同济七版第七章电子教案

第七章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念

例：已知一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点(,)M x y 处的切线的斜率为2x ，求这曲线的方程.

解：设所求曲线的方程为()y f x =，由题意

1d 2(1)d 2(2)

x y

x x y =?=??

?=?

由（1）得2d y x x =?，即2

y x C =+ （3）

把条件“1x =时，2y =，”代入上式（3）得2

21

C =+，1C ∴=

把1C =代入式（3），得所求曲线方程：2

1y x =+

定义：凡含有未知函数的导数或微分的方程，叫做微分方程. 例如

y xy '=，23x y y y e '''+-=，2()d d 0t x t x x ++=

未知函数是一元函数的微分方程，叫做常微分方程. 未知函数是多元函数的微分方程，叫做偏微分方程.

微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶.

例如322

43x y'''x y''xy'x +-=为三阶， ()

10n y +=为n 阶

把一个函数带入微分方程能使该方程成为恒等式，这个函数叫做微分方程的解.

如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解.

用于确定通解中任意常数的条件，称为初始条件. 如0x x =时，0y y =，0y'y'=.一般写成0

0x x y

y ==，0

x x y y ='

'= 确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解，即不含任意常数的解. 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题. 微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线.

第二节 可分离变量的微分方程

定义：一般的，如果一个一阶微分方程能写成()()d d g y y f x x =的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含有y 和d y ，另一端只含有x 和d x ，那么原方程就称为可分离变量的

微分方程.

例如微分方程

d 2d y xy x

=可以写成d 2d y x x y = 其解法：设()y x ?=是()()d d g y y f x x =（1）的解，则有()()()d d g x x x f x x ??'=????，从而()()()d d g x x x f x x ??'=

?????

?，即()()d d g y y f x x =??，

设()()F x G y 、分别为()()f x g y 、的原函数，则()()G y F x C =+（2） 可见，满足式（1）的解可满足式（2） 反之，若()y x =Φ是式（2）的解，则()()()()()

d d F x f x y x x G y g y ''Φ==='，即满足（2）的解也

满足（1） 例：求

2y xy '=的通解.

解：将原方程分离变量得d 2d y

x x y

=， 两端积分d 2d y

x x y

=?

?，得21ln ||y x C =+， 从而222

1

1e

e e e x C C x x y C +=±=±=（其中1

e C C ±=）

当0y =时也为原方程的解，故原方程的通解为2

e x

y C =

例：求微分方程()()

22

d d 0x xy x x y y y +-+=满足初始条件0

1x y

==的特解.

解：将原方程分离变量得

22

d d 11x y x y x y =++， 两端积分

22

d d 11x y x y x y =++??，所以()()2

2111ln 1ln 122

x y C +=++， 即21211

ln 21x C y +=+， 从而22

11

x C y +=+（其中12e C C =） 又因为0|1x y ==，所以1

2

C =

故所求特解为22

11

2

1x y +=+

第三节 齐次方程

定义：若一阶微分方程可化成d d y y x x ???= ???

的形式，那么就称该方程为齐次方程. 在齐次方程

d ()d y y x x ?=中，令y

u x

=，则y ux =，两端对x 求导数得

dy d d d u

u x x x

=+，将其带入原方程得d ()d u u x

u x ?+=，分离变量得d d ()u x u u x ?=-.两端积分得d d ()u x u u x

?=-??.

求出积分后，再把u 还原成y

x

，便得所给齐次方程的通解. 例：解方程2

2

d d d d y y y x

xy x x

+= 解：原方程可写成2

22d d 1y y y x y x xy x x

??

???==--

因此原方程是齐次方程,令y u x =，则y ux =，d d d d y u

u x x x =+

于是原方程变为2d d 1

u u u x x u +=-

分离变量，得1d 1d x u u x

??-=

???

两边积分，得ln ||ln ||u u C x -+=或写成ln ||xu u C =+

以y x 代上式中的u ，便得所给方程的通解ln ||y

y C x

=+ 例：求微分方程d (1ln ln )d y

x

y y x x

=+-满足初始条件1

1x y ==的特解.

解：原方程可变形为d 1ln d y y y x x x ??

=+ ???

