时域采样理论与频域采样定理验证
一、实验目的
1时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。 二、实验原理及方法
时域采样定理的要点是：
(a)对模拟信号)(t x a 以间隔T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱)(?Ωj X
是原模拟信号频谱()a
X j Ω以采样角频率s Ω（T s
/2π=Ω）为周期进行周期延拓。公
式为：
)](?[)(?t x FT j X a
a =Ω
)(1∑
∞
-∞
=Ω-Ω=n s a jn j X T
（b ）采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的 频谱不产生频谱混叠。
利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便用计算机上进行实验。
理想采样信号)(?t x
a 和模拟信号)(t x a 之间的关系为： ∑∞
-∞
=-=n a a nT t t x t x
)()()(?δ
对上式进行傅立叶变换，得到：
dt e
nT t t x j X t
j n a a
Ω-∞
∞
-∞
-∞
=?
∑-=Ω])()
([)(?δ
dt e
nT t t x t
j n a Ω-∞
-∞
=∞
∞
-∑?
-)()( δ＝
在上式的积分号内只有当nT t =时，才有非零值，因此：
∑∞
-∞
=Ω-=Ωn nT
j a
a
e
nT x
j X )()(?
上式中，在数值上)(nT x a ＝)(n x ，再将T Ω=ω代入，得到：
∑∞
-∞
=-=Ωn n
j a
e
n x j X ω)()(?
上式的右边就是序列的傅立叶变换)(ωj e X ，即
T
j a
e X j X Ω==Ωωω)()(?
上式说明理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到，只要将自变
量ω用T Ω代替即可。 频域采样定理的要点是： a) 对信号x(n)的频谱函数X(e
j ω
)在[0，2π]上等间隔采样N 点，得到
2()()
, 0,1,2,,1j N k
N
X k X e
k N ω
πω===-
则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列就是原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后的主值区序列，公式为：
()ID FT[()][()]()N N N N i x n X k x n iN R n ∞
=-∞
==+∑
(b)由上式可知，频域采样点数N 必须大于等于时域离散信号的长度M(即N ≥M)，才能使时域不产生混叠，则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列()N x n 就是原序列x(n),即()N x n =x(n)。如果N>M ，()N x n 比原序列尾部多N-M 个零点；如果N 在数字信号处理的应用中，只要涉及时域或者频域采样，都必须服从这两个采样理论的要点。 对比上面叙述的时域采样原理和频域采样原理，得到一个有用的结论，这两个采样理论具有对偶性：“时域采样频谱周期延拓，频域采样时域信号周期延拓”。因此放在一起进行实验。 三、实验内容及步骤 （1）时域采样理论的验证。 给定模拟信号，)()sin()(0t u t Ae t x t a Ω=-α 式中A =444.128，α=502π，0Ω=502πrad/s ，它的幅频特性曲线如图10.2.1 图10.2.1 )(t x a 的幅频特性曲线 现用DFT(FFT)求该模拟信号的幅频特性，以验证时域采样理论。 安照)(t x a 的幅频特性曲线，选取三种采样频率，即s F =1k Hz ，300Hz ，200Hz 。观测时间选ms T p 50=。为使用DFT ，首先用下面公式产生时域离散信号，对三种采样频率，采样序列按顺序用)(1n x ，)(2n x ，)(3n x 表示。 )()sin()()(0nT u nT Ae nT x n x nT a Ω==-α 因为采样频率不同，得到的)(1n x ，)(2n x ，)(3n x 的长度不同， 长度（点数）用公式s p F T N ?=计算。选FFT 的变换点数为M=64，序列长度不够64的尾部加零。 X (k )=FFT[x (n )] ， k =0,1,2,3,-----,M -1 式中k 代表的频率为 k M k πω2=。 要求： 编写实验程序，计算)(1n x 、)(2n x 和)(3n x 的幅度特性，并绘图显示。观察分析频谱混叠失真。 （2）频域采样理论的验证。 给定信号如下： ?? ? ??≤≤-≤≤+=其它 02614271301)(n n n n n x 编写程序分别对频谱函数()FT[()]j X e x n ω =在区间]2,0[π上等间隔采样 32 和16点，得到)()(1632k X k X 和： 32232 ()() , 0,1,2,31j k X k X e k ω πω= == 16216 ()() , 0,1,2,15j k X k X e k ω πω= == 再分别对)()(1632k X k X 和进行32点和16点IFFT ，得到)()(1632n x n x 和： 323232()I F F T [()] , 0,1,2,,31x n X k n == 161616()I F F T [()] , 0,1,2, ,15 x n X k n == 分别画出()j X e ω、)()(1632k X k X 和的幅度谱，并绘图显示x (n)、)()(1632n x n x 和的波形，进行对比和分析，验证总结频域采样理论。 提示：频域采样用以下方法容易变程序实现。 ① 直接调用MATLAB 函数fft 计算3232()FFT[()]X k x n =就得到()j X e ω 在]2,0[π的 32点频率域采样 ② 抽取32()X k 的偶数点即可得到()j X e ω 在]2,0[π的16点频率域采样16()X k ，即 1632()(2) , 0,1,2,,15X k X k k == 。 ○ 3 当然也可以按照频域采样理论，先将信号x (n)以16为周期进行周期延拓，取其主值区（16点），再对其进行16点DFT(FFT),得到的就是()j X e ω 在]2,0[π的16点频率域采 样16()X k 。 四、思考题 如果序列x(n)的长度为M ，希望得到其频谱()j X e ω 在]2,0[π上的N 点等间隔采样， 当N 五、实验报告及要求 (1) 运行程序,打印要求显示的图形。 (2) 分析比较实验结果，简述由实验得到的主要结论。 (3) 简要回答思考题。 (4) 附上程序清单和有关曲线。 