高中数学求函数值域解题方法大全
一、观察法：从自变量 x 的范围出发，推出 y =
f (x ) 的取值范围。
【例 1】求函数
y = x +1 的值域。
【解析】∵
【例 2】求函数 x ≥ 0 ，∴ y = 1
x 的值域。
x +1 ≥ 1 ，
∴函数 y = x +1 的值域为[1, +∞) 。
【解析】∵ x ≠ 0 1 ≠ 0
∴ x 显然函数的值域是： (-∞,0) (0,+∞)
【例 3】已知函数 y = (x - 1)2
- 1 ， x ∈ {
- 1,0,1,2}，求函数的值域。 【解析】因为 x ∈ {-1,0,1,2}，而 f (-1)=
f (1)= -1所以： y ∈ {- 1,0,3}
f (3)= 3 ， f (0)= f (2)= 0 ，
注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为域为{y | y ≥ -1}。
，则函数的值
二．
配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如
【例 1】 求函数 y = x 2
- 2x + 5, x ∈[-1, 2] 的值域。
【解析】将函数配方得： 1,2]时， ，当
时，
∵
由二次函数的性质可知：当 x=1 ∈[-
故函数的值域是：[4，8]
【变式】已知
，求函数 的最值。
【解析】由已知
，可得
，即函数
是定义在区间
上的二
次函数。将二次函数配方得
，其对称轴方程 ，顶点坐标
，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间
内，如图 2 所示。函
F (x ) = af 2 (x ) + bf (x ) + c x ∈ R
f (x ) = ?
, 0 ≤ t ≤ 1 ?(t -1)2 +1,t > 1 min ?1
? ? t + 2 1 t < 0 g (t )
数
的最小值为 ，最大值为 。
图 2
【例 2】
若函数 f (x ) = x 2 - 2x + 2,当x ∈[t , t +1] 时的最小值为 g (t ) ，（1）求函数
（2） 当 t ∈ [-3,-2]时，求 g(t)的最值。（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点
三分法）
【解析】(1)函数
，其对称轴方程为 ，顶点坐标为（1，1），图
象开口向上。
图 1
图 2
图 3
①如图 1 所示，若顶点横坐标在区间 左侧时，有 ，此时，当
。
②如图 2 所示，若顶点横坐标在区间
时，函数取得最小值
③如图 3 所示，若顶点横坐标在区间
时，函数取得最小值
综上讨论，g(t)= ，即
。
右侧时，有
。当
时， g (t ) = t 2 +1 为减函数
在[-3, -2] 上， g (t ) = t 2 +1 也为减函数
时，函数
取得最小值
上时，有
。当
(2) g (t ) = (0 < t < ? ?t 2 +1(t ≤ 0)
? ? 1 ? t - 2t + 2(t ≥ 1)
2
t ∈(-∞, 0] ∴
，即
f (x ) =
max f (t +1) = t 2 + 2
f (t ) = t 2 - 2t + 3 ．
f (x )
= max f (t ) = t 2 - 2t + 3
g (t )max = g (-3) = 10
?
【例 3】 已知
【解析】由已知可求对称轴为
t > 1
，当 x ∈[t ，t +1](t ∈ R ) 时，求 f (x ) 的最大值．
x = 1 ．
（1） 当
时，
．
（2） 当 t ≤1
t +1 ，即 0 ≤t
1 时，．
， f (x )max =
（3） 当 t +1 < 1即 t < 0 时，
， f (x )max = 2 f (t +1) = t + 2 ． ．
综上，
g (t )min = g (-2) = 5 ，
∴ ?t 2
+ 2, t > 1 f (x ) = ? 2 max ?
? t 2 - 2t + 3,t ≤ ?
