实验四动态法测定材料杨氏模量
杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。
杨氏模量测量方法有多种，最常用的有拉伸法测量金属材料的杨氏模量，这属于静态法测量，这种方法一般仅适用于测量形变较大、延展性较好的材料，对如玻璃及陶瓷之类的脆性材料就无法用此方法测量。动态法由于其在测量上的优越性，在实际应用中已经被广泛采用，也是国家标准指定的一种杨氏模量的测量方法。本实验用悬挂、支撑二种“动态法”测出试样振动时的固有基频，并根据试样的几何参数测得材料的杨氏模量。
一、实验目的
1．理解动态法测量杨氏模量的基本原理。
2．掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。
3．培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。
4．进一步了解信号发生器和示波器的使用方法。
二、实验原理
长度L 远远大于直径d（L>>d）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动
42
力学方程（横振动方程）为：y4s2y0（1）
x4 YJ t2
式中为棒的密度，S为棒的截面积，J 称为惯量矩（取决于截面的形状），Y 为杨氏模量。
解以上方程的具体过程如下（不要求掌握）：
用分离变量法：令y（x,t） X（x）T（t）
等式两边分别是 x 和 t 的函数，这只有都等于一个常数才有可能， 设该常数为 K 4 ，于是
得：
24
d 2T 2 K 4YJ T 0
dt
2
s
这两个线形常微分方程的通解分别为：
X(x) B 1chKx B 2 shKx B 3 cos Kx B 4 sinKx T(t) Acos( t ) 于是解振动方
程式得通解为：
y(x,t) ( B 1chKx B 2shKx B 3 cosKx B 4 sin Kx) A cos( t
1
K 4YJ 2
s
该公式对任意形状的截面，不同边界条件的试样都是成立的。我们只要用特定的边界条件
定出常数 K ，并将其代入特定截面的转动惯量
J ，就可以得到具体条件下的计算公式
了。
将通解代入边界条件， 得到
cosKLchKL
1 ，用数值解法求得本征值 K 和棒长 L 应满
足：
KL 0, 4.7300, 7.8532, 10.9956, 14.137, 17.279, 20.420
由于其中第一个根“ 0 ”对应于静态情况，故将其舍去。将第二个根作为第一个根， 记作 K 1 L 。一般将 K 1 L 4.7300 所对应的共振频率称为基频（或称作固有频率） 。在上 述
如果悬线悬挂 （支撑点 ）在试样的节点附近， 则其边界条件为自由端横向作用
力：
YJ
弯矩 ： d 3X
dx 3
3
x 3
3y 0
x
2
YJ 2y
x
d 3X
dx 3
d 2X
dx 2
d 2X
dx 2
代入方程（ 1）得：
1 d 4 X X dx 4
s1 d 2T YJ T dt 2
d 4X dx 4
K 4X 0
其中式（ 2）称为频率公式：
(2
K n L 值中， 1， 3，5?个数值对应着“对称形振动” , 第 2、4、6?个数值对应着“反
对称形振动”。图 1 给出了当 n 1, 2, 3, 4 时的振动波形。由 n 1图可以看出，试样在 作基频振动时， 存在两个节点， 它们的位置距离端面分别为 0.224L 和 0.776L 处。理论上 悬挂点 （ 支撑点 ）应取在节点处，但由于悬挂 （支撑点 ） 在节点处试样棒难于被激振和拾振， 为此，可以在节点两旁选不同点对称悬挂 （ 支撑） ，用外推法找出节点处的共振频率。将第 一本征值 K
4.7L
300
代入（ 2）式，得到自由振动的固有频率（即基频） 解出杨氏模量：
1 4
2
4.7300 4 YJ 2 l 4s
3 L 4
s 2
Y 1.9978 10 3 2 J
2 L
3
m 2
7.8870 10 2 f 2 J
对于圆棒：
2
d 2
J
y 2ds s （ ）2
式中 d 为圆棒的直径。
4
得到杨氏模量的表达式为：
L 3
m
Y 1.6067 L m 4 f 2
（ 3）
d
上式即为（ 1）式的解。式中 L 为棒长， d 为棒的直径， m 为棒的质量。如果在实验中测 定出试样（棒）在不同温度时的固有频率 f ，即可计算出被测试样在不同温度条件下的杨 氏模量 Y 。在国际单位制中杨氏模量的单位为（ Nm 2 ）。
本实验的基本问题是测量试样在一定温度时的共振频率。为了测出该频率，实验时可 采用如图 2 所示装置。
由信号发生器输出的等幅正弦波信号，加在传感器 I （激振）上。通过传感器 I 把电信 号转变成机械振动，再由悬线 （支撑刀 ）把机械振动传给试样，使试样受迫作横向振动。试 样另一端的悬线 （支撑刀 ）把试样的振动传给传感器 II （拾振），这时机械振动又转变成电信 号。该信号经放大后送到示波器中显示。当信号发生器的频率不等于试样的共振频率时， 试样不发生共振，示波器上几乎没有信号波形或波形很小。当信号发生器的频率等于试样 的共振频率时，试样发生共振。这时示波器上的波形突然增大，这时读出的频率就是试样
在该温度下的共振频率。根据（
图 3 动态杨氏模量测 试 台
三、实验仪器
1． FB2729A 型动态杨氏模量实验仪 1 套； 2．通用双踪示波器 1 台； 3．天平、游标卡
尺、螺旋测微计等 。 四、实验内容
先按图4 把实验仪器连接好，通电预热10分钟，再按下述步骤进行实验。
3）式，即可计算出该温度下的杨氏模
量。
1．测定试样的长度L 、直径d 和质量m ，每个物理量各测5次。
2．在室温下，不锈钢和铜的杨氏模量参考值分别为：
2 1011 Nm 2和1.2 1011 Nm 2，实验前可先按公式（1）估算出共振频率f ，以便于寻找共振点。
3．“悬挂法”：把试样棒用细棉线挂在测试台上，悬挂点的位置放在0.0365L和0.9635L处
测量一组数据,再分别挂在0.099L和0.901L, 0.1615L和0.8385L, 0.224L和0.776L ，0.2865L和0.7135L , 0.349L和0.651L 共测量6组数据,一一记录在表1中。（具体位置金属棒上已用刻度线标注）。
4．把信号发生器的输出与测试台的悬挂法-输入相连，测试台的悬挂法-输出与放大器的输入相接，放大器的输出与示波器的Y 输入相接。
5．把示波器触发信号选择开关设为“内置”，Y 轴增益置于最小档（或左边第二档），Y 轴极性置于“ AC ”。
6．鉴频与测量：先将两悬线挂在离试样端部30mm 处，待试样稳定后，调节信号发生器