令y u x

=

，则y ux =，d d d d y u u x x x =+代入方程得d (1ln )d u

x u u u x +=+ 分离变量得

d d ln u x u u x

=

两端积分得()ln ln ln ln u x C =+即ln u Cx =，故e Cx u

=

再把y u x

=回代即得原方程的通解为Cx

y e x =

将初始条件

1

1x y

==代入通解，得1C e =，即0C =

所以满足初始条件的特解为

y x =

第四节 一阶线性微分方程

定义：形如

d ()()d y

P x y Q x x

+=（1）的方程叫做一阶线性微分方程. 如果()0Q x ≡，称该方程为齐次线性方程，否则称该方程为非齐次线性方程.

d ()0d y

P x y x

+=（2）称为对应于非齐次线性方程d ()()d y P x y Q x x +=的齐次线性方程.

注：①

d ()()d x P y x Q y y +=②d d y

x

的系数为1③完全含有x 的()Q x 位于等式右端 考察d ()0d y

P x y x +=的解： 分离变量得d =-()d y

P x x y

两端积分得1ln ||=-()d y P x x C +?或1-()d =C ()P x x

C y e

C e ?=±其中

又

0y =时也是（2）的解，则-()d =C ()P x x y e C ?为任意常数即为（2）的通解

考察

d ()()d y

P x y Q x x

+=的解： 设

()y y x =是（1）的解，则d ()=-()d +d y Q x P x x x y

y

，

从而()ln =-()d +d Q x y P x x x y

??，所以()

d -()d =

e e Q x x P x x

y

y ?

?

±?

使用所谓的常数变易法，令()d ()e P x x

y C x -?=（*）为（1）的通解，

则()d ()d ()d ()e ()e ()()()e ()P x x P x x P x x

C x C x P x P x C x Q x ---???'-+=

化简得()d ()()e P x x

C x Q x ?

'=，从而()d ()()e d P x x

C x Q x x C ?

=+?代入（*）

则()d ()d e ()e d P x x P x x y Q x x C -????=+????

?即为所求通解 当=0C 时，()d ()d e

()e d P x x P x x

y Q x x -??=?

为（1）的特解 注：①求积分时不再含任意常数

②()d ()d e ()e d P y y P y y x Q y y C -????=+?????是d ()()d x P y x Q y y

+=的通解 ③()d ()d ()d e e ()e d P x x P x x P x x y C Q x x --???=+?

表示非齐次线性方程的通解等于对应的齐

次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和

例：求方程

5

2d 2(1)d 1

y y x x x -=++的通解 解：（方法一）先求对应的齐次线性方程的通解.

d 20d 1

y y x x -=+ 分离变量得

d 2d 1

y x y x =+ 两端积分得1ln 2ln 1y x C =++ 则1222(1)(e )C y C x C =+=±其中

用常数变易法，令2

2()(1)y C x x =+（*），代入所给非齐次线性方程，得

5

2222222()(1)2()(1)()(1)(1)1

C x x C x x C x x x x '?++?+-?+=++

即1

2

2()(1)C x x '=+，两端积分，得3

222

()(1)3

C x x C =++代入（*）

得所求方程的通解为

3

2

22(1)(1)3y x x C ??

=+++????

（方法二）

设2

()1

P x x =-+，5

2()(1)Q x x =+

所求方程的通解为

()d ()d =e ()e d P x x

P x x y Q x x C -???

?+?????225d d 112=e (1)e d x x x x x x C ---++????++????

?（）（） 2

2

5

ln +ln +2=e

(1)e

d x x x x C -??++????

?（1）

（1）5222=+(1)+d x x x x C -??++?????（1）（1） 12

2=+(1)d x x x C ??++?????（1）3

2

22=(1)(1)3x x C ??+++????

例：解方程

d 1

d y x x y

=+ 解：（方法一）把所给方程变形为d d x

x y y

-=

()1,()=P y Q y y =-则

()d ()d e ()e d P y y P y y x Q y y C -????=+?????(1)d (1)d e e d y y y y C ---????=+????

? ()e e d y y

y y C -=+?()e de y

y

y C -=-+? ()e e +e d y

y

y

y y C --=-+?e 1y

C y =--

（方法二）

令x y u +=，则y u x =-，

dy du 1d d x x

=-，代入原方程化得 d 11d u x u -=，即d 1d u u x u

+=

分离变量，得

d d 1

u

u x u =+

两端积分得 1ln |1|u u x C -+=+ ， 以u x y =+代入上式，

得1ln |1|y x y C -++=或e 1y

x C y =--1

(e

)C C -=±其中即为所求

第五节 可降阶的高阶微分方程

一、右端仅含x 的方程 对微分方程()

()n y

f x =，只需两端分别积分一次就可化为1n -阶方程(1)1

()d n y f x x C -=+?同理可得(2)12()d d n y f x x C x C -??=++??