1
2 f (x ) = x 2 - 2x + 2
x = -a f ( x ) = f ( 2 ) = 4a + 5 max
【例 4】 (1) 求 f ( x ) = x 2 + 2ax + 1 在区间[-1,2]上的最大值。
(2) 求函数 y = -x (x - a ) 在 x ∈[-1 , 1] 上的最大值。
【解析】(1)二次函数的对称轴方程为 ，
当-a < 1
即
时， ；
2
当-a ≥ 1 即 2
时， f ( x ) = f ( -1 ) = 2a + 2 。
综上所述：
max
?
f (n )，- b > n (如图3) ? 2a f (x ) = ?
f (- b )，m ≤ - b ≤ n (如图4)
?
min ? ? 2a 2a ?
f (m )，- b < m (如图5)
?
2a ?
f (n )，- b > n (如图6) ? 2a f (x ) = ?
f (- )，m ≤ - ≤ n (如图7)
? b b max ? ? 2a
2a ?
f (m )，- b < m (如图8)
?
2a f (x ) min
= ? ?
f (m )， - b ≥ 1 (m + n )(如图9) ? 2a 2 ?? f (n )， -2a < 2
(m + n )(如图10) b 1
当
时 a > - 1
2
a ≤ - 1
2
≤ 2
- 2 ≤ a ?- (a + 1) , a < -2 ? a 2 y = 最大 ? ?
4 , - 2 ≤ a ≤ 2 ?a - 1 , a > 2
；即 2 a
∴ ? f (1) , a > 2 ? ? y = f ( ) , - 2 ≤ a ≤ 2 ? f (-1) , a < -2
? 2 a < -1 最大 。
(2)函数
图象的对称轴方程为 x = a ，应分- 1 ≤ 2 a ≤ 1 ， ，
2
即- 2 ≤ a ≤ 2 ， a < -2 和 a > 2 这三种情形讨论，下列三图分别为
（1）
a < -2 ；由图可知
（2） ；由图可知
（3） a > 2 时；由图可知
【例 5】 已知二次函数
数 a 的值。
1 在区间?- 3 ,2?
上的最大值为 3，求实
?? 2 ??
【分析】这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分 与 a < 0 两大类五种情形讨 论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。具体解法为：
（1）令 f ( -
2a - 1
) = 3 ，得 a = 2a 此时抛物线开口向下，对称轴方程为 ，且-2 ? ?- 3 ,2?
，故- 1 不合题意；
?? 2 ??
2 a
> 1 2
f ( x ) = ax 2 + ( 2a - 1 )x + x = -2 f ( x) max
= ?
-2a + 2,a ≤ - 1 ? 2 ?? 4a + 5,a > - 2
1
f (x ) = f ( a
) max
2
a > 0 f (x )max = f (1)
f (x )max = f (-1) y = -(x - a )2 + 2 a 2
4 - 1 2
m ≤ 1 < m + n 2 x f ( 2 ) = 3 ，得 a = 1
2
此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故
（3）若 f ( - 3 ) = 3 ，得 a 2
此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故
【解析】 （1） 若 a = 0, f (x ) = 1, ，不符合题意。 （2） 若 a > 0, 则
由8a +1 = 4 ，得
a = 1 符合题意；2
符合题意。
2 【例 6】 已知函数 f (x ) = - + x 在区间[m , n ] 上的最小值是
3 m 最大值是 3 n ，求 m ， 2
n 的值。
【解法 1】讨论对称轴 中 1 与
m , m + n , n 的位置关系。 2
①若
解得 ②若
m + n
≤ 1 < n ，则 2
③若 ，则
④若
，无解
，无解
，无解
（3）若 a < 0 时由1- a = 4 ，得 综上知
，则 ? f (x )max = f (n ) = 3n
?
? min f (x ) = f (m ) = 3m
或 a = -3 a = 3 8
综上， 或
【变式】 已知函数 在区间[-3, 2] 上的最大值为 4，求实数 a 的值。 f (x ) = ax 2 + 2ax +1 解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论， 使解题过程简洁、明了。
a = - 2 3
a = 1 2 f (x )max = f (2) = 8a +1
f (x ) = a (x +1)2 +1- a , x ∈[-3, 2]
= - 2
3 a = - 2 3
a = 3 8
，则 f (x )max = f (-1) = 1- a a = -3
?
