目录
第五章曲面论基本定理 (67)
§ 5.1 自然标架的运动公式 (67)
§ 5.2 曲面的唯一性定理 (69)
§ 5.3 曲面论基本方程 (71)
§ 5.4 曲面的存在性定理 (75)
§ 5.5 Gauss定理 (76)
第五章 曲面论基本定理
本章内容：曲面上的自然标架，运动公式，Gauss 公式和Weingarten 公式，曲面论唯一性定理，Riemann 曲率张量，Gauss-Codazzi 方程，曲面论存在性定理，Gauss 定理
计划学时：9学时，含习题课2学时.
难点：Riemann 曲率张量，曲面论存在性定理，Gauss 定理
§ 5.1 自然标架的运动公式
设:(,)S r r u v =为正则曲面，(,)n n u v =是单位法向量. 第一、第二基本形式I dr dr =?和
2II d r n dr dn =?=-?是曲面S 的两个不变二次形式，与3E 中直角坐标的选取无关.
曲面论唯一性问题：这两个基本形式是否足以确定曲面的形状？即若:(,)S r r u v =和:S *
(,)r r u v **=有相同的第一、第二基本形式，是否这两个曲面仅相差一个3E 中的刚体运动σ？
3
S E ?
Ω σ (见定理2.1)
3S E *?
答案是肯定的. 为了证明这件事情，需要先做一些准备工作.
为了公式的书写方便，从现在起记1u u =，2
u v =. 注意1
2
,u u 的上标不是乘幂的指数. 如果
要表示乘幂，则使用括号写成()
()2
3,u
u αα，……，(1,2α=).
这样，S 的参数方程为1
2
(,)r r u u =. 从现在起，用r α表示向量函数1
2
(,)r u u 对变量u α
的偏
导数. 采用Einstein 求和约定，将和式2
12
121
dr r du r du r du ααα
==
=+∑简记为 dr r du αα=. (1.4)
就是说，如果一个单项式中在上标和下标中出现了相同的指标，则表示这是一个和式，对该指标要
从1到2求和. 如果出现了多对这样的上下指标，那么这些指标都要从1到2求和. 例如，
2
1112212211
122122,1
S T
S T S T S T S T S T αβγ
αβγγγγγαβαβαβ
==
=+++∑，
2
12
121
P P P P ααα
αα===+∑.
注意在和式中求和指标本身并没有实质性意义，它们是所谓的“哑”指标，可以换成别的字母： S T
S T S T αβγ
αεγδβγαβαεδβ==. (γ不能换成别的字母)
在本书中，求和指标用希腊字母,,,αβγ表示，它们的取值范围为,,1,2αβγ
=.
类似地，采用Einstein 求和约定，向量函数1
2
(,)r u u 的二阶微分可写成
22d r r d u r du du ααβααβ=+.
采用Einstein 求和约定，S 的第一、第二基本形式分别可以写成
I ()()dr dr r du r du g du du αβαβαβαβ=?=?=，2II d r n b du du αβαβ=?=， (1.6)
其中
g r r αβαβ=?，b r n αβαβ=?， (1.5)
即1111g r r E =?=，1221g g F ==，22g G =，11b L =，1221b b M ==，22b N =.
r
r r σ*
=
记
()()22112212112212det (),det ()g g g g g b b b b b αβαβ==-==-. (1.7-8)
用()g αβ表示度量矩阵()
g αβ的逆矩阵，则有
1,,
0,.g g αγα
γββαβδαβ=?==?
≠?
(1.9)
实际上，
1112221222122121111g g g g G F g g F E g EG F g g ??--????
== ? ? ?---??????
. (1.10) 采用现在的记号，曲面S 上每一点()
12,p u u 有一个自然标架{}12;,,r r r n . 下面来导出自然标架的运动方程.
由于12,,r r n 线性无关，可将它们的偏导数再用12,,r r n 表示出来. 设
,r r b n n b r γβαβαβγαβααβ=Γ+=-， (1.18)
其中γ
αβΓ称为Christoffel 记号(第二类克氏符号). 令
:r r ξαβξαβΓ=?， (1.22)
称为第一类克氏符号. 由r r αββα=可知两类克氏符号关于指标,αβ都是对称的：
γαβγβαΓ=Γ，γ
γαββαΓ=Γ.
用r ξ与(1.18)中的第1个式子作内积，得
()r r r r b n g γγ
ξαβξαβξαβγαβξγαβ
Γ=?=?Γ+=Γ. (1.20) 用g ξη
乘(1.20)两边，再对指标ξ求和，由(1.9)可得
g g g ξηξηγηγ
ηξαβξγαβγαβαβδΓ=Γ=Γ=Γ，
即
g γγξ
αβξαβΓ=Γ. (1.21)
(1.20)和(1.21)说明αβγΓ是用()
g λμ将αβγΓ降标而得的；而α
βγΓ则是用()
g λμ将αβγΓ升标而得的.
类似地，用r ξ-与(1.18)中的第2个式子作内积，得
(
)
b r n r b r g b γ
γ
ξαξαξαγξγα=-?==， (1.14) 从而
b b g β
γβααγ=. (1.15)
于是我们有自然标架{}12;,,r r r n 的运动公式
r u r α
α??=， (1.11)
r u r b n αβ
γ
αβγαβ??=Γ+，
n u b r α
β
αβ??=-， (1.18)
其中b αβ是第二类基本量，b b g
β
γβ
ααγ=，被第一类基本量和第二类基本量所确定.
我们断言Christoffel 记号γ
αβΓ被第一类基本量g αβ唯一确定. 事实上，由g r r αβαβ=?得
g u r r r r αγβαβγβαγαβγαβ
γ??=?+?=Γ+Γ. 返回 (1.23) 由γαβγβαΓ=Γ可得
2g g g u u u αγβγαββγαγβααβγβαγγαβαγβγαβα
γ
β
??????+
-
=Γ+Γ+Γ+Γ-Γ-Γ=Γ，
即有
(
)
12g g g u u u γαβαγ
βγαβ
αγβ??????Γ=+-. 返回 (1.24)
于是由(1.21)，
(
)
12g g g u u u g g
γγξγξ
αβξαβαξβξ
αβα
β
ξ
??????Γ=Γ=+
-
. (1.25)
通常把(1.18)的第一式称为Gauss 公式，(1.18)的第二式称为Weingarten 公式.
