三角函数
类型一：三角函数最值与值域
【例1】【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+，
即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，
故2sin cos 0x θ=，
所以cos 0θ=．
又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2
． （2）2
222ππππsin sin 124124y f x f x x x ????????????=+++=+++ ? ? ? ?????????????????
ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ????-+-+ ? ???????=+=-- ? ??
?
π1cos 223x ??=-+ ??
?．
因此，函数的值域是[122-
+． 类型二：三角函数图象与性质的综合应用
【例2-1】【解析】解法一：（Ⅰ）5555()2cos (sin cos )4444
f ππππ=+ 2cos (sin cos )444π
ππ
=---2= （Ⅱ）因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =+
+)14
x π=++． 所以22T ππ=
=． 由222,242k x k k Z πππππ-
≤+≤+∈， 得3,88
k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-
+∈．
解法二：因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++
)14x π
=++
（Ⅰ）511()112444
f πππ=+=+=． （Ⅱ）22T ππ=
=． 由222,242k x k k Z πππππ-
≤+≤+∈， 得3,88
k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-
+∈．
【例2-2】【解析】（1）因为(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，∥a b ，
所以3sin x x =．
若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．
于是tan 3
x =-． 又[0,]x π∈，所以56
x π=．
（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6
f x x x x x x =?=?=-=+a b ． 因为[0,]x π∈，所以ππ7π[,]666
x +∈，
从而π1cos()6x -≤+≤． 于是，当ππ66x +
=，即0x =时，()f x 取到最大值3；
当π6x +=π，即5π6
x =时，()f x 取到最小值- 【例2-3】【解析】（Ⅰ）因为()sin()sin()62f x x x ππ
ωω=-+-，
所以1()sin cos cos 22f x x x x ωωω=
--
3cos 22
x x ωω=-
13(sin )2x x ωω=
)3x π
ω=- 由题设知()06
f π=， 所以63k ωπ
π
π-=，k Z ∈．
故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<，
所以2ω=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3
f x x π=-
所以()))4312g x x x πππ=+
-=-． 因为3[,]44x ππ∈-
， 所以2[,]1233x πππ-
∈-， 当123x π
π
-=-， 即4x π=-时，()g x 取得最小值32
-． 类型三：三角函数的实际应用
【例3】【解析】（Ⅰ）因为1()10sin )102sin()12212123f t t t t ππππ--+--+， 又240<≤t ，所以373123ππ
π
π
<+≤t ，1)3
12sin(1≤+≤-ππt ， 当2=t 时，1)312sin(=+ππt ；当14=t 时，1)3
12sin(-=+ππt ； 于是)(t f 在)24,0[上取得最大值12，取得最小值8．
故实验室这一天最高温度为12C ?，最低温度为8C ?，最大温差为4C ?
（Ⅱ）依题意，当11)(>t f 时实验室需要降温． 由（Ⅰ）得)312sin(210)(ππ+-=t t f ，所以11)3
12sin(210>+-ππt ，即1sin()1232
t ππ+<-， 又240<≤t ，因此
61131267ππππ<+ 类型四：已知边角关系利用正余弦定理解三角形 【解析】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-??=， 2,c a ABC ∴==△的面积1sin 2 S ac B = =． （2）30A C +=?， sin sin(30)A C C C ∴+=?-+1cos sin(30)22C C C =+=+?=， 030,303060C C ?< 类型五：利用正弦定理、余弦定理解平面图形 【例5】【解析】（1）90ADC ∠=?，45A ∠=?，2AB =，5BD =． ∴由正弦定理得：sin sin AB BD ADB A =∠∠，即25sin sin 45ADB =∠? ， 2sin 45sin 5ADB ?∴∠==， AB BD <，ADB A ∴∠<∠， cos ADB ∴∠== （2）90ADC ∠=?，cos sin BDC ADB ∴∠=∠= ， 2DC = BC ∴= 5=． 巩固练习 1.【解析】（Ⅰ）因为()cos )22f x x x =--sin()42x π=+- 所以()f x 的最小正周期为2π． （Ⅱ）因为0x π-≤≤，所以3444x πππ- ≤+≤． 当42x π π+=-，即34 x π=-时，()f x 取得最小值． 所以()f x 在区间[],0π-上的最小值为3()142 f π-=--． 2．解：(1)由题意得f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x cos x ， ＝3sin 2x ＋cos 2x －1＝2sin ? ?? ??2x ＋π6－1， 令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2 (k ∈Z)， 得k π－π3≤x ≤k π＋π6 (k ∈Z). ∴f (x )的单调递增区间是???? ??k π－π3，k π＋π6(k ∈Z). (2)由(1)和条件可得f (C )＝2sin ? ?? ??2C ＋π6－1＝1， 则sin ? ?? ??2C ＋π6＝1. ∵角C 是三角形内角，∴2C ＋π6＝π2，即C ＝π6 . ∴cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝32 ， 又c ＝1，ab ＝23，∴a 2＋12a 2＝7，解得a 2＝3或a 2＝4， ∴a ＝3或2，b ＝2或3，∵a >b ，∴a ＝2，b ＝ 3.
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