一、数列的概念
(1) 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作
a n ,在数列第一个位置的项叫第
1项(或首项)，在第二个位
置的叫第2项，……，序号为 n 的项叫第n 项(也叫通项)记作 a n ； 数列的一般形式：a i , a 2, a 3,……,a n ,……，简记作 (aj 。
例：判断下列各组元素能否构成数列 (1) a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9；
(2) 2010年各省参加高考的考生人数。 (2) 通项公式的定义：如果数列
叫这个数列的通项公式。
例如：①：1 , 2 , 3 , 4, 5
,1111
*1
‘2‘3，4‘5
① :a n [表示数列‘ a n 表示数列中的第n 项‘ a .= f n 表示数列的通项公式；
[_1 n = 2k —1
② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，a n = (-1)n =
'
(匕Z);
k +1, n = 2k
③ 不是每个数列都有通项公式。例如， 1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 ,…… (3) 数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9
上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看‘数列
实质上是定义域为正整数集
N .(或它的有限子集)的函数 f (n)当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列
函数值f(1),f(2), f(3),……,f (n),……?通常用a n 来代替f n ‘其图象是一群孤立点。
例：画出数列a n =2n ? 1的图像?
(4) 数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项
与项之间的大小关 系分：单调数列(递增数列、递减数列) 、常数列和摆动数列。
例：下列的数列‘哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ (1) 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6,… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, …
(3) 1,0, 1,0, 1,0,
…
(4)a, a, a, a, a,
…
(5) 数列｛ a n ｝的前n 项和S n 与通项a n 的关系：
a
n
例：已知数列｛a n ｝的前n 项和s n =2n 2 ? 3 ,求数列｛a n ｝的通项公式
高三总复习-— 数列
｛a n ｝的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就
②: 数列①的通项公式是 数列②的通项公式是
说明：
a n = n ( n 乞7 , n N .), a n = — ( n ■- N 亠)。
n
S 1
(n = 1)
(1)
5.观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样,
10条直线相交，交点的个数最多是（
，其通项公式
2条直线相 交，最多有 1 个交点
3条直线相 交，最多有3 个交点
4条直线相 交，最多有6 个交点
练习:
1 ?根据数列前4项，写出它的通项公式:
(4) 9, 99, 999, 9999… (5) 7 , 77, 777, 7777, (6) 8, 88, 888, 8888
(1)与出
a 1, , a 2, a 3,
a n 1, a n 2 ；
2
（2） 792是否是数列中的项？若是，是第几项?
3
3? （2003京春理14 ,文15）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（
____ ）内。
30
35 40 45
50 55 60
6S 收堀压 ＜水锦桂
110
115
120 125
13S
< > 14S 訐张压（:水輾桂
70
73
75
73
80
83
(
)
38
根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式
(1) (2) (3)
1
1*2 5, 7??…
32 一1 ，3
1
，2*3 ： 42 -1 4 1 3* 4
52 -1 5 1 4*5~°
2 ?数列注［中，已知a n
3 T
(n N )
1，3, (7)
45个 55个
二、等差数列
题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这
个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为a n -a n! =d(n _2)或a. i -a. =d(n _1)。
例：等差数列a n =2n -1，a n -a nJ二 ___________________
题型二、等差数列的通项公式：a n =a, ? (n _1)d ；
说明：等差数列(通常可称为 A P数列)的单调性：d . 0为递增数列，d=0为常数列，d :：: 0为递减数列。
例：1.已知等差数列乩？中，a7 a^16, a^1,则a i2等于( )
A. 15
B.30 C . 31 D . 64
2. ｛a n｝是首
=1，公差d =3的等差数列，如果a n二2005，则序号n等于
项
(A) 667(B) 668 (C) 669 (D) 670
3. 等差数列a n=2n - 1,b n - -2n 1，则a n为b n为(填“递增数列”或“递减数列”)
题型三、等差中项的概念：
定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中
2
a + b
a，A，b 成等差数列=A 即: 2a ni 二a. Vn.2 ( 2a. = a.』-a n .m)
2
例：i.( 14全国I )设｛a n｝是公差为正数的等差数列，若a+a2+a3 = 15, a1a2a^80，则a11a = ()
A. 120 B . 105 C. 90 D . 75
2. 设数列
｛a n｝是单调递增的等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是( )
A. 1
B.2
C.4
D.8
题型四、等差数列的性质：
(1)在等差数列订,中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
(2)在等差数列:a/f中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；
(3)在等差数列玄中，对任意m , n ? N ., a n二a m? (n - m)d , d =色一a m(m = n)；
n — m
(4)在等差数列a' 中，若m , n , p , q N .且m n 二p q，则a m a n二a p a q; 题型五、等差数列的前n和的求和公式：s n二n(a1 an)二nar^ 二丄n2(a^-)
n。
2 2 2 2
(S n二An2n (A,B为常数)二? ‘為？是等差数列)
递推公式：s n二色弘加二(am
2 2
例：1.如果等差数列？a n匚中，a3a4a^12，那么a1az ■■■a7 = (A) 14 ( B)
(C) 28 (D) 35
21
2. （2015湖南卷文）
设
S n是等差数列faj的前n项和，已知a2^3 , ^11，则S y等于（）
A
.
