鱼牛图：完美演绎儿童与成人思维方式的差异
各位家长，看到下面这幅图，可能你不太明白什么意思，这是一幅教育心理学的有名的图例，
说的是乌龟向鱼描述陆地上的牛是一种什么样的动物——大大的身体、长长的尾巴、有四只脚、还有两支尖尖的角。最后在鱼的脑海里浮现出这样的一幅半鱼半牛的鱼牛图。
这个案例解释了我们日常家庭教育中存在的认识误区：当你用抽象的语言给孩子灌输一个正确的概念或者讲解一个解题思路时候，在孩子的儿童认知里面，其实理解的差异很大，无论你如何反复强调，甚至大动肝火，都无济于事。这是因为，儿童思维方式不可能完全和成人思维相同，再加上孩子的生活阅历限制，她们脑海中建构的模型一定是从他们的生活经验为基础建立的，即使不伦不类，也属于正常。所以，有时候孩子写出的答案千奇百怪，就不足为奇了。
如何有效改善这种尴尬状况呢（要想根除很难），其实在前面的小文章里面已经陆续介绍过一些方法与策略，这里再次啰嗦一遍：
1、直观性原则——凡事说千遍不如做一遍，与其空洞说教，不如演示一遍给他看到。（小学数学中很多内容需要做实验才能掌握的，不能空讲）
2、反哺式学习——与其你白费口舌描述的天花乱坠，还不如让孩子描述给你听，然后你再帮他一步一步完善认知模型。（例如孩子画线段图解释问题数量关系）
3、试错性原则——凡事不可一蹴而就，有的模型建立需要经历几次错误尝试，慢慢修正，逐步走向正确。（研究试卷错题，再举一反三）
4、因材施教原则——有的孩子喜欢画图分析，有的孩子喜欢语言表达、有的孩子喜欢动手操作，你的孩子喜欢什么呢？家长必须了解。举个例子，本学期六上第一单元学习的是《认识长方体与正方体》，结果每个班学过素描的孩子、玩过乐高的孩子（他们在绘画中学过透视、在玩乐高中建立了立体感）反而考得很好。
5、顺其自然原则——一定要从孩子的学习现状出发，再加以辅导点拨，强扭的瓜不甜。
最后强调，家庭辅导本来就辛苦，千万不要最后变成一种负担，变成“对牛弹琴”的尴尬。
“鱼牛”童话与建构主义 ２００８年１月２３日，中央电视台《焦点访谈》栏目播放了一个《水神》的节目，讲的是宁夏西海固地区，连年干旱。在这里，水对当地老百姓来讲比金子重要，谁能为他们找到水源谁就是“水神”。宁夏军区给水工程团的官兵们就是老百姓眼中的“水神”。在片子当中，为了说明水的奇缺，一年级的一位语文教师说：“在以前，孩子们没有像城里的孩子一样见过水龙头流出了水，也没有见过小溪的水，没有见过浪花，所以孩子们学习到哗哗哗的象声词时就不能理解。” 这使我想到了建构主义中讲到的一个童话。 建构主义认为，学习是学生（学习主体）的自我建构，在对这个问题进行解释时，用到了一幅鱼牛图，如下： 德国的一则关于“鱼牛”的童话。说的是在一个小池塘里住着鱼和青蛙，他们是一对好朋友。他们听说外面的世界好精彩，都想出去看看。鱼由于自己不能离开水而生活，只好让青蛙一个人走了。这天，青蛙回来了，鱼迫不急待地向他询问外面的情况。青蛙告诉鱼，外面有很多新奇有趣的东西。“比如说牛吧，”青蛙说：“这真是一种奇怪的动物，它的身体很大，头上长着两个犄角，吃青草为生，身上有着黑白相间的斑点，长着四只粗壮的腿，还有大大的乳房”。鱼惊叫道：“哇，好怪哟！”，同时脑海里即刻勾画出她心目中的“牛”的形象：一个大大的鱼身子，头上长着两个犄角，嘴里吃着青草。鱼脑中的牛形象（我们姑且称之为“鱼牛”）在客观上当然是错误的，但对于鱼来说却是合理的，因为它根据从青蛙那里得到的关于牛的部分信息，从本体出发，将新信息与自己头脑中已有的知识相结合，构建出了“鱼牛”形象。这体现了建构主义的一个重要结论：理解依赖于个人经验，即由于人们对于世界的经验各不相同，人们对于世界的看法也必然会各不相同。知识是个体与外部环境交互作用的结果，人们对事物的理解与个体的先前经验有关，因而对知识正误的判断只能是相对的；知识不是通过教师传授得到，而是学习者在与情景的交互作用过程中自行建构的，因而学生应该处于中心地位，教师是学习的帮助者。因而建构主义的学习理论强调“知识建构”。
禅宗很多祖师喜欢用“牧牛”譬喻“修心”，即将牧童比作人，将“牛”比作“心性”，后来许多牧牛公案逐渐形成图卷，并由许多禅师依据图卷作成偈颂，从而成为图文并茂的禅门心法著作。普明禅师所作的“牧牛图颂”是禅诗中的佼佼者。因其诗“言近而旨远”、其图“象显而意深”，故为广大参禅者所珍爱。普明的牧牛图颂分为十大阶段：未牧、初调、受制、回首、驯伏、无碍、任运、相忘、独照、双泯，主要着眼于调伏妄心、证悟本来，讲究修行次第、历阶而升，最终证得人牛两忘、心法圆融的究竟涅槃境界。 《牧牛图》讲渐修法门，我们的心念就是一条牛乱跑。这个图在明朝禅宗很有名的，当年是木版的画，日本人更捧这个《牧牛图》。一条黑牛，发疯一样到处跑，这个牧牛的小孩子拿着绳子在后面追。这代表什么呢？代表我们这个心，思想情感就是这一条黑牛，到处乱跑。这个牧牛的小孩拿绳子在后面追不上，拴不住。我们打起坐来心念第一步就是这样。他写了四句诗： 一未牧 狰狞头角恣咆哮奔走溪山路转遥 一片黑云横谷口谁知步步犯佳苗 “狰狞头角恣咆哮”，牛的那两个角，威风得很，我们形容一个人很聪明，就是头角峥嵘。恣是放任自己，咆哮是发脾气乱跑乱叫，到处吹牛。“奔走溪山路转遥”，这一条牛在山上田地里乱跑，越跑越远，我们的情绪妄想就是这一条牛。“一片黑云横谷口”，天黑了，不知道跑到哪里去了。第四句话是自己的反省，这个妄想情绪到处乱跑，“谁知步步犯佳苗”，自己把善良的根都扯断踏平了，挖了自己的根，好的种苗都不发了。这是《牧牛图》的第一步，就是我们打起坐来，平常情绪思想乱跑，想了很多的花样，要做这个，要做那个，或者要做生意发财，要做官，都是妄想在乱跑。这个题目叫“未牧”，拴不住自己的妄想心念。 