直线的参数方程的练习
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直线的参数方程及应用 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即? ??+=+=αα sin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=0t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一 对应关系？ 我们把直线l 看作是实数轴， 以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1、t 2 ， x x
直线的参数方程及应用 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P| 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P| P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即? ??+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P|＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=0t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一 对应关系？ 我们把直线l 看作是实数轴， 以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？ x x
参数方程 目标点击： 1．理解参数方程的概念，了解某些参数的几何意义和物理意义； 2．熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则； 3．会选择最常见的参数，建立最简单的参数方程，能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义； 4．灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题. 基础知识点击： 1、曲线的参数方程 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数，?? ?==)()(t g y t f x (1) 并且对于t 的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程. 联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数. 2、求曲线的参数方程 求曲线参数方程一般程序： (1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标； (2) 选参：选择合适的参数； (3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x ，y 的关系 式，并由此分别解出用参数表示的x 、y 的表达式. (4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程 3、曲线的普通方程 相对与参数方程来说，把直接确定曲线C 上任一点的坐标（x,y ）的方程F （x,y ）＝0叫做曲线C 的普通方程. 4、参数方程的几个基本问题 (1) 消去参数，把参数方程化为普通方程. (2) 由普通方程化为参数方程. (3) 利用参数求点的轨迹方程. (4) 常见曲线的参数方程. 5、几种常见曲线的参数方程 (1) 直线的参数方程 (ⅰ)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线的参数方程是 ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) 为直线上任意一点. (ⅱ)过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） （2）圆的参数方程
曲线的参数方程 教学目标 1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路． 2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际问题的能力． 3．从弹道曲线的方程的建立,对学生进行数学的返璞归真教育,使学生体会数学来源于实践的真谛,帮助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点． 教学重点与难点 曲线参数方程的探求及其有关概念是本节课的重点;难点是弹道曲线参数方程的建立． 教学过程 师:满足什么条件时,一个方程才能称作曲线的方程,而这条曲线才能够称作方程的曲线? 生:1.必须同时满足两个条件：（１）曲线上任一点的坐标都是这个方程的解；（２）同时以这个方程的第一组解作为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程就称作曲线的方程，而这条曲线就称作这个方程的曲线． 师：请写出圆心在原点，半径为r的圆Ｏ的方程，并说明求解方法． (师板书——⊙O:) 师：求圆的方程事实上是探求圆上任一点Ｍ（x,y）的横、纵坐标之间的关系式.能用别的方法来探x、y之间的关系吗？ 生：…… 师：（诱导一下）不用刚才的方法给我们直接求x、y的关系带来了困难，能否考虑用间接的方法来求？即在x、y之间是否能建立一座桥梁，使之联系起来？ （计算机演示动画，如图３－１）
师：驱使Ｍ运动的因素是什么？ 生：旋转角θ. 师：当我们把x轴作为θ角始边，并使ＯＭ绕Ｏ点逆时针旋转，请考虑θ在什么范围内取值就可以形成整个圆了？ 生： 师：至此x、y之间的关系已通过θ联系起来了，谁能具体地说说它们之间的关系？ 生3：（c∈[0,2π],θ为变量，r为常数） （生３叙述，师板书） 师：①式是⊙Ｏ的方程吗？ 生４：①式是⊙Ｏ的方程. 师：请说明理由. 生４：（生４叙述，师板书）（１）任取⊙Ｏ上一点，总存在，由三角函数定义知 ，显然满足方程①； （２）任取, 由①得即M（）．
坐标系与参数方程 知识点 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?g g 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸 缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程
第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用 例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
