1．数形结合话数轴
解读课标
数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来.
在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法．
运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在：1．利用数轴形象地表示有理数；
2．利用数轴直观地解释相反数；
3．利用数轴解决与绝对值有关的问题；
4．利用数轴比较有理数的大小．
问题解决
例1 (1)已知a、b为有理数，且0
a b+<，将
b<，0
a>，0
四个数a、b、a-、b-按由小到大的顺序排列是__________．
（《时代学习报》数学文化节试题）
(2)已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A 与原点O的距离为3，那么点B对应的数是__________．
（广西竞赛题）
试一试对于(1)，赋值或借助数轴比较大小；对于(2)确定A 、B 两点在数轴上的位置，充分考虑A 、B 两点的多种位置关系.
例2如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应是()．
A.A 点
B.B 点
C.C 点
D.D 点
（江苏省竞赛题）
试一试 从寻找d 与a 的另一关系式入手．
例3已知两数a 、b ，如果a 比b 大，试判断||a 与||b 的大小. 试一试 因a 、b 符号未定，故a 比b 大有多种情形，借助数轴可直观全面比较||a 与||b 的大小．
例4电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……，
按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数．
（“希望杯”邀请赛试题）
试一试设0K 点表示的数为x ，把1K 、2K 、、100K 点所表
示的数用x 的式子表示．
例5已知数轴上的点A 和点B 之间的距离为28个单位长度，点A 在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B 在原点
的右边．
(1)求A 、B 两点所对应的数．
(2)数轴上点A 以每秒1个单位长度出发问左运动，同时点
B 以每秒3个单位长度的速度向左运动，
在点C 处追上了点A ，求C 点对应的数．
(3)已知在数轴上点M 从点A 出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N 从点B 出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO 的中点为P (O 为原点)，在运动的过程中线段PO AM -的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．
分析与解对于(3)，设M 点运动时间为t 秒，把PO AM -用2的式子表示．
(1)A 、B 两点所对应的数分别为8,20-；
(2)C 点对应的数为22-； (3)202,102t AM t OP t +===+(为什么？)，则1010PO AM t t -=+-=，即PO AM -的值不变．
生活启示
例6李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题．如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB ，对折后（点A 与点B 重合），固定左端向右均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段AB 上的14，34均变成12；12
变成1；等等）.那么在线段
AB 上（除点A 、点B 外）的点中，在第二次操作后，求恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和.
（浙江省绍兴市中考题）
分析 捕捉问题所蕴含的信息，阅读理解“一次操作”的意义：将线段沿中点翻折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来的一个等分点变为两个等分点．
解
故在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和是13144
+=． 数学冲浪
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1.数轴上有A 、B 两点，若点A 对应的数是2-，且A 、B 两点的距离为3，则点B 对 应的数是__________.
2.电影《哈利·波特》中，小哈利，波特穿墙进入“394站台”的镜头（如示意图中的M 站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象，若A 、B 站台分别位于2-，1-处，2AN NB =，则N 站台用类似电影中的方法可称为“__________站台”．
（“《时代学习报》数学文化节”试题）
3.已知点A 、B 、P 在数轴上，点
B 表示的数为6，8AB =，5AP =，
那么点P 表示的数是__________．
4.如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）
上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、所对应的点分别与圆周上1、2、0、1所对应的点重合.这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．
(1)圆周上的数字a与数轴上的数5对应，则a=__________；
(2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是__________（用含n的代数式表示）．
（江西省中考题）5.有理数a、b在数轴上的位置如图所示：
，则下列各式正确的是()．
A.0
ab> C.||0
a b->
a b+>B.0
a b+< D.0
（2012年湖南省常德市中考题）6.文具店、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西20米，玩具店位于书店东100米处．小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了60-米，此时小明的位置在()．
A.文具店
B.玩具店
C.文具店西边40米
D.玩具店东60-米
7.将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm ”“15cm ”分别对应数轴上的 3.6-和x ，则
()．
A.910x <<
B.1011x <<
C.1112x <<
D.1213x <<
（浙江省绍兴市中考题）
8.在数轴上任取一条长度为119999
的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是()．
A.1998
B.1999
C.2000
D.2001
（重庆市竞赛题）
9.一个跳蚤在一条直线上，从O 点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次晾左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位……依此规律剧下去，当它跳第100次落下时，求落点处离O 点的距离（用单位表示）．
（江苏省无锡市中考题）
10.已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，求所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和．
（北京市“迎春杯”竞赛题）
--思维方法天地--
11.在数轴上，点A 、B 分别表示13-和15
，则线段AB 的中点所表示的数是____.
