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04-第四章 幂函数、指数函数和对数函数(带答案)曹喜平

04-第四章 幂函数、指数函数和对数函数(带答案)曹喜平
04-第四章 幂函数、指数函数和对数函数(带答案)曹喜平

§4.1 幂函数的性质与图像(1)

A 组

1.幂函数2

3

x y =

的定义域是 ;值域是 .),0[∞+;),0[∞+

2.幂函数4-=x y 的定义域是 ,值域是 .

)0,(-∞0,+∞();0,+∞() 3.幂函数2

3

-=x

y 的定义域是____________;值域是 .0,+∞();0,+∞()

4.幂函数)(Q x y ∈=αα的图象恒过定点 .)1,1(

5.幂函数)(Q x y ∈=αα的图象经过点)2,2

1

(,则=α .1-

6.若b ax x f +=2)(是幂函数,则实数b a ,满足条件 . 0,1==b a

B 组 填空题

7.若)(x f 既是一次函数, 又是幂函数, 则=)(x f . x 8.若幂函数3

(*)m y x

m N =∈是奇函数,则m 的最小值为 . 1

9.若幂函数)(Q x y ∈=αα的图象在第一象限内单调递增,则α的取值范围是 .0,+∞() 10.若幂函数)(Q x y ∈=αα的图象与y 轴无公共点,则α的取值范围是 .]0,(-∞

11.函数y 2y x =的图像的交点的坐标是 .(0,0)和(1,1) 12.若幂函数是互质的自然数)||,||(q p x y p

q

=的图象关于y 轴对称,则q p ,满足的条件 是 . q 为非零偶数, p 为奇数

13.若幂函数)(Q x y ∈=αα的图像关于原点对称,且当0x >时单调递减,则α的一个可取的值

为 .1-

选择题

14.下列函数是幂函数的是( C )

(A )x y 4= (B )2=y

(C ))()1(1是有理常数αα+=x

y (D )x y 2=

15.下列命题中,正确的是 ( D )

(A )当=0α时,函数y x α=的图像是一条直线 (B )幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)两点

(C )若幂函数y x α=是奇函数,则y x α=在定义域上增函数 (D )幂函数的图像不可能出现在第四象限

解答题

16.讨论函数3

22

)(--=k k

x x f 在),0(∞+上的单调性.

解:当1-k 时, 函数)(x f 在),0(∞+上单调递增;

当31<<-k 时, 函数)(x f 在),0(∞+上单调递减; 当1-=k 或3=k 时, )(x f 在),0(∞+上是常值函数.

17.已知3

13

1)

21()

3(-

-+<-x x ,求实数x 的取值范围.

解法一:(1)03124x x x >->+?<-;

(2)3120x x ->+>,无解;

(3)1120332

x x x +>>-?-<<.

综上x 的取值范围是1(,4)

(,3)2

-∞--. 解法二:111133331111

(3)(12)()()312312x x x x x x

---<+?

-+-+ 41

043(3)(21)2

x x x x x +?

C 组

18.若偶函数()()Z m x x f m m ∈+=++-

12

3212在+R 上是增函数。

(1)确定函数()x f 的解析式;

(2)求函数()(]()t x x f y ,

∞-∈=的最小值()t d 的解析式; (3)设()()()1>-=

a x a x f x g ,证明:()x g 在+R 上是减函数。

解:(1)由02

3

2

1

2>+

+-m m 及Z m ∈,得2,1,0=m ,)(x f 是偶函数,故1=m 。1)(2+=∴x x f (2)],(t x -∞∈ ,????

?≥<+=∴)

0(1

)

0(1

)(2t t t t d (3)ax x x g -+=1)(2,设21x x o <<,

()212

2212221222121211

111)()(x x a x x x x ax x ax x x g x g --++

+-=

++--+=-)1

1(

)(2

2212121a x x x x x x -++

++?-=,

021<-x x ,1211+

12

22121<++

++∴x x x x ,

而1>a ,

01

12

22121<-++

++a x x x x ,

)()(21x g x g >∴,即)(x g 在区间),0(∞+上是减函数。

A

B

C

E

F

§4.1 幂函数的性质与图像(2)

A 组

1.幂函数4

3-=x y 的定义域为 .),0(∞+

2.幂函数52x

y =

的值域是 . ),0[∞+

3.幂函数)(x f 的图象经过点(22

,,此函数的解析式=)(x f _______________.21

-x

4.函数)1(2≥=-x x y 的值域为 . ]1,0(

5.若0=x 时幂函数αx y =有意义,则有理数α的取值范围是 .),0(∞+ 6.若实数a 满足2

12

13

-

->a

, 则实数a 的取值范围是 . )3,0(

B 组 填空题

7.若31

2

x x >

,则实数的取值范围是____________________.(,0)(1,)-∞+∞

8.幂函数)(1

22N n x y n n ∈=+是 函数(填奇、偶) 偶

9.幂函数)(1

2

N n x y n n

∈=+-的图象一定经过定点 和 . )0,0(;)1,1(

10.写出一个幂函数的解析式,满足图象关于y 轴对称,且在),0(∞+上递减: .2-=x y 等 11.函数数222+-=x x y 可以由幂函数=)(x f 经过平移变换后得到. 2x 12.下面给出了六个幂函数的图像,如图所示,试建立函数与图像之间的对应关系. (1)3

2

y x = (2) 13

y x = (3)23

y x = (4)2y x -= (5)3

y x -= (6)12

y x

-

=

(1)对应 ;A (2) 对应 ;F (3) 对应 ;E (4) 对应 ;C (5) 对应 ;D (6) 对应 ;B 13.下列命题中,真命题的序号是 .(1) (1)幂函数的图象不可能在到四象限; (2)幂函数的图象不可能是一条直线;

(3)两个不同的幂函数的图象最多有两个公共点;

(4)两个不同的幂函数的图象关于某直线对称,则该直线一定是y 轴。

选择题

14.函数35

y x =在区间[-1,1]上是( A )

(A )增函数且是奇函数 (B )增函数且是偶函数 (C )减函数且是奇函数 (D )减函数且是偶函数

15.函数21

1

()()m m f x x

m N *++=∈是一个( C )

(A ) 定义在非负实数集上的奇函数 (B )定义在非负实数集上的偶函数 (C ) 定义在实数集上的奇函数 (D )定义在实数集上的偶函数

解答题

16.若函数)2()1()3()(-+-=a a x a x f ,当a 为何值时: (1))(x f 是常数? (2))(x f 是幂函数? (3))(x f 是正比例函数? (4))(x f 是二次函数?

解:(1)3 ,2,-1; (2)4 (3)12

±; (4) 12±.

17.已知幂函数)(3

42

Z m x y m m

∈=+-的图像与x 轴、y 轴都无公共点,求m 的值,并作出它的图

像.

解:2

2

m -4m+3=(m-2)-10m=1,2,3≤?。

1=m 或3=m 时,0y x =;2=m 时,1-=x y 。图像略

C 组

18.已知函数5

)(3

131--=

x

x x f ,5

)(3

131-+=

x

x x g 。

(1)证明)(x f 是奇函数,并求)(x f 的单调区间;

(2)分别计算)2()2(5)4(g f f -和)3()3(5)9(g f f -的值,由此概括出涉及)(x f 和)(x g 的对所

有不等于零的实数x 都成立的一个等式,并加以证明。

解:(1) )(,),0()0,(,)()(x f x x f x f ∴∞+-∞∈-==- 且为奇函数;

又取,单调递增上在可得),0()(,0)()(,02121∞+∴<=-+∞<<

(2) 经计算可得:0)2()2(5)4(=-g f f ,0)3()3(5)9(=-g f f ,由此可概括出0)()(5)(2=-x g x f x f ,证明略.

