工程塑性力学

机械工程中的塑性力学分析引言机械工程是一个综合性的学科，它涉及到许多领域，包括材料科学、力学以及工程设计等。

在机械工程中，塑性力学分析被广泛应用于材料的变形和失效的研究，对于设计和制造强度高、可靠性好的机械零部件具有重要意义。

本文将探讨机械工程中的塑性力学分析的原理、方法以及应用。

塑性力学分析的原理和基础塑性力学是研究材料在加载过程中的塑性行为和塑性变形规律的一门学科。

它主要研究固体材料在超过弹性限度后的塑性变形，涉及到塑性流动理论、塑性应变硬化模型等内容。

在机械工程中，塑性力学分析主要应用于强度验证、余寿命评估以及制造工艺的优化等方面。

塑性力学分析方法在机械工程中，常用的塑性力学分析方法主要有有限元方法、塑性成形理论、塑性应变硬化模型等。

有限元方法是一种将连续体分割为有限数量的元素，通过数值计算得到材料的应力、应变分布及变形过程的方法。

塑性成形理论是研究塑性加工过程中变形力学规律的一种理论。

它通过对大变形情况下的材料行为进行描述，推导出变形力学方程，从而实现对材料加工过程的分析和控制。

而塑性应变硬化模型则是用数学表达式来描述材料的应变硬化行为，通过实验数据拟合确定材料的本构方程。

塑性力学分析的应用塑性力学分析在机械工程中有着广泛的应用。

首先，它可以用于材料选择和制造工艺的优化。

通过塑性力学分析，工程师可以评估不同材料在不同加载条件下的塑性变形和失效情况，从而选择最合适的材料。

同时，通过分析不同的制造工艺，可以优化零件的设计和制造过程，提高零部件的强度和可靠性。

其次，塑性力学分析可以用于强度验证和余寿命评估。

在机械工程设计中，强度验证是非常重要的一环。

通过对机械零部件的材料属性和外部加载条件的分析，可以预测零件在使用中可能出现的变形和失效情况，从而采取相应的措施来提高其可靠性和寿命。

最后，塑性力学分析也可以用于材料的变形和失效研究。

通过实验和数值模拟，可以深入理解材料的变形机理和塑性行为规律，为材料的设计和制造提供科学依据。

塑性力学的基本概念和应用塑性力学是力学学科中的一个重要领域，研究物体在超过其弹性限度之后发生的塑性变形和力学行为。

它在工程领域中有着广泛的应用，可以用于设计和分析各种结构和材料。

本文将介绍塑性力学的基本概念和应用。

一、塑性力学的基本概念塑性力学研究材料在受力过程中的变形行为，重点关注材料的塑性变形和它们与应力应变关系之间的联系。

以下是塑性力学中的几个基本概念：1. 弹性和塑性：在外力作用下，材料会产生变形。

当外力移除后，材料能够完全恢复到其初始形状，这种变形称为弹性变形。

而当外力作用超过了材料的弹性限度时，材料会发生不可逆的塑性变形，导致永久性的形变。

2. 屈服点和屈服应力：材料在受力过程中，当应力达到一定数值时会开始产生塑性变形，此时的应力称为屈服应力。

屈服点是应力-应变曲线上的一个特定点，表示材料开始发生塑性变形的阈值。

3. 工程应力应变和真实应力应变：工程应力指材料在不考虑变形前尺寸的情况下受到的力与单位面积的比值，工程应变指材料在变形前尺寸和力的情况下的应变与原始尺寸比值。

真实应力和真实应变则考虑了材料在受力过程中的变形，分别是力和应变与变形的比值。

二、塑性力学的应用塑性力学在工程领域中有着广泛的应用，以下是其中几个典型的应用。

1. 金属成形加工：塑性力学在金属成形加工中扮演着重要的角色。

通过了解材料的塑性特性和应力应变关系，可以优化金属成形加工的工艺参数，提高材料的形变能力，减小残余应力，提高产品质量。

2. 板结构设计：在板结构的设计中，塑性力学可以用于评估结构的稳定性和承载能力。

通过分析材料的屈服点和塑性变形情况，可以确定合适的结构尺寸和加强措施，以满足结构的强度和刚度要求。

3. 地震工程：塑性力学在地震工程中的应用也很重要。

通过研究材料的塑性行为，可以评估结构在地震荷载下的响应和潜在破坏模式。

这有助于设计出抗震性能良好的建筑和结构，并提供灾害防护措施。

4. 仿真和模拟：在产品设计和工艺优化中，塑性力学可以被应用于数值模拟和仿真。

塑性力学在工程设计中的关键问题与解决方案塑性力学是研究材料在超过弹性极限后的变形和破坏行为的力学学科。

在工程设计中，我们常常面临着与塑性力学相关的一些关键问题。

本文将讨论这些问题，并提出相应的解决方案。

