绝对值专题复习
姓名： ， 专题一：7=x ，则______=x
例1:|X —3|=6，求x |x+2|=1
例2：
已知|a|=2，|b|=3, a ＞b,求a+b
1、 若|a|=4,|b|=7，若ab ＜0，求|a —b|； 若|a|=2,|b|=3，若| a —b |= b —a ，求a —2b
2、 若|a|=1,|b|=5，若ab ＞0，| a —b |= b —a ，求a —2b+1的值
3、已知5=a ，3=b 且b a b a +=+，求b a +的值
专题二：|a|=—a 时，a 是________数，当|a|=a 时，a 是________数
例1：已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，试求|a|+|c-3|+|b|的值．
1、实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么化简|a-b|-a 的结果是 ，
2、有理数a b c 、、在数轴上的位置如图所示，化简0a b c -+--
0b a
c 例2：
1002
11003120021200312003120041-++-+-
例3：已知a 、b 是不为0的有理数，且a a -=，b b =，a > b ，那么在使用数轴上的点来表示a 、b 时，应是 ．
A B C D :
专题三：非负性
1、 已知|X —4|+|Y+2|=0，求2X —Y 的值。 若y x -+3-y =0 ，求2x+y 的值.
2、│a －2│+│b －3│+│c －4│=0,求a+2b+3c
专题四：公式
1、已知a 、b 、c 是非零有理数，且a ＋b ＋c=0，求
abc
abc c c b b a a +++的值。
2、 三个有理数c b a ,,，其积是负数，其和是正数，当c c b b a a x ++=
时，求x
3、 有理数a 、b 、c 均不为0，且a ＋b ＋c=0，试求
a c a c c
b
c b b a b a ++的值
4、 已知a 、b 、c 都不等于零，且abc abc c c b b a a x +++=
，求出x 的所有值
5、已知a b c 、、都是有理数，且满足a
b
c
a b c ++＝1，求代数式：6abc abc
-的值.
专题五：距离
例1：当b = 时， 有最 值， 是 。 当x = 时， 有最 值， 是 。
1、｜m+7|＋2006的最小值为 ，此时m ＝ 。
例2：23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ________.
满足341>+++x x 的x 的取值范围为___ _______。
1、当代数式︱x ＋1︱＋︱x －2︱取最小值 时，相应的x 的取值范围是__________
专题六：综合应用
1、 已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值等于1，求a+b+x 2-cdx 的值。
2、已知a b 、互为相反数，c d 、互为倒数，m 的绝对值等于2，求2a b m cd a b c
++-++的值.
绝对值综合专题讲义 绝对值的定义及性质 绝对值的定义： 绝对值的性质： （1）绝对值的非负性，可以用下式表示 （2） |a|= （ 3）若|a|=a，则；若|a|=-a，则；任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， （4）若 |a|=|b| ，则 （ 5）|a+b||a|+|b||a-b|||a|-|b|| |a|+|b||a+b||a|+|b||a-b| 【例 1】 （ 1）绝对值大于而小于的整数有多少个 （ 2）若 ab<|ab|，则下列结论正确的是（） ＜ 0， b＜ 0＞ 0， b＜ 0＜ 0， b＞ 0＜ 0 （ 3）下列各组判断中，正确的是（） A．若 |a|=b，则一定有 a=b B.若|a| ＞ |b|,则一定有 a＞ b C. 若 |a| ＞b，则一定有 |a|＞ |b| D.若 |a|=b，则一定有 a 2 =(-b)2 （ 4）设 a， b 是有理数，则 |a+b|+9 有最小值还是最大值其值是多少 （ 5）若3|x-2|+|y+3|=0，则y 的值是多少x （ 6）若|x+3|+(y-1) 2 =0，求( 4 ) n的值 y x
【巩固】 1、绝对值小于的整数有哪些它们的和为多少 2、有理数 a 与 b 满足 |a|>|b|，则下面哪个答案正确（） ＞b =b 七年级数数学绝对值化简专题训练试题
绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。 一、根据题设条件 例1 设化简的结果是（）。 （A）（B）（C）（D） 思路分析由可知可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去． 解 ∴应选（B）． 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路． 二、借助数轴 例2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（）． （A）（B）（C）（D） 思路分析由数轴上容易看出，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍． 解原式 ∴应选（C）．
归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清： 1．零点的左边都是负数，右边都是正数． 2．右边点表示的数总大于左边点表示的数． 3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了． 三、采用零点分段讨论法 例3 化简 思路分析本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于的正负不能确定，由于x是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论． 解令得零点：； 令得零点：， 把数轴上的数分为三个部分（如图） ①当时, ∴原式 ②当时，， ∴原式 ③当时，，