§4.2 指数函数的图像与性质(1)

A 组

1.计算:21

03

19)41()2(4)21(----+-?- = .6

19

2.若0

3.化简:=-?63a a .a --

4.函数1x y a -=的图像过点(3,4),则正数a 的值是 .2 5.函数3x y -=的图像与函数 的图像关于y 轴对称. 3x y = 6.函数2x y -=的值域是 .(0,)+∞

B 组 填空题

7.函数()21x f x =+的奇偶性是 .非奇非偶函数 8.下列函数是指数函数的有 .

x y π=、2y x =、y =、2x y -=、2x y =-.

9.若314

2

a

a --

>,则实数a 可能取值的范围是 .(0,1)

10.函数2142

x y -=

-的定义域是 . 33

(,)

(,)22

-∞+∞

11.函数y 的定义域是 .3

[,)2

-+∞

12.若10a b c >>>>,则,,b a b a c c 的大小关系得 . b b a a c c >>

13.若122-=x

a

,则x

x x

x a a a a --++33等于 __________.1-

选择题

14.下列计算正确的是( D )

(A )53232a a a =+ (B )()()xy xy xy 332

(C )()

53

2

82b b = (D )56236x x x ?=

15.若01a <<,则a 、a a 、()a a a 三数的大小关系为( C ) (A )()a a a a a a << (B )()a a a a a a << (C )()a a a a a a << (D )()a a a a a a <<

解答题

16.判断函数的奇偶性: (1)()22x x f x -=+;

(2)1

()()2

x x f x a a -=-(其中0a >且1a ≠);

(3)()x x

x x

a a f x a a

---=+(其中0a >且1a ≠). 解:(1)偶函数;(2)奇函数;(3)奇函数.

17.(1)解不等式:2

2

1

250.30.3x

x x

x

++-+>;

(2)解关于x 的表达式:2

2x x a a >(其中0a >且1a ≠). 解:(1)1

(,1)3

(2)当1a >时,解集为(,0)

(2,)-∞+∞;

当01a <<时,解集为(0,2).

C 组

18.写出函数2

1

2()3

x

y +=的单调区间,并求其最大值.

解:递增区间(,0]-∞,递减区间[0,)+∞,当0x =时,max 23

y =.

§4.2 指数函数的图像与性质(2)

A 组

1.函数2123x y a -=+的图像过点(1,4),则实数a 的值是 .

1

2

2.已知0a >且1a ≠,则函数1

1

x x a y a +=-的定义域是 .(,0)(0,)-∞+∞

3.函数12()3

x y -=的单调递增区间是 .(.)-∞+∞ 4.函数22x x y -=-的奇偶性是 .奇函数

5.函数12x

y =的定义域是 ,值域是 . (,0)(0,)-∞+∞;(0,1)(1,)+∞

6.当x = 时,函数21

1()2

x

y -=有最大值 .0;2

B 组 填空题

7.函数1

3

-=x y 的定义域是___________;值域是___________.[1,+) ,[1,+)∞∞

8.函数11()2

x y -=的单调性为: .在R 上是增函数 9.函数y =

1

21

+x

的值域是__________. (0,1) 10.若指数函数)(x f y =的图像经过点)21,21(,且16

1

)(=a f ,则=a .2 11.函数5

42

2-+-=x x

y 的最大值为________________.

2

1

12.函数x a x f )1()(2-=是减函数,则a 的取值范围是 .(1)(1,2)-

13.函数2

341()

3

x x y -+-=的单调递增区间为 .[)+∞,2

选择题

14.下列说法中,正确的是( B )

① 任取x ∈R 都有32x x >; ② 当a >1时,任取x ∈R 都有x x a a ->;

③ x y =是增函数; ④ ||2x y =最小值为1; ⑤ 在同一坐标系中,2x y =与2x y -=的图象对称于y 轴. (A )①②③④⑤ (B )①③④⑤ (C )②③④⑤

(D )③④⑤

y x x

x 15.函数x

y a =、x

y b =、x

y c =、x

y d =的图像如图, 则,,,a b c d 的大小关系是( C )

(A )1a b c d <<<< (B )1a b c d <<<< (C )1b a d c <<<< (D )1a b d c <<<<

解答题

16.是否存在实数a ,使1

21

2)(+-?=x x a x f 在R 上是奇函数?若存在,求出a 的值;若不存在,请

说明理由。 解:存在,1=a .

17.设a 是实数,2

()()21

x

f x a x R =-

∈+,试证明:对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 证明:设1212,,x x R x x ∈<,则

12()()f x f x -12

22()()2121

x x a a =---++21222121x x =-++121

22(22)(21)(21)x x x x -=++, 由于指数函数2x

y =在R 上是增函数,且12x x <,所以1222x x <即12

220x

x -<,

又由20x

>,得1

120x +>,2120x +>,∴12()()0f x f x -<即12()()f x f x <,

所以,对于任意,()a f x 在R 上为增函数.

C 组

18.已知函数()x

x

a x f -?+=4

4是偶函数。

(1)求a 的值;

(2)证明:对任意实数1x 和2x ,都有()()[]???

? ??+≥+22

1

2121x x f x f x f 。 解:(1)∵函数()x

x

a x f -?+=4

4是偶函数,∴()()x f x f =-,

即1444

4=??+=+?--a a a x x x

x ;

(2)∵()()()1122121212121

444422222x x x x

x x x x x x f x f x f ---++++++???+?-=

-- ??

???

()()[]

022222

1222121

≥-+-=--x x x x ,∴()()[]???

?

??+≥

+2212121x x f x f x f .

§4.2 指数函数的图像与性质(3)

A 组

1.函数2123x y a -=+(0a >且1a ≠)的图像过定点 .1(,5)2

2

.函数y =的定义域是 ,值域是 .[1,1]-,[1,2]

3.某森林现有森林木材5万立方米,每年的增长率为10%,那么x 年后,森林木材量y 关于x 的函数表达式为 .5(110%)x y =+,*x N ∈ 4

.函数22x x

y -=的递减区间是 .[1,)+∞ 5.函数()f x 2

(2)

(01)x x a b a b --+=-<<<的单调区间是 .1

(,]2

-∞-

6.函数1

21

x y =

-的值域是 . (,1)(0,)-∞-+∞ B 组 填空题

7.函数()x x a a x f -+=(0>a 且1≠a ),又()31=f ,则()()()=++210f f f _______.12 8.若12)(-=x e f x

,则=)1(f . 1- 9.函数21+=-x a y )1,0(≠>a a 恒过定点 .)3,1(

10.若22

3

a

a <,则实数a 的取值范围是 .)1,0(

11.函数m y x

-=5的图象不经过第二象限,则实数m 的取值范围是 .),1[∞+ 12.函数6

32

3+-=x x

y 的递减区间是__________.]2

3,

(-∞ 13.函数x

x f -=2115)(、x

x f -=12)3

1()(、1)21()(3-=x x f 、x x x f 1

42)(-=中,值域为+R 的函数

是: . )(2x f 、)(4x f

选择题

14.若函数1

21

)(+=

x

x f , 则该函数在(-∞,+∞)上是( )A (A )单调递减无最小值 (B ) 单调递减有最小值 (C )单调递增无最大值

(D )单调递增有最大值

15.当2a >时,函数x y a =和2(1)y a x =-的图像只可能是( A )

解答题

16. 设函数)

1()

1()(22--=a a a a x f x x )1,0(≠>a a 且,证明)(x f 是R 上的增函数。

证明:设21x x <,2

12121)1()

1()()()(221x x x x x x a a a a a a x f x f ++-+-=

=- ,而

0)1(2

121>+++x x x x a

a a ,

(1)若10<

<-a ,且02

1

>-x x a

a

0)1()

1()(2

121212<-+-?