? f (x )max
= f (1) = 3n
f (x ) = f (m ) = 3m ? min
?? f (x )max = f (1) = 3n f (x ) = f (n ) =3m ? min
?? f (x )max = f (m ) = 3n f (x ) = f (n ) = 3m
? min
数y =
的x +值2 x + 1
? min ?
f (x ) = f (m ) = 3m
2 6
3n ≤ 1 , n ≤ 1 , ? f (x )max = f (n ) = 3n
综上，
【解法
，知 ，则[m , n ] ? (-∞,1] ，
又∵在[m , n ] 上当 x 增大时 也增大所以 解得
【例 7】 求函数 y = x - 3 + 5 - x 的值域.
【解法 1】
y 2 = x - 3 + 5 - x + 2 (x - 3)(5 - x ) = 2 + 2 1 - (x - 4)2
显然
故函数的值域是：
【解法 2】显然 3≤x≤5, x - 3 = 2sin
2
(∈
[0, ]) ? 5 - x = 2 cos 2 ,
2
三、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法（分母 少，分子多），通过该方法可将原函数转化为为此类问题一般也可以利用反函数法。
( k 为常数)的形式
【 例 1 】 求 函 域
【解析】利用恒等变形，得到： ，容易观察知 x ≠-1,y ≠1，得函数的值域为
y ∈(-∞,1)∪(1, +∞)。注意到分数的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，
再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。 x 2 - x 【例 2】 求函数 y =
x 2 - x + 1
的值域。
【解析】观察分子、分母中均含有 x 2 - x 项，可利用部分分式法；则有
y = x - 3 + 5 - x = 2(sin
+cos )= 2sin(+
∈) [
4
2, 2]
评注：解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了 m ， n 的取值范围， 避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。 m = -4, n = 0
y 2 = 2 + 2 1 - (x - 4)2 ∈[2,4]
y = k ± f (x ) y ∈[ 2, 2]
y = 1 +
1
x + 1
f (x ) m = -4, n = 0 2】由
f (x ) = - 1 (x -1)2 + 1 2 2
1- 2x y = 1+ 2x 1- 2x
y = 1+ 2x
不妨令：
f ( x ) = ( x - 1 )2 + 3 ,
g ( x ) = 1
( f ( x ) ≠ 0) 从而 2 4 f ( x ) 排除 f (x ) = 0 ，因为 f (x ) 作为分母。所以 g ( x ) ∈? 0, 3?
故
注意：在本题中应
【变式】求下列函数的值域：
(1) ? 4 ??
答案：（１）值域 （２）值域 y ∈[-1,1]
四、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。
【例
1】求函数 的值域。
【解析】由 解得 ， ∵ 2x > 0 ，∴ ，
1- 2x
∴函数 y =
的值域为 y ∈(-1,1) 。 1+ 2x
【例 2】求函数 值域。
【解析】由原函数式可得：
则其反函数为：
，其定义域为：
故所求函数的值域为：
【例 3】 求函数 的值域。
y ∈ ?- 1,1) ? 3 y = x -1 3x -2
2x = 1- y 1+ y (-∞, 3 ( )
5 3 , ∞) 5 ∴
-1 < y < 1 (2) y =
.