一、材料的强度和可塑性之间的平衡在工程设计中，我们通常希望材料在承受外部载荷时既具有足够的强度来保证结构的安全性，又具有足够的可塑性来抵抗变形和破坏。

然而，材料的强度和可塑性之间存在着平衡关系。

如果材料过于强硬，可能导致脆性破坏；而如果材料过于韧性，可能导致过度变形。

因此，我们需要找到合适的材料和设计方法来平衡材料的强度与可塑性。

解决方案：1. 选择适当的材料：在工程设计中，我们可以根据具体的应用需求选择合适的材料。

例如，对于需要更高强度的结构，可以选择高强度材料，而对于需要更高可塑性的结构，可以选择具有良好塑性的材料。

同时，还可以通过合金化、热处理等方法改善材料的性能。

2. 优化结构设计：通过合理的结构设计，可以减少或避免材料的过度应力和塑性变形。

例如，增加结构的支撑和加强部位，合理布置剪切墙和支撑柱等。

二、塑性变形的控制和预测在工程设计中，我们需要准确预测和控制材料的塑性变形，以确保结构在工作过程中不超过允许的变形范围。

然而，塑性变形是一个复杂的过程，与材料的力学性能、加载条件等因素密切相关，因此，对于塑性变形的控制和预测面临着一些困难。

解决方案：1. 借助计算机模拟：通过使用计算机模拟软件，可以对材料的塑性变形进行建模和仿真分析。

例如，有限元方法可以用来模拟结构的应力和变形分布，帮助工程师准确预测和控制塑性变形。

2. 结合实验测试：在工程设计中，可以结合实验测试来验证计算模型的准确性。

通过对材料的试验研究，可以获取其应力-应变曲线等关键参数，并将其用于计算模型中，提高预测的准确性。

三、材料的疲劳与裂纹扩展在实际工程中，结构常常会受到循环加载，从而引起材料的疲劳和裂纹扩展。

这些问题会进一步导致结构的强度和可靠性降低，对工程的安全性和可持续性造成影响。

工程塑性力学简介工程塑性力学是力学的一个分支领域，研究材料在塑性变形条件下的力学行为。

塑性变形是指材料在超过其弹性极限时发生的不可逆形变。

工程塑性力学的研究对于设计和优化工程结构以及材料的选择具有重要的指导意义。

塑性力学模型塑性力学模型是研究塑性变形的数学工具。

目前较为常用的模型有线性硬化模型、冯·米塞斯模型和本杰明-柯尔曼模型等。

线性硬化模型线性硬化模型假设材料的应力-应变曲线在塑性阶段为直线。

这种模型简单且易于应用，适用于某些工程应用。

冯·米塞斯模型冯·米塞斯模型是一种广泛应用的模型，它假设材料的应力和应变之间存在一个线性关系。

冯·米塞斯模型适用于描述流变性能较好的材料。

本杰明-柯尔曼模型本杰明-柯尔曼模型是一种考虑材料塑性和蠕变特性的模型。

在该模型中，材料的应力和应变不仅与当前的应变有关，还与之前的应变历史有关。

塑性变形行为塑性变形行为是材料在塑性变形过程中所表现出来的力学特性。

常见的塑性变形行为有屈服、流动、硬化、收敛等。

屈服材料在经历一定应变后，会达到一个稳定的塑性变形状态，这个状态被称为屈服。

屈服点是指材料在应力-应变曲线上的转折点。

流动在材料发生塑性变形时，其内部原子或分子会发生位移，这种位移在宏观上表现为材料的流动。

硬化随着材料发生塑性变形，其力学性能会发生变化。

在材料发生塑性变形后，材料的硬度会逐渐增加，这个过程被称为硬化。

收敛塑性变形过程中，材料会逐渐进入稳定状态。

当材料达到稳定状态时，其应力和应变会收敛到一个固定的值，这个现象被称为收敛。

应用工程塑性力学的研究对于各个领域的工程设计和优化有着重要的应用价值。

结构设计在结构设计中，工程塑性力学可以帮助工程师预测和分析结构在塑性变形条件下的承载能力和变形行为。

通过工程塑性力学的研究，可以优化结构设计，提高结构的可靠性和安全性。

材料选择在材料选择过程中，工程塑性力学可以帮助工程师评估材料的塑性和蠕变性能。

工程力学中的弹性力学和塑性力学研究工程力学是指研究物体在外力作用下的力学行为及其相互联系的一门学科。

其中，弹性力学和塑性力学是工程力学领域中两个重要的研究分支。

本文将对弹性力学和塑性力学进行详细的介绍和比较。

一、弹性力学弹性力学是研究物体在受到外力作用后能够恢复原来形状和大小的力学行为。

弹性力学的基本假设是物体受力后所产生的应变与外力呈线性关系，即满足胡克定律。

根据弹性力学的研究结果，可以得到应变与外力的关系，从而预测物体在受力下的变形和应力分布。