把牛套住 二初调 我有芒绳蓦鼻穿一回奔竞痛加鞭 从来劣性难调制犹得山童尽力牵 第二步我们只好学打坐，自己观心了。十六特胜讲“知”，知道了，犯了错误，要把这个心拉回来。“初调”，总算找到了思想念头，把这个乱跑的思想拴住了。“我有芒绳蓦鼻穿”，拿个绳子把这个牛的鼻子套进去。现在我们用佛法的修出入息，用这个气；呼吸这个气是条绳子，把心性这个牛套进去。“一回奔竞痛加鞭”，这个牛再发脾气乱跑，就抽它一顿鞭子。所以你打起坐来修安那般那就是一条绳子，把这个心念拉回来。“从来劣性难调制”，乱跑了，就重新来过。像修呼吸法，安那般那，一下又忘了，又是别的思想来， 心息没有配合所以又跑了，这是自己的习性，爱向外跑。“犹 得山童尽力牵”，要靠这个牧童拉回来，牧牛童子是我们人自 己的意志，用意志把思想念头拉回来了。这是第二个图案，你 看画的这一条绳子，穿到牛鼻子上去了，这个牛要走，这个小 孩拼命拉。 三受制
小学数学教学中发散思维的培养 潘战国发散性思维是一种推测、发散、想象和创造的思维过程。具有思维的积极性、求异性、广阔性、联想性等特性。数学教学的过程，和语文以及其他专业的语言学科不同，在课堂上，教师扮演着至关重要的作用，教师的引导、质疑、操作都直接带动着学生的思考。数学教学过程中有意识地抓住这些特性进行训练与培养，既可提高学生的发散思维能力，又能提高小学数学教学质量。 1、激发兴趣，拓展思维 兴趣能够调动学生的思维。在课堂教学中，我们应该适当选择学生感兴趣的教学方法，激发学生对数学产生浓厚的兴趣，使他们乐意学。教师及时的表扬和鼓励都能有效地培养学生的兴趣，并能让学生在课堂上拥有快乐的心情，整个课堂激情高涨，学生的思维能力也能最大限度地活跃起来。这种以“兴趣”助长思维不仅培养了学生学习数学的兴趣，也达到了数学教学的真正目的。 2、激发求知欲，训练思维的积极性。 思维的惰性是影响发散思维的障碍，而思维的积极性是思维惰性的克星。所以，培养思维的积极性是培养发散思维的机器重要的基矗在教学中，教师要十分主要激起学生强烈的学习兴趣和对知识的渴求，使他们能带着一种高涨的情绪从事学习和思考。例如：在一年级《乘法初步认识》一课中，教师可先出示几道连加算式让学生改写为乘法算式。由于有乘法意义的依托，虽然是一年级小学生，仍能较顺畅地完成了上述练习。而后，教师又出示３＋３＋３＋３＋２，让学生思考、讨论能否改写成一道含有乘法的算式呢？经过学生的讨论与教师及时予以点拨，学生列出了３＋３＋３＋３＋２＝３×５－１＝３×４＋２＝２×７……虽然课堂费时多，但这样的训练却有效地激发了学生寻求新方法的积极情绪。使学生的学习情绪在获得新知中始终处于兴奋状态，这样有利于思维活动的积极开展与深入探寻。 3、转换角度思考，训练思维的求异性。 发展思维活动的展开，其重要的一点是要能改变已习惯了的思维定向，从而多方位的思维角度去思考问题，以求得问题的解决，这样也就是思维的求异性。从认知心理学的角度来看，小学生在进行抽象的思维活动中由于年龄的特征，往
小学生数学直觉思维能力的培养 小学数学作为实施素质教育的重要学科之一，要通过知识的学习发展学生的数学应用意识 及一定的推理能力，培养良好的数学情感和态度，养成以学为乐，乐于探索，敢于成功的良好习惯，促进他们各方面的素质和能力得到和谐发展。 直觉思维是一种在分析和解题时，不经严密的逻辑推理，凭借已有的知识经验，迅速对问 题的答案作出合理的判断，假设或顿悟的思维过程。它的特点是突发性、跳跃性和不确定性，它属于创造思维的范畴，对培养学生思维的灵活性、敏捷性和创造性，切实提高解题能力有着重要的作用。因此，在小学数学教学中应注重培养。 1 通过多解训练，激发求异兴趣，提高直觉能力 引导学生一题多解，能拓展学生的思路，使学生跳出单向思路的圈子，学会从多角度、多 侧面、多方向解决问题，达到异曲同工之功效，从而激发学生的求异兴趣，为学生的直觉思维的产生创设条件。例如：“一个长方形的周长是16.2 米，如果它的长，宽各减3 米，面积 比原来减少多少？”教学时，教师可借助图形。如：引导学生观察、分析，使学生顿悟到： 原来的长×3＋原来的宽×3- 重复的正方形面积= 减少的面积。再提示学生把原来的长和宽之间的关系用已知的周长表示。这时学生又会顿悟出解法：16.2÷ 2×3－3×3。同理，后来的长×3 ＋后来的宽×3+ 正方形面积= 减少面积。列式：（16.2÷2－3×2）×3＋3×3。当然，一般学生 都知道：原长方形面积－后来长方形面积 = 比原来减少的面积，关键是如何求原长和原宽， 此时，若假设原长已知，即可求出原宽。那么，有的学生便会产生灵感，假设原长为4.1 米，则宽为16.2÷2－4.1=4(米)，即可得到求解：4.1×4－(4.1－3)×(4－3)。一题多解后，再引导学 生进行分析比较、选择，使学生从发散思维再向集中思维发展。这样学生的直觉思维也逐渐地得到培养。 2 创设情境，半扶半放 例如：已知正方形面积是20 平方厘米。（如图）计算图中阴影面积。此题按常规方法应先 求扇形半径（即正方形的边长）。根据小学生现有水平无法求出。这时，不妨先引导学生进行公式推导，就会发现求扇形面积要用到半径的平方（即正方形边长平方）实际上是正方形的面积。这样，学生一经启发，很快产生直觉，变未知为已知，进行求解： 20- 1/4×3.14×20=4.3（平方厘米）。 3 积累经验，联想感知 直觉思维的显著特点是指出问题后，立即动用已有的全部生活经验和知识系统，进行急速 的思维，使问题得以解决。例如：“一个长方体的表面积是160 平方厘米，底面积是45 平方 厘米，底面周长是35 厘米，求长方体的体积。”我班有个学生看题后经过一番思考，很快说 出列式：45×[(160-45×2) ÷35]，问他列式理由，他说教学长方体的表面积时，老师曾演示过：长方体表面积等于前、后、左、右面积之和加上、下面积之和。