究竟什么是数学素养
孙宏安
编者按
当前，“核心素养”引发了教育界的广泛热议。今天本号推送着名数学教育专家、原大连教育学院副院长、国务院特殊津贴获得者孙宏安教授的近作。该文从思路、基础、探讨和结论等四个方面展开论述，最终比较准确地定位了数学素养：数学素养是学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的数学领域的必备品格和关键能力。必备品格是指具有必要的数学知识，具有数学应用意识、数据意识和计算意识，具有科学态度和正确的数学价值观。关键能力包括空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力、数据能力，包括数学抽象和概括能力、数学表达和交流能力等。本文观点新颖独到，论述严谨，令人叹服。品读本文，相信定能引发大家对素养、核心素养、数学素养的思考、讨论与实践探索。
数学素养探讨
《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》（2014，以下简称《意见》）指出：课程改革的深化“将提出各学段学生发展核心素养体系，明确学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，突出强调个人修养、社会关爱、家国情怀，更加注重自主发展、合作参与、创新实践”。在具体的课程改革中，将基于学科本质观来确立学科素养，基于学科素养来选择学科课程内容，基于学科课程内容来研究学业质量评价标准。确定数学素养则是深化数学课程改革的一项重要任务。《意见》指出了核心素养就是学生发展的根本目标，又指出“核心素养”就是“适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”，这为界定数学素养指出了方向。我们可以在这个核心素养界定下探讨各个学科素养，一般来说，各个学科素养应该就是核心素养在各该学科的“投影”，或者说核心素养就是各个学科素养的整合。
1、思路
这样对数学素养的研究就有两种思路：一，由学生发展的核心素养，即学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，进行数学或者数学教育领域的抽象，从而得出数学素养；二，由数学学科可能为学生提供的品格和能力出发，整合出可以作为学生的某些必备品格和关键能力的因素，就是数学素养，最后可以由各学科素养整合（具体化）为学生发展的核心素养。前一思路是由具体到抽象的思维展开途径；后一思路是由抽象到具体的思维上升过程。
关于数学素养国内早有研究，按照一位研究者的综述，20世纪50年代就有散在的自发性研究，90年代起跨世纪期间进行了多元性研究，本世纪10年代以来，人们进行了趋于统
一性的研究。数学素养的说法正式进入了国家课程标准，特别是上海市数学课程标准对数学素养进行了正式的界定。国内2009年参加PISA测试以来，研究者广泛引用了以PISA 数学测试的数学素养表述为代表的国外的各种数学素养界定，并进行了一些本土化工作。[[1]黄友初，我国数学素养研究分析[J]，课程?教材?教法，2015（8）：55-59][1]此外，对数学能力国内也早就进行了比较详尽的全面的研究；对与数学学习相关的若干必备品格，例如思维品质、价值观、应用意识、创新意识等也有不少研究；特别是国内对数学教育有着系统的深入的研究，得到了极其丰硕的成果。这些都是我们探讨数学素养的基础性条件。
2、基础
国内的数学素养表述
数学素养是什么？前面说的每一种研究都落实到对这一个问题的一种表述。国内对数学素养的表述一般地可以分为两类。
一类是从素养是一种心理状态或者特征出发作数学的限定，也就是对素养作数学领域的抽象。一个例子是：“数学素养指学生在已有数学经验的基础上，通过数学活动对数学的体验、感情和反思，并在真实情境中表现出来的一种综合性特征。广义的讲是一种综合特征，狭义的讲，是指在真实情境中有意识地应用数学知识与技能理性地处理问题的行为特征。”[[2]康世刚、宋乃庆，论数学素养的内涵及特征[J]，数学通报，2015（3）：8-11][2]说这是对素养做数学限定或者抽象而得出的是有依据的：只要把上面引文中的“数学”换成其他学科例如物理、化学、地理、历史等，就会发现，这段话仍然成立，表明着这个定义并不是从数学活动或者数学教育活动中概括出来的，是由“素养”概念或者由“特征”概念限定（抽象）出来的或者说演绎出来的。
另一类是由数学学科（教学科目）活动中概括出来的，例如：数学素养“就是数学思维能力，亦即数学运算能力、逻辑思维能力和空间想象力，其核心则是逻辑思维能力”。[[3]张奠宙、李仕錡、李俊，数学教育学导论[M]，高等教育出版社，2004：54][3]这两类表述并不是互相对立的，恰恰相反，它们是互相兼容而且互补的。前一类可以称为“属概念+种差”的定义，后一类可以称为“指明外延”的定义，它们在逻辑上都是合式的，本质上则是一致的。有一位作者同时运用了两种表述：“数学素养是指学生为了满足自身发展和社会发展所必备的数学方面的品格和能力，是数学的知识、能力和情感态度价值观的综合体。”实际上就是运用了“数学素养是数学领域的核心素养”这样的抽象表述。但是接着又指出：“数学素养的构成要素为：数学运算、数学推理、数学意识、数学思想方法和数学情感态度价值观。”指明了数学素养的外延！[[4]何小亚，学生“数学素养”指标的理论分析[J]，数学教育学报，2015（1）：13-20][4]回到本文开头说的研究数学素养的两种思路，在本例中是由前一种思路得出数学素养的内涵，由后一思路得出数
学素养的外延或者结构。
外国的数学素养表述
国外的被我们翻译为数学素养的词语有：Mathematical Literacy，Numeracy，Mastery of Mathematics，Mathematical Competence，Mathematical Proficiency等，不同国家不同学者用的不同词语的意义略有差。举出两种。
PISA测试的数学素养表述
PISA（Programme for International Student Assessment，PISA；中文：国际学生评估项目）是经合组织（OECD）发起的学生能力国际比较研究项目（从2000年开始每三年测试一次），测试主要聚焦在阅读素养、数学素养和科学素养上。
2012年PISA测试对数学素养的定义是：
数学素养是个体能够在不同情境中形成、运用和解释数学的能力，包括数学推理，运用数学概念、程序、事实和工具来描述、解释、预测。能帮助个体理解数学在社会生活中的作用，做出好的判断和决策，成为一个有建设性、参与性和反思能力的公民。[[5]参见：国际学生评估项目上海项目组，质量与公平——上海2012年国际学生评估项目（PISA）结果概要[M]，上海教育出版社，2015:8][5]
要运用已有的数学概念、知识和技能解决真实情境的问题，而问题解决是一个过程。首先需要把情境数学化，叫做数学表述；接着需要利用数学的概念、原理和方法解决数学问题，得到数学结果，称为数学应用；然后需要结合情境来解释该结果在情境中的意义，并评估结果针对原始问题的合理性。
在问题解决的过程中，学生需要灵活运用数学的基本能力，包括：沟通（交流）；数学化；表述；推理和论证；设计策略；使用符号化的、正式的术语和运算；使用数学工具。
第一段是一个按第一种思路做出的定义，“能力”是属概念，“个体能够在不同情境中形成、运用和解释数学”是种差，后面的分句是对种差作解释；下一句话则是指出个体具有数学素养的意义。下两段按第二种思路对数学素养作了外延分析。
美国NRC提出的数学素养