Gauss 公式的几何意义：r αβ的切向部分是r γ
αβγΓ，
法向部分是b n αβ. 当曲面的参数方程给出时，利用Gauss 公式的几何意义可以更简单地求出Christoffel 记号γαβΓ，而不需要用公式(1.22)来求.
Weingarten 公式的几何意义；矩阵()
b β
α正好是Weingarten 变换W 在切空间的自然基12{,}r r 下
的矩阵：()W r n b r βαααβ=-=.
在正交参数网中，Christoffel 记号γ
αβΓ的计算公式(1.28). 例 求曲面(,)z f x y =的Christoffel 记号.
解 曲面的参数方程为(),,(,)r x y f x y =. 因此1
u x =，2
u y =，
()111,0,r f =，()220,1,r f =，
)12,,1n f f =
--.
其中1x f f =，2y f f =. 因为()
()0,0,0,0,1r f f αβαβαβ==，所以 ()
()()()
()122
2
120,0,1,,11f r r r n n f f f f f αβ
γαβγ
αβαβαβΓ=-?=-
--++
()()
()()(
)
2
212122
2
12,,1f f f f f f f αβ
=+++.
另一方面
()1212121212,,r r r f f γαβγαβαβαβαβαβαβΓ=Γ+Γ=ΓΓΓ+Γ.
所以
()()
1122
121f f f f αβ
αβΓ=
++，()()
22
22
121f f f f αβ
αβΓ=
++，
即有
()()
1112
2
1x xx
x y f f f f Γ=
++，()()
1
122
2
1x xy
x y f f f f Γ=++，()()
1
222
2
1x yy
x y f f f f Γ=++，
()()
2
112
2
1y xx
x y f f f f Γ=
++，()()
2
122
2
1y xy
x y f f f f Γ=
++，()()
2
222
2
1y yy
x y f f f f Γ=
++.
课外作业：习题4，5
§ 5.2 曲面的唯一性定理
利用上一节得到的自然标架的运动方程，可以来解决上一节所提出的问题，即若:(,)
S r r u v =和:(,)S r r u v *
*
*
=有相同的第一、第二基本形式，则这两个曲面仅相差一个3
E 中的刚体运动σ.
定理2.1若12:(,)S r r u u =，1
2
:(,)S r r u u *
*
*
=(12
(,)u u ∈Ω)有相同的第一、第二基本形
式，且区域Ω是连通的，则有3
E 中的刚体运动σ使得()S S σ*
=.
证明 因为()S r =Ω，()S r **
=Ω，只需证明存在3E 中的刚体运动σ使得
3:r r E σ
*
=Ω→. (1)
不妨设0(0,0)=∈Ω. 设在该点两个曲面的自然标架分别为{}12(0);(0),(0),(0)r r r n 和
{}1
2
(0);(0),(0),(0)r r r n *
*
**
. 选取3
E
中的刚体运动σ使得在12
00(,)u u 点成立
1122(0)((0)),(0)((0)),(0)((0)),(0)((0))r r r r r r n n σσσσ****====. (2)
[事实上，令3(0)e n =
，11
(0)e =
，231e e e =?. 则由
(0)21(0)
(0)F E r e ?=
，()()2(0)(0)(0)
12223121(0)
(0)(0),,(0),(0),(0)E G F E r e
r e e r n r -?==
=
可知
11(0)(0)r E e =，2(0)(0)(0)
(0)
21
2(0)E G F F r e e -=
+，3(0)n e =. (3)
同样，令3(0)e n **=，11(0)e *
*=
，2
31e e e **
*=?. 则由,S S *有相同的第一基本形式，有 11(0)(0)r E e
*
*=，
2(0)(0)(0)
2
1
2(0)
(0)
(0)E G F E E r e -***=
+
，3(0)n e **=. (4)
根据第一章定理1.1，存在刚体运动
33::()()()E E p Op p O p a Op σσσ→≡≡=+A
将正交标架{}123(0);,,r e e e 变成{}
123
(0);,,r e e e ****
，其中()(0)(0)a r r *=-A ，而 33123::()(,,)v
v vA v v v A →==R R A A
是保持3E 定向的正交变换，即(3)A SO ∈. 由定义，σ将向量PQ 变成向量
()()()()()()()()()PQ P Q O Q O P OQ OP OQ OP PQ σσσσσ==-=-=-=A A A A . 所以刚体运动σ将向量1(0)r 变成向量
()111111((0))(0)()(0)()(0)(0)(0)r E e E e E e r r σσ**=====A A .
同理，22((0))(0)r r σ*=. 又33((0))()(0)n e e n σσ**
===. ]
设()S S σ=是将S 经过刚体运动σ后得到的曲面，则S 的参数方程为
()()121212(,)(,)(,)r u u a r u u r u u σ==+A .
于是
()()()()()()()()()r du dr d r d rA dr A r du A r A du r du dr αααααααα========A A A ，
从而
11()r r =A ，22()r r =A .
由于保持定向的正交变换保持外积不变，有
121212()()()r r r r r r ?=?=?A A A ，
()1212121211()
||||||r r r r r r n n r r r r r r ?????=
=== ??????
A A A .
由于保持定向的正交变换保持内积不变，所以S 的第一、第二基本形式分别为
()()I ()()I I dr dr dr dr dr dr *=?=?=?==A A ， ()()II ()()II II dr dn dr dn dr dn *=-?=-?=-?==A A .
于是S 与S *
有相同的第一、第二基本形式，它们的自然标架满足同样的齐次线性偏微分方程组
(1.11)，(1.18)，即有
,(),(1,2),dr r du dr r b n du dn b r du αγββ
ααααβγαβαβα==Γ+==-；
,(),(1,2),dr r du dr r b n du dn b r du αγββααααβγαβαβα*******
==Γ+==-.
由(2)可知它们的自然标架满足同样的初始条件：
()(0)(0)(0)r r r σ*==，()111(0)(0)(0)r r r σ*
==，
()222(0)(0)(0)r r r σ*
==，(0)(0)n n *=.
设12
00(,)u u ∈Ω是任意一点. 因为区域Ω是连通的，可取一条Ω中的连续可微曲线
1122:(),()C u u t u u t ==，[0,1]t ∈，
使得
()()1
2
1
2
120
(0),(0)(0,0),(1),(1)(,)u u u u u u ==.