六、程序清单和信号波形 1、时域采样理论的验证 程序清单： % 时域采样理论验证程序 Tp=64/1000; %观察时间Tp=64微秒 %产生M长采样序列x(n) % Fs=1000;T=1/Fs; Fs=1000;T=1/Fs; M=Tp*Fs;n=0:M-1; f=n*Fs/M; A=444.128;alph=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5; xn=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T); Xk=T*fft(xn,M);%M点FFT[xnt)] subplot(3,1,1); plot(f,abs(Xk)); xlabel('f/Hz'); ylabel('|x1(jf)|'); title('x1(n)的幅度特性'); %=============================================================== ===== %Fs=300Hz Tp=64/1000; %观察时间Tp=64微秒 %产生M长采样序列x(n) % Fs=1000;T=1/Fs; Fs=300;T=1/Fs; M=Tp*Fs;n=0:M-1; f=n*Fs/M; A=444.128;alph=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5; xn=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T); Xk=T*fft(xn,M);%M点FFT[xnt)] subplot(3,1,1); plot(f,abs(Xk)); xlabel('f/Hz'); ylabel('|x1(jf)|'); title('x1(n)的幅度特性'); %=============================================================== ===== %Fs=200Hz Tp=64/1000; Fs=200;T=1/Fs; M=Tp*Fs;n=0:M-1; A=444.128;alph=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5; xnt=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T); Xk=T*fft(xnt,M); yn='xa(nT)';subplot(3,2,5); tstem(xnt,yn); box on; title('(a) Fs=1000Hz'); k=0:M-1;fk=k/Tp; subplot(3,2,6);plot(fk,abs(Xk));title('(a) T*FT[xa(nT)],Fs=1000Hz'); xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度');axis([0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk))]); 信号波形： 2、频域采样理论的验证 程序清单： M=27;N=32;n=0:M; %产生M长三角波序列x(n) xa=0:floor(M/2); xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=[xa,xb]; Xk=fft(xn,1024); %1024点FFT[x(n)], 用于近似序列x(n)的TF X32k=fft(xn,32) ;%32点FFT[x(n)] x32n=ifft(X32k); %32点IFFT[X32(k)]得到x32(n) X16k=X32k(1:2:N); %隔点抽取X32k得到X16(K) x16n=ifft(X16k,N/2); %16点IFFT[X16(k)]得到x16(n) subplot(3,2,2);stem(n,xn,'.');box on title('(b) 三角波序列x(n)');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis([0,32,0,20]) k=0:1023;wk=2*k/1024; % subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk));title('(a)FT[x(n)]'); xlabel('\omega/\pi');ylabel('|X(e^j^\omega)|');axis([0,1,0,200]) k=0:N/2-1; subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),'.');box on title('(c) 16点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_1_6(k)|');axis([0,8,0,200]) n1=0:N/2-1; subplot(3,2,4);stem(n1,x16n,'.');box on title('(d) 16点IDFT[X_1_6(k)]');xlabel('n');ylabel('x_1_6(n)');axis([0,32,0,20]) k=0:N-1; subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),'.');box on title('(e) 32点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_3_2(k)|');axis([0,16,0,200]) n1=0:N-1; subplot(3,2,6);stem(n1,x32n,'.');box on title('(f) 32点IDFT[X_3_2(k)]');xlabel('n');ylabel('x_3_2(n)');axis([0,32,0,20]) 信号波形： 思考题简答 先对原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后取主值区序列， ()[()]()N N i x n x n iN R n ∞ =-∞ =+∑ 再计算N 点DFT 则得到N 点频域采样： 2()D FT[()] =() , 0,1,2,,1j N N N k N X k x n X e k N ω πω= ==- 七、实验总结 1由图可见，采样序列的频谱的确是以采样频率为周期对模拟信号频谱的周期延拓。 当采样频率为1000Hz 时频谱混叠很小；当采样频率为300Hz 时，在折叠频率150Hz 附近频谱混叠很严重；当采样频率为200Hz 时，在折叠频率110Hz 附近频谱混叠更很严重。 2频域采样定理的图验证了频域采样理论和频域采样定理。