??，依此法继续进行，接连积分n 次，便得原方程的含有n 个任意常数的通解

例：求微分方程2e cos x

y'''x =-的通解

解：对所给方程接连积分三次，得

21e sin 2

x

y x C ''=

-+ 221e cos 4

x

y x Cx C '=

+++

22123

111e sin 82

x y x C x C x C C C =++++=（其中）

这就是所给方程的通解 二、右端不显含y 的方程

下面研究微分方程(,)y"f x y'=的解法.设y'p =，则y p '''=，代入上式得(,)p'f x p =

设(,)p'f x p =的通解为1(,)p x C ?=，则1d (,)d y

x C x

?= 所以，原方程的通解为12(,)d y x C x C ?=+?

例：求微分方程2

(1)2x y''xy'+=，满足初始条件0

13x x y

y'

====，的特解

解：设y'p =，则y p '''=，代入方程并分离变量后，有

2d 2d 1p x x p x

=+ 两边积分，得()

2

ln ln 1p x C =++ 即()()

2

11

1e C p y'C x

C

==+=±其中

由条件0

3x y'

==，得13C =，所以()231y'x =+

两边再积分，得3

23y x x C =++ 又由条件0

1x y

==，得21C =.于是所求的特解为331y x x =++

三、右端不显含x 的方程

下面研究微分方程(,)y''f y y'=的解法.设y'p =，有d d d d d d d d p p y p y p x y x y

''=

=?=

原方程可化为d (,)d p

p

f y p y

= 设方程d (,)d p

p

f y p y =的通解为1(,)y'p y C ?==，则原方程的通解为21d (,)

y x C y C ?=+? 例：求微分方程2

0yy''y'-=的通解 解：设y'p =，则d d d d d d d d p p y p y p x y x y ''=

=?= 代入方程，得2d 0d p

yp p y

-= 在0,0y p ≠≠时，约去p 并分离变量，得d d p y

p y

=

两边积分得ln ||ln ||p y C =+

即1p C y =或1y'C y =()1e C

C =±其中

再分离变量并两边积分，便得原方程的通解为12ln ||y C x C '=+

或1222e (e )C x C

y C C '

==±其中

高等数学同济第七版7版下册习题 全解

数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"

jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学同济第七版7版下册习题全解

第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ (

A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n "

9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。

二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

高等数学同济第六版上册课后答案

2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用

了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。

同济大学线性代数第六版答案(全)

同济大学线性代数第六版答案(全) 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式201 (1)1 4 ***** 解1 4 183 2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 2 4 8 16 4 4 abc (2)bca cababc 解bca cab acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3 111 (3)abc a2b2c2111 解abc a2b2c2 bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 (a b)(b c)(c a) xyx y (4)yx yx x yxyxyx y 解yx yx x yxy x(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x3 3xy(x y) y3 3x2 y x3 y3 x3 2(x3 y3) 2 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2

解逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n) n(n 1) 解逆序数为 2 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) (6)1 3 (2n 1) (2n) (2n 2) 2 解逆序数为n(n 1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1个) 3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项解含因子a11a23的项的一般形式为 ( 1)ta11a23a3ra4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42 所以含因子a11a23的项分别是 ( 1)ta11a23a32a44 ( 1)1a11a23a32a44 a11a23a32a44 ( 1)ta11a23a34a42 ( 1)2a11a23a34a42 a11a23a34a42 4 计算下列各行列式 41 (1)***-*****14 2 07 41 解***-*****c2 c***** 1 ***** 104 1 10 2 122 ( 1)4 3 *****c 4 7c***** 3 1 4 4 110c2 c***** 123 142c00 2 0 1 2c***** 2 (2)31 1***** 22 4 解31 ***** c 4 c3 223 1202r 4 r ***-*****06 ***-*****

高等数学同济第七版上册课后答案

习题1-10 1.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根. 因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b. 证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数. f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0. 若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根; 若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根. 总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b. 3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有 |f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)?f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0. 证明设x0为(a,b)内任意一点.因为

0||lim |)()(|lim 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(lim 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a

高等数学同济第七版7版(下册)习题全解

数，故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/+r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ? 3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr+ jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh

尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n" jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学习题答案(同济第六版下)

第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 本节主要概念，定理，公式和重要结论 理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域； 理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ) ,(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ; 注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。 习题 8－1 1.求下列函数表达式: (1)x y y x y x f +=),(，求),(y x xy f + 解：(,)()x y xy f xy x y xy x y ++=++ (2)2 2 ),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f 解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+?= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)2 2 1)1ln(y x x y x z --+ -+= 解：22 22 10 11010 x y x y x y x y x +->?+>??-->???+ (3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->?+< 3.求下列极限: (1) 2 2)1,0(),(1lim y x xy x y x ++-→ 解：22 (,)(0,1)1lim 1x y x xy x y →-+=+ (2) xy xy y x 4 2lim )0,0(),(+-→ 解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim 2lim 2lim 4 x y x y x y xy xy →→→=-=-=- 解二： (,)(0,0)(,)(,)1 lim lim lim 4x y x y x y →→→===-

高等数学同济第七版上册知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一.函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)~g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~x ，tan x ~x ，x arcsin ~x ，x arccos ~x ， 1?cos x ~2/2^x ，x e ?1~x ，)1ln(x +~x ，1)1(-+αx ~x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则1.单调有界数列极限一定存在 准则2.（夹逼定理）设g (x )≤f (x )≤h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 5．洛必达法则 定理1设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；

（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于) () (lim 0x F x f x x ''→；当 )()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，) () (lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）) () (lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞ 型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞ ∞ 型同样适 用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： （1）洛必达法则只能适用于“00 ”和“∞ ∞ ”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00 ”或“ ∞ ∞ ”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则； （3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限 基本公式)() ()(lim 0'000x f x x f x x f x =?-?+→?(如果存在） 7.利用定积分定义求极限 基本格式?∑==∞→1 1)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在） 三．函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点 设0x 是函数y =f (x )的间断点。如果f (x )在间断点0x 处的左、右极限都存在，则称0x 是f (x )的第一类间断点。左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去间断点。左右极限不存在为跳跃间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 （2）第二类间断点 ) () (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→

高等数学(同济第七版下)课后习题及解答

1.设u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用a ，b ，c 表示2u -3v . 解2u -3v =2（a -b +2c ）-3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图8-1，设四边形ABCD 中AC 与BD 交于M ，已知 AM =MC ，MB DM . 故 DC DM MC MB AM AB . 即DC AB //且｜AB |=|DC |，因此四边形 ABCD 是平行四边形． 3.把△ABC 的BC 边五等分，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各 分点与点A 连接.试以AB =c,BC =a 表向量 A D 1,A D 2,A D 3,A D 4 .证 如图8-2，根据题意知 5 11 BD a, 5 12 1D D a, 5 13 2D D a, 5 14 3D D a, 故A D 1=-（ 1BD AB ）=-5 1 a-c

A D 2=-（2BD A B ）=-52 a-c A D 3=-（3BD A B ）=-53 a-c A D 4 =-（4BD AB ）=-5 4 a-c. 4.已知两点M 1（0，1，2）和M 2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示向量 21M M 及-221M M . 解 21M M =（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）. -221M M =-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）. 5.求平行于向量a =（6，7，-6）的单位向量. 解向量a 的单位向量为 a a ，故平行向量a 的单位向量为 a a = 11 1（6，7，-6）= 11 6,117,116， 其中 11)6(7 6 2 2 2 a . 6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （2，3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3，1）. 解A 点在第四卦限，B 点在第五卦限，C 点在第八卦限，D 点在第三卦限. 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （3，4，0）， B （0，4，3）， C （3，0，0）， D （0，

高等数学(同济第七版)提纲

函数、极限、连续 一、函数：五大类基本初等函数幂函数，指数函数，对数函数 反函数，有界性，奇偶性 三角函数：正割函数，余割 反三角函数 二、极限 1、数列的极限 夹逼准则 2、函数的极限 （1）两个重要极限 （2）无穷小：高阶，低阶， 同阶，等价；性质：有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小。等价无穷小代换；

三、连续 间断点：第一类，第二类左右极限都存在； 可去间断点，跳跃间断点无穷间断点，振荡间断点一切初等函数在定义区间内都连续。 闭区间上连续函数的性质：零点定理：方程根的存在性 第二章导数与微分 一、相关概念 1、导数的两大定义式； 2、左右导数；