则限制在C 上{}12
;,,r r r n 和{}12
;,,r r r n *
***
满足同样的常微分方程组初值问题
111222,
(),
(),
.
dr du r dt dt
dr du r b n dt
dt dr du r b n dt dt
dn du b r dt
dt
α
αβ
γ
βγββ
γβγβα
βαβ**
**
*
*
****?=???=Γ+????=Γ+???=-?? 由常微分方程组解的唯一性得
()
121212
000000(,)(,)(,)r u u r u u r u u σ*==.
由1200(,)u u ∈Ω的任意性可知r r σ
*
=. □
定理2.2 设12
:(,)S r r u u =，1
2:(,)S r r u u *
*
*
=是2个曲面，它们的第一、第二基本形式分别为I,II 和I ,II **. 如果存在光滑映射:S S ?*
→使得(I )I ?*
*
=，(II )II ?*
*
=，则存在3
E 中
的刚体运动σ使得|S ?σ=. (选取适用参数系) □
课外作业：无
§ 5.3 曲面论基本方程
曲面论存在性问题：设g du du αβαβ?=和b du du αβ
αβψ=是区域 2
()Ω?
上的2个给定的二
次微分形式，是否存在3
E 中的三次以上连续可微的曲面:(,)S r r u v =，使得?，ψ正好是曲面S 的第一、第二基本形式？
如果这样的曲面存在，则首先?和ψ必须是对称的：g g αββα=，b b αββα=；并且二次型?必须是正定的. 除此之外，在本节中我们还要导出,g b αβαβ所应该满足的必要条件.
假设有曲面:(,)S r r u v =使得它的第一、第二基本形式为
I g du du α
β
αβ=， II b du du α
β
αβ=. (3.2)
在第一节中已经得到自然标架{}12;,,r r r n 的运动公式
,,r
r u r r b n u n b r u
ααγ
ααβγαβββ
αβα??=?????=Γ+?????=-??? 返回 (3.3) 其中
(
)
12
g g g u u u g g γγξγξ
αβξαβαξβξ
αβα
β
ξ
??????Γ=Γ=+
-
，b b g βγβααγ=. (3.4)
因为S 是三次以上连续可微的，必须有
22r r u u u u ααβγγβ??=????， 22n n
u u u u αββα
??=????，,,αβγ?. (3.5)
将(3.3)代入(3.5)第1式，得
()()r b n r b n u u
δδ
αγδαγαβδαββγ
??Γ+=Γ+??. (3.6) 将上式展开，并利用(3.3)， 左边()b r r b n n b b r u u δαγ
αγ
δ
ηδ
δαγδβηδβαγβδββ?Γ?=
+ΓΓ++
-??
b b b r b n u u δαγαγηδδδ
αγηβαγβδαγδβββ
???Γ???=+ΓΓ-++Γ ? ? ???????
. 右边b b b r b n u u δαβαβηδδδ
αβηγαβγδαβδγγγ
???Γ???=+ΓΓ-++Γ ? ? ???????
. 比较两边,r n δ的系数，得
b b b b u u
δδ
αβ
αγ
ηδηδδδ
αβηγαγηβαβγαγβγ
β
?Γ?Γ-
+ΓΓ-ΓΓ=-??，,,,αβγδ?， (3.8)
b b b b b b u u
αβαγ
δδδδ
αγδβαβδγβδαγγδαβγβ
??-=Γ-Γ=Γ-Γ??，,,αβγ?. (3.9) 注意(3.8)左边的量是被第一类基本量唯一确定的，将它记为
:R
u u δδαβ
αγ
δηδηδ
αβγ
αβηγαγηβγ
β
?Γ?Γ=
-
+ΓΓ-ΓΓ??， (3.10)
称为曲面S 的Riemann 记号. 再记
R g R η
αδβγδηαβγ=， (3.11)
则自然就有
R g R δ
δηαβγαηβγ=. (3.11)’
与R δαβγ一样，R δαβγ也是被第一类基本量唯一确定的. R δ
αβγ和R δαβγ都称为曲面S 的Riemann 曲率张量. 采用这些符号，由曲面三阶连续可微得到的相容性条件(3.8)可以改写成
R b b b b δδδαβγγαββαγ=-， (3.12)
或等价地，
R b b b b δαβγδβαγδγαβ=-. (3.13)
相容性条件即方程(3.8)，或(3.12)，或(3.13)，称为Gauss 方程. 方程(3.9)称为Codazzi 方程. 注1. Gauss 方程(3.13)看上去似乎有16个等式，实际上只有一个独立的方程：
()()2
221212112212R b b b LN M K EG F =-=-=-. 返回 (3.18)
Codazzi 方程(3.9)中只有2个独立的方程
111211212121212221222121,.
b b b b u u
b b b b u u δδ
δδδδδδ
???-=-Γ+Γ????????-=-Γ+Γ????
(3.20)
这是因为有
R R R R δαβγβγδααδβγδαγβ==-=-. (3.17)
从而当1αδ==或2αδ==时得到8个恒等式00=；当αδ≠而βγ=时得到4个恒等式00=. 剩下的4个方程是相互等价的：1212212112212112R R R R ==-=-.
[事实上，
R g R g u u ηηη
αβαγξηξηαδβγδηαβγ
δηαβξγαγξβγ
β???Γ?Γ==-+ΓΓ-ΓΓ ?????