频率旋钮，寻找试样棒的共振频率f1 。当示波器荧光屏上出现共振现象时，即正弦波幅度突然变大时，再微调信号发生器频率旋钮，使波形振辐达到极大值。鉴频就是对试样共振模式及振动级次的鉴别，所以它是准确测量操作中重要的一步。在进行频率扫描时，我们发现试棒不只在一个频率处发生共振现象，而我们使用的公式（3）只适用于基频共振的情况。所以我们要确定试样是在基频频率下产生的共振。我们用阻尼法来鉴别：如果用手沿
试样棒的长度方向轻触棒的不同部位，同时观察示波器，如果手指触到的是波节处，则示波器
上的波形幅度不变，如果手指触到的是波腹处，则示波器上的波形幅度变小，当发现试棒上仅有两个波节时，那么这时的共振就是基频频率下的共振，记下这一频率 f 1。
7．因试样共振状态的建立需要有一个过程，且共振峰十分尖锐，因此在共振点附近调节信
号频率时，必须十分缓慢地进行，直至示波器的显示屏上出现最大的信号。8．记录室温下的共振频率 f ，求出材料的杨氏模量Y。9．本实验用铜棒和钢棒各做一次。
10. “支撑式”：把试样棒从悬挂线上取下，轻放于测试台支撑式的激、拾振器的橡胶支撑刀上。把信号发生器的输出与测试台的支撑式- 输入相连，测试台的支撑式- 输出与放大器的输入相接，放大器的输出与示波器的Y 输入相接。
11. 其余同“悬挂法”步骤。
五、数据与结果
将所测各物理量的数值代入公式( 3)，计算出该试样棒的杨氏模量Y 。再利用不确定
度传递估算相对不确定度E Y 和不确定度Y Y E Y 写出实验结果表达式：
Y Y Y
1．估算金属棒的长度L 、直径d、和质量m 的测量值及其不确定度。
L L(mm) ；d d(mm) ；m m(g)
2．由公式( 3)分别求出钢棒和铜棒的杨氏模量Y Y(N m 2 )(已知信号发生器的频
率不确定度为：当f 1000Hz, f 0.1Hz ，当f 1000Hz, f 1Hz
Y (3
L ) (4
d
) (
m
) (2
f
)
附：铜试样棒的基频共振频率：680~ 780Hz
杨氏模量为：Y铜1~1.2 1011 (Nm 2) 不锈钢试样棒的基频共振频率：1000 ~ 1100Hz
杨氏模量为：Y钢1.95 ~ 2.10 1011 (Nm 2 ) 六、注意事项
1．试样棒不可随处乱放，保持清洁，拿放时应特别小心。
2．悬挂试样棒后，应移动悬挂横杆上的振，拾振器到既定位置，使二根悬线垂直试样棒。3．更换试样棒要细心，避免损坏激振，拾振传感器。
4．实验时，试样棒需稳定之后可以进行测量。
【思考题】
1．试讨论：试样的长度L 、直径d 、质量m 、共振频率f 分别应该采用什么规格的仪器测量为什么
2．估算本实验的测量误差。提示：可从以下几个方面考虑：
(1)仪器误差限；
(2)悬挂/ 支撑点偏离节点引起的误差。
七、数据表格
1 /(/)
表 2 被测试样的参数与共振基频记录
室温：C实验日期：
测试样品材质黄铜圆柱体棒不锈钢圆柱体棒
样品长度L ( 10 2 m)
样品直径D( 10-3 m)
样品质量m ( 10 3 kg)
悬挂共振频率f1（Hz）
支撑共振频率f1（Hz）
表3 几种固体材料的杨氏模量的参考值
材料名称
Y ( 1011 N m 2)材料名称Y ( 1011 N m 2 )生铁0.735 ~ 0.834有机玻璃0.04~ 0.05
碳钢
1.52橡胶78.5
玻璃
0.55
大理石
0.55
附录】需要说明的二个问题：
1．当测试样品不满足d L 时，公式（3）需要乘以一个修正系数T1，有关内容可参考金属材料的国家标准（GB/T 2005 91中说明）。
2．物体的固有频率f固和共振频率f共是两个不同的概念，他们之间的关系是：
式中，Q为试样的机械品质因素。对于悬挂法测量，一般Q 的最小值为50 ，把该值代入
率相比只相差十万分之五（0.005% ）。本实验中只能测量出试样的共振频率，由于相差很
1.00005 f共，可见，共振频率与固有频公式，f固f共14 502
小，所以用共振频率代替固有频率是合理的。
动态悬挂法测杨氏模量数据处理参考范例 1． 数据记录 表1 各测量量测量值 样品 () L m m () m L m m ? ()m g ()m m g ? () 1f H z ()1 m f H z ? 黄铜 0.05 0.01 0.1 不锈钢 0.05 0.01 1 表2 样品直径测量值 次数 黄铜直径 () d m m () m d m m ? 不锈钢直径 () d m m () m d m m ? 1 0.005 0.005 2 3 4 5 6 2． 数据处理 （1）黄铜： L ：0.029B u u m m ?== = = m ：0.010.00333 3 m B u u g ?== = = 1 f ：0.10.058B u u H z ?== = = d ：用肖维涅准则检查无坏值出现 5.998d m m = 1.110.0170.019A p X u k s m m ==?= 0.005 0.0029B m u m m ?= = = 0.020u m m = = = Y ： () () 3 3 3 2 3 2 1 4 43 160.001037.9310 701.0 1.6067 1.6067 5.99810 L m f Y d ---????==? ? 10 2 9.47710 N m = ?Y E = =
1.3%= 则101029.47710 1.3%0.1310Y Y u Y E N m =?=??=? （2）不锈钢 L ：0.029B u u m m ?== = = m ：0.010.00333 3 m B u u g ?== = = 1 f ： 10.58B u u H z ?== = = d ：用肖维涅准则检查无坏值出现 5.945d m m = 1.110.0210.024A p X u k s m m ==?= 0.005 0.0029B m u m m ?= = = 0.025u m m = = = Y ： () () 3 3 3 2 3 2 1 4 43 160.001034.4310 1014 1.6067 1.6067 5.94510L m f Y d ---????==? ? 11 2 1.86510 N m =?Y E = = 1.7%= 则11 11 2 1.86510 1.7%0.03210 Y Y u Y E N m =?=??=? 3． 实验结果 （1）室温下测得黄铜样品的杨氏模量为： ()10 2 9.50.210Y N m =±? () 0.683p = 1.3% Y E = （2）室温下测得不锈钢样品的杨氏模量为： ()11 2 1.860.0410Y N m =±? () 0.683p = 1.7% Y E = 备注：不确定度u 在计算过程中保留两位有效数字，在最后计算结果中保留一位有效数字。
实验杨氏模量的测定(梁弯曲法) 【实验目的】 用梁的弯曲法测定金属的杨氏模量。 【仪器用具】 攸英装置，光杠杆，望远镜及直尺，螺旋测微计，游标卡尺，米尺，千分表。 【实验原理】 将厚为、宽为的金属棒放在相距为的二刀刃上（图1），在棒上二刀刃的中点处挂上质量为的砝码，棒被压弯，设挂砝码处下降，称此为弛垂度，这时棒材的杨氏模量