而阴影长方形面积= 上（下）面周长×长方体的高，所以，“长方体表面积”减去“2 个底面积之和”，则剩下前、后、左、右 面积之和。而它的长就是“长方体底面周长”，宽就是“长方体的高”。因此，用“长方体前、后、左、右面积之和”除以底面周长即可求出“长方体的高”。再用“底面积”乘以“高”就求出长方体的体积。该同学能利用此解法，须以浓厚的实践为基础，以丰富的知识经验为前提，以扎实的基础知识作为直觉思维的背景。因此，教师平时要加强双基教学，注意让学生积累生活经验和解题经验，这样，一遇到难题，学生的联想就非常广泛，直觉思维就会得到发展。 4 直觉理解，引疑辨析 小学生的思维是由具体形象思维向抽象思维过渡，直觉思维得到的结论，是试探性的推测，往往带有浓厚的猜想色彩，结论是否正确，教师应引导学生运用分析思维，进行严密的逻辑
如何培养学生数学逻辑思维能力 孩儿屯小学陈久华知识是思维活动的结果，又是思维的工具。学习知识和训练思维既有区别，也有着密不可分的内在联系，它们是在小学数学教学过程中同步进行的。数学教学的过程，应是培养学生思维能力的过程。 怎样有效提高小学生数学思维能力？ 一、从新旧知识的联系入手，积极发展学生思维。 数学知识具有严密的逻辑系统。就学生的学习过程来说，某些旧知识是新知识的基础，新知识又是旧知识的引伸和发展，学生的认识活动也总是以已有的旧知识和经验为前提。我每教一点新知识都尽可能复习有关的旧知识，充分利用已有的知识来搭桥铺路，引导学生运用知识迁移规律，在获取新知识的过程中发展思维。如在教加减法各部分的关系时，我先复习了加法中各部分的名称，然后引导学生从３５＋２５＝６０中得出：６０－２５＝３５；６０－３５＝２５。通过比较，可以看出后两算式的得数实际上分别是前一个算式中的加数，通过观察、比较，让学生自己总结出求加数的公式：一个加数＝和－另一个加数。这样引导学生通过温故知新，将新知识纳入原来的知识系统中，丰富了知识，开阔了视野，思维也得到了发展。 二、要鼓励学生质疑问难 培养学生初步的逻辑思维能力，在小学数学教学中教师要鼓励学生质疑问难。 教师鼓励才能使学生敢于质疑问难。学生不敢质疑问难是许多班级存在的普遍情况，一些教师认为对此不必大惊小怪，须知学生不敢质疑问难将严重影响班级学习气氛和学生智力的发展。怎样才能使学生敢于质疑问难呢？总结老师们的经验，首先教师不能扼杀学生中出现的质疑问难的好苗头。学生敢于提问或发表意见是一个极好的苗头，即使是错误的意见或者问倒老师的问题，教师都应予以重视和欢迎，然后加以适当的引导，千万不要在不知不觉中扼杀学生中出现的质疑问难的好苗头。其次，教师要抓住机会鼓励学生大胆质疑问难。第三，教师要千方百计激发学生质疑问难的兴趣。学生敢不敢质疑问难，教师除了鼓励敢于质疑问难的学生外，还应该根据小学数学的特点，激发全体学生质疑问难的积极性，达到既透彻理解概念，又诱发质疑问难积极性的效果。 教师引导才能使学生学会质疑问难。学生不会质疑问难是许多教师普遍的反映。所以教师除了鼓励学生质疑问难外，还必须注意逐步引导学生学会质疑问难。引导学生质疑问难可以从以下几个方面进行：1、是通过实例引导学生逐步了解小学数学中质疑问难的主要内容。小学数学处处可以质疑问难，根据小学生的特点，主要可围绕以下三方面进行：①概念、判断、推理等思维的基本形式。如，可以从概念是怎样说明的，怎样表达的，为啥要这样说明、表述，能否删去、增加或改动一些词，来研究概念之间的联系和区别。②解例、习题的方法。解题的依据是什么？是否可靠，推理过程是否合乎逻辑，题目解好后，
真的种子善的信使美的旗帜 ----关于课改对农村小学教师的个案调查
目录 前言 (3) 正文 (4) （一）基本情况 (4) （二）学习经历 (4) （三）工作经历 (7) （四）发展历程 (10) （五）其他 (13) （六）对师范大学生的建议 (15) 综合分析 (16) 综合建议 (17) （一）对教师的建议 (18) （二）对师范大学生的建议 (18) 结束语 (19) 前言
百年大计，教育为本；教育大计，教师为本。教师素质，又称教师专业素质，是指能顺利从事教育活动的基本品质或基础条件，是指教师在其职业生活中，调节与处理与他人，与社会，与职业工作关系应遵守的基本行为或行为准则，以及在这基础上表现出来的观念，意识，和行为品质。一般包括专业性知识，专业能力和专业精神，还包括教师对本专业的热爱程度以及相应的职业道德。教师的素质直接决定着学校教育教学实施的状况。随着我国新一轮基础教育课程改革的实施和发展，对中小学教师的素质提出了很高的要求和挑战。教师素质的高低是制约新课程改革能否取得成功的关键因素之一。小学教育是科学教育的启蒙教育，小学教师的担子不轻，担负着培养祖国未来的责任。所以一个教师素质如何，教学技能怎样直接影响到学生的学习、生活，甚至以后的一生。可见教师的一言一行至关重要，教师的工作，说到底就是培养和塑造美好心灵的工作。每一个学生都是一个独特的个体，具有独特的个体行为和个体特点，要想让他们学有所成需要教师的培养。一个教师以什么样的方式去培养教育学生，那就要看一个教师的素质了。 那么作为小学教师未来应该如何发展，现在应该为未来做些什么呢？为此我对母校--高阳小学做了一些调查，从中吸取宝贵的经验，为现代师范大学生的发展提供一些借鉴。在这次调查中，我主要运用了访谈法，结合观察法，选择了母校的优秀小学教师，进行了深入的交谈，获取了一些有效信息。 正文