g g u u u u δαβδαγδηδηηηξξ
αβαγαβδξγαγδξβγβγβ
?Γ?Γ??=--Γ+Γ+ΓΓ-ΓΓ???? ()()u u δαβδαγηηηη
αβηδγδηγαγηδβδηβαβδηγαγδηβγβ
?Γ?Γ=--ΓΓ+Γ+ΓΓ+Γ+ΓΓ-ΓΓ?? δαβδαγηη
αγηδβαβηδγγβ
?Γ?Γ=-+ΓΓ-ΓΓ. 利用(1.23)：将(1.24)：2项，并注意
()1
2
g g ηξη
ηηαγηδβξαγηδβξαγηδβξαγδβδβηαγαγ
ηδβδβηαγΓΓ=ΓΓ=ΓΓ=ΓΓ=ΓΓ=
Γ
Γ+ΓΓ，
可得
()(
)
22222
2
1122g g g g g g u u u u u u u u u u u u R ηη
αδβγαγηδβαβηδγβδαβ
γδαγαδαδγαγγβδβγ
ββα
δ
??????????????????=
+
--
+
-
+ΓΓ-ΓΓ
(
)2
22212g g g g u u u u u u u u δβαβ
δγαγγ
αγδβ
β
αδ????????????=
-+
-
()12
η
ηηη
αγ
ηδβαβηδγδβηαγδγηαβ+
Γ
Γ-ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ]
注2. 将(3.3)看作以12,,,r r r n 的12个分量为未知函数的一阶线性偏微分方程组，其中g αβ，
b αβ是已知的函数，从而g
αβ
以及由(3.4)给出的,b γ
β
αβαΓ也都是已知的. (3.3)的可积性条件是
22r r u u u u αββα??=????， 22r r u u u u ααβγγβ??=????， 22n n
u u u u αββα
??=????. (C)
由(3.3)可知可积性条件(C)的第一式自动成立. 第二式就是Gauss-Codazzi 方程(3.8)和(3.9)，也就是(3.18)和(3.20). 因为
()()2b b n b r r b r b n b r b b n u u u u u γγ
γγδδγγ
αααγγ
αγβδγβαδβγαγββαβββ??????==+Γ+=+Γ+ ????????
， 所以可积性条件(C)的第三式为
b b b b u u γ
γ
βδγδγααδββδαβα
??+Γ=+Γ??，b b b b γγ
αγββγα=. (3.14) 上面第二式自动成立，因为b b g b b b g b b b b b γγδγδδη
αγβαδγβαδγβαδββηα====.
以g γδ乘(3.14)第一式的两边，再对γ求和，可知它等价于
g b g b b b b b u u u u
γδδβγδγγγγ
δαααδγβββδγαββαα
????-+Γ=-+Γ????. 将(1.23)g u βαγαβγαβ
γ??=Γ+Γ代入上式得
b b b b u u
δβγγ
δααγδββγδαβα
??-Γ=-Γ??， 即
b b b b b b u u
δβγγγγδααγδββγδααγδββγδαβα
??-=Γ-Γ=Γ-Γ??. 这就是(3.8). 所以(3.14)第一式与(3.9)是等价的.
在正交参数网中，111222,0,g E g g G ===. 因此11122211,0,E G
g g g ===. 因此 1
1111111212222211
12112122222
2
2
,,,
,,.
u v u v u v E E G E G G Γ=Γ=Γ=-Γ=-Γ=Γ=
111
111222
222111222,,,222,,.
222u v u v u v
E E G E E E
E G G G G G
Γ=Γ=Γ=-Γ=-Γ=Γ=
由此得
222
12221222111212122112112
1112112212111221
22
2
2222222
2224444224444v u u u v v v u v u vv v v uu u u u v v v u R g R GR
G v u E G E G E G E G G G G EG G EG G GE E G GG G E G E G E G G G G EG G EG G α
α???Γ?Γ===-+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-ΓΓ??????
??????=--+-+- ? ?????????
?--=--+-+-?????
22
244244vv v v v uu u u u E E E G G E G G E G E G
=-++-++ (见课本) 222424()()2
424vv v v v uu u u u vv v v uu u u E E G E EG G E GG EG EG EG
E E EG G G EG EG EG ++=-+-+
??=--+- ?
??
=+-
2222v u v u v u v u E G E G ?
????=++?
? ??????
v u v u ?
??=+=+?????
.返回(3.22) 如果参数曲线网是正交的曲率线网，则0F M ==，Codazzi 方程(3.20)可简化为
21
112212112121222211
,22.22v v v v u u u u LE NE L b b HE E G NG LG N b b HG G E ?=-Γ+Γ=+=????=Γ-Γ=+=??
返回 (3.23)
课外作业：习题4，5
§ 5.4 曲面的存在性定理
本节证明Gauss-Codazzi 方程也是曲面存在的充分条件. 设g du du αβαβ?=和b du du αβαβψ=是区域 2
()Ω?
上的2个给定的二次微分式，其中?和
ψ是对称的：g g αββα=，b b αββα=；并且二次型?是正定的. 令()g αβ为矩阵()g αβ的逆矩阵，
()
1,2g g g u u u g γ
γδγαβαβδαβαγβγαβαγβ
??????Γ=
+-Γ=Γ， (4.2-3) R
u u
δδαβ
αγ
δ
ηδηδαβγ
αβηγαγηβγ
β
?Γ?Γ=
-+ΓΓ-ΓΓ??， R g R η
δαβγδηαβγ=. (4.4-5) 定理4.1 如果上面给定的二次微分式?，ψ满足
()21122121212111211212121212221222121
,,,b b b R b b b b u u b b b b u
u δδδδδδδδ?-=-?????-=-Γ+Γ????
???-=-Γ+Γ???? (4.6) 则对任意一点()
1200,u u ∈Ω，必有()
12
00
,u u 的(连通)邻域U ?Ω，以及定义在U 上的正则曲面:S 12(,)r r u u =，使得?和ψ分别是S 的第一、第二基本形式. 在相差一个3E 中的刚体运动的情况下，这样的曲面是唯一的. 如果Ω是连通且单连通区域，则曲面S 可以定义在整个Ω上.
证明 唯一性由定理2.1可得. 只需证明存在性. 构造一阶线性偏微分方程组
,,,r
r u r r b n u n b r u ααγ
ααβγαββ
β
αβα??=?????=Γ+?????=-???
(4.7) 其中12,,,r r r n 是未知向量，从而共有12个未知函数，自变量是12
,u u . 根据一阶偏微分方程组理
论，(4.6)有解的充分必要条件是由(4.7)可推得
22r r u u u u αββα??=????，22r r u u u u ααβγγβ??=????， 22n n
u u u u αββα
??=????. (C)
从§3的讨论我们知道当Gauss-Codazzi 方程(4.6)成立时，可积条件(C)也成立，从而(4.7)是可积
的，即对任意一点()
1200,u u ∈Ω，有()
12
00
,u u 的邻域U ?Ω，以及定义在U 上的向量函数 12
12121212(,),
(,),(,),(,)r u u r u u r u u n u u ， (4.8)
它们满足(4.7)及任给的初始条件
120
120120120001001200200(,),
(,),(,),(,)r u u r r u u r r u u r n u u n ====. (4.9)
现在选取初始标架{}
0000
12;,,r r r n
使得 (
)0012
00
00000
01
2
(,),0,1,,,0r r g u u r n n n r r n αβαβα
?=?=?=>. (4.10)
下面我们证明(4.8)中的函数312
12::(,)
(,)r U E u u r u u →定义了一个正则曲面S =
()r U ，以?和ψ分别为S 的第一、第二基本形式.