13 35 .49 63
3. （2015全国卷I
理）
设等差数列：a n f的前n项和为S n，若S9 = 72 ,则a2 a4 - a9=
4. （2015重庆文）
（2）
在等差数列中，a a9 = 10，则a5的值为（
(A) 5 (B) 6 (C) 8 (D) 10
5.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为
A.13 项
B.12 项146，且所有项的和为
C.11 项
390,则这个数列有（
D.10 项
6.已知等差数列:a n ［的前n项和为S n ,若S12二21,贝U a2 a5 a8
a“
7. （2014全国卷n理）设等差数列CaJ的前n项和为
Sn，若八3则P
8. （2014全国）已知数列｛b n｝是等差数列,b1=1, 6+H+…+b o=100.
（I）求数列｛b n｝的通项b n；
9.已知a，数列是等差数列，a10=10，其前10项的和S。=70，则其公差d等于（）
B ?-3 C.
10. （2015陕西卷文）设等差数列
1 f 2
D.
3 3
? '的前n项和为Sn,若兎二足二12,则an二
S
11. （2013全国）设｛a n｝为等差数列，S为数列｛a n｝的前n项和，已知S y= 7,乐=75, T n为数列｛」｝
n 的前n项和，求T n。
12.等差数列B n的前n项和记为S n,已知a10 = 30, a20 =50
①求通项a n ；②若S n =242,求n
13.在等差数列｛a n｝中，(1)已知S8 =48,02 =168,求印和d ； (2)已知a§=105 =5,求a*和2 ; (3) 已知a s +815 =40，求S
让学习成为一种习惯!
题型六?对于一个等差数列:
题型七?对与一个等差数列，S n ,S 2n -S n ,S 3^S 2n 仍成等差数列。
例：1.等差数列｛&｝的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（
）
A.130
B.170
C.210
D.260
2. 一个等差数列前 n 项的和为48,前2n 项的和为60，则前3n 项的和为 ___________________ 3 ?已知等差数列 玄｛的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 ______________ 4.设S n 为等差数列「a n ，的前n 项和，S 4
=14, So -S 7 =30,则S 9 = ________
5. （2015全国II ）设S 是等差数列｛ a n ｝的前n 项和，若 § S 6
A . —
B. 1
C
10
3
题型八.判断或证明一个数列是等差数列的方法:
①
定义法：
a n1 - a . =d （常数）（n ?N ）=力“』是等差数列
② 中项法：
2a n ^a n - a n 2
（n ? N '）= ^n ｛是等差数列
③ 通项公式法：
a n = k n ，
b （k,b 为常数）=玄/是等差数列
④
前n 项和公式法：
& =A n 2 Bn （A,B 为常数）= 春是等差数列
例：〔.已知数列｛a n ｝满足a n -a n 4 = 2，则数列｛a n ｝为（）
A.等差数列
B.等比数列
C. 既不是等差数列也不是等比数列
D. 无法判断
已知数列｛a n ｝的通项为a n =2n 5，则数列｛a n ｝为（）
A.等差数列
B.等比数列
C. 既不是等差数列也不是等比数列
D. 无法判断
3.已知一个数列 ｛a n ｝的前n 项和S n 2n 2 4，则数列｛a n ｝为（ )
A.等差数列
B.等比数列
C. 既不是等差数列也不是等比数列
D. 无法判断
4.已知一个数列 ｛a n ｝的前n 项和S n
2
二2n ，则数列｛a n ｝为（）
A.等差数列
B.等比数列
C. 既不是等差数列也不是等比数列
D. 无法判断
（1）若项数为偶数，设共有 （2）若项数为奇数，设共有 2n 一 1叽则①S 奇- S 偶二a n 二a 中； -，则鱼=
3 S 12
D.
2n 叽则①S 偶一 S 奇=nd ；
S
偶
a n
a
n 1
②
让学习成为一种习惯!
5. 已知一个数列｛a.｝满足a n 2 -2a n i a^ 0，则数列｛a.｝为（）
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等差数列也不是等比数列
D.无法判断
6. 数列a ■满足a1 =8，a4 = 2，且a n 2 -2a n 1 a n = 0（n ? N ”）
①求数列Ca n 1的通项公式；
7. （14天津理，2）设S是数列｛a n｝的前n项和，且S=n2，则｛a n｝是（）
A.等比数列，但不是等差数列
B.等差数列，但不是等比数列
C.等差数列，而且也是等比数列
D.既非等比数列又非等差数列
题型九.数列最值
（1）a i 0 , d <0时，S n有最大值；a i ：：：0, d 0时，S n有最小值；
（2）S n最值的求法：①若已知S n, S n的最值可求二次函数 &二an2? bn的最值；
可用二次函数最值的求法（n E N+）；②或者求出i a j中的正、负分界项，即:
『a n工0 「a n兰0
若已知a n ,则S n最值时n的值（n N .）可如下确定或
gn比兰0 2冷兰0 例：1.等差数列也［中，a1 0, S^ S12，则前_____________________ 项的和最大。
2 .设等差数列On?的前n项和为S n ,已知a
3 =12, S12 0, S3 < 0
①求出公差d的范围，
②指出S1, S2, , S2中哪一个值最大，并说明理由。
3. （12上海）设｛a n｝（n€ N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且Sv S, S= S>S，则下列结论错误的
是（）