x 2 - 1 x 2 + 1
y = x 2 - x x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 = x 2 - x + 1 - 1 = 1 -
1 ( x - 1 )
2 + 3
2 4
f ( x ) ∈ ?3,+∞) ??4
y ∈ (-∞, 1 ) ? ( 1
,+∞)
3 3 y =
3x + 4
5x + 6
e x - 1
y = e x + 1
1- y > 0 1+ y
y
y =
a x 2 +
b x + c
1
1
1
a 2x 2 +
b 2x +
c 2
y - y 1 2 = e x 1 - 1 - e x 2 - 1 = 2 e x 1 - e x 2
e x 1 + 1 e x 2 + 1 (e x 1 + 1)(e x 2
+ 1)
< 0 。 e x - 1
解答：先证明 y = e x + 1
有反函数，为此，设 x 1 < x 2 且 x 1, x 2 ∈ R ，
所以 为减函数，存在反函数。可以求得其反函数为： ，故原函数的值域为 y ∈ (-1, 1) 。
。此函数的定义域为
【例 4】 求函数
【解法 1】-1≤x≤1
y =
a + bx
(a > 0, b > 0, a > b , x ∈[-1,1]) 的值域。 a - bx
a-b≤a -bx≤a+b
，
【解法 2】（反函数法）： x = ,由-1≤x≤1 得： - 1 ≤ x = a - b 2a ≤ 1 ，
b ( y + 1)
a -
b ≤ y ≤ a + b a + b a - b
5、判别式法：把函数转化成关于 x 的二次方程 F (x , y ) = 0 ；通过方程有实数根，
判别式 ? ≥ 0 ，从而求得原函数的值域，形如 （ a 1 、 a 2 不同时
为零）的函数的值域，常用此方法求解。（解析式中含有分式和根式。）
1+ x + x 2 【例 1】求函数 y = 的值域。
1+ x 2
【解析】原函数化为关于 x 的一元二次方程
,由于 x 取一切实数，
故有
（1） 当
时， 解得：
（2） 当 y=1 时， ，而
y -1 = ln 1+ x 1- x
a -
2a b b ( y + 1) x ∈ (-1, 1) 2a ≥ 2a ≥ 2a
a -
b a - bx a + b
2a
- 1 ≥ y = -1 + 2a ≥ -1 + 2a a - b a - bx a + b a - b ≤ y ≤ a + b a + b
a - b
y =x +x (2 -x) =x + 1- (x-1)2
y =1 +s in+cos=1 + 2 s in(+)
4
-≤+≤3
4 4 4
-
2
≤sin(+)≤1 24
故函数的值域为
【例 2】求函数y =x +x(2 -x) 的值域。
【解析】两边平方整理得：（1）
∵∴解得：
但此时的函数的定义域由，得
由，仅保证关于x 的方程：在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y 的
实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵
代入方程（1）解得：
即当时，原函数的值域为：
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
解法二：，令x -1= sin∈[-
, ]
2 2
原函数的值域为：
f (x ) = 2x 2 + ax + b
x 2
+1
【例 4】
2
2 + 【例 3】
f (x
) =
2x 2 + ax + b [1 3]
a , b
【解析】 已知函数 x 2 +1
的值域为 ， ，求
的值。
由于 的值域为[1，3]，故上式不等式的解集为{y|1≤y ≤3}
【解法 1】先将此函数化成隐函数的形式得： yx 2 + (2 y - 1)x + 2 y - 1 = 0 ，(1)
这是一个关于 x 的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判别式
? = (2 y - 1)2 - 4 y (2 y - 1) ≥ 0 。
。
【解法 2】当 x≠-1 时
由于
当 x+1< 0 时， ( x + 1) +
1
x + 1
≤ -2
，即
当 x+1＞ 0 时， ( x + 1) +
1
x + 1
≥ 2 ，即 y ∈ (0, 1 ]
考虑到 x=-1 时 y=0
故原函数的值域为：
【例 5】已知函数y =
mx + n
的最大值为 4，最小值为 —1 ，则 m = x 1
【解析】 4 y 2 - 4(2 + b) y + 8 b - a 2 ≤ 0 。 ? ( y - 2)x 2 - ax + y - b = 0 ? ? = a 2 - 4(y - 2)(y - b) ≥ 0 x 2 +1
2 y = 2x + ax + b y = x +1 x +
2 x +2 2 = 1 ( x + 1) + 1
x + 1
y ∈[- 1 ,0)
2 y ∈[- 1 , 1 ] 2 2
， n =
? y ? x 2 - mx + n - y = 0 ? ? = m 2 - 4 y(y - n) ≥ 0 x 2
+1
y =
mx + n
f (x ) = 2x 2 + ax + b
x 2 +
1
?