直线的参数方程及应用 问题1:(直线由点与方向确定) 求经过点P 0(00,y x ),倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)就是直线l 上任意一点,(方向为直线L 的正方向)过点P 作y 轴的平行线,P 0作x 轴的平行线,两条直线相交于Q 点、 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0与P 重合时, P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时,P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t,t 为参数, 又∵P 0Q ＝0x x -, 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即???+=+=α αsin cos 00t y y t x x 就是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t,t 为参数,t 的几何意义就是:有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量,且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时,点P 在点P 0的上方; ② 当t ＝0时,点P 与点P 0重合; ③ 当t<0时,点P 在点P 0的下方; 特别地,若直线l 的倾斜角α＝0时,直线l ?+=0t x x ④ 当t>0时,点P 在点P 0的右侧; ⑤ 当t ＝0时,点P 与点P 0重合; ⑥ 当t<0时,点P 在点P 0的左侧; 问题2:直线l 上的点与对应的参数t 对应关系？ 我们把直线l 瞧作就是实数轴, 以直线l 向上的方向为正方向,以定点P 0 为原点,以原坐标系的单位长为单位长, 这样参数t 便与这条实数轴上的点P 一一对应关系、 问题3:P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？,∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1,∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ x x
2006学年高三数学训练题（十五） 坐标系与参数方程，几何证明选讲 A 组 1.直线：3x -4y -9=0与圆：? ??==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 2.经过点M (1，5)且倾斜角为 3 π的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( ) A.???????-=+=t y t x 235211 B. ???????+=-=t y t x 235211 C. ???????-=-=t y t x 235211 D. ??? ????+=+=t y t x 235211 3.参数方程?????-=+=2 1y t t x (t 为参数)所表示的曲线是 ( ) A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线 D.两条直线 4．若动点(x ,y )在曲线1422 2=+b y x (b >0)上变化，则x 2+2y 的最大值为 A .?????≥<<+)4(2)40(442b b b b B .?????≥<<+)2(2)20(442b b b b C .442+b D .2b 。 5．实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ ） A .27 B .4 C .2 9 D .5 6．直线()为参数t t y t x ???+=--=2322上与点()32，P -距离等于2的点的坐标是 7．直线l 过点()5,10M ，倾斜角是 3 π，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为
8．如图：EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点， A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝460，∠DCF ＝320， 则∠A 的度数是 9.如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G ， （1）求证：点F 是BD 中点； （2）求证：CG 是⊙O 的切线； （3）若FB=FE=2，求⊙O 的半径． B 组 1．曲线的参数方程为? ??-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 2．已知动圆：),,(0sin 2cos 22 2是参数是正常数θθθb ，a b a by ax y x ≠=--+，则圆心的轨迹是（ ） A 、直线 B 、圆 C 、抛物线的一部分 D 、椭圆 3．设0>r ,那么直线()是常数θθθr y x =+sin cos 与圆()是参数?? ??? ?==sin cos r y r x 的位置关系是（ ） A 、相交 B 、相切 C 、相离 D 、视的大小而定 4．已知过曲线()?? ?≤≤==πθθθθ0sin 4cos 3，y x 为参数上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为4 π，则P 点坐标是（ ）
——基础梳理—— 1．椭圆的参数方程 (1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程是__________．规定参数φ的取值范围为__________． (2)中心在(h ，k)的椭圆的普通方程为－a2＋－b2＝1，则其参数方程为__________． 2．双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x2a2－y2b2 ＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程是__________．规定参数φ的取值范围为__________． (2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y2a2－x2b2 ＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程是__________． 3．抛物线的参数方程 (1)抛物线y2＝2px(p ＞0)的参数方程为__________，t ∈__________. (2)参数t 的几何意义是__________． [答案] 1．(1)????? x ＝acos φy ＝bsin φ(φ为参数) [0,2π) (2)????? x ＝h ＋acos φy ＝k ＋bsin φ (φ为参数) 2．(1)????? x ＝asec φy ＝btan φ (φ为参数) [0,2π)，且φ≠π2，φ≠3π2 (2)????? x ＝btan φy ＝asec φ(φ为参数) 3．(1)????? x ＝2pt2y ＝2pt (t 为参数) (－∞，＋∞) (2)抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数 自主演练 1．已知方程x2＋my2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则() A ．m ＜1 B ．－1＜m ＜1 C ．m ＞1 D ．0＜m ＜1 [解析]方程化为x2＋y21m ＝1，若要表示焦点在y 轴上的椭圆，需要1m ＞1，解得0＜m ＜1.故应选D.