++x x x x x x a a a a a a ,即)(x f 在R 上递增;

(2)若1>a ,则012

>-a ,且02

1

<-x x a

a

0)1()

1()(2

121212<-+-?

++x x x x x x a a a a a a ,即)(x f 在R 上递增。

17.已知函数)0(2

2)(>-=a a

a x f x x ,且0)0(=f .

(1)求a 的值,并指出函数)(x f 的奇偶性;

(2)在(1)的条件下,运用函数单调性的定义,证明函数)(x f 在区间),(∞+-∞上是增函数.

解:(1)1=a ,x

x x f 212)(-

=是奇函数。

(2)任取),(,21∞+∞-∈x x ,且21x x <,

)2211()22(212212)()(2

1212

21

121x x x x x x x x x f x f ?+

-=+

--

=-,

∵21x x <,∴02221<-x x ,0221

12

1

>?+

x x ,0)()(21<-x f x f 。

∴)(x f 在区间),(∞+∞-上是增函数。

C 组

18.已知函数3

11()(

)212

x f x x =+-, (1)求()f x 的定义域; (2)讨论()f x 的奇偶性; (3)证明()f x >0.

解:函数f (x)的定义域是(,0)(0,)-∞+∞,偶函数,证明略

幂函数、指数函数的图像与性质(4)---单元测试

班级 姓名 学号 总分

一、填空题(每小题4分,共48分)

1.幂函数34

y x =的值域是 .[0,)+∞

2

.函数y 85

y x =的图像交点坐标是 .(1,1),(0,0),(1,1)- 3.不等式14

5x x <的解集为 .(0,1) 4

.函数y =的定义域是 .1(,]2

-∞ 5.函数||

2

x y -=的单调递增区间是 .(,0]-∞

6.函数22

1()

2

x y -=的值域是 .(0,4]

7.函数1010()1010x x

x x

f x ---=+的奇偶性是: .奇函数

8.函数x

a y =在]1,0[上的最大值与最小值的和为3,则=a ____________.2

9.不等式21

(||)(22

)0x x x ++-<的解集为 .),0(∞+

10.已知函数()22x

x

f x -=-,对任意的[]2,2x ∈-,(2)()0f mx f x -+<恒成立,则m 的取

值范围为 .(2,0)-

11.已知函数(12)(1)()4

(1)x a x f x a x x

?-

=?+≥??在R 上是增函数,则实数a 的取值范围是 .

[1,0)-

12.下列说法中,所有正确的序号是_______________.① ①12

x

y -=的最大值为2; ②任取x R ∈,都有34x x <; ③()3

x y π

-=是增函数;

④在同一坐标系中,2x y =与2x y =-的图像对称于y 轴;⑤当1a >时,任取x R ∈都有1x x

a a >

. 二、选择题(每小题4分,共16分)

13.函数1)2.0(+=-x y 的值域是( )D (A )(0,1)

(B )(,1)-∞

(C )(0,)+∞

(D )(1,)+∞

14.2

()(1)(),(0)21

x F x f x x =+

?≠-是偶函数,且()f x 不恒等于零,则()f x 是( )A (A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数 (D)可能是奇函数,也可能是偶函数

15.函数2

x

x e e y --=( )C

(A )是奇函数,它在R 上是减函数 (B )是偶函数,它在R 上是减函数 (C )是奇函数,它在R 上是增函数

(D )是偶函数,它在R 上是增函数

16.函数,(1)

x

xa y a =>的图像的大致形状是(

)C

(A)

(B) (C) (D)

三、解答题(共3小题,共36分)

17.画出函数|31|x

y =-的图像,并利用图像回答:当k 为何值时,关于x 的方程|31|x

k -=无

解?有一个解?有两解?(本题共10分) 解:当0k <时,无解;当01k or k =?时,一个解;当01k <<时,两个解.

18.设01a a >≠且,解关于x 的不等式2

21

()x x a a

->.(本题共10分) 解:当1a >时,解为2x <-或1x >;

当01a <<时,解为21x -<<.

19.已知函数)0,(1

22

2)(2≠∈--+?=x R x a a x f x

x ,其中a 为实数.(本题共16分) (1)若函数)(x f 为奇函数,求出a 的值;

(2)若函数)(x f 在(0,)+∞上是增函数,求a 的取值范围; (3)当[1,2]x ∈时,()1f x >恒成立,求a 的取值范围. 解:(1)1a =-或2a =; (2)21a -<<; (3)5a <-或1a >.

§4.4 对数概念及其运算(1)

A 组

1.将指数式“842

3

=”写成对数式是: ;2

38log 4=

2.将对数式“2251log 5

-=”写成指数式是: ;25

1

52=

- 3.若52=x

,则=x ;若4log 2=x ,则=x . 5log 2;16

4.计算:=1log 2 ; =3log 3 ;0;1

=8log 2 ; =27log 3 ;3;3

=3log

3

; =001.0lg . 2;3-

5.若1log 34x =

,则=x ;若4log 2-=x ,则=x .81;16

1 6.若0log 7=x ,则=x ;若1100log =x ,则=x .1;100

B 组 填空题

7.计算:=641log 2

;9log 27= . 6-;3

2

8.计算

= .1- 9.3log 2

1

122

-的值等于___________________.

33

2

10.5log 101-的值等于 .

11.计算:22

log log = .1 12.计算:=+125log 81log 53 ;=17

log 33

。7;17

13.设,3,2

1

log ,)21(21

33===c b a 则c b a ,,的大小关系为 __________.b a c <<

选择题

14.已知x =2+1,则lo g 4(x 3-x -6)等于( B )

(A )

23 (B )4

5

(C )0 (D )

2

1

15.已知2lg(2)lg x y xy -=,则y

x 的值为( B )

(A )1 (B )4

(C )1或4 (D )4 或

解答题

16.求下列各式中x 的值:

(1)()1)123(log 2

122=-+-x x x ; (2)0)](log [log log 345=x .

解:(1)2-=∴x ; (2)81=x .

17.请同学们自觉不用计算器计算下列各式的值: (1)81log 3

3

; (2))32(log )

32(+-;

(3)711

log 1422

7)

-.

解:(1)1281log 3

3=;

(2)1)32(log )

32(-=+-;

(3)711log 1422

7)

-.

C 组

18.已知0)](log [log log )](log [log log )](log [log log 55

1533

1322

12===z y x ,

比较实数x ,y ,z 之间的大小关系.

解:由0)](log [log log )]y (log [log log )]x (log [log log z

55

1533

1322

12===

.32.,25.5,3,2623610521053y x x z x z z y x =<=<∴=<==== 得

y x z y x <<∴<∴,.

§4.4 对数概念及其运算(2)

A 组

1.使得2log (12)x - 有意义的x 的取值范围是 .12

x <

2.使得5log 1-x 有意义的x 的取值范围是 .2,1≠>x x 3.求值:=27log 3

; lg 5100= .23;5

2

4.若5

12log =x ,则=x ; 若42log -=x ,则=x . 32;41

4221-= 5.计算:a log 2+a

log 2

1= ; 3log 18-3

log 2= .0.;2

6.若0)](lg [log log 23=x ,则=x . 100

B 组 填空题

7.lg 2lg5+的值是_______________.1 8.计算:2

log

23

3

-= .