美国国家研究委员会（National Research Council，NRC）之下的数学学习研究委员会（MLSC）2001年把数学素养表述为描述成功数学学习的关键用词和所有学生须达到的学习目标，数学素养由概念理解、过程流畅、策略能力、合适推理和价值倾向等5个相互交织、互为依存的要素构成。这一数学素养的表述后来影响到整个西方世界。[[6]廖运章，美国NRC数学素养观及其影响[J]，外国中小学教育，2015（2）：59-65][6]其中的策略能力指的是提出、表征和解决数学问题的能力；价值倾向指把数学看作理性、有用、有价值的习惯性倾向，以及自我努力和自我效能的信念。这个定义非常重视过程，第三个和第四
个要素指的就是过程。
先把数学素养定义为某种关键词和学习目标，这是一种“属概念+种差”的形式定义，然后阐述了数学素养的外延，重点在于这个“指明外延”的定义。
国内数学教育研究的成果
国内数学教育研究的成果，相当集中地体现在普通高中的课程标准之中。课标“前言”就指出：“数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。”“课程目标”则指出：“进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。”这也是一个“属概念+种差”的“形式”定义，指出了需要但是没有说需要的是什么。
在“课程目标”中对数学素养的组成（外延）做了详细的论述，摘录如下。
“获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，体会其中所蕴涵的数学思想和方法。
提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。
提高数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。
发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断。
提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。”
3、探讨
如前文，作为基础举出的国内外数学素养表述的共同点是其方法：先按前面指出的第一种思路得出一个“属概念+种差”的定义，然后再采用第二种思路得到“指明外延”的定义，两者结合起来正好就是数学素养概念的内涵和外延，完成了对数学素养是什么的回答。其不同点在于所给出的属概念和所分解的外延的差别。
我们的数学素养探讨就是沿《意见》指出的定义数学素养的方向，整合作为基础性条件的国内外对数学素养的表述，得出一个清晰明确简洁而反映数学学科本质的数学素养表述。采用的就是前引表述的共同性方法：用第一种思路得到数学素养的内涵表述，用第二种思路得出数学素养的外延表述。
内涵探讨
需要对前举的所有的内涵定义的属概念在《意见》指出的方向上加以整合。
按照《意见》“核心素养”就是“适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”，
于是“必备品格和关键能力”就是“核心素养”的属概念。那么作为核心素养的下位概念的“数学素养”能不能以“适应终身发展和社会发展需要的数学领域的必备品格和关键能力”为属概念呢？可以做一点儿数学说明。
数学上可以设种概念和属概念的关系为“包含于（?）”：
就是说用“数学领域的必备品格和关键能力”作为数学素养的属概念与文献[2]的数学素养表述是协调的。
PISA测试的数学素养直接以能力作为属概念，其中数学素养对个人的意义的描述就是指的数学所带来的品性特征也就数学引起的必备品格。与“数学领域的必备品格和关键能力”作为数学素养的属概念是完全一致的。
NRC把数学素养定义为某种关键词和学习目标，这是一种“属概念+种差”的形式定义，其属概念“关键词和学习目标”是一种“空格”形式，可以填写想填写的内容，因此与“数学领域的必备品格和关键能力”作为数学素养的属概念是无矛盾的。
我们的高中课程标准也做出了这样一个形式定义，只列出了“空格”（需要），但是没有填空（需要什么），因此与“数学领域的必备品格和关键能力”作为数学素养的属概念也是无矛盾的。
外延探讨
从数学课程标准出发来探讨数学素养的外延，前面举出高中数学课程标准的课程目标是一个数学素养的指明外延的定义。在这个外延定义中，对关键数学能力和必备的数学品格都做了解构。
关于数学能力的外延，课程标准做了从数学活动出发和从能力推导的混合式表述，先提出空间想象能力、抽象概括能力，推理论证能力、运算求解能力，数据处理能力；然后换一个角度，再提出数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力。我们以此为基础整合一下对数学能力的表述。
文献[3]指出数学能力“就是数学思维能力，亦即数学运算能力、逻辑思维能力和空间想象力，其核心则是逻辑思维能力”。强调了数学思维能力，在课标中数学思维能力被分解为抽象概括能力和推理论证能力；PISA强调推理和论证能力，NRC强调的是“合适推理”，意思是即不仅仅是逻辑推理还要有合情推理能力，其实合情推理也没有超越逻辑推理的范畴，所以用逻辑推理表述推理论证的要求还是可行的；抽象和概括是思维的两个方向，NRC说的“概念理解”就离不开思维的这两个方向。要谈思维能力，概括是极其重要的，所谓知识的迁移就在于概括。当然，思维能力不仅仅是数学能力，更是人的一般能力，任何一个学科教育教学都有培养思维能力的任务，所以很多时候人们说的数学能力并不直接包括思维能力在内。有时为了强调数学中的思维能力，可以加上数学限制表明是数学能
力，就是数学思维能力，按前面的分析可以整合为“数学抽象概括能力和逻辑推理能力”。
运算是数学活动的一大特点，许多数学活动都会归结为计算，特别是通过计算工具计算机的计算，一个计算是由许多运算组成的，说到运算往往就指“一次基本计算例如加法乘法的计算”，我们说一台计算机的计算速度为3千万亿次运算/秒，指的就是3千万亿次加法运算，运用计算机进行若干次组织起来的运算解决一个问题叫做进行一次计算。在数学教学大纲中是“计算”“运算”反复改来改去的，如果考虑PISA数学素养的“使用数学工具的能力”和“运用数学概念、程序、事实和工具”的素养要求的话，还是叫做计算能力为全面，不仅实施基本运算而且需要编制计算程序研究计算方法（就是某个计算需要的各种运算的组织方法）。
关于数据的数学能力课程标准用“数据处理能力”，而实际上，对数据的需要是由数据识别、收集、处理、分析、运用多个环节组成的，而其中数据分析的环节就可能比数据处理更为重要，所以这个涉及数据的能力就整合叫做“数据能力”好了。
课标的一个重点是数学解决问题的能力，这一点在其他所有的论述中都得到同样的重视，PISA测试说的比较详细，指出解决问题包括抽象出数学问题即数学表述，得到数学结果即数学应用，解释和评估数学结果针对原始问题的合理性这样一系列的过程。这个问题解决过程一般地就是建立并使用数学模型的过程，因此相关的能力有时就称为“建模能力”；又由于建模不仅仅是数学的要求，物理、化学甚至历史、政治也有建模能力的需要，因而也需要加以数学限制：数学建模能力。
至于表达和交流是人的发展的一个最基本的途径，是任何学科都需要的，为了“全面”起见，可以加上数学限制列入数学的关键能力。
数学课程标准的数学素养外延表述除了能力之外都可以视为“必备品格”的要求，结合其他论述，我们整合如下：
首先是数学知识方面，要获得必要的数学知识（按广义的知识理解，数学技能、数学概念、数学思想数学方法都包括在知识之中）。因为能够教会的作为教学目标的能力可以而且必须用广义的知识来解释，离开对学科知识的思维（认知）过程就无法形成学科的关键能力。本文开头说的“在具体的课程改革上，将……基于学科素养来选择学科课程内容”指的就是选择形成数学关键能力必要的数学知识构成数学课程内容。
其次是数学意识方面，应用意识自不必说了，其余应该是数据意识——从数据的角度思考问题分析问题是大数据时代的基本要求，还有就是计算意识——随时自觉的运用数学工具，以适应普适计算和物联网时代的到来。
再次是科学态度和正确的数学价值观，它们可以涵盖所有关于兴趣爱好、世界观、价值观念、决策判断、参与和反思、理性精神、审美情趣等的要求。
