次序统计量及其分布

§5.3次序统计量及其分布

次序统计量在近代统计推断中起着重要的作用，这是由于次序统计量有一些性质不依赖于母体的分布并且计算量很小，使用起来较方便。因此在质量管理、可靠性等方面得到广泛的应用，现在我们在本节中扼要地介绍有关次序统计量的内容。gjzsj

设1ξ，2ξ，…，n ξ是取自分布函数为F （x ）的母体ξ的一个子样，x 1，x 2，… ，x n 表示这子样的一组观测值。这些观测值，由小到大的排列用x )1(，x )2(，… ，x )(n 表示，即x )1(≤x )2(≤… ≤x )(n ，若其中有两个分量x 1与x 2相等，它们先后次序的安排是可以任意的。

定义5.3 第i 个次序统计量ξ)(i 是上述子样1ξ，2ξ，…，n ξ这样的一个的一个函数，不论子样1ξ，2ξ，…，n ξ取得怎样一组观测值x 1，x 2，… ，x n ，它总是取其中的x )(i 为观测值。

显然，对于容量为n 的子样可以得到n 个次序统计量ξ)1(≤ξ)2(≤… ≤ξ)(n ，其中ξ)1(称做最小次序统计量，ξ)(n 称做最大次序统计量。

如果1ξ，2ξ，…，n ξ是来自同一母体的n 个相互独立随机变量，那么次序统计量1ξ，2ξ，…，n ξ是否也相互独立呢？这可以从下述例子中看出（例略）。

定理5.5 设母体ξ有密度函数f (x)>0，a ≤x ≤b ,并且1ξ，2ξ，…，n ξ为取自这母体的一个子样，则第i 个次序统计量的密度函数为

g i (y)=??

???≤≤-----其他,0),()](1][)([)!()!1(!1b y a y f y F y F i n i n i n i

（5.24） 例5.3 设母体ξ有密度函数

?

??<<=其他,010,2)(x x x f 并且ξ)1(<ξ)2(<ξ)3(<ξ)4(为从ξ取出的容量为4的子样的次序统计量。求ξ)3(的密度函数)(3x g 和分布函数)(3x G ，并且计算概率)2

1()3(>ξP 。

解 母体ξ的分布函数为

??

???≥<<≤=1,110,0,0)(2x x x x x F

由公式（5.24）得出ξ)3(的密度函数

g 3(y)=

)()](1[)]([)34(!2!4342y f y F y F --- =y y y 2]1[][!

2!4222- =24y 2(1-y 2)

对于y 的其他值g 3(y)=0。分布函数为

)(3y G =??

???≥<<≤1,110,0

,06y y y y

而概率

P （)3(ξ>2

1）=1-)21(3G =1-(21)6[4-3(2

1)2] =256

243 系1 最大次序统计量)(n ξ的密度函数为

g n (y)=?

??<<-其他,0),()]([1b y a y f y F n n （5.25） 系2 最小次序统计量)1(ξ的密度函数为

g 1(y)=?

??<<-其他,0),()]([1b y a y f y F n n （5.26） 这两个系的证明是明显的，这是不叙述了。

下面我们同样以连续型母体分布为例考虑任何两个次序统计量)(i ξ<)(j ξ的联合分布。

定理5.6 设母体ξ有密度函数)(x f >0，a ≤x ≤b 。并且1ξ，2ξ，…，n ξ是

取自这一母体的一个子样，则其任意两个次序统计量的)(i ξ<)(j ξ的联合分布密度函数为

g j i (y,z)=???