禅宗十牛图“解说” 一、序言 十牛图为宋代廓庵师远改作清居禅师八牛图而成，依图次第指出禅者由修行、开悟、调伏业识，终至见性，进而入世化众之心路历程。若修行者能了解从过程之实际情况，更不会走错方向，故行者宜多体会此十牛图之真实内涵。 《廓庵和尚十牛图颂并序》曰：「夫诸佛真源众生本，有因迷也沉沦三界，因悟也顿出四生。所以有诸佛而可成，有众生而可作。是故先贤悲悯，广设多途，理出偏圆，教与顿渐。从麤及细，自浅至深。末后目瞬青莲，引得头陀微笑。正法眼藏，自此流通天上人间，此方、他界得其理也超宗越格，如鸟道而无踪迹。得其事也，滞句迷言，若灵龟而曳尾。间有清居禅师观众生之根器，应病施方，作牧牛以为图，随机设教。初从渐白显力量之未充，次至纯真表根机之渐照，乃至人牛不见，故标心法双亡。其理也尽根源，其法也存莎笠，遂使浅根疑误，中下纷纭，或疑之落空亡也，或唤作堕常见。今观则公禅师拟前贤之模范，出自己之胸襟，十颂佳篇交光相映。初从失处，终至还源，善应群机，如救饥渴。慈远是以探寻妙义，采拾玄微，如水母寻餐，依海虾为目，初自寻牛终至入，强起波澜，横生头角，尚无心而可觅，何有牛而可寻，泊至入，是何魔魅，况是起祢不了，殃及儿孙，不揆
荒唐，试以为提唱。」 二、序言演绎解说 十牛图为宋代廓庵师远改作八牛图而成，十图中是把所有的修行过程到行菩萨道之间以十个图解说出来，修行的人没有不知道这十牛图的，而了解这十牛图的每一图之间真正的含意与意义，除非是过来人，不然很难去理解所言为何？ 禅宗修证图解刚开始时仅有八牛图，以后的两个图是后来的人加上去的，好像修行只修到自我解脱就完毕了，自性清净就好了，后来廓庵师远觉得余有未尽，应该导入行菩萨道，所以加上垂手入，入世渡化众生，因此演化成十牛图。 行者业识尚未灭除，自性虽然保有，却是不能够掌控与把握，因此还是不能见性，也就做不到性空缘起的那个妙有境界。修行人境界不同，体会不同，而产生了很多的辩论，例如有的以为看到一片空就是见性，什么叫做空？不起念头就是空？或者以为打坐看到光明就是见性，其实根本没有打开，如何能够见性呢？真正的见性要到了四禅以后，进入无色界的境界，没有色身只有一个心识，才是真正的开悟，才能够证入无余依涅盘，修证到习气毛病都灭除了，才是真正的清净，见性以后不是只有见到空性，性空缘起的妙有所产生的一切因缘而起的法，都能如实知，才是见性以后所要了解的，同时利用这种功夫入世化导众生。
小学数学发散思维能力的培养 发表时间：2014-04-04T10:35:53.343Z 来源：《新疆教育》2013年第12期供稿作者：宗静[导读] 一题多议3提供某种数学情，调度学生多方面的旧知、技能或经验，境组织议论，引起思维的撞击，对所学知识的理解。河北省临西县东枣园乡校区宗静摘要：在小学数学教学中有意识地进行发散性思维训练，不仅有助于学生创造性能力的形成和发展，而且可以有效地提高小学数学教学的质量。 数学发散思维能力关键词：高小数生进行竞，鼓励学生开动，积极思考，激发学生的竞意争脑筋争识和学习积极性，也能够学生的发散性思维。培养、在多种式的练中学生的发散思维能力3 形训培养在教学过程中，教师可结合教学内容和学生的实际情况，采取多种练式，学生思维的捷性和活性，以达到学生训形培养敏灵思维发散，发散思维能力的目的。培养）一题多变1对题中的条件、问题、情节作各种扩、顺、对比或叙述缩逆式的变化，让学生在各种变化了的情中，从不同角度认识数形境关系。他不可以逐步发散学生思维，达到练思维的目的，量仅训而可以引导学生发现这类题的结特，概这类问题的解题且构征括。规律一题多变还变两个条件、变问题、条件和问题变、变包括改换何体的位置而生一系列新图等。几形产形）一题多问2引导学生观察同一事物时要从不同的角度，不同的方面细仔观察，认识事物、理解知识，这样既能提高学生思维的活性，灵又能学生的发散思维的活性，又能学生的发散思维能培养灵培养力。）一题多议3提供某种数学情，调度学生多方面的旧知、技能或经验，境组织议论，引起思维的撞击，对所学知识的理解。加深4）一题多解在条件和问题不变的情况下，让学生多角度、多侧面地分析思考，探求不同的解题途径。一题多解的练是学生发散思训培养维的有效方法。他可以帮助学生克服思维定的极作用，使势消之在解题时能活、、当的解题方法，通过纵横发散，灵巧妙恰选择促进知识的串联和合通，达到举一反三、会通的目的。综沟融贯、及时组织学生对解决问题的过程进行价与反思。 4 评解决问题的过程是主要的，而对过程的及时反思也是非常重要的。赖登尔强调：“反思是数学的重要活动，它是数学活弗塔动的核心和动力。”反思是从一个新的角度，多层、多角度地次对问题的思维过程进行全面的分析和思考。它是发现的源泉，是训练思维、优化思维品质、促进知识同化和的极好。通迁移途径过对解决问题的过程反思，可以对问题的理解并获得解决问加深题的经验。在学生的学习中，要经常要求学生反思这样的问题：你是怎样想的？刚才你是怎么做的？出现什么错了？你认为应误该注意什么？你认为哪一种方法更好？用这些问题来引起学生的注意，使学生逐步具有反思的意识和习惯，从中不断积累解决问题的经验。总，在数学教学中多进行发散性思维的练，不要让学之训仅生多掌握解题方法，更重要的是要学生活多变的解题思培养灵维，从而既提高教学质，又学生提供了更多的机会，还让量给智力平不同的学生从不同的发面得到了发展。水
浅谈直觉思维及培养 数学教育的任务之一是培养学生的思维能力，而思维能力包括诸多方面，直觉思维能力是重要的一个方面，直觉思维能力是指人脑不受固定的逻辑规则的约束，是对研究对象及其结构的一种迅速的识别、直接的理解、综合的判断。传统的教学过分注重逻辑思维能力的培养，而忽视直觉思维能力的培养，往往容易造成学生们在学习数学对数学的本质产生误解，我曾经问过我的学生，在他们眼里，有80%的人认为数学就是算呀算的，枯燥乏味的，这样他们对数学的学习也就缺乏取得成功的信心，从而也就丧失数学学习的兴趣。其实他们根本体会不到数学所培养的能力，可见，过分的注重逻辑思维能力的培养，不利于思维能力整体的发展。培养直觉思维能力是社会发展的需
