山东省泰安市东平高级中学2019-2020学年高二数学下学期期中试
题（含解析）
考试时间120分钟，满分150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题：卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必领用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案.不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知i
是虚数单位，复数z=z的共轭复数z=( )
A. 1
B. 1
C. 1
--
D.
1-+
【答案】B
【解析】
【分析】
先计算z，由共轭复数概念即可得z.
详解】∵
)(
)
2
1
i i
z
i
-
===-
-
，
∴1
z=+.
故选：B
【点睛】本题主要考查了复数的除数运算，共轭复数的概念，考查学生对基本概念的理解.
2.在6
1
(2)x
x
-的展开式中，常数项为（）
A. 120
- B. 120 C. 160
- D. 160 【答案】C
【分析】
写出二项式展开式的通项公式求出常数项. 【详解】6
1(2)x x
-展开式的通项26
1
6(1)2k k k k k
T C x ，令260,3k k
常数项333
3
1
6(1)2=160T C
故选：C ．
【点睛】本题考查二项定理. 二项展开式问题的常见类型及解法:
(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第1k +项，再由特定项的特点求出k 值即可．
(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第1k +项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．
3.已知()f x =()8f '等于（ ）
A. 0
B.
D. 1-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据基本初等函数的导数公式求出()f x '，再求()8f '.
【详解】由()f x =()11-1-?2211=x =x 22f x '，∴()()121882f -?'==
故选C
【点睛】本题考查了基本初等函数的导数公式，若()a
*
f x =x a Q ∈（）,则()a-1
=ax f x ' .
4.已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至少命中一次的概率为
21
25，则该队员每次罚球的命中率p 为（ ） A. 45 B. 35
C.
2
5
D.
15
【答案】B 【解析】
利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出该队员每次罚球的命中率
p ．
【详解】解：某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，该队员每次罚球的命中率为p ， 且在两次罚球中至少命中一次的概率为
21
25
， 212(1)25
21p C p p ∴+-=
， 解得35
p =
或7
5p =（舍去）
∴该队员每次罚球的命中率p 为3
5
．
故选：B ．
【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
5.已知函数()3
2
3f x x ax ax b =+++的图象在点()()
1,1f 处的切线方程为
12y x m =-+，若函数()f x 恰有三个不同的零点，则实数b 的取值范围是（ ）
A. ()5,27-
B. []5,27-
C. (]1,3-
D. []1,3-
【答案】A 【解析】 【分析】
先根据函数在()()
1,1f 处的切线为12y x m =-+得到一个关于a ，b 的关系，然后再根据()f x 恰有三个不同的零点，列出关于b 的不等式．
【详解】解：2()323f x x ax a '=++，因为函数在()()
1,1f 处的切线方程为12y x m =-+ 所以()13512f a '=+=-，3a ∴=-，2()369f x x x ∴'=--． 令()0f x '=，得11x =-，23x =．
当1x <-或3x >时，()0f x '>，()f x 是增函数；当13x 时，()0f x '<，()f x 是减
函数．
所以1x =-时，()f x 有极大值(1)5f b -=+；当3x =时，()f x 有极小值()327f b =-．
所以，若函数()f x 恰有三个不同的零点，则50
270b b +>??-
，
解得527b -<<． 故选：A ．
【点睛】本题考查导数的几何意义，应用导数求函数的极值和零点，同时考查学生的运算能力，属于基础题．
6.若()4
234012341x a a x a x a x a x -=++++.则1234a a a a +++的值为（ ） A. 1 B. 1-
C. 0
D. 2
【答案】B 【解析】 【分析】
令0x =得01a =，令1x =得012340a a a a a ++++=，从而计算可得； 【详解】解：因为()4
234012341x a a x a x a x a x -=++++ 令0x =得01a =
令1x =得012340a a a a a ++++= 所以12341a a a a +++=- 故选：B
【点睛】本题考查利用赋值法求二项式展开式的系数和，属于基础题.
7.为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（ ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 36
【答案】C 【解析】 【分析】
由甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数，即可得到答案.
【详解】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家 看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，
先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和
其余二个看成三个元素的全排列共有：23
43C A ?种；
又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，
所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有3
3A 种，
所以不同的分配方法种数有：233
43336630C A A ?-=-=
故选：C
【点睛】本题考查了排列组合的应用，考查了间接法求排列组合应用问题，属于一般题. 8.已知函数()21
2e
e x x
f x mx +-=--在R 上为增函数，则m 的取值范围为（ ）
A. (
,-∞
B. )
?+∞?