对信号x(n)的频谱函数X(ej ω)在[0，2π]上等间隔采样N=16时， N 点IDFT[ () N X k ]得到的 序列正是原序列x(n)以16为周期进行周期延拓后的主值区序列： 实验二 时域采样与频域采样 学校:西南大学 班级:通信工程班 一、实验目的 时域采样理论与频域采样理论就是数字信号处理中的重要理论。要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化,以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息;要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念,以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。 二、实验原理 时域采样定理的要点就是采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上, 才 能使采样信号的频谱不产生频谱混叠。 频域采样定理的要点就是: a) 对信号x(n)的频谱函数X(e j ω)在[0,2π]上等间隔采样N 点,得到 2()() , 0,1,2,,1j N k N X k X e k N ωπω===- 则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列就就是原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后的主值区序列,公式为 ()IDFT[()][ ()]()N N N N i x n X k x n iN R n ∞=-∞==+∑ b) 由上式可知,频域采样点数N 必须大于等于时域离散信号的长度M(即N ≥M),才能使时域不产生混叠,则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列()N x n 就就是原序列x(n),即()N x n =x(n)。如果N>M,()N x n 比原序列尾部多N-M 个零点;如果N 设计出一套完整的系统，对信号进行频谱分析和滤波处理； 1．产生一个连续信号，包含低频，中频，高频分量，对其进行采样，进行频谱分析，分别设计三种高通，低通，带通滤波器对信号进行滤波处理，观察滤波后信号的频谱。 2.采集一段含有噪音的语音信号（可以录制含有噪音的信号，或者录制语音后再加进噪音信号），对其进行采样和频谱分析，根据分析结果设计出一合适的滤波器滤除噪音信号。 %写上标题 %设计低通滤波器： [N,Wc]=buttord() %估算得到Butterworth低通滤波器的最小阶数N和3dB截止频率Wc [a,b]=butter(N,Wc); %设计Butterworth低通滤波器 [h,f]=freqz(); %求数字低通滤波器的频率响应 figure(2); % 打开窗口2 subplot(221); %图形显示分割窗口 plot(f,abs(h)); %绘制Butterworth低通滤波器的幅频响应图 title(巴氏低通滤波器''); grid; %绘制带网格的图像 sf=filter(a,b,s); %叠加函数S经过低通滤波器以后的新函数 subplot(222); plot(t,sf); %绘制叠加函数S经过低通滤波器以后的时域图形 xlabel('时间(seconds)'); ylabel('时间按幅度'); SF=fft(sf,256); %对叠加函数S经过低通滤波器以后的新函数进行256点的基—2快速傅立叶变换 w= %新信号角频率 subplot(223); plot()); %绘制叠加函数S经过低通滤波器以后的频谱图 title('低通滤波后的频谱图'); %设计高通滤波器 [N,Wc]=buttord() %估算得到Butterworth高通滤波器的最小阶数N和3dB截止频率Wc [a,b]=butter(N,Wc,'high'); %设计Butterworth高通滤波器 [h,f]=freqz(); %求数字高通滤波器的频率响应 figure(3); subplot(221); plot()); %绘制Butterworth高通滤波器的幅频响应图 title('巴氏高通滤波器'); grid; %绘制带网格的图像 sf=filter(); %叠加函数S经过高通滤波器以后的新函数 subplot(222); plot(t,sf); ;%绘制叠加函数S经过高通滤波器以后的时域图形 xlabel('Time(seconds)'); ylabel('Time waveform'); w; %新信号角频率 subplot(223); %1、编制一个解数论问题的函数文件：取任意整数，若是偶数，则用2除，否则乘3加1，重复此过程，直到整数变为1。 function f=NO_1(X); Y(1)=X;k=1; while (X~=1) k=k+1; if (mod(X,2)==0) X=X/2; else X=3*X+1; end Y(k)=X; end plot(Y,'b.') end % 2、编制程序产生一个数组，满足：a1=1，a2=1，从第三个元素开始，每个元素等于前两个元素的和，直到数组的前后两个元素的比值比小于1e-4，并且以红色点线的形式画出这个数组。 clear; A(1)=1; A(2)=1; i=3; Z=1; while (abs(Z)>=1e-4) A(i)=A(i-1)+A(i-2); Z=A(i-1)/A(i); i=i+1; end plot (A,'r.') % 3、编写一个函数，能够产生分段函数。function y=test_3_1(X) if (X<=2) y=*X; elseif (X>6) y=; else y=调用分段函数，绘制曲线。 clear; i=1; for j=0::2; x(i)=j;y(i)=test_3_1(j)*test_3_1(j+2); i=i+1; end plot(x,y) % 4、在2pi周期内画正弦函数曲线，并加注坐标轴标识和标题，然后在3pi/4，pi，5pi/4处分别加入带箭头的说明性文本，最后加注图例。 clear; t = 0:pi/50:2*pi; n = length(t); y = sin(t); plot(t,y,'-bo','linewidth',1) xlabel('X');ylabel('Y'); title('正弦函数曲线'); text,, ' \leftarrow 3pi/4','FontSize',18); text,, ' \leftarrow 3pi/4','FontSize',18); text,,' \leftarrow 3pi/4','FontSize',18); hleg1 = legend('sin(x)'); % 5、A为任意一个n*m矩阵，写程序来计算A 中有多少个零元素，并输出个数。 A=input('输入一个矩阵 A = ') n=length(find(A==0)) % 6、A为任意一个向量，写程序找出A中的最小元素，并且输出这个最小元素。 