∴原式 ∴ 归纳点评虽然的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是： 1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）． 2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定． 3．在各区段内分别考察问题． 4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案． 误区点拨千万不要想当然地把等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错误的结果． 练习： 请用文本例1介绍的方法解答l、2题 1．已知a、b、c、d满足且，那么 2．若，则有（）。 （A）（B）（C）（D） 请用本文例2介绍的方法解答3、4题 3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子化简结果为（）．
绝对值应用（讲义） ? 课前预习 1. a 的相反数是_______，a b -的相反数是_______，a b c -+的相反数是 ________；若0a b c -+<，则a b c -+=________． 2. 已知0a c <<，0ab >，b c a <<，在下图数轴上标出b ，c 的大致位置． 3. 当a >0时，a =____，a a =____；当a <0时，a =____，a a =____． ? 知识点睛 1. 去绝对值： ①看_____，定_____；②依法则，留_____；③去括号，合并． 2. 分类讨论： ①_____________________________________________； ②_____________________________________________． 3. 绝对值的几何意义： a b -表示在数轴上数a 与数b 对应点之间的距离． ? 精讲精练 1. 小明得到了一个如图所示的数轴草图，他想知道一些式子的符号，请你帮他 完成． a -____0，a b +____0，a b -____0，b a -____0．（填“>”、“<”或“=”） a 2. 设有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，则b -a ____0，a +c _____0．化简2b a c a c a -+-+-=____________． 3. 设有理数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，化简1a b a b b +---+-． 01a b
4. 已知0a c <<，0ab >，b c a >>，化简b a b c a b c -++-++． 5. 已知0c a <<，0ab <，a c b >>，化简a a c b c b a -+----． 6. 已知0a b +<，化简13a b a b +----． 7. 若15x -=，1y =，则x y -的值为__________________． 8. 若24x +=，3y =，则x y +的值为_________________． 9. 若4a =，2b =，且a b a b +=+，则a b -的值是多少？
v1.0可编辑可修改 绝对值难题解析 绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数 学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值 符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉 绝对值符号的方法大致有三种类型。 一、根据题设条件 例 1设化简的结果是（）。 （A）（B）（C）（D） 思路分析由可知可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号 待合并整理后再用同样方法化去． 解 ∴应选（ B）． 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路． 二、借助数轴 例 2实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（）． （A）（B）（C）（D）
思路分析由数轴上容易看出，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍． 解原式 ∴应选（ C）． 归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清： 1．零点的左边都是负数，右边都是正数． 2．右边点表示的数总大于左边点表示的数． 3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了． 三、采用零点分段讨论法 例3化简 思路分析本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可 采用零点分段讨论法，本例的难点在于的正负不能确定，由于x 是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论． 解令得零点：； 令得零点：， 把数轴上的数分为三个部分（如图） ①当时,