, ] y ? ? ? y 1 + y 2 = n =3
? y 1 y 2 =
? -m
4
2 = -4 ? ? ?m = ±4 ?m =
3 m = ±
4 n = 3
○
2 y ≠ 0 ? ? = (y -1)2 + 4 y(
3 y + 2) ≥ 0
4 y 2 - 4n y - m 2 ≤ 0 ………………○
1 。 ○1 由于 的值域为[－1，4]，故不等式 的解集为{y|－1≤y ≤4}
y = x + 2 x 2
+ 2x - 3 的值域。
【解析】
○
1 y=0 得 x=-2,从而 y=0 是值域中的一个点；
16 y 2 + 4 y +1) ≥ 0? ○
1 ○
2 ? = -48 < 0 ? ? y ∈ R ， 由
得函数的值域为 R.
六、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而 a 、b 、 c 、 d 均为常数，且 a ≠ 0 ）的函数常用此法求解。将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。
【例 1】
【解析】令t t ≥ 0 ），则 x =
1- t 2 ，
2
∵当t = 1 ，即 x = 3 时，
，无最小值。
2 8
的值域为(-∞ 5
。 4
y max = 5 4 y ? x 2 + (y -1)x - 3y - 2 = 0 【例 6】求函数
2 - 1 2 9 x + 1 x - 1 【例 2
3】求
y
= 2 + log = 33
x +
y , y [1,+∞]1, ) y = 2x -5 + log x - 1(2 ≤ x ≤ 10) 的值域。
【解析】令 y 1 = 2x -5 , y 2 = log 3
所以 y = y 1 + y 2 在[2，10]上是增函数
则 y 1 , y 2 在[2，10]上都是增函数
当 x=2 时，
y min = 2-3 + log 3 =
1
8
5
当 x=10 时， max 3 ?1 ?
?8 ,33?? 故所求函数的值域为：
【例 3】求函数 y =
- 的值域。
y =
【解析】原函数可化为：
令 y 1 = 2
，显然 1 2 在 上为无上界的增函数
所以 y = y 1 ， y 2 在[1,+∞] 上也为无上界的增函数
=
所以当 x=1 时，
y = y 1 + y 2 有最小值 ，原函数有最大值
显然y > 0 ，故原函数的值域为 (0, 【例 4】求函数y = x + 2 +
]
的值域。
【解析】因 1 - (x + 1)2 ≥ 0
即 (x + 1) 2
≤ 1 故可令 x + 1 = cos β, β∈[0, π]
∴
y = cos β + 1 + 1 - cos 2 β = sin β + cos β + 1 = 2 sin(β + π
+ 1
4
0 ≤ β ≤ π,0 ≤ β + π ≤ 5 π
∵
4 4 ∴- 2 ≤ sin(β + π
) ≤ 1
2
∴0 ≤
4 sin(β + π
) + 1 ≤ 1 + 2 4
故所求函数的值域为[0,1 + 2 ]
2 2 x - 1 x - 1 2 x + 1 + x - 1 2 2 2
1 - (x + 1)2
2
2 2x
【例 5】求函数 x 3 - x
y =
x 4 + 2x 2 + 1 的值域。
1
2x 1 - x 2 【解析】原函数可变形为： y = 2 ?
1 + x
2
? 1 + x 2
可令x = tg β ，则有 1 + x 2 = sin 2β,
1 - x 2
1 + x 2
= cos 2 β ∴y = - 1 sin 2β ? cos 2β = - 1
sin 4β
2
β = k π - π 4 y = 1
当
2 8 时， max
4 β = k π +
π y = - 1
当
2 8 时， min 4 而此时tan β 有意义。 ?- 1 ,
1 ? 故所求函数的值域为 ?