. （1） 下面推导上式。图（2）为沿棒方向的纵断面的一部分。在相距的二点上的横断面，在棒弯曲前互相平行，弯曲后则成一小角度。显然在棒弯曲后，棒的下半部呈现拉伸状态，上半部为压缩状态，而在棒的中间有一薄层虽然弯曲但长度不变，称为中间层。 计算与中间层相距为、厚、形变前长为的一段，弯曲后伸长了，它受到的拉力为，根据胡克定律有 . 式中表示形变层的横截面积，即。于是 . 此力对中间层的转矩为，即 . 而整个横断面的转矩应是 . （2） 如果将棒的中点固定,在中点两侧各为处分别施以向上的力(图3)，则棒的弯曲情况当和图1所示的完全相同。棒上距中点为、长为的一段，由于弯曲产生的下降等于
（3） 当棒平衡时，由外力对该处产生的力距应当等于由式（2）求出的转距，即 . 由此式求出代入式(3)中并积分,可求出弛垂度 , (4) 即 . (1) 【仪器介绍】 攸英装置如图4所示，在二支架上设置互相平的钢制刀刃，其上放置待测棒和辅助棒。在待测棒上二刀刃间的中点处，挂上有刀刃的挂钩和砝码托盘，往托盘上加砝码时待测棒将被压弯，通过在待测棒和辅助棒上放置的千分表测量出棒弯曲的情况，从而求出棒材的杨氏模量。
【实验内容与要求】 1．按图4安置好仪器，用千分表直接测出。 2．用螺旋测微计在棒的各处测厚度，要测10次取平均值。 3．用游标卡尺在棒的各处测宽度（测4次）。 4．用米尺测二刀刃间的距离，测4次。 5．将测得的量代入（1）求出棒材的杨氏模量。单位用。 6．求测量结果的误差。 【注意事项】 【思考问题】 1．调节仪器的程序分几步，每一步要达到什么要求？ 2．测量时哪些量要特别仔细测？为什么？ 3．什么是弛垂度？怎样测量它？ 4．如果被测物是半径为的圆棒，式（1）将是什么样子的？ 5．如果用读数显微镜或螺旋测微计去测弛垂度，应当怎样进行测量？
动态法测量杨氏弹性模量 郑新飞 杨氏模量是固体材料在弹性形变范围内正应力与相应正应变（当一条长度为L、截面积为S的金属丝在力F作用下伸长ΔL时，F/S叫应力，其物理意义是金属丝单位截面积所受到的力；ΔL/L叫应变，其物理意义是金属丝单位长度所对应的伸长量）的比值，其数值的大小与材料的结构、化学成分和加工制造方法等因素有关。杨氏模量的测量是物理学基本测量之一，属于力学的范围。根据不同的测量对象，测量杨式模量有很多种方法，可分为静态法、动态法、波传播法三类。 一、实验目的 1、理解动态法测量杨氏模量的基本原理。 2、掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。 3、了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用。 4、培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。 二、实验仪器 1、传感器I（激振）：把电信号转变成机械振动。 2、试样棒：由悬线把机械振动传给试样，使试样受迫做共振动。 3、传感器II（拾振）：机械振动又转变成电信号。 4、示波器：观察传感器II转化的电信号大小。
三、实验原理 理论上可以得出用动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量，为 2436067.1f d m l E = （1） 式中l 为棒长，d 为棒的直径，m 为棒的质量。如果在实验中测定了试样（棒）在不同温度时的固有频率f ，即可计算出试样在不同温度时的杨氏模量E 。 四、实验内容 1、测定试样的长度l 、直径d 和质量m 。每个物理量各测六次，列表记录。 2、在室温下不锈钢和铜的杨氏模量分别为211102m N ?和 211102.1m N ?，先由公式（1）估算出共振频率f ，以便寻找共振点。 3、把试样棒用细钢丝挂在测试台上，试样棒的位置约距离端面l 224.0和l 776.0处，悬挂时尽量避开这两个位置。 4、把2-YM 型信号发生器的输出与2-YM 型测试台的输入相连， 测试
物理实验报告 【实验名称】 杨氏模量的测定 【实验目的】 1. 掌握用光杠杆测量微小长度变化的原理和方法，了解其应用。 2. 掌握各种长度测量工具的选择和使用。 3. 学习用逐差法和作图法处理实验数据。 【实验仪器】 MYC-1型金属丝杨氏模量测定仪（一套）、钢卷尺、米尺、螺旋测微计、重垂、砝码等。 【实验原理】 一、杨氏弹性模量 设金属丝的原长L ，横截面积为S ，沿长度方向施力F 后，其长度改变ΔL ，则金属丝单位面积上受到的垂直作用力F/S 称为正应力，金属丝的相对伸长量ΔL/L 称为线应变。实验结果指出，在弹性范围内，由胡克定律可知物体的正应力与线应变成正比，即 L L Y S F ?= （１） 则 E L L S F Y ?= （２） 比例系数E 即为杨氏弹性模量。在它表征材料本身的性质，Y 越大的材料，要使它发生一定的相对形变所需要的单位横截面积上的作用力也越大。Y 的国际单位制单位为帕斯 卡，记为Pa （1Pa =12m N ；1GPa =910Pa ）。 本实验测量的是钢丝的杨氏弹性模量，如果钢丝直径为d ，则可得钢丝横截面积S 42d S π= 则（２）式可变为 E L d FL Y ?=24π （3） 可见，只要测出式（3）中右边各量，就可计算出杨氏弹性模量。式中L （金属丝原长）可由米尺测量，d （钢丝直径），可用螺旋测微仪测量， F （外力）可由实验中钢丝下面悬挂的砝码的重力F=mg 求出，而ΔL 是一个微小长度变化（在此实验中 ，当L ≈１ｍ时， F 每变化１ｋg 相应的ΔL 约为ｍｍ）。因此，本实验利用光杠杆的光学放大作用实现对钢丝微小伸长量ΔL 的间接测量。 二、光杠杆测微小长度变化 尺读望远镜和光杠杆组成如图2所示的测量系统。光杠杆系统是由光杠杆镜架与尺读望远镜组成的。光杠杆结构见图2（b ）所示，它实际上是附有三个尖足的平面镜。三个尖足的边线为一等腰三角形。前两足刀口与平面镜在同一平面内（平面镜俯仰方位可调），后足在前两足刀口的中垂线上。尺读望远镜由一把竖立的毫米刻度尺和在尺旁的一个望远镜组成。