4、结论
本文探讨的结果是：
数学素养是学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的数学领域的必备品格和关键能力。必备品格是指具有必要的数学知识，具有数学应用意识、数据意识和计算意识，具有科学态度和正确的数学价值观；关键能力包括空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力、数据能力，包括数学抽象和概括能力、数学表达和交流能力，还包括数学地提出、分析和解决问题的能力（数学建模能力）。
本文原载于：中学数学教学参考（上旬，2016（4）：7-10，
后被收入：人民大学复印报刊资料，高中数学教与学，2016（7）：7-10
（作者自负文责。欢迎转载，但须注明出处）
作者简介：孙宏安，教授，原大连教育学院副院长、辽宁师范大学硕士研究生导师，国务院特殊津贴获得者。研究方向：课程与教学论、数学史、科学教育。出版着作《中国古代科学教育史略》《中国近现代科学教育史》《杨辉算法译注》《科学教育概论》《世界数学通史》《课堂教学目标研究》《中国古代数学思想》《红楼梦数术谈》等80余部，发表“课程概念的一个阐释”“中国古代科学发展的文化背景”“数学应用对数学发展的作用”“中美科学课程标准比较”“中美数学课程目标比较”“数学素养探讨”等文章200多篇。
数学的必备品格，是其工具品格与文化品格。工具品格：工具性、精确性、应用性；文化品格：理性至上、言必有据、严谨认真。
小学数学核心素养的内涵与价值 义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出了10 个核心素养，即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。在《数学课程标准解读》等一些材料中，曾把这些称之为核心概念，但严格意义上讲，称这些词为“概念”并不合适，它们是思想、方法或者关于数学的整体理解与把握，是学生数学素养的表现。本文把这10 个词称之为数学的核心素养，并结合小学阶段（第一、二学段）的数学内容以及具体的教学案例分析核心素养的内涵和价值。 一、小学数学核心素养的内涵 数学核心素养可以理解为学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，核心素养不是指具体的知识与技能，也不是一般意义上的数学能力。核心素养基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能。核心素养反映数学本质与数学思想，是在数学学习过程中形成的，具有综合性、整体性和持久性。数学核心素养与数学课程的目标和内容直接相关，对于理解数学学科本质，设计数学教学，以及开展数学评价等有着重要的意义和价值。一般认为，“素养与知识（或认知）、能力（或技能）、态度（或情意）等概念的不同在于，它强调知识、能力、态度的统整，超越了长期以来知识与能力二元对立的思维方式，凸显了情感、态度、价值观的重要，强调了人的反省思考及行动与学习。”“数学素养是指当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的公民的需要而具备的认识，并理解数学在自然、社会生活中的地位和能力，作出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力。”可见，数学素养是人们通过数学的学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所具备的品质，通常是在人们与周围环境产生相互作用时所表现出来的思考方式和解决问题的策略。人们所遇到的问题可以是数学问题，也可能不是明显的和直接的数学问题，而具备数学素养可以从数学的角度看待问题，可以用数学的思维方法思考问题，可以用数学的方法解决问题。比如，人们在超市购物时常常发现这样的情境，收银台前排了长长的队等待结账，而只买一、两样东西的人也同样和买一车东西的人排队等候。有位数学家马上想到，能否考虑给买东西少的人单独设一个出口，这样可以免去这些人长时间的等候，会大大提高效率。那么问题就出现了，什么叫买东西少，1 件、2 件、3 件或4 件，上限是多少？因此，会想到用统计的方法，收集不同时段人们买不同件数东西人的数量，用这个数据可以帮助人们作出判断。在这个过程中，至少从两个方面反映了面对这样的情境，具有一定的数学素养有助于帮助人们提出问题和解决问题。首先是数感，具有数感的人会有意识地把一些事情与数和数量建立起联系，认识到排队结账这件事中有数学问题，人们买东西的数量（个数）与结账的速度有关系。并且买很少的东西也同样排很长时间队，一方面会显得交款处排很长的队，另一方面这些只买很少东
浅谈数学核心素养及其在课堂教学中的落 实 浅谈数学核心素养及其在课堂教学中的落实 “教育要学生带走的不仅是书包里的东西，还有超越书本知识的人的素养。”“人们在掌握知识时，如果没有理解意义，那么，在知识被淡忘后，它就很难留下什么；如果人们在学习知识时理解了对它生命的意义，即使知识已被忘记，这种意义定可以永远地融合在生命之中。”数学是每一个孩子从求学开始都必须要学习的主课，它教给孩子们的不应只是冰冷的数学知识，更重要是要教给学生用数学的眼光看待问题、用数学的思想去思考问题。王尚志教授曾经举过一个发人深省的例子：一所“985”高校，学生的高考数学平均分在125以上，入学后的10月份组织学生做过的高考题目的考试，平均分降到100；到同一年的12月再考一次同样的题目，平均分只有及格。这说明很多题目学生做过就忘了，考那样的题目，高中那样的教法，没有多大积极意义，学生的能力并没有得到真实的提高。社会的发展需要教育输出真正有能力，有才华的学生，高考制度与高中课程的改革，应该给学生脱颖而出的机会与条件。中学数学课程的学习不只是为了升学考试，更是为了把数学本身的学科意义渗透到学生的思维品质，实践操作，认知情感当中，提高学生的数学
素养。所以，作为数学老师，除了教知识，更要去思考如何培养学生的数学素养，特别是如何在课堂教学中体现与落实数学核心素养。 什么是数学核心素养呢？数学基础知识课程标准修订者认为数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面。通俗的说，就是把所学的数学知识都排除或忘掉后剩下的东西，或者说从数学的角度看问题以及有条理地进行理性思维、严密求证、逻辑推理和清晰准确地表达的意识与能力。 数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。对于数学抽象能力的培养，需要学生积累从具体到抽象的活动经验，使学生深入理解数学概念、命题、方法和体系，通过抽象概括，把握事物的数学本质，逐渐养成一般性思考问题的习惯，并能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题。 逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。对于逻辑推理能力的培养，关键在于引导学生发现问题和提出问题，然后利用所学数学知识进行表述和论证，形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数