4

9 9.若32a

=,用a 表示=12log 3 .a 21+

10.若b 18log 9,185a ==,则18log 45_______________.(用含有a 、b 的代数式表示)a b + 11.若0log log =?c c b a ,则=-+abc c ab __________.1 12.若1

2ln[()]ln ln 2a b a b -=+,则

a

b

_______________.223+

13.不用计算器计算:lg4lg9+= . 2

选择题

14.若0a >,1a ≠,,x y 为不等于零的实数,下列各式正确的是( A ) (A )22log log 4log log a a a a x y x y ?=? (B )222log log (log log )a a a a x y x y ?=? (C )22log log 2log log a a a a x y x y ?=? (D )22log log 4log ||log ||a a a a x y x y ?=? 15.设n m a a ==3log ,2log , 则n m a +2的值为( B )

(A) 6 (B) 12 (C) 24 (D) 18

解答题

16.记22(lg )lg x x =,不用计算器求值:2lg 5lg 2lg50+?.

17.设log ,log ,log a a a m x n y p z ===,用,,m n p 表示下列各式:

(1)log ()a xyz ; (2)log a xz y ; (3)1

log a xyz ;

(4) log a ; (5) 32log a az x y

.

解:(1)p n m ++;(2)p n m +-;(3)p n m ---;(4)p n m 31212-+;

(5)n m p --+2

3

1.

18.已知z

y

a a a

y a x log 11

log 11,--==(a>0,且1≠a ),求证:x

a a

z log 11-=.

证明:由11log 11

,log ,1log ,1log log a z

a a a a y a

y z z y

-==

-=-

x

log 11

a a a a a a a a y log 11

a a a a a a a

z ,x

log 11z log .1y log y log y log 111x log 1,

y log 11

x log ,a x .y log 1y log y log 11z log --=-=∴-=--

=--==-=-=由

C 组

19.已知x 、y 、z ()()+∞∈,11,0 ,0lg lg lg =++z y x .求 y

x x

z z

y z

y

x lg 1lg 1lg 1lg 1lg 1lg 1+++??的值.

解:设y

lg 1x lg 1x

lg 1

z lg 1z

lg 1y lg 1z

y

x

u +++??=

则 z y x y x z x z y u lg )lg 1lg 1(lg )lg 1lg 1(lg )lg 1lg 1(

lg +++++= z lg y lg x lg y lg x lg z lg x lg z lg y lg +++++= .3lg lg lg lg lg lg -=-+-+-=

z

z y y x x .1000

1103lg 1lg 1lg 1lg 1lg 1lg 1=

=??=∴-+++y

x x

z z

y z

y

x

u

§4.4 对数概念及其运算(3)

A 组

1.下列关于指数式和对数式的互换,不正确的一组是( C ) (A)

01log ,110100

== (B) 3

131log ,3127

273

1-==-

(C) 39,29log 21

3== (D) 55,15log 15== 2.若1,10,≠≠>b a b a 且,则 a b log 等于( B )

(A )b a log - (B )b a lg lg (C )a b lg lg - (D )a

b log 1

3.若a 0>,且0,1>>≠y x a ,则下列四个式子中正确的是( A )

(A) )(log log log xy y x a a a =+ (B) )(log log log y x y x a a a +=+

(C) =y

x

a

log )(log y x a - (D) )(log y x a -=y x a a log log

4.下列四个运算过程正确的个数为( C )

(A) 3lg 2lg )32lg(5lg +=+=; (B)

2lg 510

lg 5lg 10lg ==; (C) 2lg 12lg 10lg 2

10

lg 5lg -=-==; (D)

5lg )510lg(5lg 10lg =-=。 5.下列对数式中,对任意)4,1(∈x ,都有意义的是( C ) (A) )1(log 2x - (B) )4(log 1x x -- (C) x x

-4lg (D) )

16(log 122x - 6.若()

M 4log 3log 5

log 322=?,则M 的值是( A )

(A )5 (B )6 (C )7 (D )无法确定

B 组

填空题

7.()()=++4.0log 2log 2.0log 5log 25442 _________.

4

1 8.(1)=1

.0lg 10

_______;(2)=+1)3(log

5

5

_______;(3)=?

?

?

??2

2log 3

131______.0.1、324+、4

9.(1)=?2log 3log 32 _______;(2)=??9log 8log 25log 532 _______.1;12 10.若16log 3m =,用m 表示9log 16得 . m

21 11.若3436a b ==,则

21

a b

+的值为 . 1 12.若93log 5,log 7a b ==,则用,a b 表示=9log 35______________.

2

2a b

+ 13.若n 25log ,m 27log 34==,则用n m ,表示=lg2_________.

3

3

mn +

选择题

14.适合55log log 7log 7x x ?=的x 的集合是( C )

(A ){5,7} (B ){0,1以外的实数} (C ){不为1的正数} (D )R 15.若b log M a =,则0)(p b log q a p ≠化简的结果是( A )

(A )

p qM (B )M

pq (C )q pM (D )M p q

? 解答题

16.不用计算器求值: (1)32log 9log 2716?;

(2))8log 4(log )3log 9(log 812748+?+ 解:(1)32log 9log 2716?=

6

5

3lg 32lg 52lg 43lg 227lg 32lg 16lg 9lg =?=?. ()

3234223842781223322332322(2)(log 9log 3)(log 4log 8)(log 3log 3)log 2log 22123

(log 3log 3)(log 2log 2)32347177171119log 3log 2log 3.612612log 372

+?+=+?+=?+?+=?=???=

17.已知 6321243

==y x

,求

y

x 2

3+的值. 解:12

3=+y

x .

18.若6log 27a =,用a 表示18log 16; 解:18log 16=1243a

a

-+.

C 组

19.若15log 2,35(0)b a b ==≠,试用,a b 表示125log 18. 解:125log 18=23a ab

b

++.

§4.5 反函数的概念(1)

A 组

1.若函数)(x f 有反函数)(1

x f

-,且1)0(-=f ,则=--)1(1

f

.0

2.函数1+=x y 的反函数是 .1-=x y

3.函数)1(12≥+=x x y 的反函数是 .)3(2

121≥-=

x x y 4.函数x

y 10=

的反函数是 .10

(0)y x x =≠

5.函数2(0)y x x =≥的反函数是 . (0)y x =≥

6.函数2(2)y x x =>的反函数是 . (4)y x =>

B 组 填空题

7.若b x y +=与1-=ax y 互为反函数,则=a ;=b . 1,1

8.函数1+=

x a y 的反函数的图像经过点)1,2

1

(,则a 的值是 ,1 9.若函数ax

ax

x f +-=

11)(的图象关于直线x y =对称,则实数a 的值为 .1 10.若函数1)(3

-+=x x x f 的反函数是)(1

x f -,则=--)1(1

f

. 0

11.函数542+-=x t x y 在),1(∞+上存在反函数,则实数t 的取值范围是 .],(2

1-∞

12.函数2y =的反函数是 . 2(2)(2)y x x =+≥-

13.函数1(0)()1(10)x x f x x x +>?=?---≤≤?的反函数是 . 11(1)

()1(10)x x f x x x -->?=?---≤≤?

