙反)由对称性知P (甲正>乙正)=P (甲反>乙反) 因此P (甲正>乙正)=1246.证明“确定的原则”(Surething ):若P (A |C )≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C ),则P (A )≥P (B ).【证】由P (A |C )≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= 47.一列火车共有n 节车厢,有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的},(i =1,…,n ),则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki kki j ki i i n P A n nP A A n n P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n 1是1,2,…,n 中的任n 1个.显然n 节车厢全空的概率是零,于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni ki j n i j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)kkn n kn n n n nnn--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n ni P A n n=-=--+--+111(1)C (1)n n kn n n+----48.设随机试验中,某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明:不论ε>0如何小,只要不断地独立地重复做此试验,则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中,A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币,n 只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只,将它投掷r 次,已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少? 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+121212rrr m m m n m n m n m n m n+==++++ 50.巴拿赫(Banach )火柴盒问题:某数学家有甲、乙两盒火柴,每盒有N 根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少?第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有r 根的概率又有多少? 【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件,则有121()()2P B P B ==.(1)发现一盒已空,另一盒恰剩r 根,说明已取了2n r 次,设n 次取自B 1盒(已空),n r 次取自B 2盒,第2n r +1次拿起B 1,发现已空。
习题一:1.1 写出下列随机试验的样本空间:(1)某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解:连续5 次都命中,至少要投5次以上,故;(2)掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解:;(3)观察某医院一天内前来就诊的人数;解:医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷,所以;(4)从编号为1,2,3,4,5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品;解:属于不放回抽样,故两件产品不会相同,编号必是一大一小,故:(5)检查两件产品是否合格;解:用0 表示合格, 1 表示不合格,则;(6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2);解:用表示最低气温, 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间,故:;(7)在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解:;(8)在长为的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解:;1.2(1)A 与B 都发生, 但C 不发生; ;(2)A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;;(3)A,B,C 中至少有一个发生; ;(4)A,B,C 中恰有一个发生;;(5)A,B,C 中至少有两个发生; ;(6) A,B,C 中至多有一个发生;;(7) A;B;C 中至多有两个发生;(8) A,B,C 中恰有两个发生. ;注意:此类题目答案一般不唯一,有不同的表示方式。
1.3 设样本空间, 事件=,具体写出下列各事件:(1); (2) ; (3) ; (4)(1);(2) =;(3) =;(4) =1.6 按从小到大次序排列, 并说明理由.解:由于故,而由加法公式,有:1.7解:(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为:(2)由于事件可以分解为互斥事件,昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件概率为:(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为:.1.8解:(1) 由于,故显然当时P(AB) 取到最大值。
1 概率论与数理统计习题及答案 习题 一 1.略.见教材习题参考答案. 2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C的运算关系式表示下列事件: (1) A发生,B,C都不发生; (2) A与B发生,C不发生; (3) A,B,C都发生; (4) A,B,C至少有一个发生; (5) A,B,C都不发生; (6) A,B,C不都发生; (7) A,B,C至多有2个发生; (8) A,B,C至少有2个发生.
【解】(1) ABC (2) ABC (3) ABC
(4) A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC (5) ABC=ABC (6) ABC (7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC 3.略.见教材习题参考答案 4.设A,B为随机事件,且P(A)=0.7,P(AB)=0.3,求P(AB).
【解】 P(AB)=1P(AB)=1[P(A)P(AB)] =1[0.70.3]=0.6 5.设A,B是两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,求: (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值? (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值?
【解】(1) 当AB=A时,P(AB)取到最大值为0.6. (2) 当A∪B=Ω时,P(AB)取到最小值为0.3. 6.设A,B,C为三事件,且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件发生的概率. 2
【解】 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC) =14+14+13112=34 7.从52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?