杨氏模量测定（横梁弯曲法） 一、实验目的 1．学会用横梁弯曲法测定金属材料的杨氏模量； 2．学会读数显微镜的使用方法，掌握测量微小长度变化的方法； 二、实验仪器及用具 FD-YZ-MT杨氏模量测试仪1套JC—10读数显微镜米尺游标卡尺千分尺待测矩形金属条 三、实验原理 这部分内容请同学们按照实验报告写作要求来写 四、实验步骤（供参考） (1)将矩形待测材料安放在仪器的刀口上，套上铜刀口（下端挂一砝码盘）并使其刀刃恰 好在仪器两刀口的中间。 (2)调节显微镜的目镜，看清楚镜简内的叉丝．松开显微镜的底座并使镜筒轴线正对着铜 刀上的基线，前后移动底座，直到从镜中看清楚铜刀基线，锁定底座和升降杆；转动读数显微镜的镜筒使得目镜中看到直尺方向与竖直方向一致，读数显微镜的手轮朝上，锁紧读数显微镜镜筒，转动手轮移动十字叉丝与基线像完全重合，记下读数．(3)在砝码盘上顺序地加法码．共加7次，每次砝码的质量为10 g，同时，每次转动显微 镜的手轮，使得十字叉丝水平线与目镜中基线像重合，记下相应读数． (4)由梁上每取下一片砝码，仿照步骤（3）记下相应的读数． (5)测出仪器两刀口间的距离l，测量1—3次，再测出待测样品的厚度h和宽度a，各测 量6次，记录下相应的测量结果． (6)实验完毕整理好实验仪器 (7)利用逐差法求出对应10g的弛垂度λ ?，代入表达式（1）计算杨氏模量并求出其测量不确定度。 注意事项： 1.从初始读数到增加每一片砝码，转动读数显微镜的手轮使得叉丝与基线像重合过 程中叉丝移动方向要保持一致 2.整个测量过程确保读数显微镜或者铜刀口位置不发生移动，因此调节好读数显微 镜一定锁紧相应部位以免测量产生转动，增加砝码或减少砝码时要谨慎切莫碰动 铜刀口的位置。倘若发生了它们的位置有一个发生了变化，就必须从头开始测量。 3.使用千分尺和游标卡尺之前先记下相应的零点读数；再则，使用千分尺测量样品 厚度时应注意测量杆与固定砧别卡得太紧以免样品发生形变，使用游标卡尺测量 样品宽度时内量爪也别卡得太紧。 五、数据表格 表1 待测样品及支架两刀口距离测量 支架两刀口距离d度为：cm 千分尺零点读数：mm
实验6 霍尔传感器测杨氏模量 杨氏模量是描述固体材料抵抗形变能力的重要物理量，在工程上作为选择材料的依据之一，是工程技术中常用的参数。 利用霍尔位置传感器测量微小位移，可以改进传统粱弯曲法实验中的测量方法，使古老的实验又增添新的技术内容。而霍尔元件及集成霍尔传感器具有尺寸小、外围电路简单、频响宽、使用寿命长，特别是抗干扰能力强等特点，近年来被广泛应用于物理量的测量、自动控制及信息处理等领域。 【实验目的】 1．了解霍尔位置传感器的结构原理、特性及使用方法。 2．学习掌握粱弯曲法测量金属板的杨氏弹性模量。 3．学会确定灵敏度的方法，并确定仪器的灵敏度。 4．掌握逐差法处理数据。 【实验仪器】 霍尔位置传感器、霍尔位置传感器输出信号测量仪、游标卡尺、螺旋测微器。 【实验原理】 霍尔传感器置于磁感应强度为B 的磁场中，在垂直于磁场的方向通入电流I ，则会产生霍尔效应，即在与这二者相互垂直的方向上将产生霍尔电势： IB K U H H = (5.2.1) 其中H K 为霍尔传感器的灵敏度，单位为T mA mV ?。 如果保持通入霍尔元件的电流I 不变，而使其在一均匀梯度的磁场中移动，则输出的霍尔电势的变化量为： z dz dB I K U H H ?=? (5.2.2) 其中：z ?为位移量； dz dB 为磁感应强度B 沿位移方向的梯度，为常数。
为了实现上述均匀梯度磁场，选用两块相同的磁铁。磁铁平行相对而放，即N 极相对放置。两磁铁之间的空隙内放入霍尔元件，并使此元件平行于磁铁，且与两磁铁的间距相等，即霍尔元件放置两磁铁空隙的中心，如图6.1所示。 若间隙中心截面的中心点A 的磁感应强度为零，霍尔元件处于该处时输出的霍尔电势应为零。当霍尔元件偏离中心沿Z 轴发生位移，由于磁感应强度不再为零，霍尔元件也就有相应电势输出，其大小可由数字电压表读出。一般地，将霍尔电势为零时元件所处的位置作为位移参考点。 霍尔电势与位移量之间存在一一对应的关系，当位移量较小时（小于2mm ），对应关系具有良好的线性，如图6.2所示。 在粱弯曲的情况下，杨氏模量E 用下列公式计算： z b a mg d E ?=334 (6.1) 式中：d 为两刀口间的距离，a 为粱的厚度，b 为粱的宽度，m 为砝码的质量，g 为重力加速度（2 792.9s m g =），z ?为粱中心由于外力的作用而下降的距离。 mm 图6.1 图 6.2
动态法测量杨氏模量 一、 实验目的 1. 理解动态法测量杨氏模量的基本原理。 2. 掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。 3. 了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用。学会用示波器观察判断样品共振的方法。 4. 培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。 二、 实验原理： 在一定条件下，试样振动的固有频率取决于它的几何形状、尺寸、质量以及它的杨氏模量。如果在实验中测出试样在不同温度下的固有频率，就可以计算出试样在不同温度下的杨氏模量。 根据杆的横振动方程式 02 244=??+??t y EJ S x y ρ （1） 式中ρ为杆的密度，S 为杆的截面积，?= s dS y J 2 称为惯量矩（取决于截面的形状），E 即为杨氏模量。 如图1所示，长度L 远远大于直径d （L >>d ）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动力学方程（横振动方程）为 02244=??+??t EJ y S x y ρ （1） 棒的轴线沿x 方向，式中y 为棒上距左端x 处截面的y 方向位 移，E 为杨氏模量，单位为Pa 或N/m 2；ρ为材料密度；S 为 截面积；J 为某一截面的转动惯量，??=s ds y J 2。 横振动方程的边界条件为：棒的两端(x =0、L )是自由端，端点既不受正应力也不受切向力。用分离变量法求解方程（1），令)()(),(t T x X t x y =，则有 2 24411dt T d T EJ S dx X d X ?-=ρ （2） 由于等式两边分别是两个变量x 和t 的函数，所以只有当等式两边都等于同一个常数时等式才成立。假设此常数为K 4，则可得到下列两个方程 044 4=-X K dx X d （3） 0422=+T S EJ K dt T d ρ （4） 如果棒中每点都作简谐振动，则上述两方程的通解分别为 图1 细长棒的弯曲振动
实验 杨氏模量的测定(梁弯曲法) 【实验目的】 用梁的弯曲法测定金属的杨氏模量。 【仪器用具】 攸英装置，光杠杆，望远镜及直尺，螺旋测微计，游标卡尺，米尺，千分表。 【实验原理】 将厚为a 、宽为b 的金属棒放在相距为l 的二刀刃上（图1），在棒上二刀刃的中点处挂上质量为m 的砝码，棒被压弯，设挂砝码处下降λ，称此λ为弛垂度，这时棒材的杨氏模量 λ b a mgl E 3 3 4= . （1） 下面推导上式。图（2）为沿棒方向的纵断面的一部分。在相距dx 的21O O 二点上的横断面， 在棒弯曲前互相平行，弯曲后则成一小角度?d 。显然在棒弯曲后，棒的下半部呈现拉伸状态，上半部为压缩状态，而在棒的中间有一薄层虽然弯曲但长度不变，称为中间层。 计算与中间层相距为y 、厚dy 、形变前长为dx 的一段，弯曲后伸长了?yd ，它受到的拉力为dF ，根据胡克定律有 dx yd E dS dF ? =. 式中dS 表示形变层的横截面积，即bdy dS =。于是