选择题

14.已知()y f x =有反函数,那么方程()f x a =(a 为常数)( C ) (A )无实数根

(B )有且仅有一根

(C )至多有一个实根

(D )至少有一个实根

15.函数2

1

-=x y 的反函数是( B )

(A )()02

≠=-x x

y (B )()02

>=-x x

y

(C )()02

≠-=x x

y

(D )()02

>-=x x

y

解答题

16.函数()122

++=x x x f 有无反函数?如无反函数,请说明理由,并给出新的条件后,求出

反函数;如有反函数,请求出反函数。

解:无,因为(2)(0)f f -=。若给出1-≥x ,则有反函数为()01≥-=x x y ;

17.求下列函数的反函数: (1)1

3

x y x +=

-; (2)()

()

??

?<+≥+=01

01

2x x x x y .

解:(1)31

1

x y x +=

-; (2)()

()

??

?≥-<-=11

11

x x x x y ;

C 组

18.在同一坐标系中作出函数2()2(1)f x x x x =-≥和它的反函数的图像. 解:略.

对数指数函数公式全集

C 咨询电话:4006-211-001 WWW r haOfangfa COm 1 指数函数和对数函数 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数 a . 1及O ::: a ::: 1两种不同情况。 1、指数函数: 定义:函数y =a x a . 0且a --1叫指数函数。 定义域为R 底数是常数,指数是自变量。 认识。 图象特征 函数性质 (1)图象都位于X 轴上方; (1)X 取任何实数值时,都有 a X A0 ; (2)图象都经过点(0, 1); (2)无论a 取任何正数,X = 0时,y = 1 ; (3) y — 2 , y — 10在第一象限内的纵坐 \ > 0 ,贝U a X A 1 (3)当 a > 1 时,{ →, X 标都大于1,在第二象限内的纵坐标都小于 1, < < 0 ,贝U a <1 X A 0 ,贝U a x V 1 y = — [的图象正好相反; 当 0 ca c1 时,< X £ 0 ,贝U a x A 1 k (4) y =2X , y=10X 的图象自左到右逐渐 (4)当a >1时,y =a x 是增函数, 当0cac1时,y=a x 是减函数。 为什么要求函数 y = a 中的a 必须a . 0且a = 1。 X 因为若a ::;0 时, X 1、对三个指数函数 a = 0 , y = 0 a =1 时,y = 1 =1x 的反函数不存在, y =a x ,y =Iog a X 在

上升,y = f l]的图象逐渐下降。 k2 J ①所有指数函数的图象交叉相交于点(0,1),如y=2x和y=10x相交于(0,1), 的图象在y =2x的图象的上方,当X :::0 ,刚好相反,故有1 0 2. 22及10 ^ ::: 2 ^。 步认识无限个函数的图象。 2、对数: 定义:如果a tl = N(a . 0且a ■■ 1),那么数b就叫做以a为底的对数,记作b = Iog a N (a是底数,N是 真数,log a N是对数式。) 由于N ^a b . 0故log a N中N必须大于0。 当N为零的负数时对数不存在。 (1)对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的,常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题,如: 分析:对于初学者来说,对上述问题一般是束手无策,若将它写成 比较好办。 解:设Iog 0.32 X ■? 0 时,y = 10 % ②y =2x与y X 的图象关于y轴对称。 ③通过y = 2 X X 三个函数图象,可以画出任意一个函数y = a 示意图,如y =3x的图象,一定位于y =2x和y =IO x两个图象的中间,且过点(0, 1),从而y = X 也由关于y轴的对称性,可得的示意图,即通过有限个函数的图象进 再改写为指数式就

指数函数与对数函数高考题

第二章 函数 三 指数函数与对数函数 【考点阐述】指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数.对数.对数的运算性质.对数函数. 【考试要求】(4)理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图像和性质.(5)理解对数的概念,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质.(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 【考题分类】 (一)选择题(共15题) 1.(安徽卷文7)设 232555 322555a b c ===(),(),() ,则a ,b ,c 的大小关系是 (A )a >c >b (B )a >b >c (C )c >a >b (D )b >c >a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数,所以a c >,2()5x y =在0x >时是减函数,所以c b >。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 2.(湖南卷文8)函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐标系 中的图像可能是 【答案】D 【解析】对于A 、B 两图,|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-11矛盾,选D 。 3.(辽宁卷文10)设525b m ==,且112a b +=,则m = (A (B )10 (C )20 (D )100 【答案】 D

解析:选A.211 log 2log 5log 102,10, m m m m a b +=+==∴= 又0,m m >∴= 4.(全国Ⅰ卷理8文10)设a= 3 log 2,b=In2,c=1 2 5 - ,则 A. a>,所以a=>,所以c,从而错选A,这也 是命题者的用苦良心之处. 【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去),或 1b a = ,所以a+2b=2 a a + 又0f(1)=1+2 1=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞). 6.(全国Ⅰ卷文7)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且,()()f a f b =,则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在做本小 题时极易忽视a 的取值范围,而利用均值不等式求得a+b=12a a + ≥,从而错选D,这也是命 题者的用苦良心之处.

指数函数与对数函数测试题

东山中学指数与对数函数同步练习 一、选择题:(本题共12小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1、下列所给出的函数中,是幂函数的是 ( B ) A .3 x y -= B .3-=x y C .3 2x y = D .13 -=x y 2、下列命题中正确的是 ( D ) A .当0=α时函数α x y =的图象是一条直线 B .幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点 C .若幂函数αx y =是奇函数,则α x y =是定义域上的增函数 D .幂函数的图象不可能出现在第四象限 3、已知32a =,那么33log 82log 6-用a 表示是 ( ) A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 4、2log (2)log log a a a M N M N -=+,则 N M 的值为 ( ) A 、 4 1 B 、4 C 、1 D 、4或1 5、下列各式中成立的一项 ( ) A .71 7 7)(m n m n = B .3124 3)3(-=- C .4 343 3)(y x y x +=+ D . 33 39= 6、化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 ( ) A .a 6 B .a - C .a 9- D .2 9a 7、已知732log [log (log )]0x =,那么12 x -等于 ( ) A 、 1 3 B C D 8、函数2lg 11y x ?? =- ?+?? 的图像关于 ( )

幂函数、指数函数和对数函数_对数及其运算法则_教案

幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案 如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是ab=N,那么数b就叫做以a为底N的对数,记作 logaN=b, 其中a叫做底数,N叫做真数,式子logaN叫做对数式. 练习1 把下列指数式写成对数形式: 练习2 把下列对数形式写成指数形式: 练习3 求下列各式的值: 因为22=4,所以以2为底4的对数等于2. 因为53=125,所以以5为底125的对数等于3. 师:由定义,我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么? 生:a>0且a≠1;b∈R;N∈R. 师:N∈R?(这是学生最易出错的地方,应一开始让学生牢牢记住真数大于零.) 生:由于在实数范围内,正数的任何次幂都是正数,因而ab=N中N总是正数. 师:要特别强调的是:零和负数没有对数. 师:定义中为什么规定a>0,a≠1? 生:因为若a<0,则N取某些值时,b可能不存在,如b=log(-2)8不存在;若a=0,则当N不为0时,b不存在,如log02不存在;当N为0时,b可以为任何正数,是不唯一的,即log00有无数个值;若a=1,N 不为1时,b不存在,如log13不存在,N为1时,b可以为任何数,是不唯一的,即log11有无数多个值.因此,我们规定:a>0,a≠1. 师:(板书)对数logaN(a>0且a≠1)在底数a=10时,叫做常用对数,简记lgN;底数a=e时,叫做自然对数,记作lnN,其中e是个无理数,即e≈2.718 28……. 练习4 计算下列对数: lg10000,lg0.01,2log24,3log327,10lg105,5log51125. 师:请同学说出结果,并发现规律,大胆猜想. 生:2log24=4.这是因为log24=2,而22=4. 生:3log327=27.这是因为log327=3,而33=27. 生:10lg105=105. 生:我猜想alogaN=N,所以5log51125=1125. alogaN=N(a>0,a≠1,N>0).(用红笔在字母取值范围下画上曲线) 证明:设指数等式ab=N,则相应的对数等式为logaN=b,所以ab=alogaN=N. 师:你是根据什么证明对数恒等式的? 生:根据对数定义. 师:(分析小结)证明的关键是设指数等式ab=N.因为要证明这个对数恒等式,而现在我们有关对数的知

