1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；
2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；
3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；
4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；
通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合
技巧，如排除法、插板法等．
一、组合问题
日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某
项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．
一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元
素中取出m 个元素的一个组合．
从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．
从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的
组合数．记作m n C ．
一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数n m P 可分成以下两步：
第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；
第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m
P 种排法． 根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =?． 因此，组合数12)112321?-?-??-+==?-?-????m m
n n
m m P n n n n m C P m m m （）（（）（）（）． 这个公式就是组合数公式．
二、组合数的重要性质
一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)
这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从n 个
元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．
例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即325
5C C =． 规定1n n C =，01n
C =．
例题精讲 知识要点
教学目标
7-5-3.组合之排除法
对于某些有特殊要求的计数，当限制条件较多时，可以先计算所有可能的情况，再从中排除掉那些不符合要求的情况．
【例1】在100~1995的所有自然数中，百位数与个位数不相同的自然数有多少个？
【考点】组合之排除法【难度】2星【题型】解答
【解析】先考虑100～1995这1896个数中，百位与个位相同的数有多少个，在三位数中，百位与个位可以是1～9，十位可以是0～9，由乘法原理，有91090
?=个，四位数中，千位是1，百位和个位可以是0～9，十位可以是0～9，由乘法原理，1010100
?=个，但是要从中去掉1999，在100～1995中，百位与个位相同的数共有9099189
-=个．
+=个，所以，百位数与个位数不相同的自然数有：189********
【答案】1707
【例2】1到1999的自然数中，有多少个与5678相加时，至少发生一次进位？
【考点】组合之排除法【难度】3星【题型】解答
【解析】从问题的反面考虑：1到1999的自然数中，有多少个与5678相加时，不发生进位？这样的数，个位数字有2种可能(即0，1)，十位数字有3种可能(即0，1，2)，百位数字有4种可能(即0，1，2，
3)，千位数字有2种可能(即0，1)．根据乘法原理，共有234248
???=个．注意上面的计算中包括了0(=0000)这个数，因此，1到1999的自然数中与5678相加时，不发生进位的数有48147
-=个所以，1到1999的自然数中与5678相加时，
至少发生一次进位的有1999471952
-=个．
【答案】1952
【巩固】所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个？
【考点】组合之排除法【难度】3星【题型】解答
【解析】与456相加产生进位在个位、十位、百位都有可能，所以采用从所有三位数中减去与456相加不产生进位的数的方法更来得方便，所有的三位数一共有99999900
-=个，其中与456相加不产生进位的数，它的百位可能取1、2、3、4、5共5种可能，十位数可以取0、1、2、3、4共5种可能，个位数可以取0、1、2、3共4种可能，根据乘法原理，一共有554100
??=个数，所以与456相加产生进位的数一共有900100800
-=个数．
【答案】800
【巩固】从1到2004这2004个正整数中，共有几个数与四位数8866相加时，至少发生一次进位？
【考点】组合之排除法【难度】3星【题型】解答
【解析】千位数小于等于1，百位数小于等于1，十位数小于等于3，个位数小于等于3，应该有
-=个数都至少产生一次进位．???-=种可以不进位，那么其他2004631941
2244163
【答案】1941
【例3】在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个？
【考点】组合之排除法【难度】3星【题型】解答
【解析】至少出现一个“6”，意思就是这个三位偶数中，可以有一个6，两个6或三个6．我们可以把这三种情况下满足条件的三位数的个数分别求出来，再加起来；也可以从所有的三位偶数中减去不满足条件的，即减去不含6的三位偶数．三位偶数共有450个，我们先来计算不含6的偶数的个数，不含6的偶数，个位可以是0，2，4，8，十位上可以是除6以外的其余9个数字，百位可以是除6，0以外的8个数字，因此不含6的三位偶数共有498288
??=个,则至少出现一个6的三位偶数有-??=个．
450498162
【答案】162
【例4】能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个。
【考点】组合之排除法【难度】4星【题型】填空
【关键词】学而思杯，6年级，第14题
