《动态数学思维》教案
一、导入
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1.勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．
2.勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形.
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．
3.勾股数：凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数.
4.勾股定理及其逆定理的应用:
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．
二、教学新授
典例呈现
例1 印度数学家什迦逻(1141年—1225年) 曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅?”请用学过的数学知识回答这个问题．
答案：
解：设水深为x尺，则莲花高度为（x+1
2
）尺.
在直角三角形中,x2+22=(x+1
2
)2，
解得：x=15 4
.
答：水深为15
4
尺.
师：请一名学生将这首古诗翻译成与数学有关的问题.
生：莲花一开始露出水面的部分长为1
2
尺，被风吹到与水面平齐的时候，水
平方向距离为2尺，现问湖水的深度是多少？师：说说你的解题思路.
生：设水深为x尺，则莲花的高度为（x+1
2
）尺，刚好形成的是直角三角形，
利用勾股定理建立方程，即可解出x.
学生独立完成.
以渔得鱼：
如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端A 的仰角为30°，已知侧角仪高DC＝1.4m，BC＝30米，请帮助小明计算出树高AB．（3取1.732，结果保留三个有效数字）
答案：
解：设AE =x 米，则AB =(x +1.4)米.
在Rt △AED 中，DE =BC =30米， ∵∠ADE =30°，∴AD =2AE =2x 米. ∵AE 2+DE 2=AD 2，∴x 2+302=(2x )2. 解得x =103.
∴AB =103+1.4≈18.7（米）. 答：树高AB 为18.7米.
师：根据题目条件可以得出哪些数据？
生：BE =DC =1.4米，DE =BC =30米，∠ADE =30°. 师：如何运用这些条件求AB 的长？
生：因为BE =1.4米，所以只需求出AE 的长，设AE =x 米.在Rt △AED 中，因为∠ADE =30°，所以AD =2AC =2x ，又知道DE =30米，利用勾股定理建立方程，即可解出x .
知识检验：
6.如图，一张长方形纸片宽AB ＝8 cm ，长BC ＝10 cm ．现将纸片折叠，使顶点D 落在BC 边上的点F 处(折痕为AE )，求EC 的长．
答案：
解：设EC =x cm ，在长方形ABCD 中，
AB =CD =8 cm ，AD =BC =10 cm ，∠B =∠D =90°. 由折叠可知，AF =AD =BC =10 cm ，EF =DE =（8-x ）cm. 在Rt △ABF 中，BF =22AF AB =6 cm ， 则CF =BC -BF =4 cm ，
在Rt △CEF 中，CF 2+CE 2=EF 2， 即42+x 2=(8-x )2，解得x =3.
例3. 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：
S梯形ABCD=，S△EBC=，S四边形AECD=，则它们满足的关系式为，经化简，可得到勾股定理．
【知识运用】（1）如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=25千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为千米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC=PD，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP 的距离．
【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式
22
9(16)81
x x
++-+的最小值（0＜x＜16）.
答案：
【小试牛刀】
1 2a（a+b），
1
2
b（a-b），
1
2
c2，
1
2
a（a+b）-
1
2
b（a-b）=
1
2
c2.
【知识运用】
（1）41；
（2）
解：如图所示，
设AP =x km ，则BP =（40-x ）km.
在Rt △ADP 中，PD 2= AP 2+AD 2 = x 2+242， 在Rt △BCP 中，PC 2= PB 2+ BC 2 =(40-x )2+162， ∵PD =PC ，∴PD 2=PC 2， ∴x 2+242=(40-x )2+162. 解得x =16.
答：AP 的长度为16km. 【知识迁移】
解：构造如图所示的图形AD =3，AB =16，BC =9，AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，设P 为线段AB 上一动点，AP =x ，则DP =29x +，CP =2(16)81x -+.
作出点D 关于线段AB 的对称点E ，连接CE ，设线段CE 与线段AB 的交点为点P .
由对称可知DP =EP ，则DP +PC =EP +PC =EC .
过点C 作CF ⊥AD ，则AF =BC =9，AE =AD =3，∴EF =AF +AE =12，CF =AB =16， 在Rt △CFE 中，CE =22EF CF +=20. ∴29x ++2(16)81x -+的最小值为20.