为此，考虑函数组
f r r
g αβαβαβ=?-， f r n αα=?， 1f n n =?-. (4.11)
其中121212
12(,),(,),(,)r u u r u u n u u 是方程组(4.7)的解. 因此6个函数,,f f f αβα满足一阶齐次线性
偏微分方程组Cauchy 问题
111111
00
0000,,2,(,)0,(,)0,(,)0.f f f b f b f u f b f f b f u f b f u
f u u f u u f u u αβδδ
αγδββγδαγαβγβαγγγαβγααβγαβ
ββ
αβααβα??=Γ+Γ++???
??=-+Γ+?????=-????===? (4.12-13)
事实上，
()()f r g r r r u u u u r b n r r b n r αβ
βαβαβαγ
γγγδδαγδαγββγδβγααβγβαγ
????=
?+?-????=Γ+?+Γ+?-Γ-Γ ()()f g b f f g b f δδαγδβδβαγββγδαδαβγααβγβαγ=Γ+++Γ++-Γ-Γ
f f b f b f δ
δαγδββγδαγα
β
γβα=Γ+Γ++.
()f r n n r r b n n b r r u u u
γγαα
ααβγαββγαβββ
???=?+?=Γ+?-???? ()()1f b f b f g b f f b f γγγγ
αβγαββγαγαβγααβ
γαβ=Γ++-+=-+Γ+.
222f n n b r n b f u u
ββ
αβαβαα
??=?=-?=-??. 根据Cauchy 问题解的唯一性，得到0f αβ=，0f α=，0f =，即有
r r g αβαβ?=， 0r n α?=， 1n n ?=. (4.14)
由上式得()
2
12
det 0r r g αβ?=>，这说明S 是正则曲面. 又()120n r r ??=，即n 与1
2r r ?共线，从而 ()()()2
2
2
121212,,det 0r r n r r n r r g αβ=??=?=>????.
因为在()12
00,u u 点()()0001212,,,,0r r n r r n =>，由连续性得到在U 上()12,,0r r n >. 因此
1212/n r r r r =??.
因为1
2
(,)r u u 满足方程组(4.7)第1式，故{}12,,,r r r n 是曲面S 的自然标架. 由(4.14)第1式和
(4.7)第2式可知S 的第一、第二基本形式分别是?和ψ.
当Ω连通且单连通时，方程组(4.7)有定义在整个Ω上的解. □ 课外作业：习题2，4
§ 5.5 Gauss 定理
由(3.18)得到
21212
22
LN M R K EG F EG F
-==--. (5.3) 所以Gauss 曲率K 被曲面的第一基本形式唯一确定，而与曲面的第二基本形式无关，是曲面的内蕴几何量. 于是有下面的Gauss 绝妙定理(Egregium Theorem ).
定理5.1 曲面的Gauss 曲率是曲面在保长变换下的不变量. 由(3.22)得到正交参数网(0F =)时，
v u K ????
=+??????. (5.4)
特别，取等温参数网时，2
:E G λ==，其中(,)0u v λλ=>. 此时
21
ln K λλ
=-?， (5.5)
其中22
22
u v ???=+??是关于变量,u v 的Laplace 算子. 引理 直纹面:(,)()()S r u v a u vl u =+是可展曲面的充要条件是0K =. 证明. 设S 是直纹面，参数方程为(,)()()r u v a u vl u =+. 则
u r a vl ''=+，v r l =，()2
()u v
u v
r r n a vl l r r EG F
?''=
=+??
-，
uu r a vl ''''=+，uv r l '=，0vv r =.
从而
0N =，())11(),,uv M r n a vl l l a l l '''''=?=
+??=
.
因此
(
)
()
2
2
22
2,,a l l LN M
K EG F EG F ''
-=
=---.
根据第三章定理6.1即得引理. □
定理5.2 一个曲面S 是可展曲面的充要条件是S 的Gauss 曲率0K ≡. 证明 必要性由上面的引理可得.
充分性. 根据引理，只须证明S 是直纹面. 设S 的主曲率为12,κκ. 由条件可知120κκ=. 1. 如果S 上的点都是脐点，则S 是平面，从而是直纹面.