A=input('输入一个向量 A = '); x=length(A); i=1; y=A(i); while (i 实验三时域抽样与频域抽样 一、实验目的 1.加深理解连续时间信号的离散化过程中的数学概念和物理概念，掌握时域抽样定理（奈奎斯特采样定理）的基本内容。 2.加深对时域取样后信号频谱变化的认识。掌握由抽样序列重建原连续信号的基本原理与实现方法，理解其工程概念。 3.加深理解频谱离散化过程中的数学概念和物理概念，掌握频域抽样定理的基本内容。 二、实验原理 1.时域抽样。 时域抽样定理给出了连续信号抽样过程中信号不失真的约束条件：信号抽样频率f s 大于等于2倍的信号最高频率f m，即f s≥ 2f m。时域抽样先把连续信号x(t)变成适合数字系统处理的离散信号x[k]；然后根据抽样后的离散信号x[k]恢复原始连续时间信号x(t)完成信号重建。信号时域抽样（离散化）导致信号频谱的周期化，因此需要足够的抽样频率保证各周期之间不发生混叠；否则频谱的混叠将会造成信号失真，使原始时域信号无法准确恢复。 2.频域抽样。 非周期离散信号的频谱是连续的周期谱，计算机在分析离散信号的频谱时，必须将其连续频谱离散化。频域抽样定理给出了连续频谱抽样过程中信号不失真的约束条件：频域采样点数N 大于等于序列长度M，即N≥M。频域抽样把非周期离散信号x(n)的连续谱X(e jω)变成适合数字系统处理的离散谱X(k)；要求可由频域采样序列X(k)变换到时域后能够不失真地恢复原信号x(n)。 三、实验内容 1.已知模拟信号，分别以T s =0.01s 、0.05s 、0.1s 的采样间隔采样得到x (n )。 （1）当T=0.01s 时，采样得到x(n),所用程序为： %产生连续信号x （t ） t=0:0.001:1; x=sin(20*pi*t); subplot(4,1,1) plot(t,x,'r') hold on title('原信号及抽样信号') %信号最高频率fm 为10 Hz %按100 Hz 抽样得到序列 fs=100; n=0:1/fs:1; y=sin(20*pi*n); subplot(4,1,2) stem(n,y) 对应的图形为： ()sin(20),01a x t t t =π≤≤ 用MATLAB 进行FFT 频谱分析 假设一信号： ()()292.7/2cos 1.0996.2/2sin 1.06.0+++=t t R ππ 画出其频谱图。 分析： 首先，连续周期信号截断对频谱的影响。 DFT 变换频谱泄漏的根本原因是信号的截断。即时域加窗，对应为频域卷积，因此，窗函数的主瓣宽度等就会影响到频谱。 实验表明，连续周期信号截断时持续时间与信号周期呈整数倍关系时，利用DFT 变换可以得到精确的模拟信号频谱。举一个简单的例子： ()ππ2.0100cos +=t Y 其周期为0.02。截断时不同的持续时间影响如图一.1：（对应程序shiyan1ex1.m ） 图 错误！文档中没有指定样式的文字。.1 140.0160.0180.02 截断时，时间间期为周期整数倍，频谱图 0.0250.03 0100200300400500600 7008009001000 20 40 60 80 100 截断时，时间间期不为周期整数倍，频谱图 其次，采样频率的确定。 根据Shannon 采样定理，采样带限信号采样频率为截止频率的两倍以上，给定信号的采样频率应>1/7.92，取16。 再次，DFT 算法包括时域采样和频域采样两步，频域采样长度M 和时域采样长度N 的关系要符合M ≧N 时，从频谱X(k)才可完全重建原信号。 实验中信号R 经采样后的离散信号不是周期信号，但是它又是一个无限长的信号，因此处理时时域窗函数尽量取得宽一些已接近实际信号。 实验结果如图一.2：其中，0点位置的冲激项为直流分量0.6造成（对应程序为shiyan1.m ） 图 错误！文档中没有指定样式的文字。.2 ?ARMA （Auto Recursive Moving Average ）模型： 将平稳随机信号x(n)看作是零均值，方差为σu 2的白噪声u(n)经过线性非移变系统H(z)后的输出，模型的传递函数为 020406080100120140160180200 0.4 0.50.60.7 0.800.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5 50100 150 自动控制原理与系统课程实验报告 实验题目：利用MATLAB进行时域分析 班级：机电1131班姓名：刘润学号：38号 一、实验目的及内容 时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。在此实验中，主要介绍时域法进行系统分析，包括一阶系统、二阶系统以及高阶系统,以及系统的性能指标。通过实验，能够快速掌握、并利用MATLAB及控制系统箱对各种复杂控制系统进行时域分析。 二、实验设备 三、实验原理 典型的二阶系统在不同的阻尼比的情况下，它们的阶跃响应输出特性的差异是很大的。若阻尼比过小，则系统的振荡加剧，超调量大幅度增加；若阻尼比过大，则系统的响应过慢，又大大增加了调整时间，下面通过此实验课题分析输出响应变化规律： 已知二阶振荡环节的传递函数为：G（s）=ωn*ωn/（s*s+2*ζ*ωn*s+ωn*ωn）， 其中ωn=0.4，ζ从0变化到2，求此系统的单位阶跃响应曲线，并分析当ζ发生变化时，二阶系统的响应有什么样的变化规律。 四、实验步骤编出程序如下图： 五、实验结果画出图表如下图： 六、结果分析 （1）当ξ=0（无阻尼）（零阻尼）时： 无阻尼时的阶跃响应为等幅振荡曲线。如图ξ=0曲线。 （2）当0<ξ<1（欠阻尼）时： 对应不同的ξ，可画出一系列阻尼振荡曲线，且ξ越小，振荡的最大振幅愈大。如图ξ=0.4曲线。 (3)当ξ=1（临界阻尼）时： 临界阻尼时的阶跃响应为单调上升曲线。如图ξ=1曲线。 （4）当ξ>1（过阻尼）时： 过阻尼时的阶跃响应也为单调上升曲线。不过其上升的斜率较临界阻尼更慢。如图ξ=1.6曲线 七、教师评语 实验二：时域采样与频域采样1、时域采样理论的验证 （1）程序如下： Fs=1000;Tp=64/1000; A=444.128; a=50*2^0.5; w=50*2^0.5; n=0:63; T=1/Fs; x=A*exp(-1*a*n*T).*sin(w*n*T); w=0:0.1:4*pi; [X,w]=freqz(x,1,w); subplot(3,1,1);plot(w/pi,abs(X)); Fs=300;Tp=64/1000; A=444.128; a=50*2^0.5; w=50*2^0.5; n=0:19.2; T=1/Fs; x=A*exp(-1*a*n*T).*sin(w*n*T); w=0:0.1:4*pi; [X,w]=freqz(x,1,w); subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(X)); Fs=200; p=64/1000; A=444.128; a=50*2^0.5; w=50*2^0.5; n=0:12.8; T=1/Fs; x=A*exp(-1*a*n*T).