高等数学上册教案

高等数学教案

一、课程的性质与任务

高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。

第一章：函数与极限

教学目的与要求 18学时 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4.掌握基本初等函数的性质及其图形。

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6.掌握极限的性质及四则运算法则。

7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 第一节：映射与函数 一、集合 1、 集合概念

具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素

1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质=

元素与集合的关系：A a ? A a ∈

一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N +

元素与集合的关系： A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ?。

如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ?且B A ≠则称A 是B 的真子集。 空集φ： A ?φ 2、 集合的运算

并集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?或 交集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?且 差集 B A \：

}|{\B x A x x B A ?∈=且

全集I 、E 补集C A ：

集合的并、交、余运算满足下列法则： 交换律、A B B A ?=? A B B A ?=? 结合律、)()(C B A C B A ??=?? )()(C B A C B A ??=?? 分配律 )()()(C B C A C B A ???=?? )()()(C B C A C B A ???=?? 对偶律 (c

c

c

B A B A =?) c

c

c

B A B A ?=?)( 笛卡儿积A ×B }|),{(B y A x y x ∈∈=且 3、 区间和邻域

开区间 ),(b a 闭区间 []b a , 半开半闭区间 ]()[b a b a ,,

有限、无限区间

邻域：)(a U }{),(δδδ+-=a x a x a U a 邻域的中心

δ邻域的半径

去心邻域 ),(δa U

左、右邻域 二、映射 1. 映射概念

定义 设X ，Y 是两个非空集合，如果存在一个法则f ，使得对X 中的每一个元素x ，按法则f ，在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 为从X 到Y 的映射，记作

Y X f →：

其中y 称为元素x 的像，并记作)(x f ，即 )(x f y = 注意：1）集合X ；集合Y ；对应法则f

2）每个X 有唯一的像；每个Y 的原像不唯一 3) 单射、满射、双射

2、 映射、复合映射 三、函数

1、 函数的概念：

定义：设数集R D ?，则称映射R D f →:为定义在D 上的函数 记为

D x x f y ∈=)(

自变量、因变量、定义域、值域、函数值

用f 、g 、?

函数相等：定义域、对应法则相等

自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝.

例：１) ｙ＝２

2) ｙ＝x

??==00

01 x x y

3) 符号函数

4) 取整函数 []x y = （阶梯曲线） 5) 分段函数 ???+≤≤=1

1102 x x

x x y

2、 函数的几种特性

1） 函数的有界性 (上界、下界；有界、无界)

有界的充要条件：既有上界又有下界。 注：不同函数、不同定义域，有界性变化。

2) 函数的单调性 （单增、单减）在x 1、x 2点比较函数值 )(1x f 与)(2x f 的大小（注：与区间有关） 3) 函数的奇偶性(定义域对称、)(x f 与)(x f -关系决定) 图形特点 (关于原点、Y 轴对称)

4)函数的周期性(定义域中成立：)()(x f l x f =+)

3、 反函数与复合函数

反函数：函数)(:D f D f →是单射，则有逆映射x y f =-)(1

，称此映射1

-f

为f 函数

的反函数

函数与反函数的图像关x y =于对称

复合函数：函数)(y g u =定义域为D 1，函数)(x f y =在D 上有定义、且1)(D D f ?。则)())((x f g x f g u ==为复合函数。(注意：构成条件) 4、 函数的运算

和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算) 5、

初等函数：

1) 幂函数：a

x y = 2)指数函数：x

a y =

3) 对数函数 )(log x y a =

4)三角函数

)cot(),tan(),cos(),sin(x y x y x y x y ====

5) 反三角函数

)arcsin(x y =， )arccos(x y =

)cot()

arctan(x arc y x y ==

以上五种函数为基本初等函数 6) 双曲函数

2

x

x e e shx --= 2x x e e chx -+=

x

x

x

x e e e e chx shx thx --+-==

注：双曲函数的单调性、奇偶性。

双曲函数公式

shy

shx chy chx y x ch shy shx chy chx y x ch shy chx chy shx y x sh shy chx chy shx y x sh ?-?=-?+?=+?-?=-?+?=+)()()()( 反双曲函数：

arthx

y archx y arshx y ===

作业： 同步练习册练习一

第二节：数列的极限 一、数列

数列就是由数组成的序列。 1）这个序列中的每个数都编了号。

2）序列中有无限多个成员。 一般写成： n

a a a a a 4321

缩写为{}n u

例 1 数列?