C. (,-∞
D. )?+∞?
【答案】A
【解析】 【分析】
函数()21
2e
e x x
f x mx +-=--在R 上为增函数,等价于()2122e 2e 0x x f x m +-'=+-≥对
x ∈R 恒成立，然后分离变量，得2122e 2e x x m +-≤+，求出2122e 2e +-+x x 的最小值，就能
确定m 的取值范围.
【详解】因为函数()21
2e
e x x
f x mx +-=--在R 上为增函数，所以
()2122e 2e 0x x f x m +-'=+-≥对x ∈R 恒成立，即2122e 2e x x m +-≤+对x ∈R 恒成立，又
因为2122e 2e x x +-+≥=，所以m ≤ 故选：A
【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求参数的取值范围，分离变量是解决本题的关键. 二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 9.关于()9
a b -的说法，正确的是（ ） A. 展开式中的二项式系数之和为512
B. 展开式中只有第5项的二项式系数
最大
C. 展开式中第5项和第6项的二项式系数最大
D. 展开式中第6项的系数最小
【答案】ACD 【解析】 【分析】
利用二项式定理的通项公式及其性质即可判断出正误．
【详解】解：二项式()9a b -展开式的通项为()9191r
r
r r r T C a b -+=-
对于A ：二项式系数之和为92512=，故A 正确；
对于B 、C ：展开式共10项，中间第5、6项的二项式系数最大，故B 错误，C 正确；
对于D ：展开式中各项的系数为9(1)k k C -，0k =，1，?
?，9 当5k =时，该项的系数最小．故D 正确． 故选：ACD ．
【点睛】本题考查了二项式展开式二项式系数的性质、以及系数与二项式系数的关系，需要熟记公式才能解决问题．同时考查了学生的计算能力和逻辑推理能力． 10.已知函数()3
2
f x x ax bx c =+++，则（ ）
A. 0b ≤时，函数()y f x =一定存在极值
B. 0x R ?∈，使()00f x =
C. 若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=
D. 若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0，x -∞单调递减 【答案】BC 【解析】 【分析】
求导得到()2
32f x x ax b '=++，根据函数的极值和函数单调性的关系，零点性质，依次判
断每个选项得到答案.
【详解】()32f x x ax bx c =+++，则()2
32f x x ax b '=++，
取0a b ，函数单调递增，无极值点，A 错误；
当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞时，()f x →-∞，故0x R ?∈，使()00f x =，B 正确；
若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=，C 正确； 取0a =，3b =-，得到233f
x
x ，则函数在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单
调递减，在()1,+∞上单调递增，1是()f x 的极小值点，故D 错误. 故选：BC.
【点睛】本题考查了函数的极值点，零点，单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应用，取特殊值排除是解题的关键.
11.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则下列说法正确的是（ ）
A. AC ⊥面11AB D
B. 点1A 到面11AB D 的距离为
3
C. 1AA 与面11AB D
D. 二面角111A B D A --的大小为
4
π 【答案】BC 【解析】 【分析】
AC 不垂直于1AB ，
A 错误，利用等体积法计算
B 正确，据B 知sin θ=，
C 正确，1AOA ∠
为二面角111A B D A --的平面角，1
tan AOA ∠，D 错误，得到答案. 【详解】易知1AB C 为等边三角形，故AC 不垂直于1AB ，故AC 不垂直平面11AB D ，A 错误；
111111111326A A B D V -=????=，11111
111113326
A A
B D AB D V S h -==?=△，解得
h ，B 正确；
设1AA 与面11AB D 的夹角的余弦值为θ，据B 知sin θ=
，故cos θ=，C 正确； O 为11B D 中点，易知111AO B D ⊥，11AO B D ⊥，故1
AOA ∠为二面角111A B D A --的平面
角，1tan 2AOA ∠=，D 错误. 故选：BC.