2. 假设S 上没有脐点，则可取正交的曲率线网为参数曲线网，使得0F M ==，且
120,0L N E G κκ=
≠==. 那么120H κ=≠. 由Codazzi 方程(3.23)得 0u u N HG ==，
即有
0,()u G G G v ==. (5.6)
于是
第二章曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面 r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u cos v ,u 0sin v ,bv }=｛0,0，bv 0｝＋u {0 cos v , sin v ,0}， 为曲线的直母线；v-曲线为r ={ 0u v cos , 0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面 r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直 母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,2 v } 表示过点{ a v , b 0v ,0}以{a,b,2 v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （ u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,2 u } 表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面 r =} sin ,sin cos ,sin cos {a a a 上任意点的切平面和法线方程。
4．求椭圆柱面222 2 1x y a b 在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此 曲面只有一个切平面 。 解椭圆柱面 222 2 1x y a b 的参数方程为x = cos , y = asin , z = t , } 0,cos ,sin {b a r , } 1,0,0{t r 。所以切平面方程为： 1 0cos sin sin cos b a t z b y a x ，即x bcos + y asin － a b = 0 此方程与t 无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而 的每一数值 对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 5．证明曲面} , ,{3 uv a v u r 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常 数。 证 } , 0,1{23 v u a r u ，} , 1,0{2 3uv a r v 。切平面方程为： 3 3 z a uv v y u x 。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3)。于是，四面体的体积为： 3 3 2 9| |3| |3||36 1a uv a v u V 是常数。
习 题答案2 p. 58 习题 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=u u u v v . 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-u u u v u u v u u u v . (1) 由于21Op ON =='u u u v u u u v ，222u v Op =+u u v ，0Op ON '?=u u u v u u u v ，0t ≠，取上式两边的模长平方， 得222/(1)t u v =++. 从而 22222222221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++?? ，2(,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-u u u v u u u v u u u v v ， 又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+v ， 22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠v v . (3) 因此(,)r r u v =v v 给出了2\{}S N 的正则参数表示. (2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有 (1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-u u u v u u v u u u v ，222/(1)t u v =++， 22222222221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ??--'=== ?++++++??u u u v ，2(,)u v ∈R . (4) 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+v ， 22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠v v . (5) 因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示. (3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为 22u u u v =+，22 v v u v =+. (6) 由(3)和(5)可知
第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t )(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函 数，)(t 为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t )(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t e ，所以 r ×'r = ' （e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t )(t e 求微商得'r =' e + 'e ，于是r × 'r =2 （e ×'e ）=0 ，则有 = 0 或e ×'e =0 。当)(t = 0时，)(t r =0 可与任意 方向平行；当 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量， 且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r r ，'r ，''r 垂直于同一 非零向量n ，因而共面，即（r r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r 0 。若r ×'r =0 ，由上题知) (t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ，则存在数量函数)(t 、)(t ， 使''r = r r + 'r ① 令n =r r ×'r ，则n 0 ，且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r 求微商并将①式代入得'n =r ×
第二章 曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。
4．求椭圆柱面 222 2 1x y a b + =在任意点的切平面方程， 并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面 222 2 1x y a b + =的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----?? ??b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 5．证明曲面},,{3 uv a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常 数。 证 },0,1{23 v u a r u -= ，},1,0{23 uv a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv v y u x 。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3)。于是，四面体的体积为： 3 3 2 9| |3| |3||36 1a uv a v u V = =是常数。
《微分几何》课程大纲 一、课程简介 教学目标：经典曲线曲面论、少量的整体微分几何与二维内蕴几何学 主要内容：（见教学内容） 二、教学内容 第一章曲线的局部理论 主要内容：平面曲线与空间曲线的曲率、空间曲线的绕率、Frenet标架、曲线论基本定理、n维空间的推广 重点与难点：空间曲线的绕率、曲线论基本定理 第二章曲线的整体几何 主要内容：旋转数，旋转指标定理、凸曲线 重点与难点：旋转指标定理及其应用 第三章曲面的局部理论（外在形式） 主要内容：第一基本形式、第二基本形式、主曲率、高斯曲率、平均曲率、结构方程重点与难点：结构方程与曲面论基本定理 第四章曲面的局部理论（内在形式） 主要内容：向量场、共变导数、平行移动、测地线 重点与难点：共变导数和平行移动 第五章二维黎曼几何 主要内容：局部黎曼几何、切丛、指数映射、测地极坐标、Jacobi场、流形 重点与难点：指数映射和Jacobi场 第六章曲面的整体几何 主要内容：Gauss-Bonnet定理、完备性、共轭点和曲率、闭测地线和基本群 重点与难点：Gauss-Bonnet定理和共轭点 三、教学进度安排（抱歉这个目前还安排不了） 可以参照以下表格形式 教学内容教学形式作业 第一周 第二周
四、课程考核及说明 平时成绩与口试相结合的方式。平时20%，口试80%。 五、教材与参考书 Wilhelm Klingenberg， A Course in Differential Geometry Manfredo P.Do Carmo，Differential Geometry of Curves and Surfaces 陈维桓，微分几何
二、矩阵和坐标变换 2.1 矩阵及矩阵的运算 由m n ?个数排列形成的一个矩形数阵，称为m 行n 列矩阵。 如1111 n m m n a a A a a ?? ? = ? ??? ,其中ij a 称为矩阵元素。若两个矩阵A 、B 的行数和列数都相同，并且对应元素相等，则两个矩阵相等，记为A B = 。 矩阵的加(减)法 两个矩阵A 、B ，它们的行数和列数分别相等，把它们的对应元素相加减，得到一个 新矩阵C ,则称为A 与B 之和（差），记为C A B =± 。 矩阵加法适合交换律：A B B A +=+ 矩阵加法适合结合律：()()A B C A B C ++=++ 数乘矩阵 用数λ和矩阵A 相乘，则将A 中的每一个元素都乘以λ，称为λ与A 之积，记为A λ 或A λ 。 数乘矩阵适合结合律：()()A A λμλμ= 数乘矩阵适合分配率：()A B A B λλλ+=+ 矩阵乘法 两个矩阵A 、B ，它们相乘得到一个新矩阵C ，记为C AB = 。 矩阵A 和B 的乘积C 的第i 行和第j 列的元素等于第一个矩阵A 的第i 行与第二个矩阵B 的 第j 列的对应元素乘积之和。即 11221 n ij i j i j in nj ik kj k c a b a b a b a b ==+++= ∑ 注意：只有第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等时，才能相乘。 矩阵乘法适合结合律：()()A B C A B C = 矩阵乘法适合分配率：()A B C AC BC +=+ 矩阵乘法不适合交换律：AB BA ≠
