2014年国赛问题一的求解
a 表示长方形平板的长度
b 表示长方形平板的宽度
c 表示长方形平板的厚度 k 表示空隙的大小 n 表示第n 根木条
钢筋n s 表示平板未打开，钢筋在第n 根木条上的位置
，钢筋
n s 表示平板打开后，钢筋在第n 根木条上的位置 321n n n l l l ，， 分别表示第n 块木条左端桌腿木条，短木条与右端桌腿木条长度
R 表示圆的半径 h 表示桌面高度
d 表示钢筋到木条中心的水平距离 R 圆形桌面半径
n s ，n t 分别表示短木条与圆的交点的横坐标与纵坐标
1θ 第一根木条与竖直方向的夹角
n θ 第n 根短板与第n 根木条的夹角（n=2,3,…19）
n β 表示第n 根木条与第n 根木条短板顶端法线的距离
n Z 曲线上第n 点的竖坐标
模型的建立与求解
6.1 问题一的求解
6.1.1模型一（求解槽长）
确定木条截取的位置
对于给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm ，如下图（1）：
图（1）长方形平板的立体图
1）将定长方形平板横向等份分成19根木条,每根木条宽度为2.5cm ，且每根木条之间留k=0.1cm 空隙（即图（2）中蓝色部位），则最终还需要在长方形平板的两侧各切掉2.5/2-0.9=0.35cm 。
2）以给定长方形平板的中心为原点O ，过O 点平行于a 边作x 轴，过O 点平行于b 边作y 轴，建立直角坐标系。
3）以坐标轴原点为圆心，半径为R=25厘米作圆，如下图（2）：
a=120cm
b=50cm c=3cm
x
y O L1 L2 L10 L18 L19 2.5cm 2.5cm 2.5cm 2.5cm 2.5cm O
图（2）长方形平板的平面图
由于上图关于x 轴，y 轴与原点对称，因此只需讨论第一象限即可。 在第一象限中，圆的方程为
0,0222>≥>≥=+y R x R R y x ，其中 （1）
第n 根木条所在的直线方程为
()10,2,1)10(*1.05.2*175.23 =-+--=n n n t n ， （2）
联立方程（1）式与（2）式，可得
()?
??=+-+--=2
22)10(*1.05.2*175.23R y x n n t n .0,010
,,2,1R y R x n ≤<≤<= 其中 （3） 则木条L1~L10上端在第一象限与圆的交点为： ()[]2
2)10(*1.05.2*175.23n n R s n -+---=
())10(*1.05.2*175.23n n t n -+--= 其中n=1,2，...,10 （4） 通过公式（1）~（4），计算第n 根木条在坐标系中的坐标，如下表（1）：
表（1）第n 根木条的坐标
n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n s
7.8637 13.1999 16.5571 19.0141 20.8911 22.3347 23.4251 24.2103 24.7192 24.9687
n t
1.25
3.85
6.45
9.05
11.65 14.25 16.85 19.45 22.05 24.65
通过上述表格的数据，可画出下图（3）：
图（3）第n 根木条的坐标在圆中的示意图
求解木条开槽的长度
平板未打开，钢筋在第n 根木条上的位置：
2/)60(11s s s n -+=钢筋 （5）
根据图（4），可将木条Ln 的长度可以分成三部分321n n n l l l ，，，分别表示为第n 块木条左端桌腿木条长度，桌面与右端桌腿木条长度，且有
10,,2,1321 ==++n a l l l n n n ，其中 （6）
根据几何关系可知：
10,2,1260231 ==-==n s l s l l n n n n n ，其中， （7）
7.8637
24.9687
24.7192 24.2103 23.4251 22.3347 19.0141 20.8911 16.5571
13.1999
直径50
1.25 3.85 6.45 9.05 11.65 14.25 16.85 19.45 2
2.05 24.65
图（4）折叠桌实物图 图（5）第一根木条正视示意图 图（6）第n 根木条正视示意图
平板打开后,可得第一根木条正视图，可作出如图（5） 由图可知，钢筋到木条中心的水平距离：
222122
213l
h l d +??
? ??-??? ??= （8）
平板打开后，钢筋在第n 根木条上的位置，如图（6）： 则此时钢筋在第n 根木条上的位置：
102,122222
22,
，，，其中钢筋
=+??? ??+??? ?