【点睛】本题考查了线面垂直，点面距离，线面夹角，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 12.已知函数()2
ln f x x x
=
+，则以下结论正确的是（ ） A. 函数()f x 的单调减区间是(0,2) B. 函数()y f x x =-有且只有1个零点 C. 存在正实数k ，使得()f x kx >成立
D. 对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =则124x x +> 【答案】ABD 【解析】 【分析】
A 选项，对函数求导，解对应不等式，可判断A ；
B 选项，令()2
ln x x x x
g +=-，对其求导，研究单调性，根据零点存在定理，可判断B ； C 选项，先由()f x kx >得到22ln x k x x
<+，令()22ln x
h x x x =+，用导数的方法判断其单调
性，即可判定C ；
D 选项，令()0,2t ∈，则()20,2t -∈，令()()()22g t f t f t =+--，对其求导，判定其单调性，得到()()22f t f t +<-，令122x t =+>，根据题中条件，即可判定出D. 【详解】A 选项，因为()2ln f x x x
=
+，所以()22212
x f x x x x -'=-+=，
由()0f x '>得，2x >；由()0f x '<得，02x <<，
因此函数()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增；故A 正确；
B 选项，令()2ln x x x x g +=-，则()2
2222
1721220
14x x x x x x x g x ??-+ ?-+??+'=---==<-显然恒成立； 所以函数()2
ln x x x x
g +=
-在()0,∞+上单调递减； 又()ln112110g =-=>+，()212ln 21ln 20g =-=-<+， 所以函数()2
ln x x x x
g +=
-有且仅有一个零点；故B 正确； C 选项，若()f x kx >，可得22ln x k x x
<+， 令()22ln x h x x x =
+，则()423
41ln ln 4
x x x x x h x x x x ----'=+=， 令()ln 4u x x x x =--，则()1ln 1ln u x x x '=--=-， 由()0u x '>得01x <<；由()0u x '<得1x >；
所以函数()u x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减； 因此()()130u x u ≤=-<；所以()3ln 40x x x h x x --'=
<恒成立，即函数()22ln x
h x x x
=+在()0,∞+上单调递减，
所以函数()22ln x
h x x x
=
+无最小值； 因此，不存在正实数k ，使得()f x kx >成立；故C 错； D 选项，令()0,2t ∈，则()20,2t -∈，则22t +>； 令()()()()()2224222ln 2ln 2ln 2242t t
g t f t f t t t t t t t
+=+--=
++---=++---， 则()()
()()
22
2
2
2
2
2416
24802244t t t g t t t t
t ---'=
+?=-<+---， 所以()g t 在()0,2上单调递减，则()()00g t g <=，即()()22f t f t +<-， 令122x t =+>，由()()()122f x f x f t =<-，得22x t >-，则
12224x x t t +>-++=，
当14≥x 时，124x x +>显然成立，
所以对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =则124x x +>.故D 正确. 故选：ABD.
【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的性质即可，属于常考题型. 三、填空题：
13.用0，1，2，3，4，5这6个数字组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的数的个数为______.（用数字作答） 【答案】108 【解析】 【
分析】
按个位数是0和5分类计数后可得所求的个数.
【详解】若四位数的个位数为0，则没有重复数字的四位数的个数为3
554360A =??=， 若四位数的个位数为5，则没有重复数字的四位数的个数为2
4444348A =??=，
故能被5整除的数的个数为108. 故答案为：108. 【点睛】本题考查排数问题，此类问题关键是特殊元素特殊处理，本题属于基础题. 14.在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，所有学生的数学成绩服从正态分布
()29810N ,，现任取一名学生，则他的数学成绩在区间108,118内的概率为______.（附：
若()2
~X N
μσ，，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，
()220.9544P X μσμσ-<<+=.）
【答案】0.1359 【解析】 【分析】
本题首先可根据题意得出()88108P X <<以及()78118P X <<的值，然后结合正态分布的对称性即可得出结果.
【详解】因为所有学生的数学成绩服从正态分布(
)2
9810
N ,，
所以()881080.6826P X <<=，()781180.9544P X <<=， 所以根据正态分布的对称性可知，()0.95440.6826
1081180.13592
P X -<<==，
故答案为：0.1359.
【点睛】本题考查正态分布的相关性质，考查根据正态分布求概率，考查计算能力，体现了基础性，是简单题.
15.已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球．则3个小球颜色互不相同的概率是_____；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的数学期望E （ξ）为_____． 【答案】 (1). 950 (2). 35
【解析】 【
分析】
基本事件总数n ＝103
＝1000，3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数m ＝103
﹣
（23+33+53
222222333283755C C C +??+??+??）＝180，由此能求出3个小颜色互不相同
的概率；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～（n ，
2
10
），由此能求出ξ的数学期望E （ξ）．
【详解】箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球， 现从该箱中有放回地依次取出3个小球，
基本事件总数n ＝103＝1000， 3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数：
m ＝103﹣（23+33+53222222
333283755C C C +??+??+??）＝180，
则3个小球颜色互不相同的概率是P 1809100050
m n =
==； 若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～（n ，2
10
），
∴ξ的数学期望E （ξ）＝323105
?
=． 故答案为：950，3
5
．
【点睛】本题考查概率、数学期望的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查数据
分析能力、运算求解能力，是中档题． 16.函数()()
2
3x
f x x e =-，关于x 的方程()()2
10f
x mf x -+=恰有四个不同的实数解，
则正数m 的取值范围为______.