【解析】用排除法，四位数总共有9×10×10×10=9000个，其中能被3整除的四位数有3000个，排除掉能被3整除且不含有数字6的四位数之后剩下的所有的四位数都满足条件！设能被3整除且不含有数字6的四位数为abcd，最高位千位a有8选法（不能选0或6），百位有9种选法（不能选6），十位也有9种选法（也不能选6），若前三位的数字和（a+b+c）若除以3余0则个位d有3种选法（可选0，3，9）；若前三位的数字和（a+b+c）除以3余1，则个位d有3种选法（可选2，5，8）；若前三位的数字和（a+b+c）除以3余2，则个位d还是有3种选法（可选1，4，7）；故能被3整除且不含有数字6的四位数有8×9×9×3=1944个。从而得到能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有3000-1944=1056个。
【答案】1056
【例 5】 由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数中，百位不是2的奇数有 个．
【考点】组合之排除法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的奇六位数，个位可以为1，3，5，有3种选法；个位选
定后，十万位不能与个位相同，且不能为0，有4种；十万位选定后万位有4种；……；故由0，1，
2，3，4，5组成的没有重复数字的奇六位数的个数为：344321288?????=个；
由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字且百位为2的奇六位数，个位可以为1，3，5，有3种选
法；十万位不能与个位相同，且不能为0、2，有3种；十万位选定后万位有3种；……；故由0，1，
2，3，4，5组成的没有重复数字且百位为2的奇六位数的个数为：3332154????=个；
所以，满足条件的数有：28854234-=个．
【答案】234
【例 6】 从三个0、四个1，五个2中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数？
【考点】组合之排除法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由3个0，4个1，5个2组成五位数，首位上不能是0，只能是1或2，有2种选择；后面4位上都
可以是0、1或2，各有3种选择，根据乘法原理，共有23333162????=种选择；
但是注意，这样算是在0和1的个数足够多的情况下才能算，本题中可能会出现0和1的个数不够
的情况（2的个数肯定够）．比如说，0只有3个，但是上面的算 法却包括了后四位都是0的情况，
这样的数有两个：10000和20000，得减掉；另外，1只有4个，却包含了五位都是1的情况：11111，
也得减去．
所以实际上共有1623159-=个．
【答案】159
【例 7】 由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样的五位数共有
个．
【考点】组合之排除法 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级，初试，6题
【解析】 这是一道组合计数问题．由于题目中仅要求1，2，3至少各出现一次，没有确定1，2，3出现的具
体次数，所以可以采取分类枚举的方法进行统计，也可以从反面想，从由1，2，3组成的五位数中，
去掉仅有1个或2个数字组成的五位数即可．
方法一：分两类
⑴1，2，3中恰有一个数字出现3次，这样的数有13C 5460??=个；
⑵1，2，3中有两个数字各出现2次，这样的数有223
4C 5C 90??=个； 综上所述符合题意的五位数共有6090150+=个．
方法二：从反面想：由1，2，3组成的五位数共有53个，由1，2，3中的某2个数字组成的五位数共有()5321
?-个，由1，2，3中的某1个数字组成的五位数共有3个，所以符合题意的五位数共有()
5533213150-?--=个． 【答案】150个
【例 8】 10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？
【考点】组合之排除法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 (法1)乘法原理．按题意，分别站在每个人的立场上，当自己被选中后，另一个被选中的，可以是
除了自己和左右相邻的两人之外的所有人，每个人都有7种选择，总共就有71070?=种选择，但是
需要注意的是，选择的过程中，会出现“选了甲、乙，选了乙、甲”这样的情况本来是同一种选择，
而却算作了两种，所以最后的结果应该是(10111---)10235?÷=(种)．
(法2)排除法．可以从所有的两人组合中排除掉相邻的情况，总的组合数为210C ，而被选的两个人相
邻的情况有10种，所以共有210
10451035C -=-=(种)． 【答案】35
【例 9】 一栋12层楼房备有电梯，第二层至第六层电梯不停．在一楼有3人进了电梯，其中至少有一个要
上12楼，则他们到各层的可能情况共有多少种？
【考点】组合之排除法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 每个人都可以在第7层至第12层中任何一层下，有6种情况，那么三个人一共有666216??=种情
况，其中，都不到12楼的情况有555125??=种．因此，至少有一人要上12楼的情况有21612591-=种．
【答案】91
【例 10】 8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮
必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？
【考点】组合之排除法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 冬冬要站在小悦和阿奇的中间，就意味着只要为这三个人选定了三个位置，中间的位置就一定要留
给冬冬，而两边的位置可以任意地分配给小悦和阿奇．
小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻
小光和大亮必须相邻，则可以将两人捆绑考虑
只满足第一、三个条件的站法总数为：
3212372423P P P 3360C C ????=（种）
同时满足第一、三个条件，并且满足小慧和大智必须相邻的站法总数为：
3222262322P P P P 960C ????=（种）
因此同时满足三个条件的站法总数为：