? 4 4 ??
x ∈ ?
- π ?
, π?
2 ??
【例 6】求函数 y = (sin x + 1)(cos x + 1) ， 【解析】 y = (sin x + 1)(cos x + 1)
= sin x cos x + sin x + cos x + 1
? 12
的值域。
令 sin x + cos x = t ，则 sin x cos x = 1
(t 2 - 1)
2
y = 1 (t 2 - 1) + t + 1 = 1
(t + 1) 2
2 2
x ∈ ?
- π
π?
2
≤ t ≤
由t = sin x + cos x =
+ π / 4) 且 ?? 12 , 2 ??
可得： 2
y = 3 + t y = 3 ∴当t = 时，
max
2 ，当 4 ?
3 2 3
+ 2 ?
? ? 故所求函数的值域为 ??4
【例 7】 求函数 y = x + 4 +
2 ? 。 的值域。
【解析】由 5 - x 2 ≥ 0 ，可得 | x |≤
故可令 x = cos β, β∈[0, π]
5 2
5 - x 2 5
10 = 2 sin ，
2 - (x - 5)2
+ ∈ 5 4 4 4
[ , ] t ≥ - 9 4 ) ≥ 0 时， t
max = 1 - 02 - 2 ? 0 = 1
y = 5 cos β + 4 +
sin β = sin(β + π
+ 4 4
∵ 0 ≤ β ≤ π π π 5π ∴ ≤ β + ≤
4 4 4 当 β = π / 4 时 ， y max = 4 + 当 β = π 时 ， y min = 4 -
故所求函数的值域为： [4 -
5,4 + ]
【例 8】求函数 y = (x 2 - 5x + 12)(x 2 - 5x + 4) + 21 的值域。
【解析】令 t = x 2 - 5x + 4 = ?
x -
?
5 ?2
?
2 ? - 9
，则 。 4
t ≥ - 9 ? 9 ?2 1 ? 1 ? 当 4 时， y min = - 4 + 4? + 5 = 816 ，值域为 ? y | y 8 16
? ? ? ?
【例 9】求函数
的值域。
【解析】令 t = 1 - x ，则 x = 1 - t 2 ， t ≥ 0 ， 当 t
所以值域为(-∞,1] 。
【例 10】．求函数 【解析】由 的值域。
因为 2 - (x - 5)2
≥ 0 ? 2 - 2 cos 2 ≥ 0 ? -1 ≤ cos ≤ 1 ，∈[0,] ，
则 于是： y = 2sin
+ 2 c os +5 = 2sin
?+
?
+ 5 ， ，
? ?
4 ?
-
2 ≤ sin ?+ ?
≤ 1，所以： 5 -
2 ≤ y ≤ 7 。
?
2 ?
4 ? 令
x - 5 = 2cos ， y = t (t + 8)+ 21 = t 2 + 8t + 21 = (t + 4)2
+ 5 ，
5 10 10
5 y = x + 10x - x 2 - 23 y = x + 10x - x 2 - 23 = x + 2 - (x - 5)2
，
y = 1 - t 2 - 2t = -(t + 1)2 + 2
y = x - 2 1 - x
y 2 + 1
2 y 2 + 1
解得： 七、函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
【例 1】
【解析】由函数的解析式可以知道，函数的定义域为可得
，对函数进行变形
( y -1)x 2 = -( y +1) ， ∵ y ≠ 1
，∴ x 2 = - y +1
（
x ∈ R ， y ≠ 1 ）， y -1
∴ -
y +1
≥ 0 ，∴ -1 ≤ y < 1 ， y -1
值域为{y | -1 ≤ y < 1}
【例 2】求函数 e x - 1 y =
e x + 1 的值域。
e x =
y + 1 【解析】由原函数式可得：
y + 1 > 0
∵ e x > 0 ∴
y - 1 解得： y =
cos x
y - 1
- 1 < y < 1
故所求函数的值域为(-1,1)
【例 3】求函数 sin x - 3 的值域。
【解析】由原函数式可得： y sin x - cos x = 3y ，可化为： y 2 + 1 sin x(x + β) = 3y
sin x(x + β) =
3y
即
- 1 ≤
3y ≤ 1
x ∈ R ∴
sin x(x + β) ∈[-1,1] 即
≤ y ?- , 2 ? ? ?