【答案】3
366
e m e >+
【解析】 【分析】
先利用导数求出函数()f x 的单调区间和极值，令()f x t =，由题意可知，方程
210t mt -+=有两个不同的实数根1t ，2t ，根据数形结合和韦达定理可知，一个根在
36,e ??∞ ???内，一个根在36,e ??∞ ???
内，再令()2
1g t t mt =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ??
< ???
，由此即可求出m 的取值范围． 【详解】解：()()
()()2
2331x
x
x x e x f e x x =+-=+-'，
令()0f x '=得，3x =-或1，
当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >， 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减， 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增， 所以()()36
3f x f e
=-=极大值，()()12f x f e ==-极小值， 令()f x t =， 因为关于x 的方程()()2
10f
x mf x -+=恰有四个不同的实数解，
所以方程210t mt -+=有两个不同的实数根1t ，2t ，且一个根在360,
e ??
??
?
内，一个根在36,e ??
+∞ ???
内，或者两个根都在()2,0e -内，或者一根为3
6e ，另一根在()2,0e -内；
因为m 为正数，所以121t t =，120t t m +=>，所以1t ，2t 都为正根，所以两个根不可能在
()2,0e -内，也不可能一根为
36
e ，另一根在()2,0e -内； 所以实数根1t ，2t ，且一个根在360,
e ?? ??
?内，一个根在36,e ??
+∞ ???
内，
令()2
1g t t mt =-+，因为()010g =>，
所以只需360g e ??< ???，即6336610m e e -+<，得3
366
e m e >+，
即m 的取值范围为：336,6e e ??
++∞ ???.
故答案为：336,6e e ??
++∞ ???
.
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了函数的零点与方程根的关系，是中档题．
四、解答题：解箸应写出文字说明证明过程或演算步骤.
17.函数()1x
f x e x =-+()x R ∈;
(1)求()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程; (2)求()f x 的极值.
【答案】（1）()11y e x =-+（2）极小值2 【解析】 【分析】
（1）求出1,(1)1,))((1x
e f e f e f x '-=-=='，用直线的点斜式公式，即可求解； （2）由()0,0f x x '==，求出()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上的单调区间，即可求出结论. 【详解】解:(1)()'1x f
x e =-
设所求切线方程的斜率为k ,则()'
11k f e ==- 又()1f e =,故所求切线方程为:()()11y e e x -=-- 即()11y e x =-+ (2)因为()'
1x f x e =-
令()'
0f
x >,则0x >;令()'0f x <,则0x <,
故函数()f x 在(),0-∞单调递减,在()0,∞+单调递增
0x =时,函数()f x 有极小值()02f =
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的极值，属于基础题.
18.一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价x （元）与销量y （杯）的相关数据如下表：
（1）已知销量y 与单价x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；
（2）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（1）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果四舍五入保留到整数）
附：线性回归方程??y bx
a =+中斜率和截距最小二乗法估计计算公式：1
22
1
?n
i i
i n
i
i x y nxy
b x
nx ==-=-∑∑，
??a
y bx =-，51
=4195i i i x y =∑，5
21
=453.75i i x =∑. 【答案】（1）?32394y
x =-+（2）单价应该定为10元 【解析】 【分析】
（1）首先求出x 、y ，然后再求出?b
、?a ，即可求解. （2）设定价为x 元，利润函数为()()323948y x x =-+-，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】解：（1）由表中数据，()1
8.599.51010.59.55
x =
?++++= ()1201101
5
90706090y ++++==
， 则1
2
22
1
419559.590
?32453.7559.5n
i i
i n
i
i x y nxy
b
x
nx ==--??==
=--?-∑∑，
??90329.5394a
y bx =-=+?=， 所以y 关于x 的线性相关方程为?32394y
x =-+. （2）设定价为x 元，则利润函数为()()323948y x x =-+-， 其中8x ≥，则2
326503152y x x =-+-， 所以()
650
10232x =-
≈?-（元），
为使得销售的利润最大，确定单价应该定为10元.
【点睛】本题考查了线性回归方程、二次函数的性质，考查了计算求解能力，属于基础题. 19.已知三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=?，11AA AB BC ===.
（1）求异面直线1AB 与1BC 所成的角； （2）求二面角1C AB C --的大小. 【答案】（1）60；（2）45. 【解析】 【分析】
（1）本题首先可根据题意构造空间直角坐标系，然后写出()11,0,1AB =-与()10,1,1BC =，最后根据向量的数量积公式即可得出结果；
（2）本题首先可以求出平面1ABC 的法向量n 以及平面ABC 的法向量m ，然后求出两法向量的夹角的余弦值，最后结合图像，即可得出结果.