弹性力学常用的模型包括钢材的线弹性模型和混凝土的双弹性模型。

线弹性模型假设材料具有线性弹性行为，即应力和应变成正比。

双弹性模型则考虑了材料在加载和卸载过程中的不同力学性质，有利于对混凝土等复杂材料的力学行为进行准确描述。

弹性力学研究的主要内容包括力的平衡条件、物体的变形与应力、弯曲、挠度、自由振动等。

在工程实践中，弹性力学的理论可以应用于建筑结构的设计、机械零部件的选择和优化以及工程材料的改进等方面。

二、塑性力学塑性力学是研究物体在外力作用下会发生永久形变的力学行为。

与弹性力学相比，塑性力学关注的是物体的超弹性行为，即超出了弹性临界点后的力学行为。

塑性力学不仅涉及到材料的变形和应力分布，还包括材料在加载后产生的塑性应变和应力的分析。

塑性力学的研究对象通常是那些在外力作用下会发生塑性形变的金属材料，如钢材、铝合金等。

在塑性力学中，常用的本构模型有线性硬化模型和可塑性理论。

线性硬化模型假设材料的塑性变形与外力呈线性关系，可塑性理论则试图通过复杂的本构方程来描述材料的力学行为，在实际工程中得到了广泛应用。

塑性力学的研究内容包括塑性变形的机理、材料的本构关系、应变硬化、材料的屈服、断裂和破坏等。

在工程实践中，塑性力学的理论可以应用于金属结构的设计、铸造和焊接工艺的优化以及塑性加工工艺的控制等方面。

三、弹性力学与塑性力学的比较弹性力学和塑性力学作为工程力学的分支，各自具有不同的特点和应用范围。

弹性与塑性力学的实际应用弹性力学和塑性力学是材料力学中重要的分支，它们研究材料在受力后的变形行为以及力学性能。

这两个领域的实际应用广泛，涉及到许多重要的行业和领域，如建筑工程、航空航天、汽车制造等。

本文将探讨弹性与塑性力学在实际应用中的重要性和具体例子。

一、桥梁工程弹性力学在桥梁工程中具有重要的应用。

桥梁是连接两个地点的重要交通枢纽，承受着巨大的力和重压。

桥梁的设计和施工必须考虑到材料的弹性变形和应力分布情况。

桥梁结构需要能够在受力后恢复原状，以满足不同条件下的荷载要求。

弹性力学的理论和实践指导了桥梁设计的合理性和稳定性。

然而，桥梁在长期使用过程中也面临着塑性变形的问题。

例如，大型桥梁和高速桥梁常常会受到车辆行驶引起的动力荷载和温度的影响，从而导致塑性变形和局部破坏。

为了保证桥梁的可靠性和持久性，塑性力学的知识和方法在桥梁维护和检修中应用广泛。

通过对桥梁的结构和材料进行分析和评估，可以及时采取措施来防止塑性变形和延长桥梁的使用寿命。

二、航空航天工程在航空航天工程中，弹性与塑性力学的应用尤为重要。

飞机、航天器等航空器件需要在极端的条件下工作，如高速飞行、大气压力和温度变化等。

因此，航空材料必须具备良好的弹性和塑性特性，以确保飞行器的安全和性能。

弹性力学的理论被广泛用于航空器的设计和性能评估。

通过对材料的弹性恢复和应力分析，可以保证飞机和航天器在受力后不会发生永久塑性变形，并且能够承受外界环境的冲击和压力。

同时，塑性力学的知识也被应用于航天器的失效分析和事故调查中，以确定外界因素和材料的塑性行为对飞行器引起的损伤和事故的影响。

三、汽车制造弹性与塑性力学在汽车制造中具有广泛的实际应用。

汽车是人们日常生活中不可或缺的交通工具，对于汽车的安全性、舒适性和经济性要求越来越高。

因此，汽车制造必须考虑到材料的弹性和塑性特性，以提高车辆的整体性能和使用寿命。

弹性力学的理论被广泛用于汽车零部件的设计和制造中。

例如，发动机的缸体、活塞和连杆等构件必须具备良好的弹性特性，以承受高压力和高温环境下的工作要求，同时尽量减少能量损耗和振动噪声。

工程塑性力学第二版第一章答案
1-1 说明下列式子的意义和区别：
(1) F1=F2;，(2) F1=F2 ,(3）力F1等效于力F2。

答：式(1)表示2个力的大小相等。

式(2)表示2个力矢量相等，即2个力的大小相等，方向相同。

式(3)表示2个力的大小相等，方向和作用线均相等。

1-2 试区别Fr=F1+F2，和Fr=F1+F2，两个等式代表的意义。

答：前者表示2个矢量相加，后者表示2个代数量相加。

1-3二力平衡条件与作用和反作用定律都是说二力等值、反向、共线，者有什么区别？
答：二力平衡条件是作用在1个刚体上的使之平衡的2个力，而作用和反作用力是分别作用在2个相互作用的物体上的2个大小相等的力。