*sin(w*n*T); w=0:0.1:4*pi; [X,w]=freqz(x,1,w); subplot(3,1,3);plot(w/pi,abs(X)) （2）运行结果如下： 2频域采样理论的验证（1）程序如下： M=26;N=32;n=0:1:M; xa=0:M/2;xb=ceil(M/2)-1:-1:0; x=[xa,xb]; w=0:2*pi/1024:2*pi; X=freqz(x,1,w); subplot(321); plot(w/pi,abs(X)); subplot(322); n=0:26; stem(n,x); m=floor(length(X)/16) n1=1:16; X1=X(m*n1-63) subplot(323); n1=0:15 stem(n1,abs(X1)) x16=ifft(X1,16) subplot(324); stem(n1,x16) m=floor(length(X)/32) n2=1:32; X2=X(m*n2-31) subplot(325); n2=0:31 stem(n2,abs(X2)) x32=ifft(X2,32) subplot(326); stem(n2,x32); （2）运行结果如下： 实验二-时域采样和频域采样 一、实验目的 时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。 二、实验原理及方法 1、时域采样定理的要点： a)对模拟信号)(t x a 以间隔T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱)(?Ωj X 是原模拟信号频谱()a X j Ω以采样角频率s Ω（T s /2π=Ω）为周期进行周期延拓 b)采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠。利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便用计算机上进行实验。 2、频域采样定理的要点： a)对信号x(n)的频谱函数X(ej ω)在[0，2π]上等间隔采样N 点 则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列就是原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后的主值区序列。 三、实验内容及步骤 1、时域采样理论的验证 程序： clear;clc A=444.128;a=50*sqrt(2)*pi;w0=50*sqrt(2)*pi; Tp=50/1000;F1=1000;F2=300;F3=200; T1=1/F1;T2=1/F2;T3=1/F3; n1=0:Tp*F1-1;n2=0:Tp*F2-1;n3=0:Tp*F3-1; x1=A*exp(-a*n1*T1).*sin(w0*n1*T1); x2=A*exp(-a*n2*T2).*sin(w0*n2*T2); x3=A*exp(-a*n3*T3).*sin(w0*n3*T3); f1=fft(x1,length(n1)); f2=fft(x2,length(n2)); % f3=fft(x3,length(n3)); % k1=0:length(f1)-1; fk1=k1/Tp; % Matlab频谱分析程序 Matlab 信号处理工具箱 谱估计专题 频谱分析 Spectral estimation （谱估计）的目标是基于一个有限的数据集合描述一个信号的功率（在频率上的）分布。功率谱估计在很多场合下都是有用的，包括对宽带噪声湮没下的信号的检测。 从数学上看，一个平稳随机过程n x 的power spectrum （功率谱）和correlation sequence （相关序列）通过discrete-time Fourier transform （离散时间傅立叶变换）构成联系。从normalized frequency （归一化角频率）角度看，有下式 ()()j m xx xx m S R m e ωω∞ -=-∞ = ∑ 注：()() 2 xx S X ωω=，其中 ()/2 /2 lim N j n n N N X x e N ωω=-=∑ πωπ -<≤。 其matlab 近似为X=fft(x,N)/sqrt(N)，在下文中()L X f 就是指matlab fft 函数的计算结果了 使用关系2/s f f ωπ=可以写成物理频率f 的函数， 其中s f 是采样频率 ()()2/s jfm f xx xx m S f R m e π∞ -=-∞ = ∑ 相关序列可以从功率谱用IDFT 变换求得： ()()()/2 2//2 2s s s f jfm f j m xx xx xx s f S e S f e R m d df f πωππ ωωπ- -= =?? 序列n x 在整个Nyquist 间隔上的平均功率可以 表示为 ()()() /2 /2 02s s f xx xx xx s f S S f R d df f ππ ωωπ- -= =?? 上式中的 ()()2xx xx S P ωωπ = 以及()()xx xx s S f P f f = 被定义为平稳随机信号n x 的power spectral density (PSD)（功率谱密度） 一个信号在频带[]1 2 1 2 ,,0ωωωω π ≤<≤上的平均功率 可以通过对PSD 在频带上积分求出 []()()2 1 121 2 ,xx xx P P d P d ωωωωωω ωωωω-- = +?? 从上式中可以看出()xx P ω是一个信号在一个无 穷小频带上的功率浓度，这也是为什么它叫做功率谱密度。 课题一： 连续时间信号和系统时域分析及MATLAB实现 课题要求： 深入研究连续时间信号和系统时域分析的理论知识。利用MATLAB强大的图形处理功能、符号运算功能以及数值计算功能，实现连续时间信号和系统时域分析的仿真波形。 课题内容： 一、用MATLAB实现常用连续时间信号的时域波形（通过改变参数，分析其时域特性）。 1、单位阶跃信号， 2、单位冲激信号， 3、正弦信号， 4、实指数信号， 5、虚指数信号， 6、复指数信号。 二、用MATLAB实现信号的时域运算 1、相加， 2、相乘， 3、数乘， 4、微分， 5、积分 三、用MATLAB实现信号的时域变换（参数变化，分析波形变化） 1、反转， 2、使移（超时，延时）， 3、展缩， 4、倒相， 5、综合变化 四、用MATLAB实现信号简单的时域分解 1、信号的交直流分解， 2、信号的奇偶分解 五、用MATLAB实现连续时间系统的卷积积分的仿真波形 给出几个典型例子，对每个例子，要求画出对应波形。 六、用MATLAB实现连续时间系统的冲激响应、阶跃响应的仿真波形。 给出几个典型例子，四种调用格式。 