故函数的值域为 ? 4 4 ?
【例 4】 R y =
3 - sin x
4 - 2 cos x
∵
y = x - 1- 2x x y =
3 - sin x
4 - 2 cos x 【解法 1】sin(x -) =
3 -
4 y
1 + 4 y 2
， sin( x -) = 3 - 4 y 1 + 4 y 2
≤ 1 ，
解得1 - 3
≤ y ≤ 1 + 3 3 3
即函数值域为：
【解法 2】y 看作是两点(4,3)和(2cos x,sin x)连线的斜率．即过点(4,3)且与椭圆有交点
的直线，其斜率取值范围就是
聚会取值范围．设 y=k(x-4)+3 代入椭圆方
程
得 (4k 2 + 1)x 2 + 8(3 - 4k )kx + 4(16k 2 - 24k + 8) =，
0 由 Δ＝0 得答案．
【例 5】 已知 a>0，x 1,x 2 是方程 ax 2
+bx-a 2
=0 的二个实根，并且|x 1|+|x 2|=2,求 a 的取值
范围以及 b 的最大值 。
【解析】由韦达定理知：x 1
x 2
=-a<0,故两根必一正一负，
｜x 1
|+|x 2
|=2
从而|x 1-x 2|=2
由韦达定理知：4=|x 1-x 2|2=(b 2+4a 3)/a 2 从而 4a 2-4a 3=b 2≥0 即 4a 2(1-a) ≥ 0
即 a ≤1,注意到 a>0，从而 a 的取值范围是 0< a ≤1
从而
即 b 的最大值为 ，当且仅当 a=2/3 时“＝”成立。
八、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性， 求出函数的值域。
【例 1】求函数 的值域。
【解析】∵当 x 增大时，1- 2x 随 x 的增大而减少， - 增大，
随 的增大而
∴函数
在定义域(-∞, 1
] 上是增函数。 2
4 3
1- 2x y ∈[1 -
3
,1 + 3
3 ]
3 4
2= y 1 x 2 +
y = x - 1- 2x b 2 = 4a 2 (1- a ) = 2 ? a ? a ? (2 - 2a ) ≤ 2 ? ( a + a + 2 - 2a )3 = 16
3 27 9
f (x )= 1 + x + 1 - x 1 + x u = 3x + 6 y = 3x + 6 - 8 - x , ] ?
的值域为(-∞ 1 。 2
【例 2】在区间 x ∈ (0,+∞)上的值域。
【解析】任取 x 1, x 2 ∈ (0,+∞)，且 x 1 < x 2 ，则
为
，所以： x - x < 0, x x
> 0 ，
当1 ≤ x 1 < x 2 时， 1
2
1 2
当
时， x 1x 2 - 1 < 0 ，则 f (x 1 )< f (x 2 )；而当 x = 1时，y min = 2 在区间 x ∈ (0,+∞)上的值域为[2,+∞) 。
构造相关函数，利用函数的单调性求值域。
【例 4】求函数 的值域。
【解析】因为 ?1+ x ≥ 0
? -1 ≤ x ≤ 1 ，而 与
?1 - x ≥ 0
1 - x 在定义域内的单调性不
一致。现构造相关函数 g (x )=
1 + x - 1 - x ，易知 g (x ) 在定义域内单调增。
g max = g (1)= 2 ， g m in = g (-1)= - 2 ， ? g (x ) ≤ 2 ， 0 ≤ g 2 (x )≤ 2 ，
又 f 2 (x )+ g 2 (x )= 4 ，所以： 2 ≤ f 2 (x )≤ 4 ， 2 ≤ f (x )≤ 2 。
【例 5】
【解析】此题可以看作 y = u + v 和 u =
3x + 6 ， v = - 8 - x 的复合函数，显然函数
为单调递增函数，易验证 v = - 8 - x 亦是单调递增函数，故函数
也是单调递增函数。而此函数的定义域为[-2, 8] 。
当 x = -2 时， 取得最小值- 10 。当 x = 8 时， 取得最大值 30 。
故而原函数的值域为[- 10, 30] 。
x 1x 2 - 1 > 0 ，则 f (x 1 )> f (x 2 )；
y y 0 < x 1 < x 2 < 1 0 < x 1 < x 2
(x < -3) (-3 ≤ x < 5) (x ≥ 5) ? ??