∴原式 ②当时，， ∴原式 ③当时，， ∴原式 ∴ 归纳点评虽然的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是： 1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）． 2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个 绝对值符号内的部分的正负能够确定． 3．在各区段内分别考察问题． 4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案． 误区点拨千万不要想当然地把等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错误的结果． 练习： 请用文本例 1 介绍的方法解答 l 、2 题
绝对值竞赛讲义 绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题． 下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析． 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即 绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值． 结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数． 例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ (1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜； (2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜； (4)若｜a｜=b，则a=b； (5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b； (6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜． 解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对． (3)对． (4)不对．当a≥0时成立． (5)不对．当b＞0时成立． (6)不对．当a＋b＞0时成立． 例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．
解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0． 再根据绝对值的概念，得 ｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c． 于是有 原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c． 例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜． 分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号． 解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0) =｜3+｜3+x｜｜ =｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0) =｜-x｜=-x． 解因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0． (1)当a，b，c均大于零时，原式=3； (2)当a，b，c均小于零时，原式=-3； (3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1； (4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1． 说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用． 例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值． 解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3． (1)当y=2时，x+y=-1；
此文档下载后即可编辑 初一数学培优专题讲义一 有理数及其运算 一、 有理数的基本概念梳理与强化： （一）几个小知识点的梳理与强化：小知识点是常考的考点，也是易错点。理清小知识点，减少失误 1.字母可以表示任意有理数，不能说a 一定是正数，-a 也不一定是负数 2.相反数等于本身的数是 ；平方等于本身的数是 ；立方 等于本身的数是 ；倒数等于本身的数是 。 3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|－x |=|2 1-|，则x =______； 若|x |=|－4|，则x =____； 若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ 4.互为相反数的两个数的平方相等。如果 ，那么a=____；若 x 2=(－2)2，则x =_______. 5.注意乘方中括号的作用。（－2）3的底数是_______，结果是_______； －32的底数是_______，结果是_______；n 为正整数，则（－1）2n =_ __, (－1) 2n +1=_ __。计算： （1） = ； （2） = ； （3） = ；（4） = （5） = 6.a 的相反数是 ；a+b 的相反数是 ；a-b 的相反数 是 ；-a+b-c 的相反数是 ； 变式训练：若a ＜b ，则∣a-b ∣= ，-∣a-b ∣= （二）突破绝对值的化简： 7.绝对值即距离，则0≥a 8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想） （a ＞0） |a| = （a ＝0 ） （a ＜0 ） 9.绝对值的非负性： 162=a