【解】 p=5332131313131352CCCC/C 8.对一个五人学习小组考虑生日问题: (1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率; (3) 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】(1) 设A1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故
P(A1)=517=(17)5 (亦可用独立性求解,下同) (2) 设A2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故
P(A2)=5567=(67)5 (3) 设A3={五个人的生日不都在星期日} P(A3)=1P(A1)=1(17)5 9.略.见教材习题参考答案. 10.一批产品共N件,其中M件正品.从中随机地取出n件(n≤M)正品(记为A)的概率.如果: (1) n件是同时取出的; (2) n件是无放回逐件取出的; (3) n件是有放回逐件取出的.
【解】(1) P(A)=CC/CmnmnMNMN
(2) 由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有PnN种,n次抽取中有m次为正品的组合数为Cmn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从M件正品中取m件的排列数有PmM种,从NM件次品中取nm件的排列数为PnmNM种,故
P(A)=CPPPmmnmnMNMnN 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成 P(A)=CCCmnmMNMnN 可以看出,用第二种方法简便得多. (3) 由于是有放回的抽取,每次都有N种取法,故所有可能的取法总数为Nn种,n 3
次抽取中有m次为正品的组合数为Cmn种,对于固定的一种正、次品的抽取次序,m次取得正品,都有M种取法,共有Mm种取法,nm次取得次品,每次都有NM种取法,共有(NM)nm种取法,故
()C()/mmnmnnPAMNMN
此题也可用贝努里概型,共做了n重贝努里试验,每次取得正品的概率为MN,则取得m件正品的概率为
()C1mnmmnMMPANN
11.略.见教材习题参考答案. 12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少? 【解】设A={发生一个部件强度太弱}
13310350
1()CC/C1960PA
13.一个袋内装有大小相同的7个球,其中4个是白球,3个是黑球,从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}(i=2,3),显然A2与A3互斥.
213
434
2333
77
CCC184
(),()C35C35PAPA
故 232322()()()35PAAPAPA 14.有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒,求: (1) 两粒都发芽的概率; (2) 至少有一粒发芽的概率; (3) 恰有一粒发芽的概率. 【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽},(i=1,2)
(1) 1212()()()0.70.80.56PAAPAPA
(2) 12()0.70.80.70.80.94PAA (3) 2112()0.80.30.20.70.38PAAAA 15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止. (1) 问正好在第6次停止的概率; (2) 问正好在第6次停止的情况下,第5次也是出现正面的概率.
【解】(1) 223151115()()22232pC (2) 1342111C()()22245/325p 4
16.甲、乙两个篮球运动员,投篮命中率分别为0.7及0.6,每人各投了3次,求二人进球数相等的概率. 【解】 设Ai={甲进i球},i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则 3331212
3330()(0.3)(0.4)C0.7(0.3)C0.6(0.4)iiiPAB
22223333C(0.7)0.3C(0.6)0.4+(0.7)(0.6)
=0.32076 17.从5双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.
【解】 4111152222410CCCCC131C21p 18.某地某天下雪的概率为0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求: (1) 在下雨条件下下雪的概率;(2) 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨},B={下雪}.
(1) ()0.1()0.2()0.5PABpBAPA
(2) ()()()()0.30.50.10.7pABPAPBPAB 19.已知一个家庭有3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的). 【解】 设A={其中一个为女孩},B={至少有一个男孩},样本点总数为23=8,故
()6/86()()7/87PABPBAPA
或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7. 6()7PBA
20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半). 【解】 设A={此人是男人},B={此人是色盲},则由贝叶斯公式
()()()()()()()()()PAPBAPAB
PABPBPAPBAPAPBA
0.50.05200.50.050.50.002521
21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率. 5
题21图 题22图 【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|xy|>30.如图阴影部分所示.
22301
604P
22.从(0,1)中随机地取两个数,求: (1) 两个数之和小于65的概率;
(2) 两个数之积小于14的概率. 【解】 设两数为x,y,则0(1) x+y<65.
114417255
10.68125p
(2) xy=<14. 11112
44111ddln242x
pxy
23.设P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求P(B|A∪B) 【解】 ()()()()()()()()PABPAPABPBABPABPAPBPAB