要、是适应新时代新时期对人才的需要。 一、数学直觉思维的内涵 直觉是运用有关知识组块和形象直感对当前问题进行敏锐的分析、推理，并能迅速发现解决问题的方法或途径的思维方式。数学直觉思维是人脑对数学对象的某种迅速而直接的洞察或领悟，也可以说是数学洞察力。在数学的发展史上，许多数学家都十分重视直觉思维的作用。例如：笛卡尔创立解析几何，牛顿发明微积分都受益于数学直觉思维。“逻辑用于论证，直觉用于发明”彭加勒这一名言对于数学创造活动中直觉的思维作用论述的十分精辟。 二、数学直觉思维的特点及作用 数学直觉思维的主要特征是非逻辑性、自发性、综合性、整体性、经验型和不可解释性，它能在一瞬
间迅速解决问题。基本形式是直觉的灵感与顿悟。数学直觉思维以其高度省略、简化、浓缩的方式洞察问题的实质，它是一种思路约简了的思维方式，是直觉想象和直觉判断的统一，属于数学创造性思维的范畴。在解题中，由于思维方式不同，解题所花费的时间也不定不同，解答时间的长短是衡量思维水平高低的一个重要标志 就教育方向，社会所需人才的类型的转变来看，培养创造型人才成为当前教育的目标和方向。这就要求我们必须对学生的直觉思维能力进行适当的培养和启发。 三、数学直觉思维的培养 1.扎实的基础是产生直觉的源泉 直觉的产生不适靠“机遇”，直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的
小学生数学直觉思维的培养 数学直觉思维是人脑对数学对象、结构以及关系的敏锐的想象和判断。它是直觉想象和直觉判断的统一，是数学的洞察力，具有较大的创造性。成功的数学教学应该为发展学生的直觉思维提供有效的途径，启发学生积极思考、猜测与质疑，建立起一个活跃的智力活动的过程的环境，给学生留下直觉思维的时间和空间，从而做出直觉的想象和判断，最终导致思维的创新这一理想境界。 一、小学生直觉思维训练是必要的 直觉思维具有自由性、灵活性、自发性、偶然性、不可靠性等特点，从培养直觉思维的必要性来看，主要有以下三个： 1、简约性。直觉思维是对思维对象从整体上考察，调动自己的全部知识经验，通过丰富的想象做出的敏锐而迅速的假设，猜想或判断，它省去了一步一步分析推理的中间环节，而采取了“跳跃式”的形式。它是一瞬间的思维火花，是长期积累上的一种升华，是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化，但是它却清晰的触及到事物的“本质”。 2、创造性。现代社会需要创造性的人才，我国的教材由于长期以来借鉴国外的经验，过多的注重培养逻辑思维，培养的人才大多数习惯于按部就班、墨守成规，缺乏创
造能力和开拓精神。直觉思维是基于研究对象整体上的把握，不专意于细节的推敲，是思维的大手笔。正是由于思维的无意识性，它的想象才是丰富的，发散的，使人的认知结构向外无限扩展，因而具有反常规律的独创性。 3、自信力。学生对数学产生兴趣的原因有两种，一种是教师的人格魅力，其二是来自数学本身的魅力。不可否认情感的重要作用，但笔者的观点是，兴趣更多来自数学本身。成功可以培养一个人的自信，直觉发现伴随着很强的“自信心”。相比其它的物资奖励和情感激励，这种自信更稳定、更持久。当一个问题不用通过逻辑证明的形式而是通过自己的直觉获得，那么成功带给他的震撼是巨大的，内心将会产生一种强大的学习钻研动力，从而更加相信自己的能力。高斯在小学时就能解决问题“1+2+ …… +99+100=？”，这是基于他对数的敏感性的超常把握，这对他一生的成功产生了不可磨灭的影响。而现在的学生极少具有直觉意识，对有限的直觉也半信半疑，不能从整体上驾驭问题，也就无法形成自信。 二、培养学生的直觉思维能力，促进逻辑思维能力发展，提高解题能力 直觉思维是一种以高度省略、简化、浓缩的方式探究问题实质的思维。教学中我们都有这样的体会：数学成绩好的学生，在解决数学问题时，常能产生思维的活跃，灵感的
数学教学中提高思维能力的措施 清水县白沙乡中心小学王兴国 摘要：在近几年的小学数学的教学过程中，发现提高学生的思维能力非常重要。当前的数学“素质教育”其中重要的一方面就是要培养学生具有灵活的思维素质，这就要求对学生加强数学思维能力的训练，使他们的数学思维具有活跃性、逻辑性、多向性、形象性。思维能力的提高也是构成学生学好数学的重要因素之一。帮助学生运用自己的知识和能力来分析和判断面临的问题至关重要。其重点应当是正确判断，准确推理。 关键词：教学思维能力培养 那么在小学数学课堂教学中，教师如何去培养学生的思维能力呢？ 一、优化比较，引导思维认识 俄国教育家乌申斯基说过：“比较是一切理解和思维的基矗”，正确思维的主要方法是比较，在教学中，引导运用这一方法，就能使一些表面实异的概念或研究对象条分缕析，思维和认识必然清晰有序。 在充满活力的课堂上，学生既有智慧的火花，也有错误的泥沙，教师应当随时捕捉这一信息，巧妙地引导学生的认识，加以对比，在教师的引导比较中，让学生从表面上的“同”或“错”中悟出实质的“异”或“对”来。从而加深对概念的理解和认识，同时学生学会了解辩证思维的方法-----比较。 二、设立机会，发展思维 数学教学除了让学生掌握一定的知识之外，还应当让学生明白，
