三角函数
任意角三角函数
任意角的三角函数定义：设α是一个任意大小的角，角α终边上任意一点P 的坐标是()y x ,，它与原点的距离是)0(>r r ，那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是y r x r y x x y r x r y ======ααααααcsc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin .这六个函数统称为三角函数. 三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）
可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正.
三、经典例题导讲
[例1]填入不等号：（1）
；（2） tan3200_______0；（3） ；
（5） 。 [例2] 若A 、B 、C 是ABC ?的三个内角，且)2(π≠< ①.C A sin sin < ②.C A cot cot < ③.C A tan tan < ④.C A cos cos < A ．1 B.2 C.3 D.4 [例3] 若角α满足条件0sin cos ,02sin <-<ααα，则α在第（ ）象限. [例4]已知角α的终边经过)0)(3,4(≠-a a a P ，求ααααcot ,tan ,cos ,sin 的值. [例5]已知α是第三象限角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+ 三角函数基本关系式与诱导公式 平方关系： 1cos sin 22=+αα；商数关系：α ααcos sin tan = ；倒数关系：1cot tan =?αα 三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2παα??-= ???，cos sin 2παα??-= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ???． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． [例1]已知=∈= +θπθθθcot 051cos sin ），则，（，__________ [例2]求证：（1）sin （ 2π3－α）=－cos α； （2）cos （ 2π3+α）=sin α． [例3]若函数)2 cos(2sin )2sin(42cos 1)(x x a x x x f --++=ππ的最大值为2，试确定常数a 的值. [例4]化简： ? +???+790cos 250sin 430cos 290sin 21． 三角函数的恒等变换 1.两角和、差、倍、半公式 两角和与差的三角函数公式 βαβαβαsin cos sin sin )sin(±+=± βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=± β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(μ±=± 二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2 222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= α αα2tan 1tan 22tan -= 半角公式 2cos 12sin 2αα-= ， 2cos 12cos 2αα+= ， α ααcos 1cos 12tan 2+-= αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+= [例1] 13. 已知sin cos 22θ θ +=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 ; [例2] △ABC 中，已知cosA= 13 5，sinB=53，则cosC 的值为（ ） A.6516 B.6556 C.6516或6556 D.6516- [例3] 求值：213) sin124cos 122 ?-?-o [例4]已知函数2()(cos sin cos )f x a x x x b =++ （1）当0a >时，求()f x 的单调递增区间； （2）当0a <且[0, ]2x π∈时，()f x 的值域是[3,4],求,a b 的值. 三角函数的图像与性质 )sin(?ω+=x A y +)0,0(>≠ωA B 中，ω,,B A 及?，对正弦函数x y sin =图像的影响，应记住图像变换是对自变量而言. x y 2sin =向右平移 6π个单位，应得)6(2sin π-=x y ，而不是)6 2sin(π+=x y 用“五点法”作)sin(?ω+=x A y )0,0(>≠ωA 图时，将?ω+x 看作整体，取2,0π，πππ2,2 3,来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图. )sin(?ω+=x A y )0,0(>>ωA 单调性的确定，基本方法是将?ω+x 看作整体，如求增区间可由22π π-k ≤?ω+x ≤)(22z k k ∈+π π解出x 的范围.若x 的系数为负数，通常先 通过诱导公式处理. [例1] 为了得到函数?? ? ?? -=62sin πx y 的图像，可以将函数x y 2cos =的图像（ ） A 向右平移 6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3π [例2]要得到y=sin2x 的图像,只需将y=cos(2x- 4 л)的图像 ( ) A.向右平移8л B.向左平移8л C.向右平移4л D.向左平移4л [例3]下列四个函数y=tan2x ，y=cos2x ，y=sin4x ，y=cot(x+ 4π),其中以点(4π,0)为中心对称的三角函数有（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [例4]函数]),0[)(26sin( 2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是 ( ) A. ]3,0[π B. ]127,12[ππ C. ]65,3[ππ D. ],6 5[ππ [例5]已知定义在区间]32,[ππ-上的函数 y π]32,6[ππ-∈x 时，函数()sin()(?ω>+=A x A x f 其图像如图所示. （1）求函数)(x f y =在]32,[ππ- （2）求方程22)(= x f 的解. x 解三角形及三角函数的应用 解三角形的的常用定理: (1) 内角和定理:π=++C B A 结合诱导公式可减少角的个数. (2) 正弦定理: R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 指△ABC 外接圆的半径） )sin 21sin 21sin 21(B ac A bc C ab S === (3) 余弦定理: 222cos 2c C ab b a =-+及其变形. (4) 勾股定理: 222c b a ABC Rt =+?中 [例1]在?ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。 [例2]在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A [例3]在?ABC 中，060A =，1b =，面积为 2，求sin sin sin a b c A B C ++++的值 [例4]如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选 定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=? 51，∠ACB=? 75。求A、B两点的距离(精确到0.1m) [例5]如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75?的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32?的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1?,距离精确到0.01n mile)
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