?????n 1是这样一个数列{}n x ，其中 n

x n 1

=， 5,4,3,2,1=n 也可写为：

5

1

4131211

可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为01

lim =∞→n

n

1、 极限的N -ε定义：

εε a x N

n N n -???0

则称数列{}n x 的极限为a ，记成

a x n n =∞

→lim

也可等价表述：

1）ερε<>??>?)(0

a x N n N n

2）)(0

εεa

O x N

n N

n ∈>??>?

极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。

二、收敛数列的性质

定理1：如果数列{}n x 收敛，那么它的极限是唯一 定理2 如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 一定有界

定理3：如果a x n x =∞

→lim 且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N 时，

)0(0<>n n x x

定理4、如果数列}{n x 收敛于a 那么它的任一子 数列也收敛,且收敛于a 。

第三节：函数的极限 一、极限的定义

1、在0x 点的极限

1）0x 可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f 在0x 有没有定义，以及函数值)

(0x f 的大小。只要满足：存在某个0>ρ使：D x x x x ?+?-),(),(0000ρρ。 2）如果自变量x 趋于0x 时，相应的函数值 )(x f 有一个总趋势-----以某个实数A 为极限 ，则记为 ：A x f x x =→)(lim 0

。

形式定义为：

εδδε<-<-?A x f x x x )()

0(00

注：左、右极限。单侧极限、极限的关系

2、∞→x 的极限

设：),()

(+∞-∞∈=x x f y 如果当时函数值 有一个总趋势------该曲线有一条水平渐

近线A y =-----则称函数在无限远点∞有极限。记为：A x f x =∞

→)(lim

在无穷远点∞的左右极限： )(lim )(x f f x +∞

→=+∞ )(lim )(x f f x -∞

→=-∞

关系为：

)(lim )(lim )(lim x f A x f A x f x x x -∞

→+∞

→∞

→==?=

二、函数极限的性质 1、 极限的唯一性 2、 函数极限的局部有界性 3、 函数极限的局部保号性 4、 函数极限与数列极限的关系 第四节：无穷小与无穷大

一、无穷小定义

定义：对一个数列{}n x ，如果成立如下的命题：

εε????>?n x N n N 0 则称它为无穷小量，即0lim =∞

→n x x

注： 1、ε??的意义；

2、ε

3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数ε，存在一个号码N ，使在这个号码以后的所有的号码n ，相应的n x 与极限0的距离比这个给定的ε还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。

定理1 在自变量的同一变化过程0x x →（或)∞→x 中，函数()x f 具有极限A 的充分必要条件是α+=A x f )(，其中α是无穷小。

二、无穷大定义

一个数列{}n x ，如果成立：

G x N n N G n >?>????>?0那么称它为无穷大量。记成：∞=∞

→n x x lim 。

特别地，如果G x N n N G n >?>????>?0，则称为正无穷大，记成+∞=∞

→n x x lim

特别地，如果G x N n N G n -????>?0，则称为负无穷大，记成

-∞=∞

→n x x lim

注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。 三、无穷小和无穷大的关系

定理2 在自变量的同一变化过程中，如果)(x f 为无穷大，则

)

(1

x f 为无穷小；反之，如果)(x f 为无穷小，且0)(≠x f 则

)

(1

x f 为无穷大 即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当0≠n x 时：有

∞=?=∞→∞

←n

x x x 1

lim

0lim

01

lim

lim =?∞=∞→∞

←n

x x x

注意是在自变量的同一个变化过程中 第五节：极限运算法则 1、无穷小的性质

设{}n x 和{}n y 是无穷小量于是： （1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：

0)(lim 0lim 0

lim =±?==∞

←∞

→∞

→n n x n x n x y x y x

（2）对于任意常数C ，数列{}n x c ?也是无穷小量：

0)(lim 0lim =??=∞

←∞

→n x n x x c x

（3）{}n

y x

n

?也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。

0)(lim 0lim 0

lim =??==∞

→∞

→∞

→n n x n x n x y x y x

（4）{}

n x 也是无穷小量：

0lim 0lim 0

=?=→→n x x n x x x x

（5）无穷小与有界函数的积为无穷小。 2、函数极限的四则运算

1、 若函数f 和g 在点0x 有极限，则

)(lim )(lim ))()((lim 0

x g x f x g x f x x x x x x →→→+=+

2、 函数f 在点0x 有极限，则对任何常数a 成立

)(lim ))((lim 0

x f a x f a x x x x →→?=?