七、利用MATLAB实现连续时间系统对正弦信号、实指数信号的零状态响应的仿真波形。 给出几个典型例子，要求可以改变激励的参数，分析波形的变化。 课题二： 离散时间信号和系统时域分析及MATLAB实现。 课题要求： 深入研究离散时间信号和系统时域分析的理论知识。利用MATLAB强大的图 形处理功能、符号运算功能以及数值计算功能，实现离散时间信号和系统时域分析的仿真波形。 课题内容： 一、用MATLAB绘制常用信号的时域波形（通过改变参数分析其时域特性） 1、单位序列， 2、单位阶跃序列， 3、正弦序列， 4、离散时间实指数序列， 5、离散时间虚指数序列， 6、离散时间复指数序列。 二、用MATLAB实现信号的时域运算 1、相加， 2、相乘， 3、数乘。 三、用MATLAB实现信号的时域变换（参数变化，分析波形的变化） 1、反转， 2、时移（超时，延时）， 3、展缩， 4、倒相。 四、用MATLAB实现离散时间系统卷积和仿真波形 给出几个典型例子，对每个例子要求画出e(k)，h(k)，e(i)，h(i)，h(-i)，Rzs(k)波形。 五、用MATLAB实现离散时间系统的单位响应，阶跃响应的仿真波形 给出几个典型例子，四中调用格式。 六、用MATLAB实现离散时间系统对实指数序列信号的零状态响应的仿真波形 给出几个典型例子，要求可以改变激励的参数，分析波形的变化。 课题三： 连续时间信号傅里叶级数分析及MATLAB实现。 课题要求： 深入研究连续时间信号傅里叶级数分析的理论知识，利用MATLAB强大的图形处理功能，符号运算功能以及数值计算功能，实现连续时间周期信号频域分析的仿真波形。 课题内容： 一、用MATLAB实现周期信号的傅里叶级数分解与综合 以周期矩形波信号为例，绘出包含不同谐波次数的合成波形，观察合成波形与原矩形 波形之间的关系及吉布斯现象。 实验二：时域采样与频域采样 一 实验目的 时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用 二 实验原理 1 时域采样定理 对模拟信号()a x t 以T 进行时域等间隔采样，形成的采样信号的频谱?()a X j W 会以采样角频率2()s s T p W W =为周期进行周期延拓，公式为： 1??()[()]()a a a s n X j FT x t X j jn T +?=-? W==W -W ? 利用计算机计算上式并不容易，下面导出另外一个公式。 理想采样信号?()a x t 和模拟信号()a x t 之间的关系为： ?()()()a a n x t x t t nT d +? =-?=-? 对上式进行傅里叶变换，得到： ?()[()()()()j t j t a a a n n X j x t t nT e dt x t t nT e dt d d +??+??-W -W -??=-?-?W=-=-蝌邋 在上式的积分号内只有当t nT =时，才有非零值，因此: ?()()jn T a a n X j x nT e +?-W =-?W=? 上式中，在数值上()()a x nT x n =，再将T w =W 代入，得到： ?()()() jn j a a T T n X j x n e X e w w w w +?-=W =W =-?W==? 上式说明采样信号的傅里叶变换可用相应序列的傅里叶变换得到，只要将自变量ω用T Ω代替即可。 2 频域采样定理 对信号()x n 的频谱函数()j X e ω在[0，2π]上等间隔采样N 点，得到 2()()j k N X k X e w p w == 0,1,2,,1k N =-L 则有： ()[()][()]()N N N i x n IDFT X k x n iN R n +?=-? ==+? 即N 点[()]IDFT X k 得到的序列就是原序列()x n 以N 为周期进行周期延拓后的 主值序列， 因此，频率域采样要使时域不发生混叠，则频域采样点数N 必须大于等于时域离散信号的长度M （即N M 3）。在满足频率域采样定理的条件下，()N x n 就是原序列()x n 。如果N M >，则()N x n 比原序列()x n 尾部多N M -个零点，反之，时域发生混叠，()N x n 与()x n 不等。 对比时域采样定理与频域采样定理，可以得到这样的结论：两个定理具有对偶性，即“时域采样，频谱周期延拓；频域采样，时域信号周期延拓”。在数字信号处理中，都必须服从这二个定理。 三 实验内容 1. 时域采样实验: %时域采样实验 A=444.128;a=50*sqrt(2)*pi;w0=50*sqrt(2)*pi; Tp=64/1000;F1=1000;F2=300;F3=200; %观察时间，Tp=64ms T1=1/F1;T2=1/F2;T3=1/F3; %不同的采样频率 实验二：时域采样与频域采样 一、实验目的： 时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。 二、实验原理与方法： 1、时域采样定理的要点： 1）对模拟信号)(t x a 以间隔T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱 )(?Ωj X 是原模拟信号频谱()a X j Ω以采样角频率s Ω（T s /2π=Ω）为周期进行周期延拓。公式为： )](?[)(?t x FT j X a a =Ω )(1∑∞ -∞ =Ω-Ω=n s a jn j X T 2）采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的 频谱不产生频谱混叠。 利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便用计算机上进行实验。 理想采样信号)(?t x a 和模拟信号)(t x a 之间的关系为 ∑∞ -∞=-=n a a nT t t x t x )()()(?δ 对上式进行傅立叶变换，得到： dt e nT t t x j X t j n a a Ω-∞∞ -∞ -∞=?∑-=Ω])()([)(?δ dt e nT t t x t j n a Ω-∞ -∞ =∞ ∞ -∑ ? -)()( δ＝ 在上式的积分号只有当nT t =时，才有非零值，因此 ∑∞ -∞ =Ω-=Ωn nT j a a e nT x j X )()(? 上式中，在数值上)(nT x a ＝)(n x ，再将T Ω=ω代入，得到： ∑∞ -∞ =-=Ωn n j a e n x j X ω)()(? 上式的右边就是序列的傅立叶变换)(ωj e X ，即 T j a e X j X Ω==Ωωω)()(? 上式说明理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到，只 要将自变量ω用T Ω代替即可。 