数学核心素养可以理解为学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，核心素养不是指具体的知识与技能，也不是一般意义上的数学能力。核心素养基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能。核心素养反映数学本质与数学思想，是在数学学习过程中形成的，具有综合性、整体性和持久性。数学核心素养与数学课程的目标和内容直接相关，对于理解数学学科本质，设计数学教学，以及开展数学评价等有着重要的意义和价值。 一般认为，“素养与知识（或认知）、能力（或技能）、态度（或情意）等概念的不同在于，它强调知识、能力、态度的统整，超越了长期以来知识与能力二元对立的思维方式，凸显了情感、态度、价值观的重要，强调了人的反省思考及行动与学习。”“数学素养是指当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的公民的需要而具备的认识，并理解数学在自然、社会生活中的地位和能力，做出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力。”可见，数学素养是人们通过数学学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所具备的品质，通常是在人们与周围环境产生相互作用时所表现出来的思考方式和解决问题的策略。人们所遇到的问题可以是数学问题，也可能不是明显的和直接的数学问题，而具备数学素养可以从数学的角度看待问题，可以用数学的思维方法思考问题，可以用数学的方法解决问题。 比如，人们在超市购物时常常发现这样的情境，收银台前排了长长的队等待结账，而只买一两样东西的人也同样和买一车东西的人排队等候。有位数学家马上想到，能否考虑给买东西少的人单独设一个出口，
这样可以免去这些人长时间的等候，会大大提高效率。那么问题就出现了，什么叫买东西少，1件、2件、3件或4件，上限是多少？因此，会想到用统计的方法，收集不同时段买不同件数东西人的数量，用这个数据可以帮助人们做出判断。在这个过程中，具有数感的人会有意识地把一些事情与数和数量建立起联系，认识到排队结账这件事中有数学问题，人们买东西的数量（个数）与结账的速度有关系。 从这个例子中可以了解到，具备数学素养可能有助于人们在具体的情境中发现问题、提出问题和解决问题。而这个情境本身可能并非有明显的数学问题。 核心素养是个体在解决复杂的现实问题过程中表现出来的综合性能力。核心素养不是简单的知识或技能，它是以学科知识技能为基础，是整合了情感、态度或价值观在内的，能够满足特定现实需求的综合性表现。不难看出，核心素养关注的是后天教育的结果，它有别于一个人潜在的能力。而学科核心素养是核心素养在特定学科（或学习领域）的具体化，是学生学习一门学科（或特定学习领域）之后所形成的、具有学科特点的关键成就，是学科育人价值的集中体现。 新的课程标准中，给出了数学学科核心素养的六个主要方面，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象和数据分析，并从概念的界定、及其在数学与生活中的作用和意义方面进行了描述。 如在数学核心素养之一的数学抽象中，便指出数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。给出数学抽象的作
小学数学核心素养思考 摘要:素质教育是我国现代化教育建设的重要内容，其与应试教育极为不同，不再以应对考试作为教育目的，而是以培养学生综合素质作为教育的最终目的。小学数学作为九年制义务教育的重要组成部分，通过教学方式能够很好地贯彻核心素养的培养方式和方法。 关键词:小学数学;核心素养;实践;思考 1数学素养的基本内涵 “数学素养”一词最早出现在国家教委制定的《九年义务教育全日制初级中学教学大纲(试用)》中，一度成为全国数学教师的热门话题之一。人们普遍认为数学素养是指人们通过数学教育及自身的实践和认识活动，所获得的知识、技能、能力、观念和品质的素养。它的形成是学生在数学学习过程中逐渐积累起来的，是一个长期的、反复的、渐进的自主生成过程，也是一个不断反省、反证的自我体验过程。它一旦形成，必将超过数学学科知识范畴，并发挥长期、实在的功效。作为基础教育的小学数学教学，应以提高学生的数学素养为教学的终极目标。 2对数学素养的基本认识 目前关于数学素养的理解和认识存在一定差异性，具体包括以下几种观点:一是数学素养包括了后天学习和先天素质。在素质教育理念中明确了数学素养的重要性和组成，并提出人的先天特点是数学素养的基础，在后天环境的作用下将稳定的心理属性形成。二是数学素养由数学行为和价值组成，在解读数学素养的时候，郑强教授指出学习者在学习后对数学知识加深了理解，并将学习成果内化，将一种时代价值最终体现，使其服务于现实生活。在构成要素上，何小亚指出包括了数学情感态度价值观、思想方法、意识、推理与运算。同时康世刚还将数学素养的内涵明确，即以数学活动反思、感悟和体验数学活动，并将综合性特征通过真实情境表现，行为特征涉及了问题的技能理性处理与数学知识的应用。目前关于数学素养的构建研究已经上升到了价值观、态度和情感的层面。三是数学素养由关键能力和数学方法组成，并将下结论、提出假设和进行推理能力的形成概括为数学素养的内涵，并且以上关键能力均对学生的数学领悟程度有着决定性作用，同时也对数学的后期应用效度有着直接影响。义务教育大纲中对于数学素养
小学新课标数学核心素养解读 什么是小学数学核心素养，为什么要培养数学核心素养，怎样培养数学核心素养，这是本文要探讨的三个问题。 一、是什么 《课标》中提出了小学数学的10 个核心素养，即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。 （一）数学素养与核心素养 数学素养是通过数学的学习建立起来的一些思想、方法，以及用数学的思想方法处理和解决问题的能力。 核心素养是基于认数、计算、测量、统计等具体的数学知识与技能而形成的数学的思想与方法，具有综合性、整体性和持久性。10 个核心素养，反映了对小学生数学素养的基本要求，是学生数学素养的重要标志。 （二）核心素养与课程目标 数学核心素养与课程目标直接相关，它基于基本知识和技能，又高于具体的知识和技能，反映数学本质与数学思想。 它强调知识与技能、过程和方法、情感态度与价值观的统整，凸显情感态度和价值观的重要，强调学生的反省思考，行动学习。 （三）核心素养与课程内容 十个核心素养中，有的只与一个或几个课程内容密切相关。比如空间观念，就与平面、立体图形的认识，周长面积的计算，立体图形的表面积和体积等内容直接相关，这些内容的学习可以直接帮助学生建立空间观念，而空间观念的形成又有利于这些知识的进一步学习。 而有的核心素养与多个课程内容密切相关，不是直接的指向某一个特定的学习内容。比如推理能力、模型思想、应用意识和创新能力，贯穿整个小学阶段的学习内容。 二、为什么 我们为什么要深入研究小学数学核心素养，这样做的价值何在 （一）核心素养是数学素养的标志和体现 《课标》提出：”数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。”换言之就是发展学生的数学素养是数学教育的重要任务，是培养现代公民不可缺少的。 而数学素养是通过数学的学习建立起来的一些思想、方法，以及用数学的思想方法处理和解决问题的能力，十个核心素养又是学生数学素养的重要标志。 核心素养的提高不是空泛的，要落实到具体的数学教学过程之中，体现在数学教学的各个环节中，只有切实做好数学教学，才能为核心素养的提高奠定基础。 （二）核心素养体现课程的理念和目标 《课标》关于数学课程与教学的总体要求和目标：“数学课程应要面向全体学生，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。”