3、几何意义； 4、可导与连续的关系。 5、16个基本导数公式，4个求导法则 二、六大类函数求导 1、复合函数求导； 2、隐函数求导； 3、参数方程所确定的函数求导； 4、幂指函数求导； 对数求导法 5、分段函数求导； 6、抽象函数求导。 三、微分 1、概念；可微 2、计算

第三章微分中值定理 与导数的应用 一、中值定理 罗尔定理：驻点 拉格朗日中值定理 二、洛必达法则 三、单调性和凹凸性 单调性：求单调区间； 求极值； 证明不等式； 证明方程根的唯一性。极值的第一充分条件 有且仅有；

凹凸性：凹凸区间；拐点 四、渐近线 1、水平渐近线 2、垂直渐近线 3、斜渐近线 第四章不定积分 一、不定积分的概念； （13+2） 原函数；被积函数；积分变量 二、计算 1、凑微分法（第一类换元法） 2、第二类换元法 3、分部积分法 （一）4小题

（二）2小题 （三）1小题 简单根式的积分 第五章定积分 一、相关概念和性质 积分下限，积分上限 几何意义：面积的代数和[a,b]积分区间 比较性质 定积分的中值定理 二、关于计算方面的内容 1、定积分的计算； 2、广义积分（反常积分）；（1）无穷限的广义积分；

工程数学线性代数(同济大学第六版)课后习题答案(全)

第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).

(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2 )1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)

同济大学第六版高等数学上册课后答案全集

高等数学第六版上册课后习题答案 第一章 习题1?1 1? 设A ?(??? ?5)?(5? ??)? B ?[?10? 3)? 写出A ?B ? A ?B ? A \B 及A \(A \B )的表达式? 解 A ?B ?(??? 3)?(5? ??)? A ? B ?[?10? ?5)? A \ B ?(??? ?10)?(5? ??)? A \(A \B )?[?10? ?5)? 2? 设A 、B 是任意两个集合? 证明对偶律? (A ?B )C ?A C ?B C ? 证明 因为 x ?(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ?A C 或x ?B C ? x ?A C ?B C ? 所以 (A ?B )C ?A C ?B C ? 3? 设映射f ? X ?Y ? A ?X ? B ?X ? 证明 (1)f (A ?B )?f (A )?f (B )? (2)f (A ?B )?f (A )?f (B )? 证明 因为 y ?f (A ?B )??x ?A ?B ? 使f (x )?y ?(因为x ?A 或x ?B ) y ?f (A )或y ?f (B ) ? y ?f (A )?f (B )? 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B )? (2)因为 y ?f (A ?B )??x ?A ?B ? 使f (x )?y ?(因为x ?A 且x ?B ) y ?f (A )且y ?f (B )? y ? f (A )?f (B )? 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B )? 4? 设映射f ? X ?Y ? 若存在一个映射g ? Y ?X ? 使X I f g =ο? Y I g f =ο? 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射? 即对于每一个x ?X ? 有I X x ?x ? 对于每一个y ?Y ? 有I Y y ?y ? 证明? f 是双射? 且g 是f 的逆映射? g ?f ?1? 证明 因为对于任意的y ?Y ? 有x ?g (y )?X ? 且f (x )?f [g (y )]?I y y ?y ? 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像? 所以f 为X 到Y 的满射? 又因为对于任意的x 1?x 2? 必有f (x 1)?f (x 2)? 否则若f (x 1)?f (x 2)?g [ f (x 1)]?g [f (x 2)] ? x 1?x 2? 因此f 既是单射? 又是满射? 即f 是双射? 对于映射g ? Y ?X ? 因为对每个y ?Y ? 有g (y )?x ?X ? 且满足f (x )?f [g (y )]?I y y ?y ? 按逆映射的定义? g 是f 的逆映射? 5? 设映射f ? X ?Y ? A ?X ? 证明? (1)f ?1(f (A ))?A ? (2)当f 是单射时? 有f ?1(f (A ))?A ? 证明 (1)因为x ?A ? f (x )?y ?f (A ) ? f ?1(y )?x ?f ?1(f (A ))? 所以 f ?1(f (A ))?A ?