1-4为什么说二力平衡条件、加减平衡力系原理和力的可传性等都只适用于刚体？
答：因为非刚体在力的作用下会产生变形。

例如：对于绳子或链条，当对其施加等值、反向、共线的压力时，它们将产生变形，而不能平衡。

1-5 什么叫二力构件？分析二力构件受力时与构件的形状有无关系？
答：在2个力作用下平衡的刚体称为二力构件(又称二力杆)。

分析二力构件受力时与构件的形状无关。

1-6如图所示，可否将作用于杆AC上D点的力F沿其作用线移动，变成杆BC上点的力F’，为什么？
答：不可以，根据力的可传性定理的限制条件。

1-7 如图所示,杆AB重为G，B端用绳子拉住，A端靠在光滑的墙面，问杆能否平衡？为什么？
答：不能，根据三力汇交定理内容。

塑性力学习题答案塑性力学习题答案塑性力学是研究材料的塑性变形和破坏行为的一门学科。

在工程领域中，塑性力学的应用非常广泛，涉及到结构设计、材料选择、工艺优化等方面。

下面，我将回答一些关于塑性力学的学习题，希望能够帮助大家更好地理解这门学科。

1. 什么是塑性变形？塑性变形是指材料在外力作用下，超过其弹性极限后产生的不可逆形变。

相对于弹性变形而言，塑性变形会导致材料永久性的形状改变。

2. 塑性变形与弹性变形有什么区别？塑性变形与弹性变形的最大区别在于是否可逆。

弹性变形是指材料在外力作用下发生的可逆形变，即当外力消失时，材料能够恢复到原始形状。

而塑性变形是不可逆的，材料在外力作用下形成的新形状将保持下去。

3. 什么是屈服点？屈服点是指材料在受到外力作用下，开始发生可见塑性变形的临界点。

在应力-应变曲线上，屈服点对应的应力值称为屈服强度。

4. 什么是应力-应变曲线？应力-应变曲线是用来描述材料在外力作用下的应力和应变之间关系的曲线。

通常，应力-应变曲线可以分为弹性阶段、屈服阶段、硬化阶段和破坏阶段。

5. 什么是塑性流动？塑性流动是指材料在塑性变形过程中，由于原子、晶粒等微观结构的位移和重新排列，而产生的宏观塑性变形现象。

塑性流动是塑性变形的基本特征，也是塑性力学研究的核心内容之一。

6. 什么是硬化？硬化是指材料在塑性变形过程中，随着应变的增大，其抗力也逐渐增大的现象。

硬化可以通过外力的作用，使材料的屈服强度和抗拉强度得到提高，从而提高材料的塑性变形能力。

7. 什么是拉伸性能？拉伸性能是指材料在拉伸过程中的力学性能表现。

常见的拉伸性能指标包括抗拉强度、屈服强度、断裂延伸率等。

8. 什么是冷加工硬化？冷加工硬化是指通过冷加工（如拉伸、压缩、弯曲等）使材料发生塑性变形，从而提高材料的硬度和强度。

冷加工硬化是一种有效的方法，用于改善材料的力学性能。

9. 什么是回复？回复是指材料在经历塑性变形后，经过一定的处理（如退火）使其恢复到原来的状态。

工程塑性力学简介工程塑性力学是研究工程材料的塑性变形和失效行为的学科。

塑性力学是固体力学的一个重要分支，它研究材料在超过其弹性限度后发生的可逆和不可逆的塑性变形现象。

工程塑性力学的应用领域广泛，包括航空航天、汽车工程、建筑工程等。

塑性与弹性的区别塑性变形和弹性变形是固体力学中两种不同的变形模式。

弹性变形是指物体受到外力作用时，在外力去除后能够完全恢复原状的变形。

而塑性变形是指物体受到外力作用时，即使外力去除后也无法完全恢复原状的变形。

在材料的应力应变曲线上，弹性区域的变形是可逆的，即应变随应力的增加呈线性关系，而塑性区域的变形是不可逆的，即应变随应力的增加不再呈线性关系。

工程塑性力学的研究内容工程塑性力学的研究内容主要包括以下几个方面：塑性力学基本理论塑性力学的基本理论包括应力应变关系、屈服准则、流动准则、应力强度分析等。

应力应变关系是描述材料在塑性变形过程中的应力与应变之间的关系，屈服准则是描述材料发生塑性变形的应力达到一定值时的条件，流动准则是描述材料在塑性变形过程中的流动行为，应力强度分析是研究材料在塑性变形过程中的应力集中现象。