这一知识的形成过程。其主要措施应当是：首先思考是至关重要的环节，在学生情绪高涨，思维活跃时，引导学生提出问题，并对提出的问题进行大胆的探索，在不断的探求知识的过程中，认识知识结构，其次教师要努力引导创设成功的机会，增强学生的思维度，让学生积极思索的同时提高学生的思维空间发展。 比如：画圆应该注意哪些问题？怎样才能画出一个既规则又美观的圆呢？你们可以想一想，说一说。有些学生不一会就概括出画圆的方法。我按照学生总结出的画圆的方法在黑板上迅速画出一个标准的圆。这时，学生个个兴高采烈，跃跃欲试。我见时机成熟，急忙请学生再一次画圆。通过我的巡视和学生的互相检查，第二次画圆没有一个学生出错。然后我又不失时机的让学生归纳总结画圆的方法，把刚才的思路进行了梳理，又在交流中内化知识和获得方法。光讲不行，还要让学生有实践纠正的机会，于是我又给了学生再一次画圆的机会，这样一来，不明白的也充分理解了方法，而且印象特别深刻。只有这样，在理角画圆的方法的同时，感受到图形的形成过程大大地开启学生的智慧，也提高了学生的思维能力，让学生逐步迈入知识的殿堂。 三、教师出错、学生质疑，引导创新思维的发展 在平时的数学教学中，教师在板书时也可以故意出现错误，利用这一资源，引导学生的创新思维的发展。 如：在探究乘法分配律时，学生顺利完成了基础练习，接下来我随手出了一道练习（660+60）÷6，目的是想说明并不是所有的题目
《牧牛图颂》讲解（南怀瑾） 南怀瑾先生说：「我们的情绪妄想，就是这一条牛；你的牧童是什么？就是意识；你的绳子是什么？就是气，出入气，安那般那。」 鲁迅和牛 现在给你们讲这一条牛了，这是禅宗渐修的心地法门，《牧牛图》是普明禅师的作品。什么是牛？鲁迅有两句诗很好：“横眉冷对千夫指”，他当年在上海写文章，大家指着骂；他“俯首甘为孺子牛”，自己低头做一个牧童。我对鲁迅觉得马马虎虎，但这两句诗蛮有意思，可以看出来吧，他满肚子怨恨之气。横眉，气得眉毛都立起来，冷冷的，你们骂我就骂我，格老子我才不怕你们骂，阿Q的精神，宁可做一个小牧童。这是讲与牛有关的诗。算不定将来国内年轻一代，出来一位好诗的人。鲁迅这两句是好诗。 乱跑的牛 《牧牛图》讲渐修法门，我们的心念就是一条牛，乱跑。这个图在明朝禅宗很有名的，当年是木版的画，日本人更捧这个《牧牛图》。一条黑牛，发疯一样到处跑，这个牧牛的小孩子拿着绳子在后面追。这代表什么呢？代表我们这个心，思想情感就是这一条黑牛，到处乱跑。这个牧牛的小孩拿绳子在后面追不上，拴不住。我们打起坐来心念第一步就是这样。他写了四句诗： 一未牧 狰狞头角恣咆哮奔走溪山路转遥 一片黑云横谷口谁知步步犯佳苗
“狰狞头角恣咆哮”，牛的那两个角，威风得很，我们形容一个人很聪明，就是头角峥嵘。恣是放任自己，咆哮是发脾气乱跑乱叫，到处吹牛。“奔走溪山路转遥”，这一条牛在山上田地里乱跑，越跑越远，我们的情绪妄想就是这一条牛。“一片黑云横谷口”，天黑了，不知道跑到哪里去了。第四句话是自己的反省，这个妄想情绪到处乱跑，“谁知步步犯佳苗”，自己把善良的根都扯断踏平了，挖了自己的根，好的种苗都不发了。这是《牧牛图》的第一步，就是我们打起坐来，平常情绪思想乱跑，想了很多的花样，要做这个，要做那个，或者要做生意发财，要做官，都是妄想在乱跑。这个题目叫“未牧”，拴不住自己的妄想心念。 把牛套住 二初调 我有芒绳蓦鼻穿一回奔竞痛加鞭 从来劣性难调制犹得山童尽力牵
小学数学八大思维方法 目录 一、逆向思维方法 二、对应思维方法 三、假设思维方法 四、转化思维方法 五、消元思维方法 六、发散思维方法 七、联想思维方法 八、量不变思维方法 一、逆向思维方法 小学教材中的题目，多数是按照条件出现的先后顺序进行顺向思维的。逆向思维是不依据题目内条件出现的先后顺序，而是从反方向（或从结果）出发而进行逆转推理的一种思维方式。 逆向思维与顺向思维是训练的最主要形式，也是思维形式上的一对矛盾，正确地进行逆向思维，对开拓应用题的解题思路，促进思维的灵活性，都会收到积极的效果，
解：这是一道典型的“还原法”问题，如果用顺向思维的方法，将难以解答。正确的解题思路就是用逆向思维的方法，从最后的结果出发，一步步地向前逆推，在逆向推理的过程中，对原来题目的算法进行逆向运算，即：加变减，减变加，乘变除，除变乘。 列式计算为： 此题如果按照顺向思维来考虑，要根据归一的思路，先找出磨1吨面粉 序是一致的。 如果从逆向思维的角度来分析，可以形成另外两种解法： ①不着眼于先求1吨面粉需要多少吨小麦，而着眼于1吨小麦可磨多少
列式计算为： 由此，可得出下列算式： 答：（同上） 掌握逆向思维的方法，遇到问题可以进行正、反两个方面的思考，在开拓思路的同时，也促进了逻辑思维能力的发展。 二、对应思维方法 对应思维是一种重要的数学思维，也是现代数学思想的主要内容之一。对应思维包含一般对应和量率对应等内容，一般对应是从一一对应开始的。 例1 小红有7个三角，小明有5个三角，小红比小明多几个三角？
这里的虚线表示的就是一一对应，即：同样多的5个三角，而没有虚线的2个，正是小红比小明多的三角。 一般对应随着知识的扩展，也表现在以下的问题上。 这是一道求平均数的应用题，要求出每小时生产化肥多少吨，必须先求出上、下午共生产化肥多少吨以及上、下午共工作多少小时。这里的共生产化肥的吨数与共工作的小时数是相对应的，否则求出的结果就不是题目中所要求的解。 在简单应用题中，培养与建立对应思维，这是解决较复杂应用题的基础。这是因为在较复杂的应用题里，间接条件较多，在推导过程中，利用对应思维所求出的数，虽然不一定是题目的最后结果，但往往是解题的关键所在。这在分数乘、除法应用题中，这种思维突出地表现在实际数量与分率（或倍数）的对应关系上，正确的解题方法的形成，就建立在清晰、明确的量率对应的基础上。 这是一道“已知一个数几分之几是多少，求这个数”的分数除法应用题，题