直线参数方程的应用》 教材说明：人教版选修4-4 《直线的参数方程》 课型：习题课 课时：1 课时 学情分析 （一）学生已有知识基础或学习起点学生刚刚学习了曲线的参数方程,以及直线的参数方程,本班学生具备较好的知识基础对直线的参数方程的一般形式和标准形式都已经了解,并且能够进行标准参数方程和一般参数方程的互化,对参数的几何意义相对也比较熟悉. （二）学生已有生活经验和学习该内容的经验在前面学生已经学过了直线的标准参数方程和一般方程, 具备了把一般参数方程转化为标准参数方程的能力, 能解决一些实际问题, 并能够进行合作 交流,具备合作探究的能力 （三）学生的思维水平以及学习风格 学生的思维系统不够完善, 缺乏逻辑思维能力和发散能力.学生中沉思型的学生少, 在碰到问题时不愿意深思熟虑，不用充足的时间考虑、审视问题，更不会权衡各种问题解决的方法，然后从中选择一个满足多种条件的最佳方案;多数是冲动型学习,看到题倾向于很快地检验假设，根据问题的部分信息或未对问题做透彻的分析就仓促作出决定，反应速度较快，但容易发生错误。 （四）学生学习该内容可能的困难学生学习该内容时可能遇到如下困难：不看参数方程的形式是否标准,直接套用,t 的几何意义找不准,欠缺转化能力,数形结合能力和计算能力. （五）学生学习的兴趣、学习方式和学法分析由于学生自我归纳能力较差又习惯于就题论题，因此适合提问引导启发式授课方式和层层设疑的学习方法。授课讲解的时候，应做到帮助学生分析题干，引发学生对问题的思考，引导学生找到解题思路并选择简洁的解题方法，并能及时归纳总结. 教学内容分析 （一）教学的主要内容 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式。某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便。学习直线参数方程有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变。本专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合
高中数学选修4-4参数方程本章整合及题型归纳 知识网络 要点归纳 1．直线的参数方程 直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为y －y 0＝k (x －x 0)．其中k ＝tan α.α为直线的倾斜角，代入上式得， y －y 0＝sin αcos α(x －x 0)，α≠π 2，即x －x 0cos α＝y －y 0sin α . 记上式的比值为t ，整理后得? ???? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α. 2．圆的参数方程 若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为? ???? x ＝x 0＋r cos θ y ＝y 0＋r sin θ，0≤θ≤2π. 3．椭圆的参数方程 若椭圆的中心不在原点，而在点M 0(x 0，y 0)，相应的椭圆(x －x 0)2a 2＋(y －y 0)2 b 2 ＝1的参数方 程为? ???? x ＝x 0＋a cos t y ＝y 0＋b sin t ， 0≤t <2π. 4．双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的参数方程是? ???? x ＝a sec θ，y ＝b tan θ， 5．抛物线y 2＝2px 的参数方程是? ??? ? x ＝2pt 2，y ＝2pt . 专题一 参数方程化为普通方程的考查 参数方程是用第三个变量(即参数)，分别表示曲线上任一点M 的坐标x 、y 的另一种曲线方程的形式，它体现了x 、y 之间的一种关系，这种关系借助于中间桥梁——参数．有些参数具有物理或几何意义，在解决问题时，要注意参数的取值范围． 在参数方程与普通方程的互化中，要注意参数方程与普通方程应是等价的，即它们所表示的应是同一条曲线． 【例1】 (1)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为
高中数学选修参数方程练习题 学校：_____姓名：___班级：___考号：___ 一．填空题 1．直线l：（t为参数）的倾斜角为______． 2．若P（m，n）为椭圆（θ为参数）上的点，则m+n的取值范围是______．3．在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程是（其中t为参数），以Ox为极值的极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，则圆心到直线的距离为______．4．在直角坐标系xOy中，M是曲线C1：（t为参数）上任意一点，N是曲线C2：（θ为参数）上任意一点，则|MN|的最小值为______． 5．（坐标系与参数方程选做题）过点A（2，3）的直线的参数方程（t为参数），若此直线与直线x-y+3=0相交于点B，则|AB|=______． 6．已知曲线C的参数方程为（t为参数），若点P（m，2）在曲线C上，则m=______． 7、A．将参数方程（e为参数）化为普通方程是______． B．不等式|x-1|+|2x+3|＞5的解集是______．