小试牛刀
师：请一名学生讲解梯形ABCD 和△EBC 如何求解？
生：S 梯形ABCD =12(上底+下底)×高=12(b +a )(a -b +b )=12b (a +b )，
S △EBC =12底×高=1
2b (a -b )，
师：四边形AECD 的面积如何求解？ 生1：梯形的面积减去三角形的面积.
答案：
解：（1）在Rt△ABC中，AB=BC=1，则a2=AC=2.
在Rt△ACE中，AC=CE=2，则a3=AE=2.
在Rt△AHE中，AE=AH=2，则a4=HE=22.
（2）a n=(2)n-1.
此题较简单，反复运用勾股定理，可请基础较差的学生讲解.引导学生在做这种规律型问题时，在求前几个时，就观察数据变化的规律.
三、巩固拓展
知识检验
课堂练习
2.放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为（）
A.600米
B.800米
C.1000米
D.不能确定
答案：C
3.如图，分别以直角△ABC的三边AB，BC，CA为直径向外作半圆.设直线AB 左边阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则（）
A.S1＝S2
B.S1＜S2
C.S1＞S2
D.无法确定
答案：A
四、课堂小结
（1）在求线段长度时，可考虑放在直角三角形中利用勾股定理.一般需设未知数，建立方程进行求解.
（2）可以用勾股定理的逆定理来判断是否是直角三角形. （3）勾股定理将代数和几何结合在一起，可以相互转化.
复备内容及讨
论记录 教学过程
一、课前谈话
师：因为勾股定理在实际运用中非常重要，在数学中的地位非常高，因此很多历史名人都有研究勾股定理，比如我国清朝的康熙皇帝.一起来看看吧.（进入例5） 二、教学新授 典例呈现
例5 清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王.近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3，4，5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”.用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S ，则第一步：6
S
＝m ；第二步：m ＝k ；第三步：分别用3，4，5乘以k ，得三边长”.
（1）当面积S 等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； （2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程. 答案：
（1）解：根据题意，当S =150时，
A
B C
m ＝
6
S =1506=25，k ＝m =25=5， ∴3×5=15，4×5=20，5×5=25. 即该直角三角形的三边长为15，20，25.
（2）证明：设直角三角形三边长为3k ，4k ，5k ，（k 为整数） 因为三角形为直角三角形且3k ，4k 为直角边长.
其面积S =1
2
×3k ×4k =6k 2，
∴k 2=
6
S
，k =6s （k ＞0），
即：将面积除以6，然后开方，即可得到倍数.
此题较简单，建议让学生独立完成.
以渔得鱼：
我国古籍《周髀算经》中早有记载“勾三股四弦五”，下面我们来探究两类特殊的勾股数．
(1)通过观察完成下面两个表格中的空格(以下a ，b ，c 为Rt △ABC 的三边，且a ＜b ＜c )：
表一 表二
(2)我们发现，表一中a 为大于1的奇数，此时b ，c 的数量关系是 ；表二中a 为大于4的偶数，此时b ，c 的数量关系是 ；
(3)一般地，对于表一，用含a 的代数式表示b = ；对于表二，用含a 的代数式表示b = ；
(4)我们还发现，表一中的三边长“3，4，5”与表二中的“6，8，10”成倍数关系，表一中的“5，12，13”与表二中的“10，24，26”恰好也成倍数关系．请直接利用这一规律
计算：在Rt △ABC 中，当a =35，b =4
5
时，斜边c 的值．
答案：
（1）40；35；
（2）c=b+1；c=b+2；
（3）
21
2
a-
；
2
1
4
a
-；
（4）解：∵32+42=52，
∴(1
5
×3)2+(
1
5
×4)2=(
1
5
×5)2，
∴c=1.
学生独立完成.可比拼学生答题速度及准确度.
例4 阅读：如图①，在△ABC中，3∠A+∠B=180°，BC=4，AC=5，求AB的长．小明的思路：
如图②，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD，易得∠A=∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B=180°和∠A+∠ABC+∠BCA=180°，易得∠BCA=2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长．
解决下列问题：
（1）图②中，AE=__________，AB=__________；
（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
①如图③，当3∠A+2∠B=180°时，用含a，c式子表示b；（要求写解答过程）
②当3∠A+4∠B=180°，b=2，c=3时，可得a=__________．
答案：（1）9
2
；6；
（2）①
解：作BE ⊥AC 于点E ，在AC 的延长线上取点D ，使得DE =AE ，连接BD ，则BE 是边AD 的中垂线，故AB =BD ，∠A =∠D .