数学核心素养的内涵及培养 魏志平甘肃省白龙江林业管理局中学 摘要：“核心素养”被定义为“学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”。从价值取向上看，它反映了“学生终身学习所必需的素养与国家、社会公认的价值观”；从指标选取上看，它既注重学科基础，也关注个体适应未来社会生活和个人终身发展所必备的素养。 关键词：核心素养内涵评价 目前对数学核心素养的研究主要集中在以下几方面：数学核心素养的内涵及构成要素；数学核心素养的测量和评价；数学核心素养的培养。 一、数学核心素养的内涵及构成要素 1.数学核心素养的内涵和缘起 《普通高中数学课程标准（征求意见稿）》指出：“数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐渐形成的。数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力。高中阶段数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体。”面对未来，教育应该赋予学生的到底是什么？我国在借鉴国际经验的同时，结合本国实际，建构了中国学生发展核心素养指标体系，“核心素养”被定义为“学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”。从价值取向上看，它反映了“学生终身学习所必需的素养与国家、社会公认的价值观”；从指标选取上看，它既注重学科基础，也关注个体适应未来社会生活和个人终身发展所必备的素养。 和“四基”相比，核心素养的课程逻辑超越了知识本位的课程观，力图改变现有课程过于强调学科体系逻辑、课程标准过于重视内容标准、学科教学过于强调知识传授的倾向，从“课程育人”的角度回答“育人为本”的问题。按照这一逻辑，在回答“学什么”之前，更应该思考的是，学生在学习了各学科课程后，到底留下了什么？因此，在新一轮高中课程标准修订的时候，每门课程必须厘清“本学科对学生成长的特殊贡献是什么、具体内涵如何解构”等问题。正是在此背景下，数学核心素养应运而生。 2.正确理解四组关系 从上世纪80年代以来，数学教育目标经历了素质教育、“三维目标”、“四基”、数学核心素养等几个阶段。一路走来，是“玩文字游戏”，还是我们对数学教育目标的认识在一步步升华？要准确理解数学核心素养，必须弄清以下四组关系： （1）数学核心素养与素质教育的关系 有观点认为：尽管“二者在实质上高度一致”，都是培养全面发展的人，但“素质”倾向于“事物本来的性质、人的本质”，而“素养”更强调人的后天养成，故“核心素养”是回归教育改革的原点，倡导教、学、评的一体化，数学核心素养进一步关注学生的数学潜能，是可全面提高的数学素质。可见核心素养解释了素质教育的内涵，使素质教育有了“抓手”，落在实处。 （2）数学核心素养与“三维目标”的关系 知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的“三维目标”在数学课程中具体化为知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个课程总目标，数学教育以此为可测点，践行面向全体、尊重差异、主动参与、体验成功的策略，这与学生数学核心素养发展的目标是一致的。因此，数学核心素养在“三维目标”基础上生成，实现了“三维目标”，也就实现了学生数学核心素养发展目标。 （3）数学核心素养与“四基”的关系 数学核心素养是六个：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析，其中前三个就是数学基本思想，也是传承，后三个是传统的数学能力。因此，基于“四基”的数学教学也是基于数学核心素养的数学教学。
数学核心素养的教学案例 —空间中的平行关系复习课 数学素养——指人用数学观点、数学思维方式和数学方法观察、分析、解决问题的能力及其倾向性，包括数学意识、数学行为、数学思维习惯、兴趣、可能性、品质等等。数学是一门知识结构有序、逻辑性很强的学科，“是人们对客观世界进行定性把握和定量刻画，逐步抽象概括，形成方法和理论，并进行广泛应用的过程”。数学知识的学习过程，必须遵循数学学科特性，通过不断地分析、综合、运算、判断推理来完成。因此，整个学习过程就是一个数学知识的积累、方法的掌握、运用和内化的过程，同时又是数学思维品质不断培养强化的过程。显然数学的严密有序性、数学知识的内在逻辑性、数学方法的多样性是我们提高数学素养的极其重要的因素。 一个具有较高数学素养的人，数学思维特质的外显和内在表现在如下几个方面。 其一，“数学使人精细”是数学素养特质的外在表现。高数学素养的人往往受过系统的数学教育，数学知识丰富，在生活和上作上常表现出对数的敏感和适应，能够从纷繁复杂的事例中分离出数学因素，建立模型，通过数学进行观察分析，善于用数学的观点说明问题。其个性品质往往给人以精明、精细、富有逻辑的感觉。 其二，数学锻炼人的思维是数学素养特质的内在特征。数学是思维的“体操”，数学思维本身就具有客观性、直观性、深刻性和灵活性等特征。 数学思维的客观性。我们认识世界、了解世界，追求的是对客观世界的真实再现。数学思维相对于其它思维，其精度更高、信度更强、效度更可靠，原因就在于数学思维是客观现实的反映。用数学思维的观点、方法去观察、分析客观世界，更能体现真实再现的特点。 数学思维的直观性。思维本是抽象的东西，如果凭借数学模型，以数据、图形作为载体进行量化分析，可以大大加强其直观性，数学思维的深刻性。用数学方法进行思维，不仅可以了解事物的表面，而且可以通过对问题进行根本地了解和透彻地分析深入认识事物的本质。如果没有数学方法的参与，有时我们很难对某些问题进行定性认识，甚至会使问题的解决半途而废。而一旦通过数学方法对事物进行定性把握和定量刻画，则不难找到事物的本质联系或根本症结，作出合乎现实的正确决断。 数学思维的灵活性。数学思维方式方法的多样性以及数学运算简捷便通性，给我们运用数学知识，通过数学的观点、方法判断、分析解决问题提供了极大的便利。运用数学方法，解决问题，既可以宏观、全局、整体把握事物特征，又可以从某一方面、某一事例入手微观、局部地认识事物，达到窥“一斑”以见“个豹”的认知效果；既可以反思、总结过去，又可以设计和展望现在和未来；既可以通过数字符号反映事物间联系，又可以运用图形刻画事物的状态。随着数学手段的发展和数学器具的便捷，社会对数学运用关注的程度也越来越高，诸多便利因素的出现为我们在现实之中用数学解决问题注入了无限的活力。 下面我以空间中平行关系复习课的教学设计为例说明我在课堂中是如何渗透数学的核心素养的。 数学核心素养的空间中的平行关系是空间几何学的基础，也是培养学生推理论证,几何直观能力的重要素材。高三学生对空间中平行关系的相关概念和定理的掌握有所差异，同时缺乏知识的系统化，在解决空间中平行关系问题存在固化的程序操作，不能灵活应用。基于上述情况在对空间中平行关系进行一轮复习时安排了二课时。第一课时通过直观感知，促使学生主动回忆相关知识，构建知识框架。第二课时以一个题干为基础，以一系列存在性问题为任务驱动方式，引导学生建立平行关系转化的思维路径。让所有学生体会动态分析辅助线或面的思维过程，从而掌握解决复杂背景下空间中平行关系的一般方法。
关于数学核心素养的学习心得 提高学生“数学素养”就是培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学语言表达世界。提高学生的“数学素养”是提高民族素质、丰富人才资源这一战略的重要组成部分，也是社会发展与经济建设的需要。实施这一目标，数学教师起着主导性作用。如何在实际教学中，完成这一历史重任，是广大数学工作者亟待探讨和解决的问题。 任何“学科素养”的形成都以“核心素养”为背景、底色。任何学科的学习，学习者只要有积极的态度、浓厚的兴趣以及不屑的钻研精神，知识和能力的获得不仅没有太大问题，还会有独特的发现。换句话说，对于基础教育而言，积极的学习态度、进取心、抗挫力，应该比知识教学、能力训练更重要。 我觉得：一、教学过程要从激发学生自发学习的兴趣和能力，让学生学会学习数学，让学生养成学习的好习惯。教师只是配合学生的成长和发展而发挥作用。这一教学思想虽然在上学时已经了解，但在实际教学过程中却常常因为找不到出口而难于落实，学习了核心素养之后不仅从思想上，更从“从学出发”为抓手，具有很强的实际意义。 二、课堂教学要从“片面教授”提升为“全面发展” ，应以传播数学知识和数学文化素养为出发点，激发学生的兴趣，激活学生的潜力，培养学生的学习思维和良好习惯，这些对学生是终身受益的，因为以学生的全面发展是最终落脚点。通过数学文化的学习激发数学学习兴趣和数学学习的认同感。数学学科本身就是一个基础学科，其根本的目的不是训练学生在日常生活中计算技巧，而是培养学生的科学严谨的思维方式。 三、教学成长要从经验积累上升为科学研究。 事物的发展过程就是螺旋式上升的不断完善进步的过程，数学学习尤其是一个螺旋上升的过程。这使我认识到在以后的教学过程中会遇到的问题，要多问多学多积累，并要勤于笔耕，善于思考，将教学研究的作用充分发挥，从而提升自己的教学科素养的形成始终渗透人的“核心素养”的培育。学科教学必须要让教学环境充满人性与道德的关怀，学科能力才会成为积极情感、态度、价值的能力，即人的素养。 总之，通过学习数学核心素养，思想方面让我更加明白教师职业的生命价值、教师工作的特殊意义，实践方面我会通过研读课堂教学纪实和点评找到差距，我相信通过这次学习会受益匪浅。学水平。