高等数学同济大学第六版本

习题9-2 1. 计算下列二重积分: (1)??+D d y x σ)(22, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1}; 解 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是 (2)??+D d y x σ)23(, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域: 解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤2, 0≤y ≤2-x . 于是 ??+D d y x σ)23(y d y x dx x ?? -+=20 20 )23(dx y xy x ?- +=2 22]3[ (3)??++D d y y x x σ)3(223, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1}; (4)??+D d y x x σ)cos(, 其中D 是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形闭区 域.

解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤π, 0≤y ≤x . 于是, ??+D d y x x σ)cos(??+=x dy y x xdx 00)cos(π?+=π 00 )][sin(dx y x x x 2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分: (2)??D d xy σ2, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及y 轴所围成的右半闭区域; (3)??+D y x d e σ, 其中D ={(x , y )| |x |+|y |≤1}; 解 积分区域图如, 并且 D ={(x , y )| -1≤x ≤0, -x -1≤y ≤x +1}?{(x , y )| 0≤x ≤1, x -1≤y ≤-x +1}.

高等数学(同济第七版)(上册)_知识点总结

高等数学 (同济第七版 )上册 -知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1. 两个无穷小的比较 设 lim f (x) 0,lim g(x) 0且 lim 1) l = 0 ，称f (x) 是比g(x) 高 阶的无穷小，记以 f (x) = 0[ g(x) ] ，称g(x) 是比 f(x) 低阶的无穷小。 (2)l ≠ 0，称f (x) 与g(x) 是同阶无穷小。 (3)l = 1 ，称f (x) 与g(x) 是等价无穷小，记以 f (x) ~ g(x) 2. 常见的等价无穷小 当 x →0时 sin x ~ x ， tan x ~ x ， arcsin x ~ x ， arccosx ~ x ， 1- cos x ~ x^2/2 ， e x -1 ~ x ，ln(1 x) ~ x ，(1 x) 1~ x 求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2. (夹逼定理)设 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) 若 lim g(x) A,lim h(x) A ，则 lim f (x) A 2．两个重要公式 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当 x 0 时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 23 e x 1 x x x 2! 3! 35 xx sinx x ... ( 1) 3! 5! (2n 1)! g f ((x x )) l 公式 1 sin x 公式 2 l im(1 x) n x n! o(x n ) 2n 1 n x 2n 1 n o(x 2n 1)

2 4 2n x x n x 2n cosx 1 ... ( 1)n o(x 2n ) 2! 4! 2n! 2 3 n ln(1 x) x x x ... ( 1)n 1 x o(x n ) 2 3 n ( 1) 2 ( 1)...( (n 1)) n n (1 x) 1 x x 2 ... x n o(x n ) 2! n! 3 5 2n 1 x x n 1 x 2n 1 arctan x x ... ( 1) o(x ) 3 5 2n 1 5．洛必达法则 定理 1 设函数 f (x) 、 F ( x)满足下列条件： (1) lim f(x) 0， lim F(x) 0； x x 0 x x 0 (2) f(x)与 F(x)在 x 0的某一去心邻域内可导，且 F (x) 0； (3) lim f (x) 存在(或为无穷大) ，则lim f(x) lim f (x) x x 0 F (x) x x 0 F(x) x x 0 F (x) 这个定理说明：当 lim f (x) 存在时， lim f (x) 也存在且等于 lim f (x) ；当 x x0 F (x) x x0 F(x) x x0 F (x) lim f (x) 为无穷大时， lim f(x) 也是无穷大． x x 0 F (x) x x 0 F(x) 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值 的方法称为洛必达( LH ospital )法则 . 型未定式 定理 2 设函数 f (x) 、 F(x)满足下列条件： 注：上述关于 x x 0时未定式 型的洛必达法则，对于 x 时未定式 型 同样适用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： (1)洛必达法则只能适用于“ 0 ” 和“ ”型的未定式，其它的未定式须 0 先化简变形成“ 0 ”或“ ”型才能运用该法则； (2)只要条件具备，可以连续应用洛必达法则； (3) 洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不 能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限 基本公式 li x m 0 f (x 0 x) f(x 0) f '( x 0 ) (如果存在) 7. 利用定积分定义求极限 基本格式 lim 1 f(k ) f (x)dx (如果存在) n n k 1 n 0 1) 2) 3) lim f(x) ， lim F(x) ； x x 0 x x 0 f(x)与 F(x)在 x 0的某一去心邻域内可导，且 F (x) 0； F f ((x x )) 存在(或为无穷大)，则 x lim x 0 f (x) F(x) lim f (x) x x 0 F (x)