（1）若|a|＝0，则a ； （2）若|a|＝a ，则a ； （3）若|a|＝—a ，则a ； （4） ， 则______||=a a ；（5）0 范文范例学习参考 精品资料整理 绝对值 一．选择题（共 16小题） 1．相反数不大于它本身的数是（）A ．正数B ．负数C ．非正数 D ．非负数 2．下列各对数中，互为相反数的是（）A.2和 B.﹣0.5和 C.﹣3和 D. 和﹣2 3．a ，b 互为相反数，下列各数中，互为相反数的一组为（ ） A ．a 2 与b 2 B ．a 3与b 5 C ．a 2n 与b 2n （n 为正整数）D ．a 2n +1 与b 2n +1 （n 为正整数） 4．下列式子化简不正确的是（ ） A ．+（﹣5）=﹣5 B ．﹣（﹣0.5）=0.5 C ．﹣|+3|=﹣3 D ．﹣（+1 ）=1 5．若a+b=0，则下列各组中不互为相反数的数是（ ） A.a 3 和b 3 B.a 2 和b 2 C ．﹣a 和﹣b D ．和 6．若a 和b 互为相反数，且a ≠0，则下列各组中，不是互为相反数的一组是（） A ．﹣2a 3 和﹣2b 3 B ．a 2和b 2 C ．﹣a 和﹣b D ．3a 和3b 7．﹣2018的相反数是（）A.﹣2018 B ．2018 C ．±2018 D ．﹣ 8．﹣2018的相反数是（）A.2018B ．﹣2018 C ． D ．﹣ 9．下列各组数中，互为相反数的是（） A ．﹣1与（﹣1） 2 B ．1与（﹣1） 2 C ．2与 D ．2与|﹣2| 10．如图，图中数轴的单位长度为1．如果点B ，C 表示 的数的绝对值相等，那么点 A 表示的数是（ ） A ．﹣4 B ．﹣5 C ．﹣6 D ．﹣2 11．化简|a ﹣1|+a ﹣1=（） A.2a ﹣2 B.0 C ．2a ﹣2或0 D ．2﹣2a 12．如图，M ，N ，P ，R 分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且 MN=NP=PR=1．数a 对 应的点在M 与N 之间，数b 对应的点在P 与R 之间， 若|a|+|b|=3，则原点是（ ） A.M 或R B.N 或P C ．M 或N D ．P 或R 13．已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ） A.1﹣b ＞﹣b ＞1+a ＞a B.1+a ＞a ＞1﹣b ＞﹣b C.1+a ＞1﹣b ＞a ＞﹣b D ．1﹣b ＞1+a ＞﹣b ＞a 14．点A ，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分 别是a 和b ．对于以下结论： 甲：b ﹣a ＜0乙：a+b ＞0丙：|a|＜|b|丁： ＞0 其中正确的是（ ） A ．甲乙 B ．丙丁 C ．甲丙 D ．乙丁15．有理数 a 、 b 在数轴上的位置如图所示，则下列各 式中错误的是（ ） A.b ＜a B.|b|＞|a|C ．a+b ＞0 D ．ab ＜0 16．﹣3的绝对值是（）A ．3 B ．﹣3 C ． D ． 二．填空题（共 10小题） 二、合作探究 4、数 3 对着数轴上一个点，这个点到原点的距离是（），所以┃3┃= 数—25 对着数轴上一个点，这个点到原点的距离是（），所以┃—25┃ = 5、按照上述思路：┃—1┃= ；┃6┃ = ；┃—┃ = ；┃0┃ = 三、点拨升华 7、每一次求“绝对值”，先找到（想到）“对着的点”，再想“这个点到原点的距离”，再表示出来。 这个过程多少有一些“麻烦”，再换个角度，寻求更简单的规律：┃2┃= 2 ；┃4┃= 4 ；┃—2┃= 2 ；┃—4┃= 4 ；┃—25┃= 25 ┃3┃= 3 ；┃6┃= 6 ；等┃—1┃= 1 ；┃—┃= ；等总结：┃正数┃ = __________ ┃负数┃ = ____________ ┃0┃ = ________ 有了这条规律，就可以快速求“数的绝对值”： ┃23┃ = ；┃89┃= ； ┃—34┃= ；┃—207┃ = ；┃—2010┃= ┃—73┃ = ；┃┃= ； ┃—┃= ；┃0┃ = ；┃88┃= ┃2 1 - ┃= ； ┃┃= ； ┃152┃= ； ┃8 13 -┃= ； 8、“数轴”的功劳：① 把无数个“有理数”很有秩序的摆放成“一行”！ ② 利用“数轴”，可以对数“大小比较”； ③ 利用“数轴”来认识 —→ 绝对值！ （就是个“距 离”） 四、分层训练 9、| +2 | = ____， | —12 | = ____ ，| 0 | =____ ，| —20. 8 | = _____ ，| + | =______ 10、一个正数的绝对值等于它本身； 一个负数的绝对值等于它的相反数； 0的绝对值是0 。 （1）当a 是正数时，┃a ┃=_____；（2）当a 是负数时，┃a ┃ =______；（3）当 a=0时，┃a ┃ =____ 【知识点整理】 绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5 -符号是负号，绝对值是5. 求字母a的绝对值： ① (0) 0(0) (0) a a a a a a > ? ? == ? ?-< ? ② (0) (0) a a a a a ≥ ? =? -< ? ③ (0) (0) a a a a a > ? =? -≤ ? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0 a b c ++=，则0 a=，0 b=，0 c= 绝对值的其它重要性质： （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?； a a b b =(0) b≠； （4）222 |||| a a a ==； a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离． 