小学数学核心素养研究现状及展望 2016年9月13日，《中国学生发展核心素养》总体框架正式发布，其中对学生发展核心素养进行了详细的论述。中国学生发展核心素养以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面，综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大素养，具体细化为国家认同等18个基本要点。[1]同时伴随着高中各学科课程标准的修订，对学科核心素养的研究和讨论相继展开。2018年1月，教育部颁布了《普通高中课程方案（2017年版）》和各学科课程标准（2017年版）。《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出，数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，[2]自此核心素养的研究又一次掀起了热潮。本文对2017年度人大《复印报刊资料? 小学数学教与学》中有关小学数学核心素养研究的论文进行梳理和分析，以期了解小学数学核心素养研究的现状。 一、《小学数学教与学》转载的“核心素养”相关论文概述 2017年度人大《复印报刊资料?小学数学教与学》共全文摘录190篇论文，其中与核心素养有关的有24篇（见表1）。从发表的期刊源来看，这些论文主要发表在13种期刊中，其中《小学数学教学》《小学教学（数学版）》《教育视界》《福建教育》刊载的数量较多，占总数的54%，《数学教育学报》《上海教育
科研》《课程?教材?教法》等核心期刊刊载数量较少，均为1篇，占总数的12.5%（见表2），可以看出小学核心素养的研究虽引起研究者的重视，但相关研究的层次仍需进一步提高。从论文作者所在地区分布来看，作者主要来源于10个地区，其中江苏省数量较多，占比最大，约为25%，其次是上海和北京，可以看出经济发达地区特别是东南沿海地区所占比例要明显高于东北、西北和西南地区（见表3）。从作者的单位类型来看，论文的主要作者来自小学一线，其次是教科院（教研室），大学和出版社所占比例较少（见表4）。 二、《小学数学教与学》转载的“核心素养”相关论文研究内容分析 通过对24篇论文进行研读和分析发现，相关研究主要从核心素养的内涵、特点和价值，核心素养的培养及落实和核心素养的评价三个方面展开。 （一）小学数学核心素养的内涵、特点及价值 1.小学数学核心素养的内涵 不同的研究者对于小学数学核心素养提出不同的看法，有研究者比较赞同《高中数学课程标准（2017年版）》中的表述，认为数学核心素养是指具备数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关?I能力，其基本构成包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析。[3]有研究者认为，数学学科核心素养是学生在数学学习的过程中所
浅谈核心素养在数学课堂上如何落实“教育要学生带走的不仅是书包里的东西，还有超越书本知识的人的素养。”“人们在掌握知识时，如果没有理解意义，那么，在知识被淡忘后，它就很难留下什么；如果人们在学习知识时理解了对它生命的意义，即使知识已被忘记，这种意义定可以永远地融合在生命之中。”数学是每一个孩子从求学开始都必须要学习的主课，它教给孩子们的不应只是冰冷的数学知识，更重要是要教给学生用数学的眼光看待问题、用数学的思想去思考问题。王尚志教授曾经举过一个发人深省的例子：一所“985”高校，学生的高考数学平均分在125以上，入学后的10月份组织学生做过的高考题目的考试，平均分降到100；到同一年的12月再考一次同样的题目，平均分只有及格。这说明很多题目学生做过就忘了，考那样的题目，高中那样的教法，没有多大积极意义，学生的能力并没有得到真实的提高。社会的发展需要教育输出真正有能力，有才华的学生，高考制度与高中课程的改革，应该给学生脱颖而出的机会与条件。中学数学课程的学习不只是为了升学考试，更是为了把数学本身的学科意义渗透到学生的思维品质，实践操作，认知情感当中，提高学生的数学素养。所以，作为数学老师，除了教知识，更要去思考如何培养学生的数学素养，特别是如何在课堂教学中体现与落实数学核心素养。 什么是数学核心素养呢？数学基础知识课程标准修订者认为数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面。通俗的说，就是把所学的数学知识都排除或忘掉后剩下的东西，或者说从数学的角度看问题以及有条理地进行理性思维、严密求证、逻辑推理和清晰准确地表达的意识与能力。 数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。对于数学抽象能力的培养，需要学生积累从具体到抽象的活动经验，使学生深入理解数学概念、命题、方法和体系，通过抽象概括，把握事物的数学本质，逐渐养成一般性思考问题的习惯，并能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题。 逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。对于逻辑推理能力的培养，关键在于引导学生发现问题和提出问题，然后利用所学数学知识进行表述和论证，形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数学交流能力。 数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段。数学建模能力的培养就是要使学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，从而提升应用能力，增强创新意识。 直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础。直观想象能力的培养就是要发展学生几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维。 数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段。数学运算是计算机解决问题的基础。数学运算能力的培养就是要使学生提高数学运算能力；能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯；形成一丝不苟、严谨求实的科学精神。 数据分析是大数据时代数学应用的主要方法，已经深入到现代社会生活和科学研究的各个方面。数据分析能力的培养就是要使学生提升数据处理的能力，增强基于数据表达现实问
