a r X i v :a s t r o -p h /0409591v 1 24 S e p 2004
Exploring the Gamma Ray Horizon with the next generation of Gamma Ray Telescopes.Part 3:Optimizing the observation schedule of
γ-ray sources for the extraction of
cosmological parameters
O.Blanch,M.Martinez IFAE,Barcelona (Spain)
February 2,2008
Abstract
The optimization of the observation schedule of γ-ray emitters by the new generation of Cherenkov Telescopes to extract cosmological parameters from the measurement of the Gamma Ray Horizon at dif-ferent redshifts is discussed.It is shown that improvements over 30%in the expected cosmological parameter uncertainties can be achieved if instead of equal-observation time,dedicated observation schedules are applied.
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1Introduction
Imaging AirˇCerenkov Telescopes(IACT)have proven to be the most suc-cessful tool developed so far to explore theγ-ray sky at energies above few hundred GeV.A pioneering generation of installations has been able to detect a handful of sources and to start a whole program of very exciting physics studies.Nowadays a second generation of more sophisticated Telescopes is starting to provide new observations.One of the main characteristics of some of the new Telescopes is the potential ability to reduce the gamma ray energy threshold below～30GeV[1].
In the framework of the Standard Model of particle interactions,high energy gamma rays traversing cosmological distances are expected to be ab-sorbed through their interaction with the di?use background radiation?elds, or Extragalactic Background Field(EBL),producing e+e?pairs.Then the ?ux is attenuated as a function of the gamma energy E and the redshift z q of the gamma ray source.This?ux reduction can be parameterized by the optical depthτ(E,z q),which is de?ned as the number of e-fold reductions of the observed?ux as compared with the initial?ux at z q.This means that the optical depth introduces an attenuation factor exp[?τ(E,z q)]modifying the gamma ray source energy spectrum.
The optical depth can be written with its explicit redshift and energy dependence[2]as:
τ(E,z)= z0dz′dl2 ∞2m2c4
vation of a selection of extragalactic sources.The results obtained in that previous study assumed an observation schedule of equal observing time per source which was set to a canonical value of50hours(rather standard as-sumption in IACTs).Although the actual observing time per source might have a lot of constraints(such as signi?cance of the observation,physics in-terest of the source,competition in time for the observation of other sources, etc...),in this work we want to explore,taking into account just the un-avoidable observability constraints,which time scheduling would optimize the power of this method to extract cosmological parameters and by how much the measurement of these parameters could improve.
One must also take into account that the determination of the cosmo-logical parameters extensively discussed in[4]is based on the observations of Active Galactic Nuclei(AGN),which are intrinsically variable.Therefore one of the main parameters to decide which AGN is observed at any time will be their?aring state.For some AGN,it is possible to estimate its ac-tivity from observations in other wavelength,for instance using the X-ray data[5]provided by the All-Sky Monitor(ASM)[6]onboard the Rossi X-ray Timing Explorer.Unfortunately,there are a lot of AGNs for which there is not online data that would allow to infer the?aring state.Actually in the current catalogue of sources that are monitored by ASM only3of the22 used on these studies appear.So that,here we’ll present an observational scheduling for the AGNs in table1,which does not care about the activity of the source,and just optimizes the observation time to get the best precision on the cosmological parameter measurements.
The work is organized as follows:in section2,the expected improvement in the precision of the GRH determination as a function of the observation time is discussed.Section3deals with the observational constraints in the optimization procedure.In section4we describe the optimization technique employed and describe the actual algorithm used.Section5presents the results of the optimization procedure in di?erent scenarios considered and ?nally in section6we summarize the conclusions of this study.
2Gamma Ray Horizon energy precision
To optimize the observation time,the?rst step is the study of the GRH precision as a function of the time that is dedicated for each source.The
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estimated precision on the GRH comes from the extrapolation of the detected spectra of each source by MAGIC(see[4]).In there,the observation time enters as a multiplicative term to get the number ofγs.