????≤≤-*---------其他,0),()()](1[)]()(][)([)!()!()!1(!11b

y a z f y f z F y F z F y F j n i i j i n j n i j i （5.27） 在实际问题中有时要用到一些次序统计量的函数，例如：（1）在第九章的质量管理一节中就要用到子样极差R n =)(n ξ-)1(ξ，即最大与最小次序统计量之差；（2）子样中位数也是一个常用的函数。若n 是奇数，定义它为)21(+n ξ；若n 是偶数，定义它为2)22()2(++n n ξ

ξ

要推导次序统计量的函数的分布，原则上并不难，只要运用以前学过的方法和定理就可以了，但要算出具体数值可不是一件容易的事，下面我们简略地提一下次序统计量的分布问题。设母体ξ具有分布函数F （x ），若F （a p ）=

?∞-p a dx x f )(=p,0

k=[np ]+1，则称次序统计量ξ)(k 为子样的p ―分位数。由于在实际应用中，某些母体的次序统计量分布的计算十分繁重，所以还需要知道子样分位数当容量n →∞时的极限分布。为此，我们在这里不加证明地引入下列定理。

定理5.7 设母体ξ具有密度函数)(x f ，a p （0

)1]([+np 渐近地服从正态分布 N （a p ，

n p p a f p )1()(12-） （5.28） 显然，当n →∞时，ξ

)1]([+np =ξ)(k 依概率收敛于a p 。

次序统计量理论及应用

顺序统计量的分布及其应用探究 学生姓名：杨道圣 指导教师：刘宇民 摘要 顺序统计量在近代统计推断中起着很重要的作用，在水文，地震，气象和建筑等领域都有重要作用。经过总结得出了关于顺序统计量的离散型最大顺序统计量分布，最小顺序统计量分布，连续性第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数，连续性随机变量任意两个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数： 1.离散型随机变量子样最小值的分布律为 )(])1()!(!![)(11 ) 1(I r pi r p l n l n x X P n l l n r l l r ∈--==∑∑=-= 2.离散型随机变量子样最大值的分布律为 )(])1()!1()!1(![)(111 1 1 ) (I r pi r p j n j n x X P n j j r l j n r n ∈-+--==∑∑=--=+- 3.设母体ξ有密度函数f(x)>0,a ≤x ≤b(这里可以设a=－∞,b=+∞)，并且ξ1,ξ2，…，ξn 取自这一母体的一个子样，则第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数 4.设母体ξ有密度函数f(x)>0,a ≤x ≤b(这里可以设a=－∞,b=+∞)，并且ξ1,ξ2，…，ξn 取自这一母体的一个子样，则任意两个个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数为 关键词 最小顺序统计量，最大顺序统计量，第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数，任意两个个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数 引言 顺序统计量在近代统计推断中起着重要的作用，这是由于顺序统计量有一些性质不依赖于母体的分布，并且计算量很小，使用起来较方便，因此在质量管理、可靠性等方面得到广泛的应用。顺序统计量在近代统计推断中起着很重要的作用，在水文，地震，气象和建筑等领域都有重要作用。

@统计量与抽样分布习题

统计量与抽样分布习题 1．调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为μ盎司，通过观察这台装瓶机对每个瓶子的灌装量服从标准差σ=1.0盎司的正态分布。随机抽取由这台机器灌装的9个瓶子形成一个样本，并测定每个瓶子的灌装量。试确定样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司的概率。 2．第1题中，如果我们希望Y 与μ的偏差在0.3盎司之间的概率达到0.95，应当抽取多大的样本？ 3．在第1题中，假定装瓶机对瓶子的灌装量服从方差2 σ=1的标准正态分布。假定我们计划随机抽取10个瓶子组成样本，观测每个瓶子的灌装量，得到10个观测值，用这10个观测值我们可以求出样本方差2S ()??? ??--=∑=n i i Y Y n S 12211，确定一个合适的范围使得有较大的概率保证2S 落入其中是有用的，试求1b 和2b ，使得() 90.0221=≤≤b S b P 。 4．621,,,Z Z Z Λ表示从标准正态总体中随机抽取的容量6=n 的一个样本，试确定常数b ， 使得95.0612=?? ? ??≤∑=i i b Z P 选择题： 1． 设n X X X ,,,21Λ是从某总体X 中抽取的一个样本，下面哪一个不是统计量？ ()∑∑==-==n i i n i i X X n S B X n X A 122 11.1. ()[] 21.∑=-n i i X E X C ()∑=--=n i i X X n S D 122 11. 2． 下面不是次序统计量的是？ A ．中位数 B ．均值 C ．四分位数 D ．极差 3．抽样分布是指？ A ．一个样本各观测值的分布 B ．总体中各观测值的分布 C ．样本统计量的分布 D ．样本数量的分布 4．根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的均值为？ A ．μ B ．X C ．2 σ D ．n 2 σ 5．根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为？