【例题精讲】 模块一、绝对值的性质 【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（） A．±2 B．2 C．-2 D．4 【例2】下列说法正确的有（） ①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两 个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数． A．②④⑤⑥B．③⑤C．③④⑤D．③⑤⑥ 【例3】如果a的绝对值是2，那么a是（） A．2 B．-2 C．±2 D． 1 2± 【例4】若a＜0，则4a+7|a|等于（） 绝对值专题讲义 绝对值专题训练及答案1．如果|a|=﹣a，那么a的取值范围是（） A ．a＞0 B ． a＜0 C ． a≤0 D ． a≥0 2．如果a是负数，那么﹣a、2a、a+|a|、这四个数中，负数的个数（） A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 3．计算：|﹣4|=（） A ．0 B ． ﹣4 C ． D ． 4 4．若x的相反数是3，|y|=5，则x+y的值为（） A ．﹣8 B ． 2 C ． 8或﹣2 D ． ﹣8或2 5．下列说法中正确的是（） A．有理数的绝对值是正数B．正数负数统称有理数 C．整数分数统称有理数D．a的绝对值等于a 6．如图，数轴的单位长度为1，如果点A、C表示的数的绝对值相等，则点B表示的数是（） A ．1 B ． 0 C ． ﹣1 D ． ﹣2 7．在数轴上距﹣2有3个单位长度的点所表示的数是（） A ．﹣5 B ． 1 C ． ﹣1 D ． ﹣5或1 8．在﹣（﹣2），﹣|﹣7|，﹣|+3|，，中，负数有（） A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 9．如图，数轴上的点A所表示的是实数a，则点A到原点的距离是（） A ．a B ． ﹣a C ． ±a D ． ﹣|a| 10．已知a、b、c大小如图所示，则的值为（） A ．1 B ． ﹣1 C ． ±1 D ． 11．a，b在数轴位置如图所示，则|a|与|b|关系是（） A ．|a|＞|b| B ． |a|≥|b| C ． |a|＜|b| D ． |a|≤|b| 12．已知|a|=﹣a、|b|=b、|a|＞|b|＞0，则下列正确的图形是（） A ．B ． C ． D ． 13．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+|a+b|． 14．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c﹣b|+|a﹣c|+|b﹣a| 15．a为有理数，下列判断正确的是（） A ．﹣a一定是负数B ． |a|一定是正数C ． |a|一定不是负数D ． ﹣|a|一定是负数 16．若ab＜0，且a＞b，则a，|a﹣b|，b的大小关系为（） A ．a＞|a﹣b|＞b B ． a＞b＞|a﹣b| C ． |a﹣b|＞a＞b D ． |a﹣b|＞b＞a 17．若|a|=8，|b|=5，a+b＞0，那么a﹣b的值是（） A ．3或13 B ． 13或﹣13 C ． 3或﹣3 D ． ﹣3或13 18．下列说法正确的是（） A．﹣|a|一定是负数 B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C．若|a|=|b|，则a与b互为相反数 D．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数19．一个数的绝对值一定是（） A ．正数B ． 负数C ． 非负数D ． 非正数 20．若ab＞0，则++的值为（） A ．3 B ． ﹣1 C ． ±1或±3 D ． 3或﹣1 21．已知：a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（） A ．1﹣b＞﹣b＞1+a＞a B ． 1+a＞a＞1﹣b＞﹣b C ． 1+a＞1﹣b＞a＞﹣b D ． 1﹣b＞1+a＞﹣b＞a 22．若|﹣x|=﹣x，则x是（） A ．正数B ． 负数C ． 非正数D ． 非负数 23．若|a|＞﹣a，则a的取值范围是（） A a＞0 B a≥0 C a＜0 D自然数 初一数学基础知识讲义 第一讲和绝对值有关的问题 一、知识结构框图： 数 二、绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： () () () ||0 a a a a a a ? ?? =? ? - ?? 当为正数 当为0 当为负数 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。 三、典型例题 例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b 解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++ 的值（ C ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示： 所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。 