小学数学核心素养心得体会 提高学生“数学素养”就是培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学语言表达世界。提高学生的“数学素养”是提高民族素质、丰富人才资源这一战略的重要组成部分，也是社会发展与经济建设的需要。实施这一目标，数学教师起着主导性作用。如何在实际教学中，完成这一历史重任，是广大数学工作者亟待探讨和解决的问题。 任何“学科素养”的形成都以“核心素养”为背景、底色。任何学科的学习，学习者只要有积极的态度、浓厚的兴趣以及不屑的钻研精神，知识和能力的获得不仅没有太大问题，还会有独特的发现。换句话说，对于基础教育而言，积极的学习态度、进取心、抗挫力，应该比知识教学、能力训练更重要。 我觉得：一、教学过程要从激发学生自发学习的兴趣和能力，让学生学会学习数学，让学生养成学习的好习惯。教师只是配合学生的成长和发展而发挥作用。这一教学思想虽然在上学时已经了解，但在实际教学过程中却常常因为找不到出口而难于落实，学习了核心素养之后不仅从思想上，更从“从学出发”为抓手，具有很强的实际意义。 二、课堂教学要从“片面教授”提升为“全面发展”，应以传
播数学知识和数学文化素养为出发点，激发学生的兴趣，激活学生的潜力，培养学生的学习思维和良好习惯，这些对学生是终身受益的，因为以学生的全面发展是最终落脚点。通过数学文化的学习激发数学学习兴趣和数学学习的认同感。数学学科本身就是一个基础学科，其根本的目的不是训练学生在日常生活中计算技巧，而是培养学生的科学严谨的思维方式。 三、教学成长要从经验积累上升为科学研究。 事物的发展过程就是螺旋式上升的不断完善进步的过程，数学学习尤其是一个螺旋上升的过程。这使我认识到在以后的教学过程中会遇到的问题，要多问多学多积累，并要勤于笔耕，善于思考，将教学研究的作用充分发挥，从而提升自己的教学水平。 学科素养的形成始终渗透人的“核心素养”的培育。学科教学必须要让教学环境充满人性与道德的关怀，学科能力才会成为积极情感、态度、价值的能力，即人的素养。 总之，通过学习数学核心素养，思想方面让我更加明白教师职业的生命价值、教师工作的特殊意义，实践方面我会通过研读课堂教学纪实和点评找到差距，我相信通过这次学习会受益匪浅。 有幸参加xx成功中心（梧山校区）数学研讨活动，一睹蔡荣鑫副校长课和颜丹清老师精彩的课堂教学演绎，更再次聆听到晋江市教
如何在数学教育中提升学生的数学核心素养榆中师范学校数学组安桂林 一、正确认识和理解数学核心素养 21世纪，我国确定了“立德树人”“以人为本”的教育改革指导思想，强调以课程为载体落实指导思想，进而以高中课程标准修订为突破，探索、积累经验，逐步推广。“以素养立意课程体系”主要是将培养、提升学生的核心素养（通识）、学科核心素养作为课程基本目标，根据每一个学科的特点，把三维目标通过每一个学科的核心素养加以落实，把课程总目标与学科教育有机结合。 数学核心素养是数学课程目标的重要的基本组成部分，每个数学核心素养通过“情境与问题”“知识与技能”“思维与表达”“交流与反思”四个方面表现出来，这四个方面也是描述核心素养水平的四个维度。 每一个数学核心素养有自身的独立性，在学习数学的过程中，在发现与提出、分析与解决数学问题和实际问题中，各自在不同的环节发挥不同的作用，但我们更需要强调整体性，六个核心素养是一个有机联系的整体，它们不是两两“不交”的独立素养，而是相互“交着”相互“渗透”的，在直观想象中，蕴含着抽象、推理、模型；在抽象概括中，也离不开直观、推理、模型；在数学建模的过程中，更需要直观、推理、模型交互发挥作用…… 数学核心素养不是独立于知识、技能、思想、经验之外的“神秘”概念，综合体现出对数学知识的理解、对数学技能方法的掌握、对数学思想的感悟及对数学活动经验的积累。 二、基于数学核心素养的数学课程体系 基于数学核心素养的数学课程要突出三件事，一是符合数学规律并结构清晰；二是突出数学本质；三是便于转化，转化为数学核心素养。 1.体现选择性的高中数学课程结构
不同的学生拥有不同的特长，会选择不同的发展方向，需要有不同水平的数学核心素养，而数学课程标准为不同发展方向的学生设计了不同的课程。 必修课程为学生发展提供共同基础，是高中毕业考试的内容要求。选修Ｉ课程是供学生选择的课程，必修课程和选修I课程是高考的内容要求。选修Ⅱ课程分为ABCDE五类。这些课程为学生确定发展方向提供引导，为学生展示数学才能提供平台，为学生发展数学兴趣提供选择，为大学自主招生提供参考。学生可以根据自己的志向和大学专业的要求选择学习其中的某些课程。 A课程是部分理工类（数学、物理、计算机、精密仪器等）学生可以选择的课程。B课程是经济、社会（数理经济等）和部分理工类（化学、生物、机械等）学生可以选择的课程。C课程是人文类（历史、语言等）学生可以选择的课程。D课程是体育、音乐、美术（艺术）类学生等可以选择的课程。E课程（校本课程）是学校自主开设，供学生自主选择的课程，特别包括大学先修课程（CAP）。 2.体现数学核心素养发展的高中数学内容结构 数学有丰富的研究领域、问题和方法，形成了很多特点鲜明、作用不同的数学分支，但数学又是一个有机整体，拥有清晰的结构，从学习的角度来说，更是如此。只有这样，才能更好地提升、发展学生的数学核心素养。根据高中学习特点和需要，高中数学内容将突出三条贯穿始终的内容主线：函数及应用、几何与代数、统计与概率。数学建模与数学探究是另一条贯穿始终的主线。另外，还应将数学文化渗透在高中课程内容中。抓住这些贯穿始终的主线，才能反复感受到抽象、推理（运算）、模型、直观所起的作用，有效地促进学生数学核心素养的提升和发展。 3.体现数学本质的关键问题和主要概念、定理、模型、思想方法、应用 在整体认识高中数学内容结构和主线的基础上，需要进一步深入思考支撑主线的关键问题和主要概念、定理、模型、思想方法、应用等。以函数主线为例，首先，抓住以下关键问
关于数学核心素养的思考 9月13日上午，中国学生发展核心素养研究成果发布会在北京师范大学举行。这项历时三年权威出炉的研究成果，对学生发展核心素养的内涵、表现、落实途径等做了详细阐释。据了解，这份核心素养可是事关今后的课标修订、课程建设、学生评价等众多事项，学生发展核心素养指学生应具备的，能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，是关于学生知识、技能、情感、态度、价值观等多方面要求的综合表现。中国学生发展核心素养，以科学性、时代性和民族性为基本原则，以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面。综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大素养，具体细化为国家认同等十八个基本要点。根据这一总体框架，可针对学生年龄特点进一步提出各学段学生的具体表现要求。 数学核心素养，是指在众多的数学素养内那些关键的、处于重要位置上、使用频度较高的素养。目前，课程标准修订者认为数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面。数学核心素养是一个高度抽象的思维产物，它要高于数学知识、数学一般的思维方法，因此有人认为数学核心素养是指把所学的数学知识都排除或忘掉后剩下的东西,即能从数学的角度看问题,有条理地进行理性思维、严密求证、逻辑推理和清晰准确地表达的意识与能力。但是它同时又不可能脱离这些下位的知识与方法，它只能在数学知识的学习过程中，数学思想方法的掌握过程中，通过逐步积累、领悟、内省