统计量及其抽样分布

《统计学》课程教学大纲 课程编号：×××××××× 课程类别：学科基础课 授课对象：经济管理类各专业、社会学专业、档案学专业、新闻学专业等 开课学期：第3、4、5、6学期 学分：4学分 主讲教师：……等 指定教材：贾俊平、何晓群、金勇进编著，《统计学》(第六版)，中国人民大学出版社，2015年教学目的： 《统计学》是为我校非统计专业本科生开设的一门基础必修课，总课时约54学时。设置本课程的目的在于培养学生有关统计知识方面的基本技能，培养学生应用统计方法分析和解决问题的实际能力。教学应达到的总体目标是： 使学生能系统地掌握各种统计方法，并理解各种统计方法中所包含的统计思想。 使学生掌握各种统计方法的不同特点、应用条件及适用场合。 培养学生运用统计方法分析和解决实际问题的能力。 第1章导论 课时：1周，共3课时 教学内容 第一节统计及其应用领域 一、什么是统计学 统计学的概念。描述统计。推断统计。 二、统计的应用领域 统计在共生管理中的应用。统计在其他领域的应用。统计的误用与正确使用。 三、历史上著名的统计学家 一些主要的统计学家。 第二节统计数据的类型 一、分类数据、顺序数据、数值型数据 分类数据。顺序数据。数值型数据。 二、观测数据和实验数据 观测数据。实验数据。 三、截面数据和时间序列数据 截面数据。时间序列数据。 第三节统计中的几个基本概念 一、总体和样本 总体。有限总体和无限总体。样本。样本容量。 二、参数和统计量 参数。统计量。 三、变量 变量。变量的类型。 第2章数据的收集 课时：1周，共3课时

第一节数据来源 一、数据的间接来源 二手数据。 二、数据的直接来源 统计调查方式。数据的收集方法。 第二节调查设计 一、调查方案的结构 调查目的。调查对象和调查单位。调查项目和调查表。 二、调查问卷设计 问卷的结构。提问项目设计。回答项目的设计。问题顺序的设计。第三节数据质量 一、数据的误差 抽样误差。非抽样误差。 二、数据的质量要求 第3章数据的图表展示 课时：1周，共3课时 教学内容 第一节数据的预处理 一、数据审核 原始数据的审核。二手数据的审核。 二、数据筛选 数据筛选的意义。用Excel进行数据筛选。 三、数据排序 数据排序的作用。用Excel进行数据排序。 第二节分类和顺序数据的整理与显示 一、分类数据的整理与显示 频数与频数分布。用Excel制作频数分布表。分类数据的图示方法。 二、顺序数据的整理与显示 累积频数与累积频率。顺序数据的图示方法。 第三节数值型数据的整理与显示 一、数据分组 分组方法。 二、数值型数据的图示 直方图。茎叶图和箱线图。线图。雷达图。 第四节统计表 一、统计表的构成 二、统计表的设计 第4章数据的概括性度量 课时：1周，共3课时 教学内容 第一节集中趋势的度量