2、频域采样定理的要点： a) 对信号x(n)的频谱函数X(e j ω)在[0，2π]上等间隔采样N 点，得到 2()() , 0,1,2,,1j N k N X k X e k N ωπω===- 则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列就是原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后的主值区序列，公式为： ()IDFT[()][()]()N N N N i x n X k x n iN R n ∞ =-∞==+∑ b) 由上式可知，频域采样点数N 必须大于等于时域离散信号的长度M(即N ≥M)，才能使时域不产生混叠，则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列()N x n 就是原序列x(n),即()N x n =x(n)。如果N>M ，()N x n 比原序列尾部多N-M 零点；如果N 《M A T L A B电子信息应用》 课程设计 设计五 信号的频域分析及MATLAB实现 学院： 专业： 班级： 姓名： 学号： 信号的频域分析及MATLAB实现 一、设计目的 通过该设计，理解傅里叶变换的定义及含义，掌握对信号进行频域分析的方法。 二、课程设计环境 计算机 MATLAB软件 三、设计内容及主要使用函数 快速傅里叶变换的应用 1）滤波器频率响应 对特定频率的频点或该频点以外的频率进行有效滤除的电路，就是滤波器。其功能就是得到一个特定频率或消除一个特定频率，滤波器是一种对信号有处理作用的器件或电路。主要作用是：让有用信号尽可能无衰减的通过，对无用信号尽可能大的。 滤波器的类型：巴特沃斯响应（最平坦响应），贝赛尔响应，切贝雪夫响应。 滤波器冲激响应的傅里叶变换就是该滤波器的频率响应。 2)快速卷积 卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。其中表示f 的傅里叶变换。 这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。 利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为n 的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做2n - 1组对位乘法，其计算复杂度为；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。 1. 信号的离散傅里叶变换 有限长序列的离散傅里叶变换公式为： kn N j N n e n x k X )/2(10)()(π--=∑= ∑==1_0)/2()(1)(N n kn N j e k X N n x π MATLAB 函数：fft 功能是实现快速傅里叶变换，fft 函数的格式为： ),(x fft y =返回向量x 的不连续fourier 变换。 若)6 cos()(πn n x =是一个N=12的有限序列，利用MATLAB 计算 第1章 MATLAB简介 1、MA TLAB的主要特点有：①语言简洁，编程效率高。②人机界面友善，交互性好。③绘图功能强大，便于数据可视化。④学科众多、领域广泛的MATLAB工具箱。⑤源程序的开放性。 MATLAB的典型应用领域有：①自动控制②汽车③电子④仪器仪表⑤生物医学⑥信号处理⑦通信等。 2、填空题 ⑴命令窗口、命令历史窗口、当前目录窗口 ⑵查阅、保存、编辑 ⑶清除图形窗、清除命令窗口中显示内容、清除MATLAB工作空间中保存的变量。 3、如果想查看某一变量具体内容或者对其修改操作，可以在工作空间中双击该变量名称，可以打开数组编辑器，在数组编辑器中可以查看变量的具体内容，也可以对其修改。如果想删除MATLAB内存中的变量，可以在工作空间中选中该变量，然后利用工作空间窗口的菜单命令或工具条中的快捷图标进行删除。 4、1+2+3+4+5+... （+ 后面可以直接跟...，也可以在+和...中加一个空格。） 6+7+8+9 1+2+3+4+5 ... （5后面必须跟一个空格，不能直接跟...，否则报错，这在预置一个+6+7+8+9 大数组时很重要。） 第2章矩阵与数值数组 1、填空题： ⑴非数、无穷大、机器零阈值，浮点数相对精度,eps= 2.2204e-016。 ⑵全下标、单下标。 2、阅读程序题： （本题主要考察数组的寻访、赋值和简单运算，提示：带；的语句不显示结果） ⑴ans = 2 3 7 Sa = 10 20 30 A = 1 20 5 30 9 10 4 6 8 10 ⑵ A = 1 3 5 7 9 11 13 15 2 4 6 8 10 12 14 16 ans = 1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15 4 8 12 16 A = 0 0 5 7 0 0 13 15 2 4 0 0 10 12 0 0 ⑶ ans = -1 -4 6 4 ans = 3 0 5 -2 ans = 3 6 9 12 ans = 3 6 9 12 3、A=magic(4)； L=A<10 L = 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 4、省略。 第3章字符串、元胞和构架数组 1. 直接创建法：S1=['Where there is life,' 'there is hope. '] %注意第2行要加入6个空格使其与第一 行字符数相等，否则报错。 S2=str2mat('Where there is life,','there is hope.') S3=strvcat('Where there is life,','there is hope.') %后两种方法则不用考虑两行 字符的数目 2. 填空题：A（2，3）；A{2，3} 3. 阅读程序题： ⑴subch = ABc12 实验4时域采样理论与频域采样定理验证 一 一、实验目的 1时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。 二、实验原理及方法 时域采样定理的要点是： (a)对模拟信号)(t x a 以间隔T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱)(?Ωj X 是原模拟信号频谱()a X j Ω以采样角频率s Ω（T s /2π=Ω）为周期进行周期延拓。公 式为： )](?[)(?t x FT j X a a =Ω )(1∑∞ -∞ =Ω-Ω=n s a jn j X T （b ）采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的 频谱不产生频谱混叠。 利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便用计算机上进行实验。 理想采样信号)(?t x a 和模拟信号)(t x a 之间的关系为： ∑∞ -∞ =-=n a a nT t t x t x )()()(?