3、若函数f 和g 在点0x 有极限，则

)(lim )(lim ))()((lim 0

x g x f x g x f x x x x x x →→→?=?

3、 若函数f 和g 在点0x 有极限，并且

0)(lim 0

≠=→βx g x x ，则

βα==???? ??→→→)(lim )(lim )()(lim 0

0x g x f x g x f x

x x x x x

极限的四则运算成立的条件是若函数f 和g 在点0x 有极限 例：求下述极限

4、

复合函数的极限运算法则

定理6 设函数)}([x g f y =是由函数)(u f y =与)(x g u =复合而成，)]([x g f 在点0x 的 某去心邻域内有定义，若0)(lim 0

u x g x x =→，

A u f u u =→)(lim 0

，且存在00>δ，当),(0

00

δx u x ∈时，有

0)(u x g ≠，则

第六节：极限存在准则 两个重要极限

定理 1 夹逼定理 ：三数列{}n x 、{}n y 和{}n z ，如果从某个号码起成立：1）

n n n z y x <<，并且已知{}n x 和{}n z 收敛，

2）n x n x z a x ∞

→∞

→==lim lim

，则有结论：

a y n x =∞

→lim

93lim

23

--→x x x 4

53

2lim

21

+--→x x x x 3

57243lim 23

23-+++∞→x x x x x 52123lim 23

2+---∞→x x x x x 1

235

2lim 2

23--+-∞→x x x x x x

x x sin lim ∞→A

u f x g f u u x x ==→→)(lim )]([lim 0

定理2 单调有界数列一定收敛。

单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。

例：证明：1sin lim 0=→x

x

x

例：

x x x tan lim

0→ 20cos 1lim x

x

x -→

x

x

x arcsin lim 0→ 证明：x x x )11(lim +∞→有界。求 x x x

)11(lim -∞→的极限

第七节：无穷小的比较

定义：若βα,为无穷小

且 1

lim 0lim 0

lim lim 0lim

=≠=≠=∞

==α

βαβ

αβαβαβ

c c K 高阶、低阶、同阶、

k 阶、等价α～β

1、 若βα,为等价无穷小则)(ααβ +=

2、 若α～1α 、β～1

β且1

1lim

αβ存在，

则：

1

1lim

lim αβα

β=

例：

x x x 5sin 2tan lim 0→ x

x x x 3sin lim 30+→ 1

cos 1

)1(lim

3

1

20--+→x x x

第八节：函数的连续性与间断点 一、 函数在一点的连续性

函数f 在点0x 连续，当且仅当该点的函数值)(0x f 、左极限)0(0-x f 与右极

限)0(0+x f 三者相等：

)0()()0(000+==-x f x f x f

或者：当且仅当函数f 在点0x 有极限且此极限等于该点的函数值 。 )()(lim 00

x f x f x x =→ 其形式定义如下：

εδδ

ε<-<-??

函数在区间（a,b ）连续指：区间中每一点都连续。 函数在区间［a,b ］连续时注意端点。 注：左右连续，在区间上连续(注意端点) 连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线 二、间断点

若：)0()()0(000+==-x f x f x f 中有某一个等式不成立，就间断，分为：

1、 第一类间断点：

可去型：)0()0(00+=-x f x f 但)()(lim 00

x f x f x x ≠→

跳跃型：)0()0(00-≠+x f x f

即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。

2 、第二类间断点0x ：左极限)0(0-x f 与右极限)0(0+x f 两者之中至少有一个不存在（无穷型间断点和振荡型间断点） 例：见教材

第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的四则运算

1.)()(lim

00

x f x f x x =→且)()(lim 00

x g x g x x =→，

?{

})()()()(lim 000

x g x f x g x f x x ?+?=?+?→βαβα 2)()(lim

00

x f x f x x =→且)()(lim 00

x g x g x x =→，

?{})()()()(lim 000

x g x f x g x f x x *=*→

3.

)()(lim 00

x f x f x x =→且0)()(lim 00

≠=→x g x g x x ，

?)