y d y d x d Eb dF ?=. 此力对中间层的转矩为dM ，即 dy y dx d Eb dM 2 ?=. 而整个横断面的转矩M 应是 dx d b Ea dy y dx d Eb M a ??3 2 2 12 12= =? . （2） 如果将棒的中点C 固定,在中点两侧各为2 l 处分别施以向上的力 mg 2 1(图3)，则棒的弯曲情 况当和图1所示的完全相同。棒上距中点C 为x 、长为dx 的一段，由于弯曲产生的下降λd 等于 ?λd x l d )2 ( -= （3） 当棒平衡时，由外力mg 2 1对该处产生的力距 )2 ( 21x l mg -应当等于由式（2）求出的转距M ， 即 dx d b Ea x l mg ?3 12 1)2 ( 2 1= -. 由此式求出?d 代入式(3)中并积分,可求出弛垂度 b Ea mgl dx x l b Ea mg 3 3210 2 3 4)2 ( 6= -=?λ, (4) 即 λ b a m g l E 3 3 4= . (1)
弹性模量测量方法 点击次数：3972 发布时间：2010-10-22 ? 弹性模量测量方法?最简单的形变是线状或棒状物体受到长度方向上的拉力 作用，发生长度伸长。设金属丝（或杆）的原长为L，横截面积为S，在弹性限度内的拉力F作用下，伸长了L。比值F/S为金属丝单位横截面积上所受的力，叫做胁强（或应力），相对伸长量L/L叫胁变（或应变）。据虎克定律，胁强和胁变成正比，即： （1） 比例系数： （2） E叫做物体的弹性模量（或称杨氏模量）。E的大小与物体的粗细、长短等形状无关，只决定于材料的性质，它是表示各种固体材料抗拒形变能力的重要物理量，是各种机械设计和工程技术选择构件用材必须考虑的重要力学参量。 任何固体在外力作用下都会改变固体原来的形状大小，这种现象叫做形变。一定限度以内的外力撤除之后，物体能完全恢复原状的形变，叫弹性形变。 杨氏弹性模量的测量方法有静态测量法、共振法、脉冲传输法等，其中以共振法和脉冲法测量精度较高。杨氏弹性模量的静态测量法就是在物体加载以后，测出物体的应力和应变，根据一定的计算式得到E值，主要有拉伸法、梁弯曲法等。 用力F作用在一立方形物体的上面，并使其下面固定（如图一），物体将发生形变成为斜的平行六面体，这种形变称为切变，出现切变后，距底面不同距离处的绝对形变不同（AA'>BB'），而相对形变则相等,即 ?弹性模量测量方法（6-3） 式中称为切变角，当值较小时，可用代替，实验表明，一定限度内切变角与切应力成正比，此处S为立方体平行于底的截面积，现以符号表示切应力，则 （6-4） 比例系数G称切变模量。 测量切变模量的方法有静态扭转法、摆动法。 实验目的
实验四 动态法测定材料杨氏模量 杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。 杨氏模量测量方法有多种，最常用的有拉伸法测量金属材料的杨氏模量，这属于静态法测量，这种方法一般仅适用于测量形变较大、延展性较好的材料，对如玻璃及陶瓷之类的脆性材料就无法用此方法测量。动态法由于其在测量上的优越性，在实际应用中已经被广泛采用，也是国家标准指定的一种杨氏模量的测量方法。本实验用悬挂、支撑二种“动态法”测出试样振动时的固有基频，并根据试样的几何参数测得材料的杨氏模量。 一、实验目的 1．理解动态法测量杨氏模量的基本原理。 2．掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。 3．培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。 4．进一步了解信号发生器和示波器的使用方法。 二、实验原理 长度L 远远大于直径d （L>>d ）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动 解以上方程的具体过程如下（不要求掌握）： 用分离变量法：令)()(),(t T x X t x y = 代入方程（1）得： 2 244d d 1d d 1t T T YJ s x X X ρ-= 等式两边分别是x 和t 的函数，这只有都等于一个常数才有可能，设该常数为4 K ，于是得：
0d d 444=-X K x X 0d d 422=+T s YJ K t T ρ 这两个线形常微分方程的通解分别为： Kx B Kx B shKx B chKx B x X sin cos )(4321+++= ) cos()(?ω+=t A t T 于是解振动方程式得通解为： ) cos()sin cos (),(4321?ω++++=t A Kx B Kx B shKx B chKx B t x y 其中式（2）称为频率公式： 2 14??????=s YJ K ρω (2） 该公式对任意形状的截面，不同边界条件的试样都是成立的。我们只要用特定的边界条件定出常数K ，并将其代入特定截面的转动惯量J ，就可以得到具体条件下的计算公式了。 如果悬线悬挂(支撑点)在试样的节点附近，则其边界条件为自由端横向作用力： 033=??-=??-=x y YJ x M F 弯矩 ： 02 2=??=x y YJ M 即 0x d X d 0x 3 3== 0x d X d l x 33== 0x d X d 0x 2 2== 0x d X d l x 22== 将通解代入边界条件，得到1cos =KLchKL ，用数值解法求得本征值K 和棒长L 应满足：ΛΛ420.20 ,279.17 ,137.14 ,9956.10 ,8532.7 ,7300.4 ,0=KL , 由于其中第一个根“0”对应于静态情况，故将其舍去。将第二个根作为第一个根，记作L K 1。一般将7300.4 1=L K 所对应的共振频率称为基频（或称作固有频率）。在上述L K n 值中，1，3，5…个数值对应着“对称形振动”, 第2、4、6…个数值对应着“反对称形振动”。图1给出了当4 ,3 ,2 ,1n =时的振动波形。由1n =图可以看出，试样在作基频振动时，存在两个节点，它们的位置距离端面分别为L 224.0和L 776.0处。理论上悬