δ 对上式进行傅立叶变换，得到： dt e nT t t x j X t j n a a Ω-∞∞ -∞ -∞ =?∑ -=Ω])()([)(?δ dt e nT t t x t j n a Ω-∞ -∞ =∞ ∞ -∑? -)()( δ＝ 在上式的积分号内只有当nT t =时，才有非零值，因此： 课程名称 实验成绩 指导教师 实 验 报 告 院系 班级 学号 姓名 日期 ∑∞ -∞ =Ω-=Ωn nT j a a e nT x j X )()(? 上式中，在数值上)(nT x a ＝)(n x ，再将T Ω=ω代入，得到： ∑ ∞ -∞ =-=Ωn n j a e n x j X ω)()(? 上式的右边就是序列的傅立叶变换)(ωj e X ，即 T j a e X j X Ω==Ωωω)()(? 上式说明理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到，只要将自变 量ω用T Ω代替即可。 频域采样定理的要点是： a) 对信号x(n)的频谱函数X(e j ω )在[0，2π]上等间隔采样N 点，得到 2()() , 0,1,2,,1j N k N X k X e k N ωπω===- 则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列就是原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后的主值区序列，公式为： ()IDFT[()][ ()]()N N N N i x n X k x n iN R n ∞ =-∞ ==+∑ (b)由上式可知，频域采样点数N 必须大于等于时域离散信号的长度M(即N ≥M)，才能使时域不产生混叠，则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列()N x n 就是原序列x(n),即()N x n =x(n)。如果N>M ，()N x n 比原序列尾部多N-M 个零点；如果N 第1章 MATLAB概论 1.1与其他计算机语言相比较，MATLAB语言突出的特点是什么？ MATLAB具有功能强大、使用方便、输入简捷、库函数丰富、开放性强等特点。 1.2 MATLAB系统由那些部分组成？ MATLAB系统主要由开发环境、MATLAB数学函数库、MATLAB语言、图形功能和应用程序接口五个部分组成。 1.4 MATLAB操作桌面有几个窗口？如何使某个窗口脱离桌面成为独立窗口？又如何将脱离出去的窗口重新放置到桌面上？ 在MATLAB操作桌面上有五个窗口，在每个窗口的右上角有两个小按钮，一个是关闭窗口的Close按钮，一个是可以使窗口成为独立窗口的Undock按钮，点击Undock按钮就可以使该窗口脱离桌面成为独立窗口，在独立窗口的view菜单中选择Dock ……菜单项就可以将独立的窗口重新防止的桌面上。 1.5 如何启动M文件编辑/调试器？ 在操作桌面上选择“建立新文件”或“打开文件”操作时，M文件编辑/调试器将被启动。在命令窗口中键入edit命令时也可以启动M文件编辑/调试器。 1.6 存储在工作空间中的数组能编辑吗？如何操作？ 存储在工作空间的数组可以通过数组编辑器进行编辑：在工作空间浏览器中双击要编辑的数组名打开数组编辑器，再选中要修改的数据单元，输入修改内容即可。 1.7 命令历史窗口除了可以观察前面键入的命令外，还有什么用途？ 页脚内容1 命令历史窗口除了用于查询以前键入的命令外，还可以直接执行命令历史窗口中选定的内容、将选定的内容拷贝到剪贴板中、将选定内容直接拷贝到M文件中。 1.8 如何设置当前目录和搜索路径，在当前目录上的文件和在搜索路径上的文件有什么区别？ 当前目录可以在当前目录浏览器窗口左上方的输入栏中设置，搜索路径可以通过选择操作桌面的file 菜单中的Set Path菜单项来完成。在没有特别说明的情况下，只有当前目录和搜索路径上的函数和文件能够被MATLAB运行和调用，如果在当前目录上有与搜索路径上相同文件名的文件时则优先执行当前目录上的文件，如果没有特别说明，数据文件将存储在当前目录上。 1.9 在MATLAB中有几种获得帮助的途径？ 在MATLAB中有多种获得帮助的途径： （1）帮助浏览器：选择view菜单中的Help菜单项或选择Help菜单中的MATLAB Help菜单项可以打开帮助浏览器； （2）help命令：在命令窗口键入“help”命令可以列出帮助主题，键入“help 函数名”可以得到指定函数的在线帮助信息； （3）lookfor命令：在命令窗口键入“lookfor 关键词”可以搜索出一系列与给定关键词相关的命令和函数 （4）模糊查询：输入命令的前几个字母，然后按Tab键，就可以列出所有以这几个字母开始的命令和函数。 注意：lookfor和模糊查询查到的不是详细信息，通常还需要在确定了具体函数名称后用help命令显示详细信息。 第2章MATLAB矩阵运算基础 页脚内容2 实验二：时域采样与频域采样 1. 实验目的 时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。 2. 实验原理与方法 ? 对模拟信号)(t x a 以间隔T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的 频谱)(?Ωj X 是原模拟信号频谱()a X j Ω以采样角频率s Ω（T s /2π=Ω）为周期进行周期延拓。公式为： )](?[)(?t x FT j X a a =Ω )(1∑∞ -∞ =Ω-Ω=n s a jn j X T ? 采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信 号的频谱不产生频谱混叠。 3. 实验内容及步骤 %物联一班 胡洪 201313060110 %2015年10月24日 %实验二：程序1 Tp=64/1000; Fs=1000;T=1/Fs;M=ceil(Tp*Fs);n=0:M-1; A=444.128;a=pi*50*2^0.5;w=pi*50*2^0.5; xnt=A*exp(-a*n*T).*sin(w*n*T); Xk=fft(xnt,M); subplot(3,2,1); stem(n,xnt,'.');axis([1,65,-5,150]); title('图1 Fs=1000Hz'); subplot(3,2,2);plot(n/Tp,abs(Xk));title('图2 Fs=1000Hz幅度'); Fs=300;T=1/Fs; M=ceil(Tp*Fs);n=0:M-1; A=444.128;a=pi*50*2^0.5;w=pi*50*2^0.5; xnt=A*exp(-a*n*T).*sin(w*n*T); Xk=fft(xnt,M); subplot(3,2,3);时域采样与频域采样 实验报告
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