()

()()(lim

000

x g x f x g x f x x =→ 反函数连续定理：如果函数f D x x f y f ∈=)(:是严格单调增加（减少）并且连

续的，则存在它的反函数1

-f ：f D y y f

x ∈=-)

(1

并且1

-f

也是严格单调增加（减

少）并且连续的。

注： 1）反函数的定义域就是原来的值域。

2）通常惯用X 表示自变量，Y 表示因变量。反函数也可表成

1

)

(1

-∈=-f D x x f

y

复合函数的连续性定理：

设函数f 和g 满足复合条件g ?f D ?，若函数g 在点x 0连续；00)(u x g =，又若f 函数在点0u 连续，则复合函数g f 在点0x 连续。 注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：

))(lim ())((lim 0

x g f x g f x x x x →→=

从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且：初等函数在其定义区间内连续。

第十节：闭区间上连续函数的性质

一、

最大、最小值

设函数：D x x f y ∈=,)(在上有界，现在问在值域

{}D x x f y y D ∈==),(1

中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点D x ∈0的函数值 )(00x f y =，则记{})(max 0x f y D

x ∈=叫做函数在D 上的最大值。

类似地，如果 f D 中有一个最小实数，譬如说它是某个点f D x ∈2的函数值

)(22x f y =，则记{})(min 2x f y f

D

x ∈=称为函数在上的最小值 。

二、有界性

有界性定理：如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则它在[]b a ,上有界。 三、零点、介值定理

最大值和最小值定理：如果函数 f 在闭区间[]b a ,上连续则它在[]b a ,上有最大值和最小值，也就是说存在两个点?和η，使得

[]b a x f x f f ,,)()()(∈≤≤η?

亦即

[]

{})(min )(,x f f b a x ∈=? []

{})(max )(,x f f b a x ∈=η

若x 0使0)(0=x f ，则称x 0为函数的零点 零点定理：

如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续，且f 在区间[]b a ,的两个端点异号：

0)(*)(

中值定理：

如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上能取到它的最大值 和最小 值 之间的任何一个中间值。 作业：见课后各章节练习。

第二章 导数与微分

教学目的与要求 22学时

1、 理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切

线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。

2、 熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函

数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。

4、 会求分段函数的导数。

5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

一、导数概念（0

） 1、定义

x

y lim

)(x f 0x 0/??=→?

00x x 000

x x x )

f(x f(x)lim

x

)

f(x )x f(x lim 0

--=?-?+=→→? x f(x))x f(x lim (x)f 0

x /?-?+=→?

左导数

00x x 000x /-x -x )f(x f(x)lim

x )f(x )x f(x lim

(x)f 0-

-=?-?+=-→→? 右导数

00x x 000x /

x -x )f(x f(x)lim

x )f(x )x f(x lim

(x)f 0-=?-?+=+

+

→→?+

∴ A )(x f )(x f A )(x f 0/0/-0/==?=+

可以证明：

可导→连续。即可导是连续的充分条件。 连续是可导的必要条件。 左右导数(注：与左右极限关系) 2、导数的几何意义 曲线()x f

y =

在点

()00y ,x 处切线：

()()00/0x x x f y y -=- 例1：讨论

??

???=≠=0

x 00x x

1xsin )x (f 在x=0处可导性 解：∵ f(0)0x

1

xsin

lim f(x)lim 0

x 0

x ===→→

f(x)在x = 0连续

x

1sin lim 0

-x f(0)-f(x)lim 0

x 0

x →→=

不存在 ∴

f(x)在x = 0不可导

例2：已知)(x f 0/

存在

则 =+→h

)

f(x -2h)f(x lim

000

h )(x 2f 0/ =-→h

)f(x -h)5f(x lim 000

h )(x f 50/- h

h x f h x f h )

()3(lim

000--+→ =h

)f(x -h)f(x h )f(x -h)3f(x lim 00000--+→h

)(x f 40/=

例3：设函数f(x)可微，

则=??+→?x

(x)f -)x (x f lim 220

x (x)2f(x)f /

例4：

设

??

??