形成。 二、数学核心素养能提升吗？ 数学素养就是通过平时的训练、实践、内省、反思逐步积累而形成的。因此，数学素养是可以培养、可以提升的。 我想至少做好以下几点有利于培养学生的数学素养。 第一、喜欢数学是最大的不变量激发学习兴趣是教学的第一“公理”，是教学永远的“不动点”、“不变量”。好的教师不是在教数学，而是能激发学生自已去学数学。古人云：“知之者不如好知者，好知者不如乐知者。”只有学生“乐学”，才会主动地学。兴趣是最好的老师。——我们自己何尝不是如此。让学生喜欢你来上课，喜欢你上的这门课，喜欢你这个人。学生对你教的这门课有兴趣，就乐意做课外练习、看课外书、思考与这门课有关的问题，甚至将来走上研究这门科学的道路。在教学过程中让学生体验到：数学是有用的、是有意义与价值的；数学是可接近的、不神秘；数学是好玩的、可亲近的、有感情的、不是枯燥的。数学教学设计，教师应该注意：创设有利于引起学生兴趣的情境；改变教学内容的呈现方式；让学生感受到所学内容的必要性；通过矛盾引发认知冲突；设置悬念，让学生先猜一猜，想一想，不要轻易“捅破窗户纸”，等等。 第二、让学生自己做数学弗赖登塔尔认为，数学教育方法的核心是学生的再创造。教师应该创造合适的条件，让学生在学习数学的过程中，用自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识。没有学习者的体验、感悟的概括是无效的概括。这样的教学是无效的教学。“纸
数学核心素养之数学抽象理解 高中课程标准修订组，按照内涵、价值和表现的框架，给出的高中数学核心素养是：数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析。 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。 数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。…… 反思1：只舍去“物理属性”，不舍去“社会属性”“形式属性”？应该是“具体属性”. 反思2：“表征”应改为“表示”，如此更通俗易懂，也更准确。表征是教育心理学的术语，是认知者在脑中重新表示反映——再表示的意思。 反思3：数量与数量关系、图形与图形关系已经属于纯数学世界的内容，由两者抽象出数学概念及关系就是所说的垂直数学化，即数学世界内部由低级向高级的发展。“从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构”指的是从真实世界得出数学原理结构，是由真实世界到数学世界的水平数学化之一，但却少了另一种更基础的水平数学化：由真实世界抽象出数量、图形、概念等数学模式。例如：实际问题→茎叶图；力→向量；力的分解合成→向量的分解合成。 反思4：抽象是数学的特点之一，但不是数学所特有的。逻辑学、哲学、文学、艺术中的“抽象”俯拾皆是。浙江大学120周年校庆通告你读懂了多少？“庠序”“缉熙”“黾勉”不抽象吗？毕加索的画不抽象吗？ 概括性才是数学更本质的特点。抽象是过程手段，是概括的基础，而概括才是最终的目的.理解数学概念、原理的本质不是理解抽象性，而是理解数学概念、原理的概括性或者说“通杀性”！ 反思5：“数学抽象”是一种提炼抽取数学对象的手段，把它作为一种数学思想恰当吗？请问国际上有哪一本专著、论文把数学抽象作为数学思想之一？从定义所阐述的内容看，“数学抽象”实际上就是数学家、数学教育家早已提出的“数学化”的部分内容。 数学化是整理现实性的过程，它包括数学家的全部组织活动，比如公理化、形式化、图式化、建模，以及数学内部由低级向高级的推动过程这里的“现实性”是指真实世界和数学世界的总和，不能望文生义地理解为真实世界、现实世界. 公理化是指从少数不加定义的原始概念和不加证明的公理出发，运用逻辑推理规则把一门学科建立成为演绎系统的过程. 形式化是指“用日益有效的符号对语言的整理、修正和转化的过程.”而关于图式化，在介绍完公理化、形式化后，是这样形容的：“人们早已习惯于把经历和行为示范性地推广，从中抽象出定律和规则.形成与现实的体系相吻合的图式.最后一步就是图式化，它和公理化、形式化相对应，尤其是当考虑的是内容而不是抽象的形式或语言的时候.”.因此，可以认为，图式化就是形式内容的内化过程，其结果是一种心理意义，即心理结构. 建模是数学化的一个方面，在的术语观中，模型是不可缺少的一种中介，建模就是用模型把复杂的现实或理论来理想化或简单化，从而更易于进行形式的数学处理. 数学化被分成两种：一是水平数学化，即从生活世界中抽象概括出数学概念、数学原理等数学模式的过程，是从“生活世界”到“数学世界”的转化过程.二是垂直数学化:即从现有的数学世界中抽象概括出更高级的数学模式的过程，是从低层数学到高层数学的过程. 国内外同行早已认同了的观点：学数学就是学习数学化，教数学就是教数学化。数学化的学习就是学习数学化的过程，即学习如何进行公理化、形式化、图式化、模型化，以及学习在数学内部由低级向
小学数学核心素养的内涵与价值 马云鹏东北师大 义务教育数学课程标准(２011年版）》明确提出了10 个核心素养,即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。在《数学课程标准解读》等一些材料中,曾把这些称之为核心概念,但严格意义上讲，称这些词为“概念”并不合适,它们是思想、方法或者关于数学的整体理解与把握，是学生数学素养的表现。本文把这1０个词称之为数学的核心素养,并结合小学阶段(第一、二学段）的数学内容以及具体的教学案例分析核心素养的内涵和价值。 一、小学数学核心素养的内涵 数学核心素养可以理解为学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力,核心素养不是指具体的知识与技能，也不是一般意义上的数学能力。核心素养基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能。核心素养反映数学本质与数学思想,是在数学学习过程中形成的,具有综合性、整体性和持久性。数学核心素养与数学课程的目标和内容直接相关,对于理解数学学科本质,设计数学教学，以及开展数学评价等有着重要的意义和价值。一般认为，“素养与知识(或认知）、能力（或技能)、态度(或情意）等概念的不同在于，它强调知识、能力、态度的统整，超越了长期以来知识与能力二元对立的思维方式，凸显了情感、态度、价值观的重要,强调了人的反省思考及行动与学习。”“数学素养是指当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的公民的需要而具备的认识,并理解数学在自然、社会生活中的地位和能力,作出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力。”可见，数学素养是人们通过数学的学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所具备的品质，通常是在人们与周围环境产生相互作用时所表现出来的思考方式和解决问题的策略。人们所遇到的问题可以是数学问题，也可能不是明显的和直接的数学问题，而具备数学素养可以从数学的角度看待问题，可以用数学的思维方法思考问题，可以用数学的方法解决问题。比如，人们在超市购物时常常发现这样的情境，收银台前排了长长的队等待结账，而只买一、两样东西的人也同样和买一车东西的人排队等候。有位数学家马上想到,能否考虑给买东西少的人单独设一个出口,这样可以免去这些人长时间的等候,会大大提高效率。那么问题就出现了，什么叫买东西少，1 件、2 件、3 件或4 件,上限是多少?因此，会想到用统计的方法,收集不同时段人们买不同件数东西人的数量,用这个数据可以帮助人们作出判断。在这个过程中，至少从两个方面反映了面对这样的情境,具有一定的数学素养有助于帮助人们提出问题和解决问题。首先是数感，具有数感的人会有意识地把一些事情与数和数量建立起联系,认识到排队结账这件事中有数学问题,人们买东西的数量（个数）与结账的速度有关系。并且买很少的东西也同样排很长时间队，一方面会显得交款处排很长的队,另一方面这些只买很少东西的人在心理上会产生焦虑。而解决这个问题时就需要数据分析观念,用具体的数据说话会有说服力地解决这个问题。从这个例子中，可以了