33609602400-=（种）
． 【答案】2400
【例 11】 若一个自然数中至少有两个数字，且每个数字小于其右边的所有数字，则称这个数是“上升的”．问
一共有多少“上升的”自然数？
【考点】组合之排除法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由于每个数字都小于其右边所有数字，而首位上的数不能为0，所以满足条件的数各数位上都没有0，
而且各数位上的数都互不相同．那么最大的“上升的”自然数是123456789．而且可以发现，所有的“上升的”自然数都可以由123456789这个数划掉若干个数码得到．反过来，由从123456789这个数中划掉若干个数码得到的至少两位的数都是“上升的”自然数．所以只要算出从123456789中划掉若干个数码所能得到的至少两位的数有多少个就可以了．因为其中每个数码都有划掉和保留这2种可能，所以9位数共有92种可能，但是需要排除得到的一位数及零，这样的数共有10个，所以所能得到的至少两位的数有9210502-=(个)．
所以一共有502个“上升的”自然数．
【答案】502
【例 12】 6人同时被邀请参加一项活动．必须有人去，去几个人自行决定，共有多少种不同的去法？
【考点】组合之排除法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 方法一：可以分为一人去、两人去、三人去、四人去、五人去、六人去六种情况，每一种情况都
是组合问题．
第一种情况有6种去法； 第二种情况有26651521
C ?==?(种)去法； 第三种情况有3665420321
C ??==??(种)去法； 第四种情况有466543154321
C ???==???(种)去法； 第五种情况有5665432654321
C ????==????(种)去法； 第六种情况有1种去法．
根据加法原理，共有61520156163+++++=(种)不同的去法．
方法二：每一个人都有去或者不去两种可能，但要减掉所有人都不去这种情况，于是总共有
62163-=(种)不同的去法．
【答案】63
【例 13】 由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样的五位数共有________
个．
【考点】组合之排除法 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】迎春杯，高年级，决赛
【解析】 这是一道组合计数问题．由于题目中仅要求1，2，3至少各出现一次，没有确定1，2，3出现的具
体次数，所以可以采取分类枚举的方法进行统计，也可以从反面想，从由1,2,3组成的五位数中，去掉仅有1个或2个数字组成的五位数即可．
(法1)分两类：⑴1，2，3中恰有一个数字出现3次，这样的数有13
5460C ??=(个)；⑵1，2，3中有两个数字各出现2次，这样的数有2234590C C ??=(个)．符合题意的五位数共有6090150+=(个)．
(法2)从反面想，由1，2，3组成的五位数共有53个，由1，2，3中的某2个数字组成的五位数共有53(22)?-个，由1，2，3中的某1个数字组成的五位数共有3个，所以符合题意的五位数共有5533(22)3150-?--=(个)．
【答案】150
【例 14】 5条直线两两相交，没有两条直线平行，没有任何三条直线通过同一个点，以这5条直线的交点为
顶点能构成几个三角形？(构成的三角形的边不一定在这5条直线上)
【考点】组合之排除法 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 (法1)5条直线一共形成54210?÷=个点，对于任何一个点，经过它有两条直线，每条直线上另外
有3个点，此外还有3个点与它不共线，所以以这个点为顶点的三角形就有33333332230?+?+?+?÷=个三角形，则以10个点分别为顶点的三角形一共有300个三角形，但每个三角形都被重复计算了3次，所以一共有100个三角形．
(法2)只要三点不共线就能构成三角形，所以可以先求出10个点中取出3个点的种数，再减去3点共线的情况．这10个点是由5条直线相互相交得到的，在每条直线上都有4个点存在共线的情况，
这4个点中任意三个都共线，所以一共有34
520C ?=个三点共线的情况，除此以外再也没有3点共线的情况，所以一共可以构成310
20100C -=种情况． 【答案】100
【例 15】 正方体的顶点(8个)，各边的中点(12个)，各面的中心(6个)，正方体的中心(1个)，共27个点，以
这27个点中的其中3点一共能构成多少个三角形？
【考点】组合之排除法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 27个点中取三个点，不是这3点共线，就是这3点能构成三角形．27个点中取三个点一共有
272625(321) 2925??÷??=种．
过三点的直线可以分为3类．有两个顶点连线构成的有87228?÷=条；由两个面的中心连线的有3条，由两条棱的中点连线的有123218?÷=条，
所以能构成的三角形有2925283182897---=种．
【答案】2897
【例 16】 用A 、B 、C 、D 、E 、F 六种染料去染图中的两个调色盘，要求每个调色盘里的六种颜色不能相同，
且相邻四种颜色在两个调色盘里不能重复，那么共有多少种不同的染色方案（旋转算不同的方法）
【考点】组合之排除法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 先选中一个调色盘，此盘共有6！=720种．
再看另一个调色盘．
相邻四种颜色重复的分为4个重复、5个重复和6个重复三种情况，但由于5个重复就必然6个重复，因此只要分4种和6种即可．
4种颜色重复有6种情况，6种颜色重复只有1种．每种情况经旋转可变出6种．所以共有6！-1×6-6×6=678．
总共有678×720=488160种
【答案】488160
【例 17】 将5枚棋子放入右侧编号的4×4表格的格子中，每个格子最多放一枚，如果要求每行,每列都有棋
子．那么共有 种不同放法．
1234
5678
9101112
13141516
【考点】组合之排除法【难度】4星【题型】填空
【关键词】迎春杯，六年级，初赛，7题
【解析】由于每行、每列都要有棋子，所以必有某一行有2枚棋子，又不可能有某一行有3枚或3枚以上的棋子.而其他3行各有一枚棋子.只看有2枚棋子的那一行，有4种选择；选定某一行后，在其中选择两
格放棋子有2
46
C=种选法，所以将2枚棋子放入同一行有4624
?=种放法.