?>+≤=0

x b ax x x x )x (f 02

为使f(x)在x = x 0 处可导，应如何选取常数a 、b 解：首先f(x)必须在x 0连续 20

2x x x x x x lim f(x)lim -

0-0==→→

b ax b ax lim f(x)lim 0x x x x 00+=+=+

+

→→

∴

20

x b ax =+ ①

202x x 00x x /-x -x x x lim x -x )f(x f(x)lim (x)

f 00-=-=--→→ 00x x 2x x x lim

0=+=-

→

a

x -x ax -ax lim

x -x x -b ax lim

x -x )f(x f(x)lim (x)

f 0

x x 02

x x 0

0x x /

000==+=-=+++→→→+

∵ )(x f 0/存在

∴ 0x 2a = 从而 20x b -=

（由①得）

例5：f(x) = x (x-1)(x-2)……(x-9) , 则()=0f /

!9-

∵ 0

-x f(0)-f(x)lim

(0)f 0x /→= !99)(x 2)1)(x (x lim 0

x -=---=→

例6：设f(x)在x = 0 领域内连续，21

x 1f(x)

lim 0

x =-+→，

则

=(0)f /1

∵ 0f(x)lim f(0)0

x ==→

（分母→0）

∴ x

f(x)lim

-x f(0)-f(x)lim (0)f 0

x 0

x /→→==

121

2x 1x 11

-x 1f(x)lim

x =?=-+?+=→

例7：设函数 f (1+x) = a f ( x ) ， 且

b (0)f /= (a , b ≠0)，

问 (1)f /存在否?

解：c

x af(0)-x)af(lim x f(1)-)x f(1lim

(1)f 0

x 0x /??=??+=→?→? ab (0)af x f(0)-x)f(a lim /0

x ==???=→?

二、导数的求法 1、显函数导数

求一个显函数的导数需解决： ①基本初等函数导数(P 64); ②导数四则运算法则(P 65);

③复合函数与反函数求导法则(P 66)。

定理：

()x u ?=在X 有导数dx

du ，()u f y =在对应点u 有导数du

dy ，

则复合函数()[]x f

y ?=在X 处也有导数，

()()x u f dx

du du dy dx dy //??=?=。

例1：()12x xsin

y 2+=

求/

y

解： ()

()

12x cos 4x x 12x sin y 22/+?++= 例2：2x 1ln y += 求/y

解： ()

2x 1ln 2

1

y +=

2

2/x 1x x 12x 21y +=

+?= 例3：x arctg y = 求/y

解： x

21x 11y /?+=

例4：x 1arctg

a y =

求/y

解：

x 1

arctg 2

22x 1

arctg /

a x 1lna x 1x 111

lna a

y +-=??

?

??-???

? ??+?= 例5：()12x ln y 3+= 求/y

解： ()1

2x 212x 3ln y 2/+?

+= 例6：x x x y ++=

求/y

解： ??????

?

???? ??+?++++=

x 211x x 211x x x 21

y / 例7：sinx x y =

求/

y

解： lnx

sinx e y ?= ??

?

???+=lnx cosx x

sinx x y sinx / 例8：a

b

x

x a b b

x

a

y ++=

求/y

解： 1a x 1

a b x

b /

ax lnb b

x

a ln

b b lna a

y

a

b x

--?++?=

例9：1

e e ln

y 2x 2x

+=

求/

y

解： ()[]

()

1e ln 2

1x 1e ln lne 2

1y 2x 2x 2x +-=+-=

2x 2x 2x /

e

11

1e 2e 21-1y +=+?= 高阶导数、二阶：

()()x x f x x f lim

x x dx y d 0/0/0

x 022

?-?+==→? ()()00//x x x x x f x f lim

--=→ 例10：()

2x e f y =

，

()lnx x f /= 求dx

dy

解： ()

dx de de

e d

f dx dy 2x

2x 2x ?= ()

2x 2x /2e e f ?= 2x 2x 2e lne ?=2x 4xe =

先讲微分（后页）

2、 隐函数导数参数方程导数

如方程F(x ，y)=0确定了y=y(x)，只需方程两边对x 求导，注意y=y(x)

例10：求下列隐函数的导数 （1）设()0y x cos ysinx

=-- 求/y

解： 方程两边对x 求导， ()()

0y 1y x sin ycosx sinx

y //=-?-++

()()sinx

y x sin y x sin ycosx y /---+= （2）设()x y y =是由方程01

x y

ln e xy =++所确定的隐函数， 求()0y /

解： 由原方程知当x=0时，e 1y =，

方程两边对x 求导。

(

)

x 11y y xy y e //

xy

=+-++，将x=0，e 1y =代入得：()010ey e

1/=-+