如何培养小学生数学的思维能力 思维是人脑对客观事物的一般特殊性和规律性的一种间接的、概括的反映过程。数学思维是对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动。 学生的良好思维能力是他们获取新知识、进行创造性学习和发展智力的核心。新课标确立了知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三位一体的课程目标，将素质教育的理念体现在课程标准之中，通过引导学生主动参与、亲身实践、独立思考、合作探究，从而实现向学习方式的转变，发展学生搜集和处理信息、获取新知、分析解决问题和交流与合作的能力。 一、数学思维与数学思维能力的含义 数学思维是对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动。 数学思维能力主要包括四个方面的内容： 1．会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括； 2．会用归纳、演绎和类比进行推理； 3．会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点； 4．能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。 新课标指出：义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律。数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用。新课标确立了知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三位一体的课程目标，将素质教育的理念体现在课程标准之中。通过引导学生主动参与、亲身实践、独立思考、合作探究，从而实现向学习方式的转变，发展学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力，以及交流与合作的能力。 新课标关注的是数学课程目标，它包括：数学素养、数学知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度，注重学生经验、学科知识和社会发展三方面内容的整合，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
第五章认知主义学习理论 【内容摘要】 认知主义者主张将学习看作是个体对事物经认识、辨别、理解从而获得新知识的过程，在此过程中，个体所学到的是思维方式，即认知心理学家所讲的认知结构。个体在学习情境中运用其已有认知结构去认识、辨别、以至理解各个刺激之间的关系，增加自己的经验，从而扩大或提升自己的认知结构。因此，在认知主义人士看来，学习的产生是内发的、主动的和整体性的。认知主义学习理论也经历了一个不断发展的过程，本章在论述早期认知主义学习理论、传统认知主义学习理论和新认知主义学习理论时，不但强调揭示其内在的发展线索，更注重阐述其思想的现代教育价值。 【核心概念】 顿悟、认知地图、潜伏学习、认知结构、发现学习、认知表征、接受学习、符号表征学习、概念学习、命题学习、结构良好领域的知识、结构不良领域的知识、初级学习、高级学习、先行组织者、意义学习、机械学习 【思考题】 1．简要谈谈你对顿悟学习和潜伏学习的看法。 2．请举例谈谈布鲁纳结构教学观在教育上的应用。 3．请运用奥苏贝尔认知同化学习理论的思想谈谈你对讲授法的认识。 4．请谈谈如何根据信息加工学习理论有效地组织教学。 5．请结合实例谈谈你对建构主义学习理论的看法。 6．当你预知到学生有可能会将你所授内容建构成四不像的“鱼牛图”时，你一般会运用什么有效办法来尽量避免此种事情的发生？ 7．简要述评认知结构迁移理论。 8．请用认知主义学习理论的有关思想谈谈你对“高分低能”的看法。 9．建构主义学习理论对传统认知学习理论的超越主要体现在哪几个方面？ 10.“什么是仁？”针对不同学生的提问，孔子给出的答案不同，并未给“仁”下一个统一的定义。有人说这是孔子学说的一个明显缺陷，也有人说这是孔子因材施教的一个具体体现，请谈谈您对此问题的看法及教育心理学方面的依据。 11．在认知主义学习理论中，有哪些人更看重直接经验在学习中的作用？其核心观点是干什么？有哪些人更看重间接经验在学习中的作用？其核心观点是什么？您对此有何评价？ 12．什么是先行组织者？什么是抛锚式教学模式？二者之间有何同与异？ 行为主义者将学习看作是刺激与反应联结的过程，在这个过程中个体学到的主要是可以观察、测量到的外显反应，而该反应之所以成为习惯是由于后效强化所致；学到的个别反应经组合之后而成整体行为，这样，学习的产生是外控的或外铄的，是被动的，是积少成多的，也是渐进的。行为主义心理学家对学习的这一基本看法虽然能有效地用来解释行为的习得，却不能很好地用来解释知识的学习与健康人格的养成，在日常生活中，知识的学习与健康人格的养成毫无疑问也是非常重要的。同时，行为主义心理学家不太重视探讨学习的内部心理机制也受到后来的心理学家的批评。这样，在行为主义心理学的学习理论还颇流行的时候，一些有见地的心理学家就开始尝试用新的路径来研究学习现象，并提出了不同于行为主义学习理论的新的学习理论，其中最著名的有二：一是认知主义的，一是人本主义的。本章先讲认知主义的学习观。认知主义者主张将学习看作是个体对事物经认识、辨别、理解从而获得