C．如图，在△ABC中，AD是高线，CE是中线，|DC|=|BE|，DG⊥CE于G，且|EC|=8，则|EG|=______． 8．椭圆的离心率是______． 三．简答题 9．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）． （Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值． 10．已知曲线C1：（t为参数，C2：（θ为参数）． （Ⅰ）C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若C1上的点P对应的参数t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． 11．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数）．直线l经过点P（2，2），倾斜角． （1）写出圆的标准方程和直线l的参数方程． （2）设l与圆C相交于A、B两点，求|PA|?|PB|的值． 12．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：（α为参数）与极坐标下的点． （1）求点M与曲线C的位置关系；
极坐标与参数方程单元练习1 。一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. 53，-? ? ?? ?π B. 543，π? ? ??? C. 523，-? ? ?? ?π D. ?? ? ? ? - 355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：? ??==θθ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、 t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（ ） A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分） 1、点()22-，的极坐标为 。 2、若A 33，π? ? ???，B ??? ? ?-64π，，则|AB|=___________，S AOB ?=___________。（其中O 是极点） 3、极点到直线()cos sin ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用 一. 教学内容： 直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用，极坐标系，曲线的极坐标方程及其应用。 ［基本知识点］ （1）直线的参数方程 <1>标准形式： <2>一般形式 （2）参数t 的几何意义及其应用 标准形式： <1>直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1,t 2，则弦长|AB|=|t 1-t 2| <2>定点M 0是弦M 1、M 2的中点?t 1+t 2=0 <3>设弦M 1，M 2中点为M ；则点M 相应的参数 （3）圆锥曲线的参数方程 <1> <2> 角）。 :),y ,x (M 000准形式为的直线的参数方程的标且倾角为过点α)t (sin t y y cos t x x 00为参数???+=+=αα)1b a 't ('bt y y 'at x x 2200≠+???+=+=为参数且)y ,x (M t ,)t (sin t y y cos t x x 00000的几何意义是表示定点中为参数???+=+=αα的数量的有向线段到直线上动点M M y)(x,M 0:t,M M 0故即=2t t t 2 1M +=)(sin r y cos r x r y x 222为参数的参数方程为圆ααα???===+轴正方向的旋转角的几何意义动半径对于 其中x α其几何意义为离心为参数的参数方程为椭圆,(sin b y cos a x 1b y a x 2222 ααα???===+
<3> <4>抛物线y 2=2px 的参数方程为 （4）极坐标系的基本概念。 在平面内任取一个定点O ，叫做极点，引一条射线O x ，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），对于平面内任一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ叫做M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做点M 的极坐标系，这样建立的坐标叫做极坐标系。 （5）极坐标与直角坐标的互化 <1>互化条件： 极点与直角坐标系原点重合； 极轴与直角坐标系O x 轴重合； 两坐标系中的长度单位统一。 <2>互化公式 （6）曲线的极坐标方程 <1>定义：在极坐标系中，曲线可以用含有ρ、θ这两个变数的方程来表示，这种方程叫做曲线的极坐标方程。 <2>直线与圆的极坐标方程。 过极点的直线方程θ=θ0（ρ∈R ） 过点A （a,0），倾角为α的直线方程 以极点为圆心，半径为r 的圆的方程ρ=r 圆心在C （a,0），半径为a 的圆的方程ρ=2acos θ 圆心在（ρ0，θ0），半径为r 的圆的方程 【例题选讲】 例1 ，M 是AB 的中点，求|MF|。 )(btg y asec x 为参数双曲线的参数方程为ααα???==)(t pt 2y pt 2x 2 为参数?????==?????≠==+???==)0x (x y tg y x )2(sin y cos x )1(222θρθρθραθαρsin )sin(a =-220002r )cos(2=+--ρθθρρρ两点与双曲线交于的直线作倾角为的右焦点过双曲线B ,A l 45F 116y 9x 2 2 =-
直线的参数方程 教学目标： 1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用． 2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想． 3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度． 教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程． 教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y之间的联系． 教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件． 教学过程： 一、回忆旧知，做好铺垫 教师提出问题： 1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程． 2.直线的方向向量的概念． 0 / 13