2x - 2 ?-2x + 2 y =| x + 3 | + | x - 5 |= ?
8
(x + 8) 2 x 2 - 6x + 13 (x - 3) 2 + (0 - 2) 2 (3 + 2) 2 + (2 + 1)2 43 y =| x + 3 | + | x - 9. 图像法（数型结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。
【例 1】求函数 y =| x + 3 | + | x - 5 | 的值域。
【解析】∵ ，
∴ 5 | 的图像如图所示，
由图像知：函数
【例 2】求函数y =
y =| x + 3 | + | x - 5 | 的值域为[8, +∞)
+ 的值域。
【解析】原函数可化简得： y =
| x - 2 | + | x + 8 |
上式可以看成数轴上点 P （x ）到定点 A （2）， B(-8) 间的距离之和。由上 图可知，当点 P 在线段 AB 上时， y =| x - 2 | + | x + 8 |=| AB|= 10
当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时， y =| x - 2 | + | x + 8 |>| AB|= 10
故所求函数的值域为： [10,+∞]
【例 3】求函数 y =
+ 【解析】原函数可变形为：
y = +
的值域。
上式可看成 x 轴上的点 P(x,0) 到两定点A(3,2), B(-2,-1) 的距离之和，
由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时，
y min =| AB|= = ， 故所求函数的值域为[ 43,+∞]
(x - 2) 2
x 2 + 4x + 5 (x + 2) 2 + (0 + 1)2
x 2 + 1
y ∈ (-∞,3 - 2 k ]
?[3 + 2 k ,+∞) y = x + k
+ 3 x 4 < x < 1
10、 基本不等式法：利用基本不等式 ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
【例 1】 求下列函数的值域：(1) (k>0);(2)
。
【解析】(1)若 x>0 时，则
即 x = k 时成立；
≥ 2 x ? k
+ 3 = 3 + 2 k
x
,等号仅当 x=k/x ，
若 x<0 时，
时成立；
等号仅当-x=-k/x ，即
故，
(2)
x 2 + 2
解法一： y =
= = x 2 + 1
+ 1
≥ 2 ，故 x 2 + 1
解法二：令 t =
x 2
+ 1 ,则
上有解．
．即方程 f (t ) = t 2 - ty + 1 = 0 在[1,+∞)
所以t 1t 2 = 1 ．从而 f(x)=0 在区间[1,+∞)只能有一根，另一根在(0,1)内，从而 f(1) ≤0, 即 y ≥2.
【例 2】若- ，求
【解析】
的最小值
x - 2x + 2 = 1 ? (x - 1)2 + 1 = 1 [(x - 1) + 1 ] = - 1 -(x - 1) + 1 ]
2x - 2 2 x -1 2 x - 1 2 - (x - 1)
y = t + 1
t
(t ≥ 1) x = - k 2x - 2
x 2 - 2x + 2
y ∈[2,+∞) y = x + k
+ 3 x y =
x 2 + 2 x 2 +1
则y = x + k
+ 3 x
≤ -2 - x ? (- k
) + 3 = 3 - 2 x
k