塑性成形工艺塑性成形工艺是指利用塑性变形性质对材料进行加工成形的工艺。

常见的塑性成形工艺有拉伸、压缩、弯曲、挤压等。

塑性成形工艺的选择和优化可以有效提高材料的力学性能和加工效率。

塑性损伤与断裂塑性损伤与断裂是材料塑性变形过程中重要的失效形式。

塑性损伤是材料在塑性变形过程中因应力和应变的作用而导致的微观结构的破坏和变化，断裂是材料在达到其极限强度时出现的失效形式。

研究塑性损伤与断裂的机理和规律有助于提高材料的力学性能和安全性。

塑性力学在工程中的应用工程塑性力学在航空航天、汽车工程和建筑工程等领域有着广泛的应用。

在航空航天工程中，工程塑性力学的研究可以帮助优化飞机结构的设计，提高其载荷承受能力和疲劳寿命。

在汽车工程中，工程塑性力学的研究可以帮助提高车身的安全性能和碰撞能量吸收能力。

如何在工程力学中处理弹塑性问题？在工程力学领域，弹塑性问题是一个至关重要且复杂的研究方向。

弹塑性力学主要用于分析材料在受力过程中，从弹性阶段到塑性阶段的变形和应力分布规律，这对于确保工程结构的安全性和可靠性具有极其重要的意义。

要理解如何处理弹塑性问题，首先得清楚弹性和塑性的基本概念。

弹性阶段，材料在受到外力作用时会发生变形，一旦外力消失，材料能够完全恢复其原来的形状和尺寸，这种变形是可逆的。

而塑性阶段，材料在受力超过一定限度后，产生的变形即使外力去除也不能完全恢复，会留下永久的变形。

在实际工程中，很多材料都表现出弹塑性的特性，比如金属材料。

当对这类材料进行加工或者构建结构时，就需要准确地处理弹塑性问题，以预测其在不同载荷条件下的行为。

处理弹塑性问题的第一步是建立合适的本构模型。

本构模型用于描述材料的应力应变关系，它是分析弹塑性问题的基础。

常见的本构模型包括理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型和非线性强化弹塑性模型等。

选择合适的本构模型取决于材料的性质、加载条件以及分析的精度要求。

在建立本构模型之后，就需要运用相应的数学方法来求解弹塑性问题。

有限元法是目前广泛应用的一种数值方法。

它将连续的物体离散化为有限个单元，通过对每个单元的分析，最终得到整个物体的应力和应变分布。

在有限元分析中，需要合理地划分网格，选择合适的单元类型，并确定边界条件和加载方式。

边界条件的确定在处理弹塑性问题中也非常关键。

边界条件包括位移边界条件和力边界条件。

位移边界条件规定了物体某些点的位移，而力边界条件则规定了物体某些表面所受到的力。

正确地设定边界条件能够使分析结果更符合实际情况。

加载方式同样会影响弹塑性问题的分析结果。

加载可以是静载、动载或者循环加载等。

不同的加载方式会导致材料的响应不同，因此在分析时需要根据实际情况准确地模拟加载过程。

在处理弹塑性问题时，还需要考虑材料的各向异性。