这一行放好后，还剩下3行2列没有棋子，所以剩下的3枚棋子每行1个，而从各列方面来看，有两种情况：其中有1枚与早先放好的2枚棋子中的某一枚同列；或者剩下的3枚都不与早先放的2枚棋子同列，这样其中必有2枚棋子同属一列，而剩下的1枚单独1列.
对于第1种情况，与早先2枚棋子同列的那1枚有6种选择，剩下的2枚有2种选择，共6212
?=种选择；
对于第2种情况，单独1列的那枚棋子有6种放法，剩下的同属一列的2枚有1种放法，共616
?=种放法.
所以满足题意的放法共有24(126)432
?+=种.
【答案】432种
目录 第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷 (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一） (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27) 综合演练 (31) 第一讲幻方（第一课时） 【知识概述】 在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。（n是几就表示为几阶幻
方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。 例题讲学 例1在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填？【和为15】 【思路分析】 这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀： 二、四为肩，六、八为足， 左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】 试试填一填吧！ 幻方（第二课时） 知识概述： 上一讲中，我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数
幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。 例题：在一个5×5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。先试试看！ 看样子，要想顺利填写好这么多的表格，还真的不容易，没有口诀真的不行，下面这个口诀要记牢： 一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。29 你能按顺序继续写下去吗？试试看吧！ 幻方（第三课时） 根据上讲中的方法，把口诀运用到所有的奇数幻方中，可以继续填写七阶幻方、九阶幻方、十一阶幻方……，本讲，我们继续试着填写七阶幻方和九阶幻方。 【思路点拨】 再来重温一下口诀吧！
小学奥数基础教程（四年级） 第1讲速算与巧算（一） 第2讲速算与巧算（二） 第3讲高斯求和 第4讲 4，8，9整除的数的特征 第5讲弃九法 第6讲数的整除性（二） 第7讲找规律（一） 第8讲找规律（二） 第9讲数字谜（一） 第10讲数字谜（二） 第11讲归一问题与归总问题 第12讲年龄问题 第13讲鸡兔同笼问题与假设法 第14讲盈亏问题与比较法（一） 第15讲盈亏问题与比较法（二） 第16讲数阵图（一） 第17讲数阵图（二） 第18讲数阵图（三） 第19将乘法原理 第20讲加法原理（一） 第21讲加法原理（二） 第22讲还原问题（一） 第23讲还原问题（二） 第24讲页码问题 第25讲智取火柴 第26讲逻辑问题（一） 第27讲逻辑问题（二） 第28讲最不利原则 第29讲抽屉原理（一） 第30讲抽屉原理（二） 第1讲速算与巧算（一） 计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思 维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。 我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补 速算法。 例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下： 86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。 求这10名同学的总分。 分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，这些数 虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。于是得到 总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11- ＝800＋9＝809。 实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。为了清楚起见，将这一过程表示如下：
小学奥数教程最完美 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-
目录 第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷 (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一） (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27) 综合演练 (31) 第一讲幻方（第一课时） 【知识概述】 在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻
方。（n 是几就表示为几阶幻方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。 例题讲学 例1 在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填【 和为15】 【思路分析】 这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀： 二、四为肩，六、八为足， 左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】 试试填一填吧！
幻方（第二课时） 知识概述： 上一讲中，我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。 例题：在一个5×5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。先试试看！ 看样子，要想顺利填写好这么多的表格，还真的不容易，没有口诀真的不行，下面这个口诀要记牢： 一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。 2 9
1．和差倍问题 【和差问题】【和倍问题】【差倍问题】 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系 公式? ①(和－差)÷2=较小数较小数＋差=较大数和－较小数=较大数 ②(和＋差)÷2=较大数较大数－差=较小数和－较大数=较小数 和÷(倍数＋1)=小数小数×倍数=大数和－小数=大数 差÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数小数＋差=大数 关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3．归一问题的基本特点：
问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题根据题目中的条件确定并求出单一量； 4．植树问题 基本类型? ①在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树； ②在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树； ③在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树；④封闭曲线上植树。 基本公式棵数=段数＋1?棵距×段数=总长 棵数=段数－1?棵距×段数=总长 棵数=段数棵距×段数=总长 关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5．鸡兔同笼问题 基本概念鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式 ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题找出总量的差与单位量的差。 6．盈亏问题 基本概念一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量． 基本思路先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．基本题型
小学奥数基础教程（四年级）第1讲速算与巧算（一） 第2讲速算与巧算（二） 第3讲高斯求和 第4讲 4，8，9整除的数的特征 第5讲弃九法 第6讲数的整除性（二） 第7讲找规律（一） 第8讲找规律（二） 第9讲数字谜（一） 第10讲数字谜（二） 第11讲归一问题与归总问题 第12讲年龄问题 第13讲鸡兔同笼问题与假设法 第14讲盈亏问题与比较法（一） 第15讲盈亏问题与比较法（二） 第16讲数阵图（一） 第17讲数阵图（二） 第18讲数阵图（三） 第19将乘法原理 第20讲加法原理（一） 第21讲加法原理（二） 第22讲还原问题（一） 第23讲还原问题（二）
第24讲页码问题 第25讲智取火柴 第26讲逻辑问题（一） 第27讲逻辑问题（二） 第28讲最不利原则 第29讲抽屉原理（一） 第30讲抽屉原理（二） 第1讲速算与巧算（一） 计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。 我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。 例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下： 86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。 求这10名同学的总分。 分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下： 6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。于是得到