12.在数轴上，表示数(2)2a +，的点M 与表示数(3)3
a +，的点N
关于原点对称，则a 的值为__________．
13.数形相伴
(1)如图所示，点A 、B 所代表的数分别为1-,2，在数轴上画出与A 、B 两点的距离和为5的点（并标上字母）．
(2)若数轴上点A 、B 所代表的数分别为a 、b ，则A 、B 两点之间的距离可表示为||AB a b =-，那么，当|1||2|7x x ++-=时，x =__________；当|1||2|5x x ++->时，数x 所对应的点在数轴上的位置是在__________．
（《时代学习报》数学文化节试题）
14.点A 、B 分别是数3-、12
-在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动为A B ''，且线段A B ''的中点对应的数是3，则点A '对应的数是__________，点A 移动的距离是__________.
（江苏省竞赛题）
15.点1A 、2A 、3A 、、n A （n 为正整数）都在数轴上，点1A 在原点O 的左边，且11A O =，点2A 在点1A 的右边，且212A A =;点3A 在点2A 的左边，且323A A =，点4A 在点3A 的右边，且434A A =，，
依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为()．
A.2008,2009-
B.2008-,2009
C.1004,1005-
D.1004,1004-
（福建省泉州市中考题）
16.如图：，数轴—上标出若干个点，每
相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数a、b、c、d，且29
-=，那么数轴的原点对应点是（）.
b a
A.A点
B.B点
C.C点
D.D点
17.有理数a、b、c在数轴上的位置如图，式子
a b b c
++-化简结果为( )．
a b
||||
++||||
A.23
a b c
+- B.3b c- C.b c+ D.c b-
18.不相等的有理数a、b、c在数轴上对应点分别为A、B、C,若||||||
a b b c a c
-+-=-那么点B( )．
A.在A、C点右边
B.在A、C点左边
C.在A、C点之间
D.以上均有可能
(“希望杯”邀请赛题) 19.在数轴上，N点与O点的距离是N点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N点表示的数是多少?
(“CASIO杯”河南省竞赛题) 20.已知数轴上有A、B、C三点，分别代表24-、10-、10,两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行.甲的速度为4个单位/秒.
(1)问多少秒后甲到A、B、C的距离和为40个单位?
(2)若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向1而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇?
(3)在(1)、(2)的条件下，当甲到A、B、C的距离和为40个
单位时，甲调头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗?若能，求出相遇点；若不能，请说明理由.
21.操作与探究
对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以1
3
再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P 的对应点P '.
点A ,B 在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段A B '',其中，点A ,B 的对应点分别为A B '',如图所示，若点A 表示的数是3-,则点A '表示的数是__________；若点B '表示的数是2,则点B '表示的数是__________；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E '与点E 重合，则点E 表示的数是__________.
〔2012年北京市中考题〕
22.—动点P 从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进5个单位、后退3个单位的程序运动.已知点P 每秒前进或后退1个单位，设n x 表示第n 秒点P 在数轴上的位置所对应的数(如44x =，55x =，64x =)，求2011x 所对应的数.
2.聚焦绝对值
绝对值是数学中的一个基本概念，这一概念是学习相反数、有理数运算、算术根的基础；绝对值又是数学中的一个重要概念，绝对值与其他知识融合形成绝对值 方程、绝对值不等式、绝对值函数等，在代数式化简求值、解方程、解不等式等方面有广泛的应用，理解、掌握绝对值应注意以下几个方
面：
1.脱去绝对值符号是解绝对值问题的切入点
脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法.
2.恰当地运用绝对值的几何意义
从数轴上看||a 表示数a 的点到原点的距离；||a b -表示数a 、数b 的两点间的距离.
3.灵活运用绝对值的基本性质
①||0a ≥；②222||||a a a ==；③||||||ab a b =?；④|||
|()||a a b a b b =≠ 例1已知: |||20||20|y x b x x b =-+-+--其中020b <<,20b x ≤≤，那么y 的最小值为__________.
(“CASIO 杯”河南省竞赛题)
试一试 结合已知条件判断出每一个绝对值符号内式子的正负性，再去掉绝对值符号.
例2式子||||||
a b ab a b ab ++的所有可能的值有( ). A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个
试一试根据a 、b 的符号所有可能情况，去掉绝对值符号，这是解本例的关键.
例 3 (1)已知|2||2|0ab a -+-=,求111(1)(1)(2)(2)ab a b a b ++++++1(2005)(2006)a b +???+++的值.
(“华罗庚杯”香港中学竞赛题)
(2)设a 、b 、c 为整数，且||||1a b c a -+-=，求||||||c a a b b c -+-+-的值.
(“希望杯”邀请赛试题)
试一试对于（1),由非负数的性质先导出a 、b 的值;对于(2)，1写成两个非负整数的和的形式又有几种可能?这是解(2)的突破口.