实验二 动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量 杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。“静态拉伸法”由于受弛豫过程等的影响不能真实地反映材料内部结构的变化，对脆性材料无法进行测量。目前工程技术上常用“动态悬挂法”测量杨氏模量,也是国家标准指定的一种测量方法。其基本操作是：将一根截面均匀的试样（棒）悬挂在两只传感器（一只激振，一只拾振）下面。在两端自由的条件下，使之作自由振动。测出试样的固有基频，并根据试样的几何尺寸、密度等参数，测得材料的杨氏模量。 一、实验目的 1、用动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量。 2、培养学生综合应用物理仪器的能力。 3、学习确定试样节点处共振频率的方法。 二、仪器与用具 动态杨氏模量实验仪（包括试样、杨氏模量测试台、信号发生器），存贮示波器，电子天平，螺旋测微器，游标卡尺 三、实验原理 对于一根水平放置的细棒，以水平方向为x 轴，竖直方向为轴，由棒的横振动方程： 04 42 22=?????? ??+??x y S EJ t y ρ （2.1） 用分离变量法解以上方程对圆形棒得：。 2 436067.1f d m l E = （2.2） 上两式中，E 为杨氏模量，l 为棒长，d 为棒的直径，m 为棒的质量，S 为棒的截面积，ρ为棒的密度。如果在实验中测定了试样（棒）在不同温度时的固有频率f ，即可计算出试样在不同温度时的杨氏模量E 。在国际单位制中杨氏模量的单位为（2 -?m N ）。 本实验的基本问题是测量试样在不同温度时的共振频率。 由信号发生器输出的等幅正弦波信号，加在传感器I （激振）上。通过传感器I 把电信号转变成机械振动，再由悬线把机械振动传给试样，使试样受迫作横向振动。试样另一端的悬线把试样的振动传给传感器II （拾振），这时机械振动又转变成电信号。该信号经放大后送
实验七杨氏弹性模量的测定 测量材料杨氏模量的方法很多，诸如拉伸法、压入法、弯曲法和碰撞法等。拉伸法是最常用的方法之一。但该方法使用的载荷较大，加载速度慢，且会产生驰豫现象，影响测量结果的精确度。另外，此法还不适用于脆性材料的测量。本实验借助于新颖的动态杨氏模量测量仪用振动法测量材料的杨氏模量。该方法可弥补其不足，同时还可扩大学生在物体机械振动方面的知识面，不失为一种非常有用和很有特点的测量方法。 【实验目的】 1．了解振动法测量材料杨氏模量的原理； 2．学会用作图外推求值法测量振动体基频共振频率和杨氏模量； 3. 测量试件机械振动的本征值 4．观察铝平板的振型； 5．通过实验,逐步提高综合运用各种测量仪器的能力。 【实验仪器】 DY-D99型多用途动态杨氏模量测量仪、YXY-3D型音频信号源、示波器（Y轴灵敏度5-10m V)、毫米刻度钢皮尺(250mm长)、0.02mm精度游标卡尺、物理天平（精度0.05克）。 DY-D99型多功能动态杨氏模量测量仪简介 图3 DY-D99型多功能动态杨氏模量测量仪 1电动式激振器、6电动式拾振器、2试件（圆棒）、17试件（金属铝板）、 3、5刀口、26导轨标尺、9标尺支架、25试件压板、24压板固定螺钉、 10接线箱、11试件选择旋钮、12输入接口、13输出接口、22声整流罩、 19发声元件、18小导轨、20声激振器固定螺钉、14-16水平调节螺钉、 4刻度指示板、8备用试件安放支架、7试件限位装置、23底板 该仪器如图3所示。它由棒材试件杨氏模量定量测量装置和板材试件振型演示观察装置两部分组成。两部分用接线箱连接和转换。前一装置包含两个换能器（电动式换能器）、导轨标尺及其支架。其中一个电动式换能器用作激振器，在音频信号发生器输出的音频正弦信号电压的作用下，作机械振动，进而激励试件作机械振动。另一个电动式换能器当作拾振器，将由试件传递过来的机械振动信号转变为电信号，并输到示波器观察波形。当音频信号发生器的信号频率调到与试件的固有频率相同时，试件产生共振，示波器显示的波形幅度达到最大。两个换能器的作用可互换。它们各自设有一个刀口，可搁置棒材试件。标尺用于指示换能器或刀口在试件上的位置。 矩形金属板试件和带有声整流罩的声激振器是振动体振型演示观察装置的基本组成部
用拉伸法测量杨氏弹 性模量
用拉伸法测量杨氏弹性模量 任何物体在外力作用下都会发生形变，当形变不超过某一限度时，撤走外力之后，形变能随之消失，这种形变称为弹性形变。如果外力较大，当它的作用停止时，所引起的形变并不完全消失，而有剩余形变，称为塑性形变。发生弹性形变时，物体内部产生恢复原状的内应力。弹性模量是反映材料形变与内应力关系的物理量，是工程技术中常用的参数之一。 一. 实验目的 1. 学会用光杠杆放大法测量长度的微小变化量。 2. 学会测定金属丝杨氏弹性模量的一种方法。 3. 学习用逐差法处理数据。 二. 实验仪器 杨氏弹性模量测量仪支架、光杠杆、砝码、千分尺、钢卷尺、标尺、灯源等。 三. 实验原理 在形变中，最简单的形变是柱状物体受外力作用时的伸长或缩短形变。设柱状物体的长度为L ，截面积为S ，沿长度方向受外力F 作用后伸长（或缩短）量为ΔL ，单位横截面积上垂直作用力F ／S 称为正应力，物体的相对伸长ΔL ／L 称为线应变。实验结果证明，在弹性范围内，正应力与线应变成正比，即 L L Y S F ?= （3-1-1） 这个规律称为虎克定律。式中比例系数Y 称为杨氏弹性模量。在国际单位制 中，它的单位为N ／m 2，在厘米克秒制中为达因/厘米2。它是表征材料抗应变能力的一个固定参量，完全由材料的性质决定，与材料的几何形状无关。 本实验是测钢丝的杨氏弹性模量，实验方法是将钢丝悬挂于支架上，上端固定，下端加砝码对钢丝施力F ，测出钢丝相应的伸长量ΔL ，即可求出Y 。钢丝长度L 用钢卷尺测量，钢丝的横截面积42 d S π=，直径d 用千分尺测出，力F 由砝码的质量求出。在实际测量中，由于钢丝伸长量ΔL 的值很小，约mm 110-数量级。因此ΔL 的测量采用光杠杆放大法进行测量。
实验一霍尔位置传感器及弯曲法杨氏模量的测定 实验目的 1.掌握用米尺、游标卡尺、螺旋测微器、读数显微镜测量长度的方法 2.熟悉霍尔位置传感器的特性； 3.弯曲法测量黄铜（或可锻铸铁）的杨氏模量，并对霍尔位置传感器定标； 仪器和用具 1.杨氏模量测定仪主体装置如图1-1所示 图1-1 95型1.铜刀口上的基线 2.读数显微镜 3.刀口 4.横梁 5.铜杠杆（顶端装有A 集成霍尔传感器） 6.磁铁盒 7.磁铁（N极相对放置） 8.调节架 9砝码
图1-2 实验装置的实物照片 2、其他用用具 米尺，游标卡尺，螺旋测微仪，砝码，待测材料（一根黄铜、一根可铸锻铁） 实验原理 1.霍尔位置传感器 霍尔元件置于磁感应强度为B 的磁场中，在垂直于磁场方向通以电流I ，则与这二者相垂直的方向上将产生霍尔电势差H U : B I K U H ??= （1-1） （1-1）式中K 为元件的霍尔灵敏度。如果保持霍尔元件的电流I 不变，而使其在一个均匀梯度的磁场中移动时，则输出的霍尔电势差变化量为： Z dZ dB I K U H ??? ?=? （1-2） （1-2）式中Z ?为位移量，此式说明若 dZ dB 为常数时，H U ?与Z ?成正比。