勇于尝试，把握过程，关注细节 目录 第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷 (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一） (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27)
综合演练 (31) - 1 - 勇于尝试，把握过程，关注细节 第一讲幻方（第一课时） 【知识概述】 在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。（n 是几就表示为几阶幻方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。 例题讲学 在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能1例遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填？【和为15】
【思路分析】 这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀： 二、四为肩，六、八为足， 左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】 试试填一填吧！ - 2 - 勇于尝试，把握过程，关注细节 （第二课时）幻方 知识概述：的幻方，其实在幻方的知识世3×3上一讲中，我们讲述了如何填写像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我7……×5、7×3界里，像3×、5 们将来学习如何填写五阶幻方。个横列、使51-25这25个数字，×例题：在一个55的方格中，填入2个斜列所加之和都相等。先试试看！5个竖列、
表格，还真的的好这么多利要看样子，想顺填写牢：要个口诀记不行，下真不容易，没有口诀的面这一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边9 2 放，双出占位写下方。 8 1 7 5 6 4 10 - 3 - 勇于尝试，把握过程，关注细节 310 9 2 11
2020-2021小学奥数教程∶比例和反比例计算题 一、比例和反比例 1．工人铺一条路，用边长4分米的方砖铺需要500块，如果改用边长5分米的方砖铺，需要多少块？ 【答案】解：设需要x块， 4×4×500＝5×5×x 25x＝8000 x＝320 答：如果改用边长5分米的方砖铺地，需要320块。 【解析】【分析】此题主要考查了反比例应用题，这条路的总面积是一定的，每块砖的面积与铺的块数成反比例，据此列比例解答. 2．如果10千克菜籽可以榨6.5千克菜油，那么有这种菜籽360千克，可以榨多少千克油?（用比例解） 【答案】解：设可以榨x千克油。 10：6.5=360：x 10x=6.5×360 x=2340÷10 x=234 答：可以榨油234千克。 【解析】【分析】菜籽的重量和榨油的质量的比值是不变的，二者成正比例，设出未知数，根据正比例关系列出比例，解比例求出可以榨油的重量即可。 3．表中x和y是两个成比例的量，观察表格并填完整。 X36181210 y51020 X361812109 y510151820 空位中x和y的值。 4．甲乙两地相距440千米，一辆汽车从甲地开往乙地，3时行了240千米，照这样计算，几小时可以到达乙地？（用比例解） 【答案】解：设小时可以到达乙地，
答：5.5小时可以到达乙地。 【解析】【分析】“照这样计算”的意思就是汽车的速度不变，路程与时间成正比例；设出未知数，根据速度不变列出比例，解比例求出到达乙地的速度即可。 5．小明打算12天看完一本故事书，平均每天看15页。如果要提前2天看完，平均每天应看多少页?(用比例知识解) 【答案】解：设平均每天应看x页，则 （12-2）x=12×15 x=18 答：平均每天应看15页。 【解析】【分析】根据故事书的总页数不变可得等量关系式：实际看的天数×实际平均每天应看多少页=计划看的天数×计划平均每天看多少页，据此代入数据列方程解答即可。 6．30kg花生仁能榨出花生油12kg。照这样计算，要榨出48t花生油,需要花生仁多少吨? 【答案】解：设需要花生仁x吨， 12：30=48：x 12x=30×48 x=1440÷12 x=120 答：需要花生仁120t. 【解析】【分析】花生油的出油率是不变的，花生仁的质量和花生油的质量成正比例，设出未知数，根据出油率不变列出比例解答即可. 7．一批零件20人去做需要15天，照这样计算，如果增加5人，几天可以做完？ 【答案】解：20×15÷(20+5) =300÷25 =12(天) 答：12天可以做完. 【解析】【分析】做这批零件的工作量是不变的，用20乘15求出工作量，然后除以现在的人数即可求出可以做完的天数. 8．圆柱的高一定，圆柱的体积和底面积成________比例；圆柱的侧面积一定，底面周长和高成________比例。
小学数学奥数基础教程(五年级) 本教程共30讲 最大公约数与最小公倍数（一） 如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a 的约数。 如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。自然数a1，a2，…，a n的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，a n）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。 如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。自然数a1，a2，…，a n的最小公倍数通常用符号[a1，a2，…，a n]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。 常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。 例1 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？ 分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。 所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5（元）。 为节约篇幅，除必要时外，在求最大公约数和最小公倍数时，将不再写出短除式。 例2 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？
4-1-3.角度计算 知识点拨 一、角 1、角的定义：自一点引两条射线所成的图形叫角 2、表示角的符号：∠ 3、角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角这10种 （1）锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。 （2）直角：等于90°的角叫做直角。 （3）钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。 （4）平角：等于180°的角叫做平角。 （5）优角：大于180°小于360°叫优角。 （6）劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。 （7）周角：等于360°的角叫做周角。 （8）负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。 （9）正角：逆时针旋转的角为正角。 （10）0角：等于零度的角。 4、角的大小：角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大， 角就越大，相反，张开的越小，角则越小。 二、三角形 1、三角形的定义：由三条边首尾相接组成的封闭图形叫做三角形 2、内角和：三角形的内角和为180度； 外角：（1）三角形的一个外角等于另外两个内角的和； （2）三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。 3、三角形的分类 （1）按角分：锐角三角形：三个角都小于90度。 直角三角形：有一个角等于90度。 钝角三角形：有一个角大于90度。 注：锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形 （2）按边分：不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形）。 模块一、角度计算 【例1】有下列说法： (1)一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角， (2)一个钝角减去一个锐姥，得到的角不可能还是钝角． (3)三角形的三个内麓中至多有一个钝角． (4)三角形的三个内角中至少有两个锐角． (5)三角形的三个内角可以都是锐角． (6)直角三角形中可胄邕有钝角． (7)25?的角用10倍的放大镜看就变成了250? 其中，正确说法的个数是 【考点】角度计算【难度】3星【题型】填空 【解析】几何问题(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法． 【答案】(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法 【例2】下图是3×3的正方形方格，∠1与∠2相比，较大的是_____。