例4阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道(0),||0(0),(0).x x x x x x >??=-??-
现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|1||2|x x ++-|时，可令：10x +=和20x -=，分别求得1x =-，2x = (称1-，2分别为|1|x +与|2|x -的零点值)在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
(1)1x <-；(2)12x -≤<；(3)2x ≥.从而化简代数式|1||2|x x ++-可分以下3种情况：
(1)当1x <- 时，原式(1)(2)21x x x =-+--=-+;
(2)当12x -≤<时，原式1(2)3x x =+--=；
(3)当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-.
综上讨论，原式21(1),3(12),21(2).x x x x x -+<-??=-≤
通过以上阅读，请你解决以下问题：
(1)分别求出|2|x +和|4|x -的零点值；
(2)化简代数式|2||4|x x ++-.
(云南省中考题)
试一试在阅读理解的基础上化简求值.
例5(1）当x 取何值时，|3|x -有最小值?这个最小值是多少?
（2）当x 取何值时，5|2|x -+有最大值?这个最大值是多少?
（3）求|4||5|x x -++的最小值.
（4）求|7||8||9|x x x -+-+-的最小值.
分析对于（3）、（4）可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再求最小值;也可利用绝对值的几何意义，即在数轴上找一表示x 的点，使之到表示4、5的点 (:或表示7、8、9的点）的距离和最小.
解(1）当3x =时，原式有最小值，最小值为0.
（2）当2x =-时，原式有最大值，最大值为5.
（3）当45x ≤≤时，原式有最小值，最小值为1.
（4）当8x =时，原式有最小值，最小值为2.
对于（3），给出另一种解法：
当4x ≤时，原式(4)(5)92x x x =----=-，最小值为1； 当45x <≤时，原式4(5)1x x =---=，最小值为1；
当5x >时，原式4529x x x =-+-=-,最小值为1.
综上所述，原式有最小值等于1.
以退求进
例6少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后 再取绝对值的运算，其运算过程是:输人第一个整数1x ，只显示不运算，接着再输人整数2x 心后则显
示12||x x -的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算.现小明将从1到1991这1991个整数随意地一个一个地输人,全部输入完毕之后显示的最后结果设为P ，试求出P 的最大值，并说明理由.
分析先考虑输入个数较少的情形，并结合奇偶分析调整估值，一步步求出P 的最大值.
解由于输入的数都是非负数，当10x ≥,20x ≥时，12||x x -不超过1x 、2x 中最大的数，对10x ≥，20x ≥,30x ≥,则123||||x x x --不超过工1x 、2x 、3x 中最大的数，设小明输入这1991个数的次序
是1x ,2x ???,1991x .相当于计算:12319901991||
||||||x x x x x P --???--=，因此
P 的值1991x ≤. 另外从运算奇偶性分析，1x 、2x 为整数，12||x x -与12||x x +奇偶性相同，因此P 与121991x x x ++???+的奇偶性相同，
但121991121991x x x ++???+=++???+=偶数.于是断定1990P x ≤，我们
证明P 可以取到1990.
对 1,2,3,4,按如下次序：|||13|4|2|0---=，
|||(41)(43)|(44)|(42)|0k k k k +-+-+-+=,对于0,1,2,k =???均成立.因此，1~1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0,而后||19891990|1991|1990--=，故P 的最大值为1990.
数学冲浪
知识技能广场
1.数a 在数轴上的位置如图所示，
，且|1|2a +=,则
|37|a +=____. 2.已知||5a =，||3b =,且||a b b a -=-，那么a b +=____.
3.化简11111111200320032002200220012020042004
01-+-+--=____. (北京市竞赛题）
4.已知有理数
a 、
b 、
c 在数轴上的对应位置如图所示:
,则|1|||||c a c a b -+-+-化简后的结果是
__________.
5.已知整数1a ，2a ，3a ，4a ，???满足下列条件：10a =,21|1|a a =-+，32|2|a a =-+，43|3|a a =+，???，依次类推，则2012a 的值为（ ）. A.1005- B.1006- C.1007- D.2012-
〔2012年江苏省盐城市中考题）
6.已知||a a =-,化简|1||2|a a ---所得的结果是（ ）.
A.1-
B.1
C.23a -
D.32a -
7.若m 是有理数，则m m -一定是（ ）.
A.零
B.非负数
C.正数
D.负数
8.有理数a 、b 、c 的大小关系如图
：则下列式
子中一定成立的是（ ）.
A.0
++> B.||
a b c
+<
a b c
C.||||
->-
b c c a
a c a c
-=+D.||||
(“希望杯”遨请赛试题) 9.化简
(1)|3|x-；(2)|1||2|
+++.
x x
10.阅读下面材料并回答问
题.
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为||AB.
时间：2021.03.01 创作：欧阳语