[整理版]十牛图颂 十牛图颂 十牛图颂 住鼎州梁山廓庵和尚十牛图颂(并)序 夫诸佛真源。众生本有。因迷也沉沦三界。因悟也顿出四生。所以有诸佛而可成。有众生而可作。是故先贤悲悯。广设多途。理出偏圆。教兴顿渐。从粗及细。自浅至深。末后目瞬青莲。引得头陀微笑。正法眼藏自此流通天上人间。此方他界。得其理也。超宗越格。如鸟道而无踪迹。得其事也。滞句迷言。若灵龟而曳尾。 间有清居禅师。观众生之根器。应病施方。作牧牛以为图。随机设教。初从渐白。显力量之未充。次至纯真。表根机之渐照。乃至人牛不见故。标心法双亡。其理也。已尽根源。其法也。尚存莎笠。遂使浅根疑误。中下纷纭。或疑之落空亡也。或唤作堕常见。今观则公禅师。拟前贤之模范。出自己之胸襟。十颂佳篇。交光相映。初从失处。终至还源。善应群机。如救饥渴。慈远是以探寻妙义。采拾玄微。如水母以寻餐。依海虾而为目。初自寻牛。终至入廛。强起波澜。横生头角。尚无心而可觅。何有牛而可寻。泊至入[邱-丘+(厂@墨)]。是何魔魅。况是祖祢不了。殃及儿孙。不揆荒唐。试为提唱。 寻牛序一 从来不失。何用追寻。由背觉以成疏。在向尘而遂失。 家山渐远。岐路俄差。得失炽然。是非锋起。 颂曰。 忙忙拨草去追寻水阔山遥路更深 力尽神疲无处觅但闻枫树晚蝉吟
和 石鼓夷和尚。 只管区区后外寻不知脚底已泥深 几回芳草斜阳里一曲新丰空自吟 又 坏衲琏和尚。 本无踪迹是谁寻误入烟萝深处深 手把鼻头同归客水边林下自沉吟 见迹序二 依经解义。阅教知踪。明众器为一金。体万物为自己。正邪不辩。真伪奚分。未入斯门。权为见迹。 颂曰。 水边林下迹偏多芳章离披见也么 纵是深山更深处辽天鼻孔怎藏他 和。 枯木岩前差路多草窠里辊觉非么 脚跟若也随他去未免当头蹉过他 又。 见牛人少觅牛多山北山南见也么 明暗一条来去路个中认取别无他 见牛序三 从声得入。见处逢原。六根门着着无差。动用中头头。显露。水中盐味。色里胶青。眨上眉毛。非是他物。颂曰。
小学生数学直觉思维能力培养的对策研究 摘要：数学直觉思维是小学生分析和解决数学问题中的重要环节，本文就数学直觉思维能力的培养方面，提出了提供结构化的教材；建立直觉思维基础；创造利于直觉思维的环境，鼓励学生积极思考；培养猜测意识；重视学生的感悟作用等策略。 关键词：小学生数学直觉思维能力培养对策 小学生的数学直觉思维能力是可以在学习数学的过程中逐步发展起来的。发展数学直觉思维能力应从小抓起，因为年龄小的孩子直觉思维在整个思维活动中所占的成分更多，并且更容易因受到鼓励，从而使直觉思维迅速发展。那么，怎样才能有效培养和发展小学生的数学直觉思维能力呢？ 一、提供结构化的教材 直觉思维是对事物整体结构的感知，散乱的信息、知识无助于直觉思维。直觉思维也是一种敏锐快速的综合思维，需要知识组块和逻辑推理的支持。发展小学生数学知识组块、打好基础、形成良好知识结构是发展直觉思维能力的基础。在实际教学中，有的小学生虽然也表现出“快”，却屡屡出错，思考问题明显缺乏深度，究其原因，就在于不能对知识进行合理总结归纳。因此，教师在平时一定要加强基
础知识教学，使学生积累丰富的解题经验。这样，学生把学过的零散知识点转变为知识模块，形成整体感知，才能进一步优化数学知识结构，融会贯通。就算面临学习中的实际问题，也照样能够迅速判别，产生直觉。 二、建立直觉思维基础 扎实的基础是产生直觉的源泉。小学生有了一定的知识作为基础，拥有最基本的数学认知，思维才会更活跃。 （一）多做练习。通过大量例子取得了处理问题的足够多的经验后，往往就会产生一种这个问题是怎么回事及结论是否正确的直觉。小学生虽然心智还不成熟，但依旧具有自己的判断，正逐渐形成自己的是非观。当一个问题多次被强调后，就算他们不懂内在深层次的原因，也会有最基本的认知反应，因此，对小学生而言，多做练习是在小学生直觉思维培养中最简单、最基础的一部分。 （二）拓展知识面。教师不能仅仅要求小学生掌握书本上的知识，还要鼓励小学生阅读数学相关的课外书籍扩大自己的知识面。当小学生积累了丰富的知识，思维能够慢慢活跃起来，反应速度也会越来越快。我们既要鼓励小学生发展数学直觉思维能力，又要帮助他们，使他们的思维在各方面得到均衡发展，提高数学直觉思维的合理性。 三、鼓励积极思考 积极的思考，需要创造和谐的思辨环境。便于思考、
廓庵禅师十牛图 十二世纪，中国的禅师廓庵禅师著了一本名为《十牛图》的书，成为禅门中的至宝。他绘制了禅宗的十牛图，并以诗偈和散文加以评唱，形象地展现了由修行以致顿悟的体悟过程。 一、寻牛 忙忙拨草去追寻水阔山遥路更深 力尽神疲无处觅但闻枫树晚蝉吟 解：寻牛----从来不失何用追寻 第一寻牛，即寻求业已失散的心牛。所谓心牛，就是真实的自己，是生命的本体，也就是临济祖师所讲的无位真人，这一阶段是立志求道的阶段。不过，实际上心牛（无相的自己）从未失去。真人总是在我们的面门，在我们的眼、耳、
鼻、舌、身、意中出入。仅仅由于缺乏正确的自觉，而与本来的自己疏远了。找到真我根本不必从外从他而求，只要照顾好自己脚下就行了。 著语：从来不失，何用追寻？由背觉以成疏，在向尘而遂失。家山渐远，歧路依差；得失炽然，是非蜂起！ 著语大义：心牛从来就没有失去，哪里用得着去追寻？由于缺乏自觉以致与心牛疏远，在尘世的迷乱中心牛逐渐被淹没，离真我愈来愈远。由于前路参差峻峨，于是得失之心愈盛，是非之争更烈。 二、见迹 水边林下迹偏多芳草离披见也么 纵是深山更深处辽天鼻孔怎藏他 解：见迹----依经解义阅教知踪
第二图为见迹，只是发现了心牛的足迹。这是一个阅读经书禅典，谛聆师家教诲，理解佛教法理的阶段。通过这一阶段，从而知晓一切都是独立存在的，而它们却处于矛盾的统一之中；明白万物的客观与自我的主观是息息相关的存在；理解万法都是一个心牛的千变万化，即一切存在都是真我的变体的禅的思想。不过，在这一阶段还无法弄清牛是白还是黑。所以，仍处在禅门之外，只是见到了踪迹而已。 著语：依经解义，阅教知踪；明众器为一金，体万物为自己。正邪不辞，真伪奚分？未入斯门，权为见迹。 在水边、林下、萋萋芳草中到处都有牛的足迹。那辽天的鼻孔，冲天的气势，纵是深山老林，也隐藏不住。 著语大意跟上述大同小异。所谓众器为一金，万物为自己的表意为：金镯、金炉、金项链等器皿，林林总总，形态各异，都是金子制造的。所以宇宙间的万物都出于一体，都与自己合而为一。