指数函数和对数函数

指数函数和对数函数 知能目标 1. 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图象和性质. 2. 理解对数的概念, 掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图象和性质. 3. 能够运用指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 综合脉络 1. 以指数函数、对数函数为中心的综合网络 2. 指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据): 0a (N log b N a a b >=?=且)1a ≠ 指数函数与对数函数互为反函数, 它们的图象关于直线x y =对称, 指数函数与对数函数 的性质见下表: 3. 指数函数,对数函数是高考重点之一 指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函 数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性 质并能进行一定的综合运用. (一) 典型例题讲解: 例1.设a >0, f (x)= x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f - 1 (x)的奇偶性与单调性.

例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )=)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 例3. 已知x 满足≤+6x 2a a 4x 2x a a +++)1a ,0a ( ≠>, 函数y =)ax (log x a 1 log 2 a 12 a ? 的值域为]0 ,8 1[-, 求a 的值. (二) 专题测试与练习:

高一指数函数对数函数测试题及答案精编版

高一指数函数对数函数 测试题及答案精编版 MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】

指数函数和对数函数测试题 一、选择题。 1、已知集合A={y|x y 2log =,x >1},B={y|y=( 21)x ,x >1},则A ∩B=() A.{y|0<y <21}B.{y|0<y <1}C.{y|2 1<y <1}D.φ 2、已知集合M={x|x <3}N={x|1log 2>x }则M ∩N 为() φ.{x|0<x <3}C.{x|1<x <3}D.{x|2<x <3} 3、若函数f(x)=a (x-2)+3(a >0且a ≠1),则f(x)一定过点() A.无法确定 B.(0,3) C.(1,3) D.(2,4) 4、若a=π2log ,b=67log ,c=8.02log ,则() >b >>a >>a >>c >a 5、若函数)(log b x a y +=(a >0且a ≠1)的图象过(-1,0)和(0,1)两点,则a ,b 分别为() =2,b==2,b==2,b==2,b=2 6、函数y=f(x)的图象是函数f(x)=e x +2的图象关于原点对称,则f(x)的表达式为() (x)=(x)=-e x +(x)=(x)=-e -x +2 7、设函数f(x)=x a log (a >0且a ≠1)且f(9)=2,则f -1(2 9log )等于() 2422229log 、若函数f(x)=a 2log log 32++x x b (a ,b ∈R ),f(2009 1)=4,则f(2009)=() 、下列函数中,在其定义域内既是奇函数,又是增函数的是() =-x 2log (x >0)=x 2+x(x ∈R)=3x (x ∈R)=x 3(x ∈R) 10、若f(x)=(2a-1)x 是增函数,则a 的取值范围为() <21B.2 1<a <>≥1 11、若f(x)=|x|(x ∈R),则下列函数说法正确的是() (x)为奇函数(x)奇偶性无法确定 (x)为非奇非偶(x)是偶函数 12、f(x)定义域D={x ∈z|0≤x ≤3},且f(x)=-2x 2+6x 的值域为()A.[0,29]B.[29,+∞]C.[-∞,+2 9]D.[0,4]

指数函数对数函数幂函数增长速度的比较教学设计

【教学设计中学数学】 区县雁塔区 学校西安市航天中学 姓名贾红云 联系方式 邮编710100 《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计 一、设计理念 《普通高中数学课程标准》明确指出:“学生的数学学习活动,不应该只限于接受、记忆、模仿和练习,高中数学课程还应该倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等信息数学的方式;课程内容的呈现,应注意反映数学发展的规律以及学生的认知规律,体现从具体到抽象,特殊到一般的原则;教学应注意创设情境,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发展过程,使学生能够从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉等”。本节课是北师大版高中数学必修Ⅰ第三章第6节内容,本节专门研究指数函数、幂函数、对数函数的增长的比较,目的是探讨不同类型的函数模型,在描述实际增长问题时的不同变化趋势,通过本节课的学习,可以引导学生积极地开展观察、思考和探究活动,利用几何画板这种信息技术工具,可以让学生从动态的角度直观观察指数函数、幂函数、对数函数增长情况的差异,使学生有机会接触一些过去难以接触到的数学知识和数学思想,并为学生提供了学数学、用数学的机会,体现了发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念。 二、教学目标 1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义,理解它们增长的差异性; 2.能借助信息技术,利用函数图像和表格,对几种常见增长类型的函数增长的情况进行比较,体会它们增长的差异; 3.体验指数函数、幂函数、对数函数与现实世界的密切联系及其在刻画实际问题中的作用,体会数学的价值. 三、教学重难点

教学重点:认识指数函数、幂函数、对数函数增长的差异,体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含 义。 教学难点:比较指数函数、幂函数、对数函数增长的差异 四、教学准备 ⒈提醒学生带计算器; ⒉制作教学用幻灯片; ⒊安装软件:几何画板 ,准备多媒体演示设备 五、教学过程 ㈠基本环节 ⒈创设情景,引起悬念 杰米和韦伯的故事 一个叫杰米的百万富翁,一天,碰上一件奇怪的事,一个叫韦伯的人对他说,我想和你定个合同,我将在整整一个月中每天给你 10万元,而你第一天只需给我一分钱,而后每一天给我的钱是前一天的两倍。杰米说:“真的?!你说话算数?” 合同开始生效了,杰米欣喜若狂。第一天杰米支出一分钱,收入10万元;第二天,杰米支出2分钱,收入10万元;第三天,杰米支出4分钱,收入10万元;第四天,杰米支出8分钱,收入10万元…..到了第二十天,杰米共得到200万元,而韦伯才得到1048575分,共10000元多点。杰米想:要是合同定两个月、三个月多好! 你愿意自己是杰米还是韦伯? 【设计意图】创设情景,构造问题悬念,激发兴趣,明确学习目标 ⒉复习旧知,提出问题 图1-1 图1-2 图1-3 ⑴ 如图1-1,当a 时,指数函数x y a =是单调 函数,并且对于0x >,当底数a 越大时,其 函数值的增长就越 ; ⑵ 如图1-2当a 时,对数函数log a y x =是单调 函数,并且对1x >时,当底数a 越 时 其函数值的增长就越快; ⑶ 如图1-3当0x >,0n >时,幂函数n y x =是增函数,并且对于1x >,当n 越 时,其函数值

对数指数函数公式全集

指数函数和对数函数 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==,l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时,()y x =-4,当x = 14 时,函数值不存在。 a =0,y x =0,当x ≤0,函数值不存在。 a =1时,y x =1对一切x 虽有意义,函数值恒为1,但 y x =1的反函数不存在, 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210,,的图象的 认识。 图象特征与函数性质:

对图象的进一步认识,(通过三个函数相互关系的比较): ①所有指数函数的图象交叉相交于点(0,1),如y x =2和y x =10相交于()01,,当x >0时,y x =10的图象在y x =2的图象的上方,当x <0,刚好相反,故有10222>及10222--<。 ②y x =2与y x =?? ? ? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2,y x =10,y x =?? ? ? ?12三个函数图象,可以画出任意一个函数y a x =(a a >≠01且)的 示意图,如y x =3的图象,一定位于y x =2和y x =10两个图象的中间,且过点()01,,从而y x =?? ? ? ? 13也由 关于y 轴的对称性,可得y x =?? ? ? ?13的示意图,即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数: 定义:如果a N a a b =>≠()01且,那么数b 就叫做以a 为底的对数,记作b N a =l o g (a 是底数,N 是真数,log a N 是对数式。) 由于N a b =>0 故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 (1)对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的,常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题,如: 求lo g .032524?? ? ? ? 分析:对于初学者来说,对上述问题一般是束手无策,若将它写成log .032524?? ? ? ?=x ,再改写为指数式就比较好办。 解:设log .032524?? ? ? ?=x

中职数学第册指数函数对数函数测试题

2015级建筑部3月份月考数学测试题 第Ⅰ卷(选择题,共60分) 一、选择题(本大题共20小题,每小题3分,共60分。在每小题所给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,不选、多选、错选均不得分) 1、下列函数是幂函数的是( ) A 3+=x y ; B 3 x y =; C x y 3=; D x y 2log = 2、数列-3,3,-3,3,…的一个通项公式是( ) A. n a =3(-1) n+1 B. n a =3(-1)n C. n a =3-(-1)n D. n a =3+(-1)n 3、对数1log 3的值正确的是( ). A. 0 B.1 C. 2 D. 以上都不对 4、将对数式24 1 log 2 -=化成指数式可表示为( ) A.224 1-= B.412 2 =- C.2412 =?? ? ??- D.2412 -=?? ? ?? 5、若指数函数的图像经过点?? ? ??21,1,则其解析式为( ) A.x y 2= B.x y ??? ??=21 C. x y 4= D. x y ??? ??=41 6、下列运算中,正确的是( ) A.5553443=? B.435÷5534= C.55 3 44 3=??? ? ? ? D.0554343=?- 7、已知3log 2log a a >,则a 的取值范围是( ) A 1>a ; B 1a a 或 8、将对数式ln 2x =化为指数式为 ( ) A. 210x = B. x = 2 C. x = e D. x = e 2 9、4 32813?-的计算结果为( )。 A .3 B.9 C.3 1 D.1

《指数函数和对数函数》知识点汇总及习题详解)

一、指数的性质 (一)整数指数幂 1.整数指数幂概念: a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2.整数指数幂的运算性质:(1)(),m n m n a a a m n Z +?=∈ (2)()(),n m mn a a m n Z =∈ (3)()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=, ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? . 3.a 的n 次方根的概念 一般地,如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1,那么这个数叫做a 的n 次方根, 即: 若a x n =,则x 叫做a 的n 次方根, ()* ∈>N n n ,1 例如:27的3次方根3273=, 27-的3次方根3273-=-, 32的5次方根2325=, 32-的5次方根2325-=-. 说明:①若n 是奇数,则a 的n 次方根记作n a ; 若0>a 则0>n a ,若o a <则0a 则a 的正的n 次方根记作n a ,a 的负的n 次方根,记作: n a -;(例如:8的平方根228±=± 16的4次方根2164±=±) ③若n 是偶数,且0a <则n a 没意义,即负数没有偶次方根; ④( )* ∈>=N n n n ,100 0=;

⑤式子n a 叫根式,n 叫根指数,a 叫被开方数。 ∴ n a =. . 4.a 的n 次方根的性质 一般地,若n 是奇数,则a a n n =; 若n 是偶数,则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n . 5.例题分析: 例1.求下列各式的值: (1)() 338- (2) ()210- (3)()44 3π- (4) ()()b a b a >-2解:略。 例2.已知,0<N n n ,1, 化简:()()n n n n b a b a ++-. 解:当n 是奇数时,原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时,原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以,()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 . 例3.计算:407407-++ 解:407407-++52)25()25(22=-++= 例4.求值: 54 925-+. 解:549 25-+4 25254 5 49252 )(-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=)( (二)分数指数幂 1.分数指数幂: ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式; 如果幂的运算性质(2)() n k kn a a =对分数指数幂也适用, 例如:若0a >,则3 223233a a a ???== ??? ,4 554544a a a ???== ???, 23a = 4 5 a =. 即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定:(1)正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>; (2)正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>. 2.分数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用

指数函数与对数函数知识点总结

指数函数与对数函数知识点总结 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次 方根,其中n >1,且n ∈N * . 当n 是奇数时, a a n n =,当n 是偶数时, ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3)s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数, 记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化 幂值 真数 (二)对数的运算性质 如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○ 1 M a (log ·=)N M a log +N a log ; ○ 2 =N M a log M a log -N a log ; ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式 a b b c c a log log log = (0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ; 0>b ). 利用换底公式推导下面的结论 (1)b m n b a n a m log log =; (2)a b b a log 1log =. (二)对数函数

指数对数概念及运算公式

指数函数及对数函数重难点 根式的概念: ①定义:若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且,则这个数称a 的n 次方根.即,若 a x n =,则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且, 1)当n 为奇数时,n a 的次方根记作n a ; 2)当n 为偶数时,负数a 没有n 次方根,而正数a 有两个n 次方根且互为相反数,记作 )0(>±a a n . ②性质:1)a a n n =)(; 2)当n 为奇数时,a a n n =; 3)当n 为偶数时,???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念: ①规定:1)∈???=n a a a a n ( N * , 2))0(10 ≠=a a , n 个 3)∈=-p a a p p (1 Q ,4)m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质:1)r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ), 2)r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ), 3)∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ) (注)上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 (1) 3 28 (2)2 125 - (3)()5 21- (4)() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? (2)a a a (3)32 )(b a - (4)43 )(b a + (5)32 2b a ab + (6)42 33 )(b a + 例.化简求值

(1)0 121 32322510002.08 27)()()()(-+--+---- (2)2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- (3)=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a (4)21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = (5)6323 1.512??= 指数函数的定义: ①定义:函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1)函数的定义域为R , 2)函数的值域为),0(+∞, 3)当10<a 时函数为增函数. 提问:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么? (1)2 2 x y += (2)(2)x y =- (3)2x y =- (4)x y π= (5)2y x = (6)2 4y x = (7)x y x = (8)(1)x y a =- (a >1,且2a ≠) 例:比较下列各题中的个值的大小 (1)1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例:已知指数函数()x f x a =(a >0且a ≠1)的图象过点(3,π),求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考:已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例 如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(,则 d c b a ,,,与1的大小关系为 O x y a d c b

(完整版)指数函数和对数函数单元测试题及答案

指数函数和对数函数单元测试题 一选择题 1 如果,那么a、b间的关系是【】 A B C D 2 已知,则函数的图象必定不经过【】 A第一象限 B第二象限 C第三象限D第四象限 3 与函数y=x有相同图象的一个函数是【】 A B,且 C D,且 4 已知函数的反函数为,则的解集是【】 A B C D 5已知函数在上是x的减函数,则a的取值范围是【】 A B C D 6 已知函数的值域是,则它的定义域是【】 A B C D 7已知函数在区间是减函数,则实数a的取值范围是【】 A B C D 8 已知,则方程的实数根的个数是【】 A1 B 2 C 3D 4 9 函数的定义域为E,函数的定义域为F,则【】 A B C D 10有下列命题:(1)若,则函数的图象关于y轴对称;(2)若,则函数的图象关于原点对称;(3)函数与的图 象关于x轴对称;(4)函数与函数的图象关于直线对称。其中真命题是【】 A(1)(2) B(1)(2)(3)C(1)(3)(4) D (1)(2)(3)(4)