2.2坐标变换 空间中不同坐标系下，同一点有不同的坐标，同一矢量有不同的分量。由于运算时要在同一坐标系下进行，为此，要考察两个坐标系之间的相互关系，就要用坐标变换的方式。 2.2.1底失的变换 给出两个直角坐标系[]123;,,O e e e σ= ，123;,,O e e e σ??'''''=? ? ，其中σ称为旧坐标系， σ'称为新坐标系。下面研究σ和σ'两个坐标系之间的关系。 首先把新坐标系σ'的底失123,,e e e ''' 看成在旧坐标系σ里的一个径失。则新坐标系σ'的底失123,,e e e ''' 在旧坐标系σ里的表达式可写成： 111112213322112222333 311322333e a e a e a e e a e a e a e e a e a e a e ?'=++??'=++??'=++?? 这就是σ变换到σ'的底失变换公式。 反之，又可推导出由新坐标系σ'到旧坐标系σ的底失变换公式。 111121231332121222323131232333e a e a e a e e a e a e a e e a e a e a e ? '''=++? ?'''=++??'''=++? ? 由上面两式不难看出，将九个系数按其原来位置排列成方阵： 11121321 222331 32 33a a a A a a a a a a ?? ?= ? ??? A 表示了底失变换关系，称为由σσ'→的底失系数变换矩阵。用矩阵乘法的形式表示为： 1 111112132212223223132 33333e e e a a a e a a a e A e a a a e e e ??' ???? ???? ??? ????'== ??????? ??????'??????? ?? 2.2.2矢量的坐标变换 设一矢量r 在坐标系σ和σ'里的分量依次是(),,x y z 和(),,x y z '''，则： 123r xe ye ze =++ 又 123 r x e y e z e ''''''=++
习题答案2 p. 58 习题3.1 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2 221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=v . 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-u u u v u u v u u u v . (1) 由于21Op ON =='u u u v u u u v ，222 u v Op =+u u v ，0Op ON '?=u u u v u u u v ，0t ≠，取上式两边的模长平方， 得222/(1)t u v =++. 从而 22222221 (,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++u u u v 22222222 221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++?? ，2 (,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-u u u v u u u v u u u v v ， 又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+v ，
§ 6.1 测地曲率 1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。 证明： 设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()} r f v u f v u g v =， 22222 ()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++， 222(),()() E f v G f v g v ''==+ 纬线即u —曲线：0 v v =（常数）， 其测地曲率为2 u g k == =为常数。 2、 证明：在球面S (cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =， ,0222 u v ππ π- <<<< 上，曲线 C 的测地曲率可表示成 ()()sin(())g d s dv s k u s ds ds θ=- ， 其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程， s 是曲线C 的弧长参数， ()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲
线）之间的夹角。 证明 易求出2 E a =, 0 F =,2 2 cos G a u =, 因此 g d k ds θθθ= 221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ?=+? sin sin cos d u ds a u θθ= -， 而1sin cos dv ds a u θθ ==， 故 sin g d dv k u ds ds θ= -。 3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是 ()()()()()())g k Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-， 其中s 是曲线C 的弧长参数，2 g EG F =-， 并且 12 112 11 12 22 (())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ， 2222 2111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ 特别是，参数曲线的测地曲率分别为 2 3 11(())u g k u s '，1322(()) v g k v s '= 。 证明 设曲面S 参数方程为12(,)r r u u =，1122:(),()C u u s u u s ==
《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42r()d =1,2,3t t -?， {}6 4r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则4 6 22()()a r t dt+b a r t dt=?????{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 0()d f g dt dt ?=? 4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2c o s ,2c o s ,2c o s t t t t v t u t +-+． 23．已知{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=，其中t =?，2t =θ，则
第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么 )('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=2 2'e e - -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠ 0 。若r ×'r =0 ，由上题知)(t r 具有固定方向，自然平行于 一固定平面，若r ×' r ≠0 ，则存在数量函数)(t λ、)(t μ，使''r = r λ +μ'r ① 令n =r ×'r ，则n ≠ 0 ，且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r 求微商并将①式代入得'n =r ×''r =μ（r ×'r ）=μn ， 于是n ×'n =0 ，由上题知n 有固定方向，而)(t r ⊥n ，即)(t r 平行于固定平面。 §3 曲线的概念 1． 求圆柱螺线x =t cos ，y =t sin ，z =t 在（1,0,0）的切线和法平面。 解 令t cos =1,t sin =0, t =0 得 t =0, 'r (0)={ -t sin ,t cos ,1}|0=t ={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 1 101z y x ==- ，法平面为 y + z = 0 。
习题答案3 p. 148 习题4.1 1. 求下列曲面的第二基本形式： (1)√旋转椭球面：()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ?θ?θ?=； (2) 旋转椭圆抛物面：()2212 ,,()r u v u v =+； (3) 双曲抛物面：()(),(),2r a u v a u v uv =+-； (4)√一般柱面：()(),(),r f u g u v =；(5)√劈锥曲面：()cos ,sin ,()r u v u v f v =. 解. (1) ()cos sin ,cos ,0r a θ?θθ=-，()sin cos ,sin sin ,cos r a a b ??θ?θ?=--， ()cos cos cos ,cos sin ,sin r r a b b a θ???θ?θ??=，22(,)ππ??∈- )21cos cos ,cos sin ,sin sin n b b a a ?θ?θ?= . 又 ()cos cos ,sin ,0r a θθ?θθ=-，()sin sin ,cos ,0r a θ??θθ=-， ()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ???θ?θ?=-. 所以 222cos ab L b ?-=+，0M = ，N =， )222II cos d d ?θ?=+. (2) ()1,0,u r u =，()0,1,v r v =，(),,1u v r r u v ?=--，)2,,11n u v u =--+. ()0,0,1uu r =，0uv r =，()0,0,1vv r =，)22II 1du dv u v =++. (3) (),,2u r a a v =，(),,2v r a a u =-，()2,,u v r r a u v v u a ?=+--. 不妨设0a >. 则 )2,,22n u v v u a a v =+--++，0uu vv r r ==，()0,0,2uv r =， 4II adudv -=. (4) (),,0u r f g ''=，()0,0,1v r =，(),,0u v r r g f ''?=- ，)21,,0n g f f ''= -'+， (),,0uu r f g ''''=，0uv vv r r ==，2II =. (5) ()cos ,sin ,0u r v v =，()sin ,cos ,v r u v u v f '=-，()sin ,cos ,u v r r f v f v u ''?=-，