?
-=n l h l d s
n n n （9）
由公式（5）和（9），可求得第n 根木条的槽的长度：
钢筋
钢筋s s c n n -=,
，其中n=1,2,...10 （10） 通过公式（5）~（10），计算第n 根木条槽长，具体数据如下表（2）：
表（2）第n 根木条的相关数据
n n s 31n n l l 与 2n l ，钢筋s 钢筋s n c
1 7.8637
52.1363 15.7274 33.9318 33.9318 0 2 13.1999 46.8001 26.3998 38.2838 33.9318 4.3519 3 16.5571 43.4429 33.1142 41.5913 33.9318 7.6594 4 19.0141 40.9859 38.0283 44.2960 33.9318 10.3642 5 20.8911 39.1089 41.7822 46.5198 33.9318 12.5879 6 22.3347 37.6653 44.6693 48.3193 33.9318 14.3875 7 23.4251 36.5749 46.8503 49.7281 33.9318 15.7962 8
24.2103 35.7897
48.4206 50.7677 33.9318 16.8359
h
12l
11l
13
l
d
2n l
1n l
3
n l
d
h
9 24.7192 35.2808 49.4383 51.4526 33.9318 17.5208 10 24.9687 35.0313 49.9375 51.7916 33.9318 17.8597 11 24.7192 35.2808 49.4383 51.4526 33.9318 17.5208 12 24.2103 35.7897 48.4206 50.7677 33.9318 16.8359 13 23.4251 36.5749 46.8503 49.7281 33.9318 15.7962 14 22.3347 37.6653 44.6693 48.3193 33.9318 14.3875 15 20.8911 39.1089 41.7822 46.5198 33.9318 12.5879 16 19.0141 40.9859 38.0283 44.2960 33.9318 10.3642 17 16.5571 43.4429 33.1142 41.5913 33.9318 7.6594 18 13.1999 46.8001 26.3998 38.2838 33.9318 4.3519 19 7.8637 52.1363 15.7274 33.9318 33.9318 0
6.1.2模型二（求解桌脚边缘线）
以桌面圆心为坐标原点0，分别以经过圆心0的长方形平板的长和宽所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的三维直角坐标系。
图一：折叠桌实物三维坐标图 图2：折叠桌抽象几何三维坐标图
第一种情况：当 1809021< 由表（2）可得第一根短板11l 与第一根木条夹角余弦值为： 11 150 cos l = θ （11） 1111sin θβ?=l （12） 由表（2）和（12）得第一根木条末端点横坐标表达式以及竖坐标为： 111s x +=β （13） 501=Z （14） 由（11）可求得1θ，从而求得1α为： 1 01-90θα= （15） 根据1α以及三角形余弦和正弦公式（如图4）可求出，1r ，11θα和，从而求出第二根木条末端点横，竖坐标表达式，依次类推可求出第i 根木条末端点横，竖坐标表达式： 图4： 第一根木条与第二根木条及其短板所构成的三角形示意图 根据三角形余弦公式可得： () ()111122 112 1221cos 21221αγl s s l s s ??--?? ? ??+-= （16） A B 12s s - 1 r 11 21 l 1θ 1α 2θ 2α 根据三角形正弦公式可得： 2 11 11 sin 21sin θαγl = （17） 由（17）式得 202-90θα= （18） 由表（2）和（18）式的第二根木条竖坐标和横坐标表达式， 2212cos αl z = （19） 2212sin αβl = （20） 2 22s x +=β （21） 依次类推得第i 根木条横，竖坐标表达式如下： n n n l z αcos 1= （22） n n n l αβsin 1= （23） n n n s x +=β （24） 第二种情况：当 901≤+n θ时 依据第一种情况原理可得第i+1根木条末端点横,竖坐标表达式为： 11,11cos +++=n n n l Z α （25） 11,11sin +++=n n n l αβ （26） 111+++-=n n n s x β （27） 综合上述两种情况可得桌脚边缘线参数方程为： 当 1809021< ()()?? ? ? ?=+=--=n n n n n n n l y z s y x n y α βcos )1(5.257.231 当 901≤+n θ时 ()()??? ??=-=-=+++++++11,11 1111cos 5.257.23n n n n n n n l y z s y x n y αβ
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