图1-3 为实现均匀梯度的磁场，可以如图1-3所示，两块相同的磁铁（磁铁截面积及表面磁感应强度相同）相对放置，即N 极与N 极相对，两磁铁之间留一等间距间隙，霍尔元件平行于磁铁放在该间隙的中轴上。间隙大小要根据测量范围和测量灵敏度要求而定，间隙越小，磁场梯度就越大，灵敏度就越高。磁铁截面要远大于霍尔元件，以尽可能的减小边缘效应影响，提高测量精确度。 若磁铁间隙内中心截面处的磁感应强度为零，霍尔元件处于该处时，输出的霍尔电势差应该为零。当霍尔元件偏离中心沿Z 轴发生位移时，由于磁感应强度不再为零，霍尔元件也就产生相应的电势差输出，其大小可以用数字电压表测量。由此可以将霍尔电势差为零时元件所处的位置作为位移参考零点。 霍尔电势差与位移量之间存在一一对应关系，当位移量较小（mm 2<），这一对应关系具有良好的线性。 2、杨氏模量 固体、液体及气体在受外力作用时，形状或体积会发生或大或小的改变，称之为形变。当外力不太大时，引起的形变也不会太大，若撤掉外力，形变随之会消失，这种形变称为弹性形变。 如一段固体棒，在其两端沿轴方向施加大小相等，方向相反的外力F ，其长度l 发生改变△1,以S 表示横截面面积,称F/S 为应力,相对长变(△l/l )为应变,在弹性限度内,根据胡克定律有 l l Y S F ?= Y 称为杨氏模量，其数值与材料性质有关。如图2所示，在待测样品发生微小弯曲时，梁中
【实验目的】 用梁的弯曲法测定金属的杨氏模量。 【仪器用具】 攸英装置，光杠杆，望远镜及直尺，螺旋测微计，游标卡尺，米尺，千分表。 【实验原理】 将厚为a 、宽为b 的金属棒放在相距为 丨的二刀刃 上 （图1）,在棒上二刀刃的中点处挂上质量为 m 的砝码, 棒被压 弯，设挂砝码处下降 ■，称此-为弛垂度，这时 棒材的杨氏模 量 下面推导上式。图（2）为沿棒方向的纵断面的一部分。在 相距 dx 的0Q 2二点上的横断面, 在棒弯曲前互相平行，弯曲后则成一小角度 d :。显然在棒弯曲后，棒的下半部呈现拉伸状态， 上半部 为压缩状态，而在棒的中间有一薄层虽然弯曲但长度不变，称为中间层。 计算与中间层相距为 y 、厚dy 、形变前长为dx 的一段，弯曲后伸长了 yd 「，它受到的拉 力为dF ，根据胡克定律有 dF —匚 yd? dS dx . 式中dS 表示形变层的横截面积，即 dS 二bdy 。于是 实验 杨氏模量的测定（梁弯曲法） E 審. (1)
d? dF =Eb ydy. dx 此力对中间层的转矩为dM ，即 d? 2 dM -Eb y dy . dx 而整个横断面的转矩M应是 d—a 2 1 3d? M =2Eb 2 y2dy Ea'b . (2) dx 012 dx 1 1 如果将棒的中点C固定，在中点两侧各为处分别施以向上的力mg (图3)，则棒的弯曲情 2 2 况当和图1所示的完全相同。棒上距中点C为x、长为dx的一段，由于弯曲产生的下降d等于 (3) 1 1 l 当棒平衡时，由外力mg对该处产生的力距mg( x)应当等于由式(2)求出的转距M , 2 2 2 即 1 J 、 1 3少： mg( x) Ea b - 2 2 12 dx 由此式求出d代入式(3)中并积分，可求出弛垂度
实验三十七 用动态悬挂法测定杨氏模量 杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。 “静态拉伸法”由于 受弛豫过程等的影响不能真实地反映材料内部结构的变化，对脆性材料无法进行测量。本实验用“动态悬 挂法”测出 试样振动时的固有基频，并根据试样的几何参数测得材料的杨氏模量。 目的 (1) 悬挂法测定金属材料的杨氏模量。 (2) 培养学生综合应用物理仪器的能力。 (3) 设计性扩展实验，培养学生研究探索的科学精神 二实验 棒的振动方程为(如图 1): 4 2 y ps y 0 4 2 0 x 4 EJ t 2 这两个线形常微分方程得通解分 别为 称为频率公式。对任意形状的截面，不同边界条件的试样都是成立的。我们只要用特定的边界条件定出常 数K ,并将其代入特定截面的转动惯量 J ，就可以得到具体条件下的计算公式了。 如果悬线悬挂在试样的节点附近，则其边界条件为自由端横向作用力： 将通解代入边界条件，得到 COS KI chKl 1 用数值解法求得本征值 K 和棒长l 应满足 Kl =0, 4.730 , 7.853 , 10.966…。 由于其中一个根“ 0”对应于静态情况，故将第二个根作为第一个根，记作 K 1l 。一般将K 1l 所对应的 频率称为基频频率。在上述 K m l 值中，1, 3, 5…个数值对应着“对称形振动” ，第2、4、6…个数值对应 着“反对解以上方程的具体过程如下(不要求掌握) 。 用分离变量法：令 y(x,t) X(x)T(t) )得 代入方程(7-1 1 d 4X X dx 4 等式两边分别是 S 1 d 2T 2~ EJ T dt 2 x 和t 的函数，这 该 只有都等于一个常数才有可能， 常数设为K 4 , dx 4 立 dt 2 得: K 4X 0 测试棒 B 3 COS Kx B 4 sin Kx X(x) BchKx B 2shKx T (t) A COS ( t ) 于是解振动方程式得通解为 y(x,t) (B 1ChKx B 2ShKx B 3 COS Kx B 4 sin Kx)Acos( t ) 1 K 4EJ 2 S 其中 (2 F M 3 y x x 2 弯距 M EJ y 0 x 即 d 3X 0, d 3X 0 , dx 3 dx 3 x 0 x l dx 2 x 0 dx2 x l I.'［换能器 n
其中：1.铜刀口上的基线2.读数显微镜3.刀口4.横梁 5.铜杠杆（顶端装有95A型 集成霍尔传感器）6.磁铁盒7.磁铁（N 极相对放置）8.调节架9 砝码 五. 实验步骤 （1）调节用底座箱水平调节螺丝，调节用底座箱水平。 （2）将横梁穿在砝码铜刀口内，安放在两立柱刀口的正中央位置。接着装上铜杠杆，将有传 感器一端插入两立柱刀口中间，该杠杆中间的铜刀口放在刀座上。圆柱型拖尖应在砝码刀口的小 - 4 - 圆洞内，传感器若不在磁铁中间，可以松弛固定螺丝使磁铁上下移动，或者用调节架上的套筒螺 母旋动使磁铁上下微动，再固定之。注意杠杆上霍尔传感器的水平位置（圆柱体有固定螺丝）。（3）将铜杠杆上的三眼插座插在立柱的三眼插针上，用仪器电缆一端连接测量仪器，另一端 插在立柱另外三眼插针上；接通电源，调节磁铁或仪器上调零电位器使在初始负载的条件下仪器 指示处于零值。大约预热十分钟左右，指示值即可稳定。 （4）调节读数显微镜目镜，直到眼睛观察镜内的十字线和数字清晰，然后移动读数显微镜使 通过其能够清楚看到铜刀口上的基线，再转动读数旋纽使刀口点的基线与读数显微镜内十字刻线
