高三数学复习：立体几
何的平行与垂直证明
(教师)
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高三数学复习
——立体几何中的平行与垂直的证明
一、平面的基本性质
公理1：
公理2：
推论1：
推论2：
推论3：
公理3：
二、空间中直线与直线的位置关系
平行：
相交：
异面：
三、平行问题
1．直线与平面平行的判定与性质
定义判定定理性质性质定理图形
条件a∥α
结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b
2.
判定
性质
定义定理
图形
条件α∥β，a?β
结论α∥βα∥βa∥b a∥α
平行问题的转化关系：
四、垂直问题
（一）、直线与平面垂直
1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直．
2．直线与平面垂直的判定定理及推论
文字语言图形语言符号语言
判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此
平面垂直
推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面
3．直线与平面垂直的性质定理
文字语言图形语言符号语言
性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行
4.直线和平面垂直的常用性质
①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．
②垂直于同一个平面的两条直线平行．
③垂直于同一条直线的两平面平行．
（二）、平面与平面垂直
1．平面与平面垂直的判定定理
文字语言图形语言符号语言
判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个
平面垂直
2．平面与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理
两个平面垂直，则一
个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个
平面
类型一、平行与垂直例1、如图，已知三棱锥A BPC -中，,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。 （Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ；
（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ；
（Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。
例2. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，2AC BC ==，
14AA =，22AB =M ，N 分别是棱1CC ，AB 中点.
（Ⅰ）求证：CN ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求证：//CN 平面1AMB ；
（Ⅲ）求三棱锥1B AMN -的体积．
A
B
C
A 1
B 1
C 1
M
N
M
D
P
B
C
F
D
C1
B1
A1
C
【变式1】. 如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1
AA ⊥平面ABC ，ABC ?为等
腰直角三角形，
90=∠BAC ，且1AA AB =，F E D ,,分别是BC CC A B ,,11的中点。 （1）求证：//DE 平面ABC ； （2）求证：⊥F B 1平面AEF ；
（3）设AB a =，求三棱锥D AEF -的体积。
二、线面平行与垂直的性质
例3、如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，
PAD △是等边三角形，已知24BD AD ==，225AB DC ==
（1）求证：BD ⊥平面PAD ； （2）求三棱锥A PCD -的体积．
例4、如图，四棱锥P —ABCD 中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC=PD=2，E
为PC 的中点，.3
1
CB CG =
（I ）求证：PC BC ⊥；
（II ）求三棱锥C —DEG 的体积；
（III ）AD 边上是否存在一点M ，使得//PA 平面MEG 。若存在，求AM 的长；否则，说明理由。
【变式2】直棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝2AD ＝2CD ＝2.
(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；
(Ⅱ) A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的结论.