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目录 第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷 (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一） (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27) 综合演练 (31)
第一讲幻方（第一课时） 【知识概述】 在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。（n 是几就表示为几阶幻方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。 例题讲学 例1在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填？【和为15】 【思路分析】 这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀： 二、四为肩，六、八为足， 左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】试试填一填吧！
幻方 （第二课时） 知识概述： 上一讲中，我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。 例题：在一个5×5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。先试试看！ 看 样 子 ，要 想 顺 利 填 写 好 这 么 多 的 表格，还真 的 不容易，没有 口诀 真 的 不行，下 面这 个 口诀 要 记 牢： 一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。
加减法中的简便运算 一：凑整法 例1、计算2+4+6+8+10+12+14+16+18 随堂练习1、11+13+15+17+19+21+23+25+27+29 例2、计算2+12+16+18+17+12+13 随堂练习2、计算1+13+15+17+11+14+!9 例3、计算9+18+17+26+11+19 随堂练习3、8+17+16+25+13+12+19
例4、计算3998+407+89 随堂练习4、798+4003+91 二：灵活应用运算法则，改变运算顺序，使运算过程中尽量出现小的数或相同的数例5、38+37—36—35+34+33—32—31+30+29—28—27+26 随堂练习5、40+39+38—37—36—35+34+33+32—31—30—29+28+27+26—25—24—23 例6、15+14—13+12+11—10+9+8—7+6+5—4+3+2—1 随堂练习6、50+49+48—47+46+45+44—43+42+41+40—39
例7、（2+4+6+8+10）—（1+3+5+7+9） 随堂练习7、（2+4+6+......+20）—(1+3+5+7+9+ (19) 1、同级运算：括号外面是减号的，添上或去掉括号，括号里面的加减符号要改变，加号 要变成减号，减号要变成加号 括号外面是加号的，添上或去掉括号，不变 去括号后，可以将数与前面的符号一起移动（带着符号搬家），第一个数前面的为加号可以省略 2、简便计算方法：（1）加法A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) （2）减法A-B-C=A-(B+C) A-B+C=A-(B-C) 例1、运用加法中的凑整计算： 64+97 999+99+9
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1．和差倍问题 【和差问题】【和倍问题】【差倍问题】 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系 公式 ①(和－差)÷2=较小数较小数＋差=较大数和－较小数=较大数 ②(和＋差)÷2=较大数较大数－差=较小数和－较大数=较小数 和÷(倍数＋1)=小数小数×倍数=大数和－小数=大数 差÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数小数＋差=大数 关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3．归一问题的基本特点： 问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题根据题目中的条件确定并求出单一量； 4．植树问题
基本类型 ①在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树； ②在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树； ③在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树；④封闭曲线上植树。 基本公式棵数=段数＋1棵距×段数=总长 棵数=段数－1棵距×段数=总长 棵数=段数棵距×段数=总长 关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5．鸡兔同笼问题 基本概念鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路 ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式
1. 学习完全平方数的性质； 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N 为完全平方数?自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因 数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则 2|n p N ． 性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个 位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 模块一、完全平方数计算及判断 【例 1】 已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方? 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-4-4.完全平方数及应用（一）
实用文档 文案大全 目录 第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷 (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一）.............................................13 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27) 综合演练…………………………………………………….…
实用文档 文案大全 第一讲幻方（第一课时） 【知识概述】 在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。（n 是几就表示为几阶幻方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。例题讲学 例1在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填？【和为15】
【思路分析】 这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀： 二、四为肩，六、八为足， 左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】 试试填一填吧！ 实用文档 文案大全 幻方（第二课时） 知识概述： 上一讲中，我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。 例题：在一个5×5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。先试试看！
看样子，要想顺利填写好这么多的表格，还真的 不容易，没有口诀真的不行，下面这个口诀要记牢：一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。 2 9 1 5 74 6 10 3 11 2
小学奥数教程完美版 2018.1.18 目录 第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷......................................... . (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一） (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27) 综合演练............................................................. (31)
第一讲 幻方（第一课时） 【知识概述】 在一个n X n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。（n 是几就表示为几阶幻方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。 例题讲学 例1在一个3X 3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎 样填？【和为15】 【思路分析】 这样的3X3幻方，在填写时有一定的规律和口诀: 、四为肩，六、八为足， 左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】 试试填一填吧!