∵3∠A +2∠ABC =180°，∠A +∠ABC +∠BCA =180°， ∴2∠A +∠ABC =∠ACB . ∵∠ACB =∠D +∠DBC ， ∴2∠A +∠ABC =∠D +∠DBC . ∵∠A =∠D ，
∴∠A +∠ABC =∠DBC ， 即∠DCB =∠A +∠ABC =∠DBC ， ∴BD =DC ， ∴BD =DC =AB =c . 设EC =x ，∴DE =AE =2
b c
+， ∴EC =AE -AC =
2
b c +-b =2c b -，
∵BE 2=BC 2-EC 2，BE 2=AB 2-AE 2， ∴a 2-(
2c b -)2=c 2- (2
b c +)2
， 解得b =22
c a c
-.
②153
.
解析：（2）②
作BE ⊥AC 于点E ，在AC 的延长线上取点D ，使得AB =AD ，连接BD ， 故AB =AD =3，∠ABD =∠D .
DB=DC.
师：再在直角三角形中利用勾股定理.
第（3）问，老师引导分析.模仿着构造等腰△ABD，可以让学生尝试构造相同图形，此时会发现无法得到△BCD为等腰三角形，再提示以AB和AD为腰构造等腰三角形.
以渔得鱼：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD是∠ACB的平分线，点E，F分别是边AC，BC上的动点．AB=42，设AE=x，BF=y．
（1）AC的长是；
（2）若x+y=3，求四边形CEDF的面积；
（3）当DE⊥DF时，试探索x，y的数量关系．
答案：
（1）4；
（2）
解：如图，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，
∵∠ACB=90°，AC=BC，CD是∠ACB的平分线，
∴∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，CD⊥AB，AD=BD=CD.
在等腰直角△ACD中，DM⊥AC，
∴DM=1
2
AC=2.同理DN=2.
∵S△ABC=1
2
AC·BC=
1
2
×4×4=8，
S △ADE =12AE ·DM =x ，S △BDF =1
2
BF ·DN =y ,
∴S 四边形CEDF = S △ABC - S △ADE - S △BDF =8-x -y =5.
（3）
解：∵DE ⊥DF ， ∴∠2+∠3=90°. ∵CD ⊥AB ， ∴∠1+∠2=90°. ∴∠1=∠3.
在△ADE 和△CDF 中，
13,
,,AD CD A DCF ∠=∠??
=??∠=∠?
∴△ADE ≌△CDF ， ∴AE =CF .
∴x +y =AE +BF =CF +BF =BC =4.
此题较简单，可让学生独立思考完成，并请学生进行讲解.
拓展延伸：
1.王老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时涉及了以下几个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长.
（1）如图1，在一张长方形纸片上，AC =4cm ，BC =4cm ，一只蚂蚁欲从A 点爬到B
处；
（2）如图2，在一个圆柱形杯子上，底面半径为6
π
cm，杯子的高度为8cm，一只蚂
蚁欲从A点爬到B点；
（3）如图3，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C′处；
（4）如图4 ，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面的点A沿着棱柱表面爬到C′处.
答案：
解：（1）连接AB，
在Rt△ABC中，AC=4cm，BC=4cm，
∴AB=22
AC BC
+=5cm.
∴最短距离是5cm.
（2）将圆柱体侧面展开，如图所示，
连接AB，
在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=1
2
CC′=6cm，
∴AB=22
AC BC
+=10cm.
∴最短距离是10cm.
（3）将正方体展开，如图所示，
连接AC′，
在Rt△AA′C′中，AA′=5cm，A′C′=10cm，
∴AC′=22
AA AC
+''
′=55cm.
∴最短距离是55cm.
（4）将正四棱柱展开，如图所示，
连接AC′，
在Rt△AA′C′中，AA′=6cm，A′C′=10cm，
∴AC′=22
AA AC
+''
′=136=234cm.
连接AC′，
在Rt△AD′C′中，AD′=11cm，D′C′=5cm，
∴AC′=22
AD D C
+''
′=146cm.
∵136＞146，
∴最短距离是234cm.
三、巩固拓展
知识检验
课堂练习
1.已知△ABC中，∠A＝1
2
∠B＝
1
3
∠C，则它的三条边之比为（）
A.1∶1∶2
B.1∶3∶2
C.1∶2∶3
D.1∶4∶1
答案：B
5.如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．