习 题答案 2 p. 58 习题3.1 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=. 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-. (1) 由于21Op ON =='，2 22u v Op =+，0Op ON '?=，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而 22222222221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++??，2(,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-， 又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+， 22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠. (3) 因此(,)r r u v =给出了2\{}S N 的正则参数表示. (2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有 (1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-，222/(1)t u v =++， 22222222221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ??--'=== ?++++++?? ，2(,)u v ∈R . (4) 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+， 22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠. (5) 因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示. (3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为 22u u u v =+，22 v v u v =+. (6) 由(3)和(5)可知
§ 6.1测地曲率 1.证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。 证明：设旋转面方程为 r 二{ f(v)cosu, f (v)sin u, g(v)} , 1= f 2(v)(du)2 + (f 2(v) +g"v))(dv)2， E 二 f 2(v),G = f 2(v) g 2(v) 纬线即u —曲线：V=V ° （常数）， f '（V 。） f （v 。）、, f '2（v 。） g '2（v 。） 2、 证明：在球面S r （acosucosv, acosusinv,asinu ）， JI 71 u ,0 v 2 2 2 上，曲线C 的测地曲率可表示成 . d 日（s ） . / /、、dv （s ） k g sin （u （s ））- ds ds 7 其测地曲率为k g 1 ；:l n E 2 好G In f ^f '2 g '2 泊 为常数。
其中（u（s）,v（s））是球面S上曲线C的参数方程，s是曲线C的弧长参数， C与球面上经线（即u-曲 e （s）是曲线
线)之间的夹角 证明易求出 E=a 2 , F=0, G=a 2 cos 2 u , 因此 1 Jn E 1 ：：ln G = ------------- c os —= 2 .G ：：v 2、、. E ；:u 2 2 d v 1 ln(a cos u) sin ds 2a ；:u d r sin u si n , ds acosu ? 3、证明：在曲面S 的一般参数系(u,v)下，曲线C :u =u(s),v = v(s)的测地曲率是 k g 二,g(Bu (s) - Av(s) u (s)v (s) - v (s)u (s))， 并且 ^11 n(u (s))2 2 ；2U (S )V (S )- ；2(V (S ))2， B -：(u (s))2 2^u(s)v(s)丨；2(v(s))2 特别是，参数曲线的测地曲率分别为 k g . 二.g-121 (u (s))3 ， k g v 二 n g 】122(v(s))3 。 ! k g dr ds 而dv 1 a cosu sin k g d ds -sin u 色 ds 其中s 是曲线C 的弧长参数, g = EG-F 2 ， 1 sin
目录 第四章曲面的第二基本形式 (50) § 4.1 第二基本形式 (50) § 4.2 法曲率 (52) § 4.3 Weingarten映射和主曲率 (55) 一、Gauss映射和Weingarten变换 (55) 二、主曲率和主方向 (55) § 4.4 主方向和主曲率的计算 (57) 一、Gauss曲率和平均曲率 (57) 二、Weingarten变换在自然基底下的矩阵 (59) 三、第三基本形式 (61) § 4.5 Dupin标形和曲面参数方程在一点的标准展开 (61) § 4.6 某些特殊曲面 (64) 一、Gauss曲率K为常数的旋转曲面 (65) 二、旋转极小曲面 (66)
第四章 曲面的第二基本形式 本章内容：第二基本形式，法曲率，Gauss 映射和Weingarten 变换，主方向与主曲率，Dupin 标形，某些特殊曲面 计划学时：12学时，含习题课3学时. 难点：主方向与主曲率 § 4.1 第二基本形式 设:(,)S r r u v =为正则曲面，(,)n n u v =是单位法向量. 向量函数(,)r u v 的一阶微分为 u v dr r du r dv =+， 二阶微分为 ()222222u v u v uu uv vv d r d r du r dv r d u r d v r du r dudv r dv =+=++++. 由于0dr n ?=，再微分一次，得2 d r n dr dn ?=-?. 定义 二次微分式 222II 2d r n dr dn Ldu Mdudv Ndv =?=-?=++ (1.6) 称为曲面S 的第二基本形式(second fundamental form)，其中 uu u u L r n r n =?=-?，uv u v v u M r n r n r n =?=-?=-?，vv v v N r n r n =?=-? (1.4-5) 称为曲面S 的第二类基本量. 第二基本形式的几何意义：刻划了曲面偏离切平面的程度，也就是曲面的弯曲程度 由微分的形式不变性可知第二基本形式在保持定向的参数变换下是不变的，而在改变定向的参数变换下会相差一个符号. 但是，在参数变换下第二类基本量,,L M N 一般都会改变. 第二基本形式与空间坐标系的选取无关. 对曲面:(,)S r r u v =作参数变换 (,),(,)u u u v v v u v == (1.7) 在新的参数下， (,)n u v (,r u u v +?(,) r u v r ?
习题答案4 p. 202 习题5.1 1. 设可允许的参数变换12(,)u u v v αα=是保持定向的，即()det 0a α β>，其中 u a v α αβ β?=?. 用,g b αβαβ表示曲面S 在参数系12(,)u u 下的第一、第二类基本量，用g αβ ，b αβ 表示曲面S 在参数系12(,)v v 下的第一、第二类基本量. 证明： g g a a γδαβγδαβ= ， b b a a γδαβγδαβ= . 证明. (1) 因为du a dv αα ββ=，所以在可允许参数变换下， I ()()()g dv dv g du du g a dv a dv g a a dv dv αβγδγαδβγδ αβαβγδγδαβγδαβ==== . 上式两边作为12,dv dv 的二次型相等，所以g g a a γδ αβγδαβ= . (2) 设S 的方程为12(,)r r u u = . 令 ()12112212 (,)(,),(,)r v v r u v v u v v = . 则有r a r βααβ= . 于是 1221121212121212()()()det()r r a r a r a a a a r r a r r αβααββ?=?=-?=? . 因为()det 0a α β>，这说明在两个参数系下，有 ()12112212(,)(,),(,)n v v n u v v u v v = . 于是 ()()()(). b dv dv dr dn dr dn b du du b a dv a dv b a a dv dv αβγδαβ γδγ α δβ γδα β γδα β γδα β =-?=-?=== 和(1)中一样，可得b b a a γδαβγδαβ = . □ 4. 验证：曲面S 的平均曲率H 可以表示成1 2 H b g αβαβ=，并且证明H 在第1题 的参数变换下是不变的. 证明. (1) 证法一：直接验证. 由定义， ()2 11121222221211112212det ,,,g g g g g g g g g g g g g g g αβ==-= =-==. 因此 ()()112212122211 1122121222112 112212 21222b g b g b g H b g b g b g g g g g -+= =-+- ()111222*********b g b g b g =++()111221221112212211 22 b g b g b g b g b g αβαφ==+++.
微分几何主要习题解答 第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向 量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固 定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ ≠ 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2 'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使 )(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向 量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直 于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、 )(t μ，使''r = r λ +μ'r ①
习题答案2 p.58 习题3.1 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=. 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈使得 (1)Op tOp t ON '=+-. (1) 由于21Op ON =='，222u v Op =+，0Op ON '?=，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而 22222221(,,)(,,0)(0,0,1)11 u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++ 22222222221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++??，2(,)u v ∈. (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-， 又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+，