次序统计量及其分布

§5.3次序统计量及其分布 次序统计量在近代统计推断中起着重要的作用，这是由于次序统计量有一些性质不依赖于母体的分布并且计算量很小，使用起来较方便。因此在质量管理、可靠性等方面得到广泛的应用，现在我们在本节中扼要地介绍有关次序统计量的内容。gjzsj 设1ξ，2ξ，…，n ξ是取自分布函数为F （x ）的母体ξ的一个子样，x 1，x 2，… ，x n 表示这子样的一组观测值。这些观测值，由小到大的排列用x )1(，x )2(，… ，x )(n 表示，即x )1(≤x )2(≤… ≤x )(n ，若其中有两个分量x 1与x 2相等，它们先后次序的安排是可以任意的。 定义5.3 第i 个次序统计量ξ)(i 是上述子样1ξ，2ξ，…，n ξ这样的一个的一个函数，不论子样1ξ，2ξ，…，n ξ取得怎样一组观测值x 1，x 2，… ，x n ，它总是取其中的x )(i 为观测值。 显然，对于容量为n 的子样可以得到n 个次序统计量ξ)1(≤ξ)2(≤… ≤ξ)(n ，其中ξ)1(称做最小次序统计量，ξ)(n 称做最大次序统计量。 如果1ξ，2ξ，…，n ξ是来自同一母体的n 个相互独立随机变量，那么次序统计量1ξ，2ξ，…，n ξ是否也相互独立呢？这可以从下述例子中看出（例略）。 定理5.5 设母体ξ有密度函数f (x)>0，a ≤x ≤b ,并且1ξ，2ξ，…，n ξ为取自这母体的一个子样，则第i 个次序统计量的密度函数为 g i (y)=?? ???≤≤-----其他,0),()](1][)([)!()!1(!1b y a y f y F y F i n i n i n i （5.24） 例5.3 设母体ξ有密度函数 ? ??<<=其他,010,2)(x x x f 并且ξ)1(<ξ)2(<ξ)3(<ξ)4(为从ξ取出的容量为4的子样的次序统计量。求ξ)3(的密度函数)(3x g 和分布函数)(3x G ，并且计算概率)2 1()3(>ξP 。

几个关于次序统计量的典型例题

几个关于次序统计量的典型例题 摘要：次序统计量作为一类重要的统计量在很多领域中都有关泛的应用。本文 在前人研究的基础上总结了有关次序统计量若干重要的例题，主要包括：特殊形 式的多个次序统计量联合密度函数的求法；均匀分布样本极差的密度函数的求法；有关次序统计量独立性的证明。希望对读者学习研究次序统计量起到微薄的帮助。 关键词：次序统计量雅可比行列式次序统计量独立性 一、引言 次序统计量是一类很重要的统计量，被广泛地应用在统计推断、可靠性理论、应用概率等很多领域。其优点在于次序统计量有一些性质不依赖母体分布，且计 算量较小，这样可以根据相关的理论快速得到目标统计量的分布情况。现有的理 论研究已经非常充分，如，文章[3]中，作者描述了均均分布及指数分布的相关统 计量性质；文章[4]中，作者就几个常见分布次序统计量的随机比较进行了详细地 说明。文章[5]中，作者详细描述了均匀分布的次序统计量的性质；本文旨在前人 的基础上对次序统计量几个常见但没有被系统总结的例题做一详细说明。 二、次序统计量的基本知识 定义1：设x1,x2…,xn是取自总体x的样本，x(i)称为该样本的第i个次序统计量，它的取值是将样本观测值由小到大排列后得到的第i个观测值。（x(1),x(2)…，x(n)）称为该样本的次序统计量。其中，x(1)是该样本的最小次序统计量，x(n)是 该样本的最大次序统计量。R=x(n)-x(1)称为样本极差。 引理1：设总体x的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，x1,x2…，xn为样本， 则第k个次序统计量x(k)的密度函数为： f（x(k)）=[F（x）]k-1[1-F（k）]n-kf（x） 引理2：（x(1),x(2)…，x(n)）是总体样本的次序统计量，f（x(k)）是第k个次 序统计量（x(k)）的密度函数，则次序统计量xk的联合密度函数为：f（x(1),x(2)…，x(n)）=n!f（x(k)） 引理3：设总体x的密度函数为f（x），分布函数为F（x），x1，x2， (x) 为样本，则次序统计量（x(i)，x(j)）(i