幻方（第二课时）知识概述: 上一讲中，我们讲述了如何填写3X 3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3 X 3、5X 5、7X 7 像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲 我们将来学习如何填写五阶幻方。 例题：在一个5X 5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。先试试看！ 不容易，没有口诀真的不行，下面这个口诀要记牢： 一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。 你能按顺序继续写下去吗？试试看吧!
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1．和差倍问题【和差问题】【和倍问题】【差倍问题】 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系 公式? ①(和－差)÷2=较小数较小数＋差=较大数和－较小数=较大数 ②(和＋差)÷2=较大数较大数－差=较小数和－较大数=较小数 和÷(倍数＋1)=小数小数×倍数=大数和－小数=大数 差÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数小数＋差=大数 关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3．归一问题的基本特点： 问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题根据题目中的条件确定并求出单一量； 4．植树问题 基本类型? ①在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树；
②在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树； ③在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树；④封闭曲线上植树。 基本公式棵数=段数＋1?棵距×段数=总长 棵数=段数－1?棵距×段数=总长 棵数=段数棵距×段数=总长 关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5．鸡兔同笼问题 基本概念鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路 ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式 ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题找出总量的差与单位量的差。
小学奥数教程∶比例和反比例计算题 一、比例和反比例 1．同一时间、同一地点测得的树高和它的影长如下表： 树高/米2346… 影长/米1.62.43.24.8… （2）树高和影长成什么比例?为什么？ （3）量得一颗大树的影长是10.4米，这棵大树有多高？ 【答案】（1） （2）解：成正比例。 因为 =1.25， =1.25， =1.25， =0.8（一定）， 所以，树高和影长成正比例。 （3）解：设这棵大树的高度是x米。 = 1.6x=2×10.4 1.6x=20.8 1.6x÷1.6=20.8÷1.6 x=13
答：这棵大树的高度是13米。 【解析】【分析】（1）观察统计图可知，横轴表示树高，竖轴表示影长，据此先描点，再连线，据此作图； （2）分别用树高：影长，求出比值，当比值一定时，成正比例，据此判断； （3）根据题意可知，设这棵大树的高度是x米，用树高：影长=树高：影长，据此列正比例解答. 2．王叔叔开车从甲地到乙地，一共用了3小时，每小时行80km，原路返回每小时行100km。返回时用了多长时间？ 【答案】解：设返回时用了x小时， 100x=80×3 100x=240 100x÷100=240÷100 x=2.4 答：返回时用了2.4小时. 【解析】【分析】根据题意可知，从甲地到乙地的路程是一定的，速度与时间成反比例，据此列比例解答. 3．把一瓶果汁平均分成若干杯，分的杯数和每杯的果汁量如下表。 分的杯数/杯6543 每杯的果汁量/mL100120（）200 （2）分的杯数和每杯的果汁量有什么关系?为什么？ （3）如果把这些果汁平均分成10杯，每杯的果汁量是多少毫升？ 【答案】（1）150 （2）解：成反比例，因为每杯的果汁量×分的杯数=果汁总量。 （3）解：6×100÷10=60（毫升） 答：每杯的果汁量是60毫升。 【解析】【解答】解：（1）100×6÷4=150（mL） 【分析】（1）这瓶果汁的总量不变，用总量除以4即可求出每杯的容量； （2）根据正反比例关系的意义确定这两个量的关系； （3）用果汁总量除以10即可求出每杯果汁的容量。 4．某工程队要铺设一条公路，前20天已铺设了2.8千米，照这样计算，剩下的4.2千
目录第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷 (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一） (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27) 综合演练 (31) 第一讲幻方（第一课时） 【知识概述】 在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般
分为奇数幻方和偶数幻方。（n 是几就表示为几阶幻 方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。 例题讲学 例1在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填？【和为15】 【思路分析】 这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀： 二、四为肩，六、八为足， 左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】 试试填一填吧！ 幻方（第二课时） 知识概述：
上一讲中，我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。 例题：在一个5×5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。先试试看！ 看样子，要想顺利填写好这么多的表格，还真的不容易，没有口诀真的不行，下面这个口诀要记牢：一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。 幻方（第三课时）