例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧： 若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ D ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()()()() 1111 112220072007ab a b a b a b ++++++++++L 0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x 初一数学 绝对值综合练习题 1、有理数的绝对值一定是（ ） A 、正数 B 、整数 C 、正数或零 D 、自然数 2、绝对值等于它本身的数有（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、无数个 3、下列说法正确的是（ ） A 、—|a|一定是负数 B 只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C 、若|a|=|b|，则a 与b 互为相反数 D 、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 4、比较21、31、41 的大小，结果正确的是（ ） A 、21＜31＜41 B 、21＜41＜31 C 、41＜21＜31 D 、31＜21＜41 5、（ ） A 、a>|b| B 、a|b| D 、|a|<|b| 6、判断。 （1）若|a|=|b|，则a=b 。 （2）若a 为任意有理数，则|a|=a 。 （3）如果甲数的绝对值大于乙数的绝对值，那么甲数一定大于乙数（ ） （4）|3 1_|和31_互为相反数。（ ） 7、相反数等于-5的数是______,绝对值等于5的数是________。 8、-4的倒数的相反数是______。 9、绝对值小于∏的整数有________。 10、若|-x|=2，则x=____；若|x －3|=0，则x=______；若|x －3|=1，则x=_______。 11、实数的大小关系是_______。 12、比较下列各组有理数的大小。 （1）-0.6 ○-60 （2）-3.8○-3.9 （3）0○|-2| （4）43-○5 4- 13、已知|a|+|b|=9，且|a|=2，求b 的值。 14、已知|a|=3,|b|=2,|c|=1,且a 【知识梳理】 １、什么叫绝对值? 在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．例如+5的绝对值等于 5，记作|＋5|=5；-3的绝对值等于3，记作|-３|=３． 拓展：︱x －２︱表示的是点ｘ到点2的距离。 例:(1）｜x|=5，求x 的值． (2）|x －3｜＝５,求x 的值. 2、绝对值的特点有哪些？ （1)一个正数的绝对值是它本身；例如,|４|=４ , |+7.1| ＝ 7.1 (2）一个负数的绝对值是它的相反数；例如,｜-2|＝2,|－5.２｜＝5．2 （３)0的绝对值是0． 容易看出，两个互为相反数的数的绝对值相等.如|-５|＝|+5｜=5． 绝对值的性质： ① 对任何有理数a,都有|a ｜≥0 ②若|a|=0，则|a ｜＝０，反之亦然 ③若|ａ|=b ，则a=±b ④对任何有理数a,都有｜a|=｜-ａ| 何一个有理数的绝对值都是非负数,即|a ≥|0， (0)|0 (0) (0)a a a a a a >??==??- 解绝对值不等式 1、解不等式2 |55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 变形三 解含参绝对值不等式 8、解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x ［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论。 2）形如|()f x |a (a R ∈)型不等式 此类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ① 当a >0时，|()f x |a ?()f x >a 或()f x <－a ； ② 当a =0时，|()f x |a ?()f x ≠0 ③ 当a <0时，|()f x |a ?()f x 有意义。 9．解关于x 的不等式：()0922 >≤-a a a x x 10．关于x 的不等式|kx －1|≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}，求k 的值。 变形4 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题 11、若不等式|x －4|+|3－x |；()f x a <解集为空集()min a f x ?≤；这两者互补。()f x a <恒成立()max a f x ?>。 ()f x a ≥有解()max a f x ?≤；()f x a ≥解集为空集()max a f x ?>；这两者互补。()f x a ≥恒成立()min a f x ?≤。 相反数与绝对值专项练习 一、选择题：(1)a的相反数是( ) (A)-a (B)1 a (C)- 1 a (D)a-1 (2)一个数的相反数小于原数，这个数是( ) (A)正数 (B)负数 (C)零 (D)正分数 (3)一个数在数轴上所对应的点向右移到5个单位长度后，得到它的相反数的对应点，则这个数是( ) (A)-2 (B)2 (C)2.5 (D)-2.5 (4)一个数在数轴上的对应点与它的相反数在数轴上的对应点的距离为0.5单位长，则这个数是( ) (A)0.5或-0.5 (B)0.25或-0.25 (C)0.5或-0.25 (D)-0.5或0.25 二、填空题 (1)一个数的倒数是它本身，这个数是________；一个数的相反数是它本身，这个数是__________； (2)-5的相反数是______，-3的倒数的相反数是____________ 。 (3)10 3 的相反数是________， 11 32 ?? - ? ?? 的相反数是_______，(a-2)的相反数是______； 三、判断题： (1)符号相反的数叫相反数；（） (2)数轴上原点两旁的数是相反数；（） (3)-(-3)的相反数是3；（） (4)-a一定是负数；（） (5)若两个数之和为0，则这两个数互为相反数；（） (6)若两个数互为相数，则这两个数一定是一个正数一个负数。