【详解】
因为1AA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=?
所以如图，以BA 为x 轴、BC 为y 轴、1BB 为z 轴建立空间直角坐标系， 因为11AA AB BC ===，所以()1,0,0A ，()0,0,0B ，()10,0,1B ，()10,1,1C （1）因为()11,0,1AB =-，()10,1,1BC =，
所以111111
1
,2
2AB BC cos AB BC AB BC ?<>=
=
=， 所以异面直线1AB 与1BC 所成的角为60，
（2）()10,1,1BC =，()1,0,0BA =，设平面1ABC 的法向量为(),,n x y z =
则100n BA n BC ??=???=??
，化简得00x y z =??+=?，取()0,1,1n =-，
设平面ABC 的法向量为()0,0,1m =，
,2
n m cos n m n m
?<>=
=
= 由图形可知二面角为锐角，故二面角1C AB C --的大小为45.
【点睛】本题考查异面直线所成角以及二面角的求法，可通过构造空间直角坐标系的方式求解，考查向量的数量积公式，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.
20.2020年3月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从甲地到乙地的蔬菜运输业务．已知该公司统计了往年同期200天内每天配送的蔬菜量X （40≤X ＜200，单位：件．注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装），并分组统计得到表格如表：
若将频率视为概率，试解答如下问题：
（1）该物流公司负责人决定随机抽出3天的数据来分析配送的蔬菜量的情况，求这3天配送的蔬菜量中至多有2天小于120件的概率；
（2）该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从甲地到乙地的蔬菜运输．已知一辆货车每天只能运营一趟，每辆货车每趟最多可装载40件，满载才发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利2000元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元．为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁几辆货车？ 【答案】（1）485
512
；（2）3． 【解析】
【分析】
（1）记事件A 为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”，则P （A ）3
8
=
，由此能求出随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率． （2）由题意得每天配送蔬菜量X 在[40，80），[80，120），[120，160），[160，200）的概率分别为1111
8428
，，，，设物流公司每天的营业利润为Y ，若租赁1辆车，则Y 的值为2000元，若租赁2辆车，则Y 的可能取值为4000，1600，若租赁3辆车，则Y 的可能取值为6000，3600，1200，若租赁4辆车，则Y 的可能取值为8000，5600，3200，800，分别求出相应的数学期望，推导出为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁3辆货车．
【详解】（1）记事件A 为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”， 则P （A ）38
=
， ∴随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率为：
p 221203
33335355485()()()8888
8512C C C ????=++= ?
?????． （2）由题意得每天配送蔬菜量X 在[40，80），[80，120），[120，160），[160，200）的概率分别为11118428
，，，，
设物流公司每天的营业利润为Y ， 若租赁1辆车，则Y 的值为2000元，
若租赁2辆车，则Y 的可能取值为4000，1600，
P （Y ＝4000）78=
，P （Y ＝1600）18
=， ∴Y 的分布列为：
∴E（Y）＝4000
71
1600
86
?+?=3700元．
若租赁3辆车，则Y的可能取值为6000，3600，1200，
P（Y＝6000）
5
8 =，
P（Y＝3600）
1
4 =，
P（Y＝1200）
1
8 =，
∴Y的分布列为：
∴E（Y）
511 600036001200
848
=?+?+?=4800元，
若租赁4辆车，则Y的可能取值为8000，5600，3200，800，
P（Y＝8000）
1
8 =，
P（Y＝5600）
1
2 =，
P（Y＝3200）
1
4 =，
P（Y＝800）
1
8 =，
∴Y的分布列为：
∴E（Y）
1111 800056003200800
8248
=?+?+?+?=4700，
∵4800＞4700＞3700＞2000，
∴为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁3辆货车． 【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频数分布表、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 21.如图，
四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，PA PC =，AB CD ∥，
AB AD ⊥，且244CD AD AB ===.
（1）过BD 作截面与线段PC 交于点H ，使得//AP 平面BDH ，试确定点H 的位置，并给出证明；
（2）在（1）的条件下，若二面角H BD C --的大小为4
π
，试求直线DA 与平面BDH 所成角的正弦值.
【答案】（1）H 为线段PC 上靠近点P 的五等分点，即5PC PH =，证明见解析；（2）1010
【解析】 【分析】
（1）连接BD 交AC 于点E ．证明AP EH ∥，即可证明AP ∥平面BDH ．
（2）以DA ，DC 为x ，y 轴的正方向，过点D 作平面ABCD 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面BDH 的法向量，利用空间向量的数量积求解直线DA 与平面BDH 所成角的正弦值即可．
【详解】（1）如图，连接BD 交AC 于点E ，