3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程． 5.如何建立直线的参数方程？ 这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考． 【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备． 二、直线参数方程探究 1．回顾数轴，引出向量 数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？ 教师提问后，让学生思考并回答问题． 教师引导学生明确：如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么： ①OA 为数轴的单位方向向量，OA 方向与数轴的正方向一致，且OM tOA =；②当OM 与OA 方向一致时（即OM 的方向与数轴正方向一致时），0t >； 当OM 与OA 方向相反时（即OM 的方向与数轴正方向相反时），0t <； 当M 与O 重合时，0t =； ③||OM t =．教师用几何画板软件演示上述过程．
直线的参数方程及应用 目标点击： 1．掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2．熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化； 3．利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题； 基础知识点击： 1、直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=2 21t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ? ??+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α x
选修4-4教案 教案1平面直角坐标系（1课时） 教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时） 教案3极坐标系的的概念（1课时） 教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时） 教案5圆的极坐标方程（2课时） 教案6直线的极坐标方程（2课时） 教案7球坐标系与柱坐标系（2课时） 教案8参数方程的概念（1课时） 教案9圆的参数方程及应（2课时） 教案10圆锥曲线的参数方程（1课时） 教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时） 教案12直线的参数方程（2课时） 教案13参数方程与普通方程互化（2课时） 教案14圆的渐开线与摆线（1课时） 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：互动五步教学法 教具：多媒体、实物投影仪 复习及预习提纲： 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 ————教学过程———— 复习回顾和预习检查 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 创设情境，设置疑问 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的 轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景图案，需要缺 点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 分组讨论 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。 *变式训练 如何通过它们到点O的距离以及它们相对于点O的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置？ 例2 已知B村位于A村的正西方1公里处,原计划经过B村沿着北偏东60的方向设一条地下管线m.但在A村的西北方向400米出,发现一古代文物遗址W.根据初步勘探的结果,文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m的计划需要修改吗? 落实目标 *变式训练 1．一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸的时间比在B处晚2s,已知A、B两地相距800米，并且