（） 1．下列各数：2，0.5,2 3 ,-2,1.5,- 1 2 ,- 3 2 ,互为相反数的有哪几对？ 2．化简下列各数的符号：(1)-(-17 3 )； (2)-(+ 23 3 )； (3)+(+3)； (4)-[-(+9)] 。3．数轴上A点表示 +7，B、C两点所表示的数是相反数，且C点与A点的距离为 2，求B点和C点各对应什么数？ 4．若a>0>b,且数轴上表示a的点A与原点距离大于表示b的点B 与原点的距离，试把a,-a,b,-b这四个数从小到大排列起来。 5．一个正数的相反数小于它的倒数的相反数，在数轴上，这个数对应的点在什么位置？ 6．如果a,b表示有理数，在什么条件下，a+b和a-b互为相反数？a+b与a-b的积为2？ 练习二(A级) 一、选择题： 1．已知a≠b，a=-5,|a|=|b|,则b等于( )(A)+5 (B)-5 (C)0 (D)+5或-5 2．一个数在数轴上对应的点到原点的距离为m，则这个数的绝对值为( ) (A)-m (B)m (C)±m (D)2m 3．绝地值相等的两个数在数轴上对应的两点距离为8，则这两个数为( ) (A)+8或- 8 (B)+4或-4 (C)-4或+8 (D)-8或+4 4．下面说法： <1>互为相反数的两数的绝对值相等；<2>一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；<3>若|m|>m,则m<0；<4>若|a|>|b|,则a>b,正确的有( ) A<1><2><3> B<1><2<4> C<1><3><4> D<2><3><4> 5．一个数等于它的相反数的绝对值，则这个数是( ) A)正数和零 B)负数或零 C)一切正数 D)所有负数6．已知|a|>a,|b|>b,且|a|>|b|,则( ) A)a>b (B)a|π|>|-3.3| B 10 3 ->|-3.3|>|π| C|π|> 10 3 ->|-3.3| D 10 3 ->|π|>|-3.3| 8．若|a|>-a,则( ) (A)a>0 (B)a<0 (C)a<-1 (D)1 绝对值综合专题讲义 绝对值的定义： 绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示 （2） |a|= （3） 若|a|=a ，则 ；若|a|=-a ，则；任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个 数的相反数， （4） 若|a|=|b|，则 （5） |a+b||a|+|b| |a-b|||a|-|b|| |a|+|b||a+b| |a|+|b||a-b| 【例1】 （1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？ （2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ） A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0 D.ab ＜0 （3） 下列各组判断中，正确的是（ ） A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b)2 （4） 设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？ （5） 若3|x-2|+|y+3|=0，则 x y 的值是多少？ （6） 若|x+3|+(y-1)2=0，求n x y )4( --的值 【巩固】 1、绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？ 2、有理数a 与b 满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ） A.a ＞b B.a=b C.a A.a ＜0 B.a ＞0 C.b ＜0 D.b ＞0 5、设b a ,是有理数，则||8b a ---是有最大值还是最小值？其值是多少？ 小知识点汇总： 若(x-a)2+(x-b)2=0,则；若|x-a|+(x-b)2=0,则； 若|x-a|+|x-b|=0，则； （1） 已知 x 是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿ （2） 已知x 是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ （3） 已知x 是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ （4） 如果x ，y 表示有理数，且x ，y 满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x ，那么x+y 的值是多少？ （5） 解方程05|5|2 3=-+x （6） 解方程|4x+8|=12 （7） 若已知a 与b 互为相反数，且|a-b|=4，求 12+++-ab a b ab a 的值 【巩固】 1、巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值 2、解方程 |3x+2|=-1 3、已知|x-1|=2，|y|=3，且x 与y 互为相反数，求 y xy x 4312--的值 （1） 已知a=-2 1，b=-31，求||32|34|2|2|4)2(|42|2--+-+-++a b b a b a b a 的值 （2） 若|a|=b ，求|a+b|的值 （3） 化简：|a-b| （4） 有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b| 【巩固】 1、化简：（1）|3.14-π| （2）|8-x|（x ≥8） C B 0 A7.初一(上册)数学绝对值专项练习带答案解析
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