很多材料在不同方向上具有不同的力学性能，这就需要在本构模型和分析中考虑这种各向异性的特点。

第一章:金属材料的塑性性质○1 弹性与塑性的本质区别不在于应力—应变关系是否线性，而在于卸载后变形是否可恢复1、简单○2 低碳钢屈服阶段很长，铝、铜、某些高强度合金钢没有明显的屈服阶段（此时取0.2%塑性应变对应的应力为条件屈服应力）；0.2一、金属材拉伸试验○3 塑性变形量p / E (E 弹性模量；Et 切线模量)○4 简单拉伸件塑性时d E d(拉伸d 0); d Ed(压缩d 0)t料的○5 塑性变形后反向加载（单晶体：反向也对称强化；多晶体：反向弱化—包辛格效应）塑性○6 高温蠕变：应力不变时应变仍随时间增长的现象性质塑性变形不引起体积变化2 静水压○1 静水压力与材料体积改变之间近似服从线弹性规律金属材料发生大塑性变形时可忽略弹性力试验体积变化○2 材料的塑性变形与静水压力无关1、滑移面：晶体各层原子间发生的相对滑移总是平行于这种原子密排的平面，这种大密度平面称为滑移面。

二、塑2、滑移方向：滑移面内，原子排列最密的方向是最容易发生滑移的，称为滑移方向；性变3、滑移系：每个滑移面和滑移方向构成一滑移系。

（体心立方—12；面心立方—48；密排六方—3）形的物理1、为使晶体发生塑性变形，外加应力至少在一个滑移方向上的剪应力分量达到剪切屈服应力；Y基础位错刃形位错：位错运动方向与F 平行；位错在晶体内的运动是塑性变形的根源；塑性变形时位错型聚集、杂质原则阻碍滑移造成强化。

螺形位错：位错运动方向与F 垂直。

三、轴向拉伸时的塑性失稳采用应变的对数定义的优点：=F / A 1、可以对应变使用加法：名义应力：应力真应力： =F / A2、体积不可压缩条件： 1 2 3 0工程应变： =（l-l ）/l应变拉伸失稳条件：0 0=ln(1+ )=ln(l /l )自然应变/对数应变：d / d (此时d / d 0)1、材料塑1、材料的塑性行为与时间、温度无关——研究常温静载下的材料；2、材料具有无限的韧性；3、变形前材料是初始各向同性的，且拉伸、压缩的真应力—自然应变曲线一致性行为基本假设4、重新加载后的屈服应力（后继屈服应力）=卸载前的应力5、应变可分解为弹性和塑性两部分： =e p6、塑性变形是在体积不变的情况下产生的，静水压力不产生塑性变形；7、应力单调变化时有：E(弹性模量) E（s 割线模量）E（t 切线模量） 0简化模型○1 理想弹性○2 理想刚塑性○3 刚线性强化○4 理想弹塑性○5 弹—线性强化四、材料塑性行为的理想化2、应力、应变曲线的理想化模型经验公式鲁得维克表达式：n=+H (0 n 1)Y修正的鲁得维克式：E (当/ E )Y当(E / )n ( /E )Y Y YY Y Y1）n=0：刚塑性材料；2）0<n≤1：刚线性强化材料1）弹性范围内用Hooke 定律表达；2）塑性范围内用幂函数表达。