根据上讲中的方法，把口诀运用到所有的奇数幻方中，可以继续填写七阶幻方、九阶幻方、十一阶幻方……，本讲，我们继续试着填写七阶幻方和九阶幻方。 【思路点拨】 再来重温一下口诀吧！ 一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。 ①把1-49这49个数字填入下面方格内，使得所有的横、 ②把1-81这81个数字填入下面表方格 内，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相 等。 幻方（第四课时） 上面三讲我们学习了奇数幻方的填法，那么偶数幻方该怎样填呢？下面这节课我们将来学习四阶幻方的填法。 例题讲学 将1-16这16个数填入下面这个4×4的方格内，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等。 【思路点拨】
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目录 第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷 (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一） (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27) 综合演练 (31) 第一讲幻方（第一课时） 【知识概述】
在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。（n 是几就表示为几阶幻方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。 例题讲学 例1 在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填？【和为15】 【思路分析】 这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀： 二、四为肩，六、八为足， 左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】 试试填一填吧！
幻方（第二课时） 知识概述： 上一讲中，我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。 例题：在一个5×5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。先试试看！ 看样子，要想顺利填写好这么多的表格，还真的不容易，没有口诀真的不行，下面这个口诀要记牢： 一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。 2 9
目录 第一讲奇妙的幻方......................................................３练习卷......................................................． (9) 第二讲可能性的大小(游戏与对策) (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一) (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇(相遇问题） (22) 练习卷............................................................2６第六讲公因数与公倍数 (27) 综合演练 (31)
第一讲幻方（第一课时） 【知识概述】 在一个n×ｎ的正方形方格中，填入一些连续的数字,使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。（n 是几就表示为几阶幻方)。本讲,我们将来学习这方面的知识。 例题讲学 例１在一个３×３的表格内，填入１-9九个数，（不能重复，不能遗漏)，使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填?【和为15】 【思路分析】 这样的3×3幻方,在填写时有一定的规律和口诀: 二、四为肩,六、八为足， 左七右三，戴九履一,五为中央。【注:戴指头，履指脚。】试试填一填吧！
幻方（第二课时） 知识概述: 上一讲中,我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。 例题：在一个５×5的方格中,填入1-25这2５个数字，使５个横列、5个竖列、２个斜列所加之和都相等。先试试看! 看样子，要想顺利填写好这么多的表格，还真的不容易,没有口诀真的不行，下面这个口诀要记牢:一居首行正中央,依次斜向右上方,右出框时左边写，上出框时下边放,双出占位写下方。
小学奥数教程∶比例和反比例计算 题 一、比例和反比例 1．同一时间、同一地点测得的树高和它的影长如下表： 树高 /米2346 影长/米 1.62.43.24.8 3）量得一颗大树的影长是10.4 米，这棵大树有多高？ 答案】（1） 2）解：成正比例。 1.6x=2 × 10.4 1.6x=20.8 1.6x ÷ 1.6=20.8 ÷ 1.6 x=13 答：这棵大树的高度是13 米。 因为=1.25，=1.25，=1.25，=0.8（一定），所以，树高和影长成 正比例。 3）解：设这棵大树的高度是x 米。
【解析】【分析】（1）观察统计图可知，横轴表示树高，竖轴表示影长，据此先描点，再连线，据此作 图； （2）分别用树高：影长，求出比值，当比值一定时，成正比例，据此判断；（3）根据题意可知，设这棵大 树的高度是x 米，用树高：影长=树高：影长，据此列正比 例解答. 2．王叔叔开车从甲地到乙地，一共用了 3 小时，每小时行80km ，原路返回每小时行 100km。返回时用了多长时间？ 【答案】解：设返回时用了x 小时， 100x=80 ×3 100x=240 100x ÷ 100=240 ÷100 x=2.4 答：返回时用了2.4 小时. 【解析】【分析】根据题意可知，从甲地到乙地的路程是一定的，速度与时间成反比例，据此列比例解答. 3．把一瓶果汁平均分成若干杯，分的杯数和每杯的果汁量如下表。 （）请把上表补充完整。 （2）分的杯数和每杯的果汁量有什么关系?为什么？ （3）如果把这些果汁平均分成10 杯，每杯的果汁量是多少毫升？ 【答案】（1）150 （2）解：成反比例，因为每杯的果汁量×分的杯数=果汁总量。 （3）解：6×100÷10=6（0 毫升） 答：每杯的果汁量是60 毫升。 【解析】【解答】解：（1）100×6÷4=15（0 mL） 分析】（1）这瓶果汁的总量不变，用总量除以 4 即可求出每杯的容量； 2）根据正反比例关系的意义确定这两个量的关系； 3）用果汁总量除以10 即可求出每杯果汁的容量。 4．某工程队要铺设一条公路，前20 天已铺设了2.8 千米，照这样计算，剩下的4.2 千米，还要多少天才能铺完?（用比例解） 【答案】解：设还要x 天才能铺完。 2.8∶20=4.2∶x