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． 考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以 sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值． 解答： 解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ， 故曲线C的参数方程为，（θ为参数）． 对于直线l：， 由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）． P到直线l的距离为． 则，其中α为锐角． 当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为． 当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为． 点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 考点：参数方程化成普通方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可； （2）首先，化简曲线C的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解． 解答： 解：（1）∵直线l的极坐标方程为：， ∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，
高中数学选修极坐标与参数方程知识点与题型 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．
极坐标与参数方程练习1 ·一．选择题（每题5分共60分） 1．设椭圆的参数方程为()πθ θ θ ≤≤?? ?==0sin cos b y a x ，()11,y x M ，()22,y x N 是椭圆上两点， M ，N 对应的参数为21,θθ且21x x <，则 A ．21θθ< B ．21θθ> C ．21θθ≥ D ．21θθ≤ 2.直线：3x-4y-9=0与圆：?? ?==θ θsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3.经过点M(1，5)且倾斜角为3 π 的直线，以定点M 到动 点P 的位移t 为参数的参数方程是 ( ) A.??? ??? ? -=+=t y t x 23 521 1 B. ?????? ? +=-=t y t x 23 521 1 C. ?????? ? -=-=t y t x 23 521 1 D. ?????? ? +=+=t y t x 2 3521 1 4.参数方程????? -=+ =2 1y t t x (t 为参数)所表示的曲线是 ( ) A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线 D.两条直线 5．若动点(x ,y )在曲线 14 2 22 =+ b y x (b >0)上变化，则x 2 2y 的最大值为 (A) ?????≥<<+)4(2)40(44 2 b b b b ； (B) ?????≥<<+) 2(2)20(4 4 2 b b b b ；(C) 44 2 +b (D) 2b 。 6．实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（ ） A 、2 7 B 、4 C 、2 9 D 、5
直线的参数方程及其应用 摘要：解析几何是高考考查的重要内容，主要有：直线与圆、直线与椭圆、直 线与双曲线、直线与抛物线的位置关系，相交求交点坐标及弦长等。直线作为解 析几何的重要组成部分，直线的参数方程在解析几何中有着较为广泛的应用，且 在具体题目中有着较强的的综合性与灵活性。学生对直线方程的五种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式较为熟悉，能够熟练运用。但对直线的参 数方程较为陌生，应用起来有着一定的难度。直线的参数方程作为选修4-4第二 章参数方程的重要内容，近几年高考对直线的参数方程的考查力度有所加大，其 中以参数方程中参数t的几何意义最为突出。如何准确理解直线参数方程中参数t 的几何意义，并能熟练运用直线的参数方程解题，对学生综合能力的提高及数学 核心素养的培养有着十分重要的意义。因此，本文主要从直线参数方程t的几何 意义及其应用几个方面作较为详细的阐述，为直线的参数方程教学提供参考。 关键词：参数方程；倾斜角；普通方程；几何意义； 一、直线的普通方程与参数方程 北师大版必修二中，学生已经学习过直线方程的五种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，并且掌握了这五种方程的应用条件，能够正确根据题 目中的已知条件选择适当的方程形式求出直线的方程，并能够相互转化。直线方 程的这五种形式中，尤以点斜式、斜截式、一般式用的最多，也是高考考查的重 要内容。如：已知直线上点P的坐标及直线的斜率k（倾斜角α），常选用点斜式；已知直线斜率和直线在y轴上的截距及判断两直线的位置关系，常选用截距式；求与已知直线平行或垂直的直线方程，点到直线的距离公式，常选用一般式。与直线的参数方程相对应，我们称直线方程的这五种形式为直线的普通方程。 普通方程是直接给出曲线上点的横纵坐标x和y之间的关系，参数方程是曲线上点的横纵坐标x和y之间引入一个参数。在平面直角坐标系中，如果曲线上任意 一点的坐标x和y都是某个变量t的函数，即，叫作曲线的参数方程。过点，倾 斜角为的直线的参数方程为。直线的参数方程相比较于普通方程，由于横纵坐标 之间引入了中间变量，所以学生理解起来有一定的难度，要是不能正确理解参数 方程中参数的几何意义，学生在运用参数方程解题就会更加困难。因此，准确理 解直线的参数方程中参数的几何意义就显得尤为重要。 二、直线的参数方程中参数的几何意义 1、直线参数方程的标准式 （1）过点，倾斜角为的直线的参数方程为。设为直线上任意一点，的几何意义是：表示有向线段的数量，= 因为为直线上任意一点（规定向上的方向为正方向），不妨设，则，所以==。 当时，点在的上方；当时，点与重合；当时，点在的下方。 （2）若、是直线上两点，所对应的参数分别为、，则 因为、是直线上两点，所对应的参数分别为、，不妨设，，则，所以 == （3）、是直线上两点，所对应的参数分别为、，则、的中点对应的参数为。若为、的中点，则，反之亦成立。 因为为、的中点，所以，则，因为、位于两侧（取向上方向为正方向），所以， 所以。 若为、的中点，则,则，且，异号，所以，即。