二填空题 11函数的反函数是______ 。12 的定义域是______ 。 13 函数的单调减区间是________。 14 函数的值域为R,则实数a的取值范围是__________. 三解答题 1 求下列函数的定义域和值域 (1)(2) 2 求下列函数的单调区间 (1)(2) 3 已知函数 (1)求的定义域;(2)讨论的单调性;(3)解不等式。 4 已知函数 (1)证明:在上为增函数;(2)证明:方程=0没有负数根。

参考答案 一选择题BADBC BCBDD 二填空题11121314或 三解答题 1 求下列函数的定义域和值域 (1)(2) 定义域定义域 值域值域且 2 求下列函数的单调区间 (1)(2) 减区间,增区间减区间, 3 已知函数 (1)求的定义域;(2)讨论的单调性;(3)解不等式。解(1),又,所以,所以定义域。 (2)在上单调增。 (3),,即 ,所以,所以解集 2 已知函数 (1)证明:在上为增函数;(2)证明:方程=0没有负数根。

指数、对数函数公式

指数函数和对数函数 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==,log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时,()y x =-4,当x =1 4 时,函数值不存在。 a =0,y x =0,当x ≤0,函数值不存在。 a =1时,y x =1对一切x 虽有意义,函数值恒为1, 但y x =1的反函数不存在,因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ? ? ?=21210,,的图 象的认识。 对图象的进一步认识,(通过三个函数相互关系的比较): ①所有指数函数的图象交叉相交于点(0,1),如y x =2和y x =10相交于()01,,当x >0 时,y x =10的图象在y x =2的图象的上方,当x <0,刚好相反,故有10222>及 10222--<。

②y x =2与y x =?? ?? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2,y x =10,y x =?? ?? ?12三个函数图象,可以画出任意一个函数y a x =(a a >≠01且)的示意图,如y x =3的图象,一定位于y x =2和y x =10两个图象的中 间,且过点()01,,从而y x =?? ???13也由关于y 轴的对称性,可得y x =?? ? ? ?13的示意图,即 通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数: 定义:如果a N a a b =>≠()01且,那么数b 就叫做以a 为底的对数,记作b N a =log (a 是底数,N 是真数,log a N 是对数式。) 由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 (1)对数式与指数式的互化。 (2)对数恒等式: 由a N b N b a ==()log ()12 将(2)代入(1)得a N a N log = 运用对数恒等式时要注意此式的特点,不能乱用,特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算: () 313 2 -log 解:原式==?? ?? ?-=3 131 2 222 13 1 3 log log 。 (3)对数的性质: ①负数和零没有对数; ②1的对数是零; ③底数的对数等于1。 (4)对数的运算法则: ①()()log log log a a a MN M N M N R =+∈+ , ②()log log log a a a M N M N M N R =-∈+ , ③()()log log a n a N n N N R =∈+ ④()log log a n a N n N N R =∈+ 1

高考指数函数与对数函数专题复习

例1.设a >0, f (x)=x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f - 1 (x)的奇偶性与单调性. 解:(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a 1 0) 0(f >=?=-? =, (2) =-?∈++=--)x (f )R x (2 4 x x ln )x (f 121 -=++-24x x ln 2=++2 4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1 -为单调增函数. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )=)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解:设x ax ) x (u 2-=, 对称轴a 21x = . (1) 当1a >时, 1a 0 )2(u 2 a 21>??????>≤; (2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4 a 21 ≤≥. 综上所述: 1a > 1.(安徽卷文7)设 232 555 322555a b c ===(),(),() ,则a ,b ,c 的大小关系是 (A )a >c >b (B )a >b >c (C )c >a >b (D )b >c >a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数,所以a c >,2 ()5x y =在0x >时是减函数,所以c b >。 2.(湖南卷文8)函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可 能是【答案】D 【解析】对于A 、B 两图,|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-1

《指数函数与对数函数》测试题

《指数函数与对数函数》测试题 一、选择题: 1、已知(10)x f x =,则(5)f =( ) A 、510 B 、10 5 C 、lg10 D 、lg5 2、对于0,1a a >≠,下列说法中,正确的是( ) ①若M N =则log log a a M N =; ②若log log a a M N =则M N =; ③若2 2 log log a a M N =则M N =; ④若M N =则2 2 log log a a M N =。 A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 3、设集合2 {|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈,则S T 是 ( ) A 、? B 、T C 、S D 、有限集 4、函数22log (1)y x x =+≥的值域为( ) A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞ 5、设 1.5 0.90.48 12314,8 ,2y y y -??=== ? ?? ,则( ) A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >> 6、在(2)log (5)a b a -=-中,实数a 的取值范围是( ) A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 7、计算()()2 2 lg 2lg 52lg 2lg 5++?等于( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 8、已知3log 2a =,那么33log 82log 6-用a 表示是( ) A 、52a - B 、2a - C 、2 3(1)a a -+ D 、2 31a a -- 9、若210 25x =,则10x -等于( ) A 、15 B 、15- C 、150 D 、1625

指数函数及对数函数测试题及答案

指数函数与对数函数检测题 一、选择题: 1、已知(10)x f x =,则(5)f =( ) A 、510 B 、105 C 、lg10 D 、lg 5 2、对于0,1a a >≠,下列说法中,正确的是( ) ①若M N =则log log a a M N =;②若log log a a M N =则M N =; ③若22log log a a M N =则M N =;④若M N =则22 log log a a M N =。 A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 3、设集合2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈,则S T 是 ( ) A 、?B 、T C 、S D 、有限集 4、函数22log (1)y x x =+≥的值域为( ) A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞ 5、设 1.5 0.90.4812314,8,2y y y -?? === ???,则( ) A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >> 6、在(2)log (5)a b a -=-中,实数a 的取值X 围是( ) A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 7、计算()()22lg 2lg52lg 2lg5++?等于( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 8、已知3log 2a =,那么33log 82log 6-用a 表示是( ) A 、52a - B 、2a - C 、23(1)a a -+ D 、231a a -- 9、若21025x =,则10x -等于( )

指数函数对数函数计算题30-1

指数函数对数函数计算题30-1 1、计算:lg 5·lg 8000+06.0lg 6 1lg )2 (lg 23++. 2、解方程:lg 2(x +10)-lg(x +10)3=4. 3、解方程:23log 1log 66-=x . 4、解方程:9-x -2×31-x =27. 5、解方程:x )8 1(=128. 6、解方程:5x+1=12 3-x . 7、计算:10log 5log )5(lg )2(lg 2233+ +·.10 log 18 8、计算:(1)lg 25+lg2·lg50; (2)(log 43+log 83)(log 32+log 92). 9、求函数121log 8.0--= x x y 的定义域. 10、已知log 1227=a,求log 616.

11、已知f(x)=1322+-x x a ,g(x)=522 -+x x a (a >0且a ≠1),确定x 的取值范围,使得f(x)>g(x). 12、已知函数f(x)=321121x x ?? ? ??+-. (1)求函数的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)求证f(x)>0. 13、求关于x 的方程a x +1=-x 2+2x +2a(a >0且a ≠1)的实数解的个数. 14、求log 927的值. 15、设3a =4b =36,求a 2+b 1的值. 16、解对数方程:log 2(x -1)+log 2x=1 17、解指数方程:4x +4-x -2x+2-2-x+2+6=0 18、解指数方程:24x+1-17×4x +8=0 19、解指数方程:22)223()223( =-++-x x ±2 20、解指数方程:014332 14111=+?------x x 21、解指数方程:042342222=-?--+-+x x x x

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