吻合。 （5）加砝码，使梁弯曲产生位移y；精确测量传感器信号输出端的电压数值与固定砝码架的 位置y 的关系，用读数显微镜对传感器输出量进行定标。 （6）加砝码，测使梁弯曲产生位移，用读数显微镜精确测量梁弯曲产生位移y。 （7）用直尺测量横梁的长度d ，游标卡尺测其宽度b ，千分尺测其厚度a 八. 注意事项 （1）在进行测量之前，检查杠杆的水平、刀口的垂直、挂砝码的刀口处于梁中间，要防止外加 风的影响，杠杆安放在磁铁的中间，注意不要与金属外壳接触，梁的厚度必须测准确。在用千分 尺测量黄铜厚度 a 时，将千分尺旋转时，当将要与金属接触时，必须用微调轮。当听到答答答三 声时，停止旋转。有个别学生实验误差较大，其原因是千分尺使用不当，将黄铜梁厚度测得偏小； （2）读数显微镜的准丝对准铜挂件（有刀口）的标志刻度线时，注意要区别是黄铜梁的边沿， 还是标志线； （3）霍尔位置传感器定标前，应先将霍尔传感器调整到零输出位置，这时可调节电磁铁盒下的 升降杆上的旋钮，达到零输出的目的，另外，应使霍尔位置传感器的探头处于两块磁铁的正中间 稍偏下的位置，这样测量数据更可靠一些； （4）加砝码时，应该轻拿轻放，尽量减小砝码架的晃动，这样可以使电压值在较短的时间内达 到稳定值，节省了实验时间； （5）实验开始前，必须检查横梁是否有弯曲，如有，应矫正。
动态法测量杨氏模量 杨氏模量是描述固体材料弹性形变的一个重要物理量，测量杨氏模量的方法很多，我们学过的有静态拉伸法，其缺点是不能真实地反映材料内部结构的变化，而且不能对脆性材料进行测量，本实验采用动态法。 一、 实验目的 1． 学习用动态法测量杨氏模量的原理和方法。 2． 学会用示波器观察判断样品共振的方法。 二、 实验仪器 DCY-3（动态）弹性模量测定仪，包括CY-2型功率函数信号发生器（5位数显、5-500）示波器，加热炉，数显温控器，激发-接收换能器，悬挂测定支架及支撑测定支架。听诊器，式样若干，悬丝，游标卡尺，螺旋测微计。 三、 共振法测量杨氏模量的基本理论 任何物体都有其固有的振动频率，这个固有振动频率取决于试样的振动模式、边界条件、弹性模量、密度以及试样的几何尺寸、形状。只要从理论上建立了一定振动模式、边界条件和试样的固有频率及其他参量之间的关系，就可通过测量试样的固有频率、质量和几何尺寸来计算弹性模量。 1． 杆振动的基本方程 一细长杆做微小横（弯曲）振动时，取杆的一端为坐标原点，沿杆的长度方向为x 轴建立坐标系，利用牛顿力学和材料力学的基本理论可推出杆的振动方程： 04422=??+??x U EI t U λ （1） 式中U (x, t )为杆上任一点x 在时刻t 的横向位移；E 为杨氏模量；I 为绕垂直于杆并通过横截面形心的轴的惯量矩；λ为单位长度质量。 对长度为L ，两端自由的杆，边界条件为： 弯矩 022=??=x U EJ M 作用力 3 3x U EJ x M F ??-=??=
即x =0, L 时： 0,03 322=??=??x U x U （2） 用分离变量法解微分方程（1）并利用边界条件（2），可推倒出杆自由振动的频率方程： 1cos =?chkL kL （3） 其中k 为求解过程中引入的系数，其值满足： EI k λω24= (4) ω为棒的固有振动角频率。从方程（4）可知，当λ、E 、I 一定时， 角频率ω（或频率f ）是待定系数k 的函数，k 可由方程（3）求得。方程 （3）为超越方程，不能用解析法求解，利用数值计算法求得前n 个解为： πππππ)21(,,5005.4, 5004.3,4997.2,506.14321+≈====n L k L k L k L k L k n 这样，对应k 的n 个取值，棒的固有振动频率有n 个f 1 , f 2 , f 3 … f n 。其中f 1为棒振动的基频，f 2、f 3、…分别为棒振动的一次谐波频率、二次谐波频率、…。弹性模量是材料的特性参数，与谐波级次无关，根据这一点可以倒出谐波振动与基频振动之间的频率关系为： f 1 : f 2 : f 3 : f 4 =1 : 2.76 : 5.40 : 8.93 2、杨氏模量的测量 若取棒振动的基频，由π506.11=L k 及方程（4）得： λπ4242 1 4506.1L EI f = 对圆形棒有464 14.3d I =，则得： 2143 6067.1f d mL E = (5) 式中L m λ=为棒的质量，单位为g ，d 为棒的直径，单位为mm ，取L 的单位亦为mm ，计算出的杨氏模量E 的单位为N/m 2。这样，实验中测得棒的质量、长度、直径及固有频率，即可求得杨氏模量。
《杨氏模量》实验报告数据处理 测量数据： 1．单次直接测量量测量参考值： 金属丝长度：L=37.42cm ； 钢卷尺仪器误差：0.1cm 光杠杆与镜尺组距离：D = 151.5 cm ； 钢卷尺仪器误差：0.1cm 光杠杆常数：b = 84.00 mm ； 卡尺仪器误差：0.02mm 砝码质量: 360g/个砝码 ; 误差: 1g/ 个砝码 2．多次直接测量量测量参考值： 金属丝直径测定： 螺旋测微计零点读数：0.000 mm 151r r l -== ， 262r r l -=， 373r r l -=， 484r r l -= 1．杨氏模量E 的测量参考值： 将各测量量代入公式 Pa bl d FLD E 11226221060.11063.0104.81049.014.3515 .13742.08.94360.088?=???????????==---π
由不却定度传递公式: 2222222??? ??+??? ??+??? ??+??? ??+??? ??+??? ??=l u b u d u D u L u F u E u l b d D L F E )(03.031 8.910143N u F =????=- )(11.148.9360.04N F =??= %21.011 .1403.0==F u F cm u L 03.03 1 05.0=?= %080.042.3703.0==L u L cm u D 06.03 1 1.0=?= %040.050.15106.0==D u D mm u b 0 2.031 02.0=?= %024.000.8402.0==b u b (0.630.65)0.029c m A l ?= = )0.058cm B l ?== mm l l u B A l 06.0058.0029.02222=+=?+?= %3.664 .004.0==l u l mm d A 001.04 5)490.0490.0()492.0490.0()489.0490.0()490.0490.0()488.0490.0(2 2222=?-+-+-+-+-=?mm d B 002.03 004 .0==? mm d d u B A d 003.0002.0001.02222=+=?+?= %61.0490.0003.0==d u d 222222)()()2()()()(l l b b d d D D L L F F E u E ?+?+?+?+?+?= %4.6%)3.6(%)024.0(%)22.1(%)040.0(%)080.0(%)21.0(222222=+++++=1111101.0%4.61060.1%4.6?=??=?=E u E Pa 实验结果表示：a E P ?±=1110)1.06.1( %4.6=E u E 683.0=P