In?gure1,the expectedσof the GRH(σgrh)using several observation times is shown.In these plots only the statistical error from the?tting pa-rameter is shown.That error comes from the error bars in the extrapolated spectra.On the one hand there is the uncertainty on the?ux(Φ)that is modeled as“n”times the square-root ofΦ,which is proportional to
Nγif one assumes a gaussian statistic.Therefore,one expects that theσgrh decreases with the square-root of time.Actually,the extrapolated errors show a good agreement with the blue line that is a?t to:
√
σgrh=k/
time(3) where a is the contribution coming from the systematic,which does not decrease with the amount of observation time and therefore becomes impor-
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Figure1:Evolution of the statistic precision of the GRH determination as a function of observation time for four of the used AGNs(3EG J1426+428, 3EG J1255-0549,3EG J0340-0201and3EG J1635+3813).The blue line is the?t to one over square-root of time.
tant when the time is large.In fact the parameterization that have been ?nally used is:
σgrh=a+GRH(50h)? time(hour)(4) where GRH(50h)are the statistic errors for the GRH using50hours of observation time and a is the constant term of the above mentioned?t(table 1).
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Figure2:Evolution of the precision of the GRH determination,adding the systematics due to the approximation in the?t of the spectra,as a function of observation time for four of the used AGNs(3EG J1426+428,3EG J1255-0549,3EG J0340-0201and3EG J1635+3813).The blue line is the?t to equation3.
3Constraints
The aim of this work is the optimization of the time dedicated to each source, to understand which improvement can be obtained in the cosmological mea-surements.Nevertheless,that time should make sense in the frame of the possible observations performed by an IACT such as,for instance,MAGIC. Therefore some constraints should be set.
The?rst constraint is the total amount of time used for those observa-tions.For that,we used1000hours to compare it with the“50h per source”con?guration.On that naive con?guration50hours were chosen since it is a
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reasonable time to spend in a single source and it was already a criteria to do the list of the best MAGIC targets in[7].Since20sources were used(see reference[4]),it accounts for1000hours.Moreover,taking into account that ˇCerenkov Telescopes have typically observations times of about1200hours
per year,the limit used could be reached even in one single year.And it is more than acceptable for2-3years,since AGNs are one of the main targets of the new generation of IACTs.
One of the singularities of the astrophysics?eld respect to other physics disciplines is that it studies phenomena that cannot be generated by the humans in a laboratory.Therefore one has to use what nature provides.In this sense,IACTs cannot observe one given source for an in?nite time during a year,not even those1200hours of observation time,since each source is only visible during some months every year.Based on that fact,we have computed the amount of time that each source is visible below45degrees zenith angle form the MAGIC location.In table1,one can see that time for each of the used AGNs,actually it holds for the year2005and it may change a few percent from year to year due to the full moon periods.To compute the optimal distribution of observation times,the constraint“MaxTime”used for each source is:
MaxT ime 4Time Optimization In reference[4]the capability of the new IACTs to measure cosmological con-stants has been discussed as well as the systematics on these measurements. There,the main emphasis was put in the68%contour in the?m??λplane, and it has been shown that it is competitive taking into account the sys-tematics(15%of energy scale,?t approximation and unknown Extragalactic Background Light(EBL))if a15%external constraint on the Ultra Violet 7 Source Name 0.1020.8223.9370 3EG J1009+4855 0.306 3.159.1453 4C+15.54,3EG J1605+1553 0.3680.5215.2317 3EG J0204+1458 0.4350.0721.6408 3C279,3EG J1255-0549 0.5660.73 2.6125 4C+29.45,3EG J1200+2847 0.8520.29 1.76316 3C454.3,3EG J2254+1601 0.901 1.167.8410 3EG J1733-1313 0.94016.5 1.0405 3EG J2359+2041 1.2070.15 3.8371 3EG J1323+2200 1.8140.40 1.8468 1ES J1426+428 dθi dθj (6) where L is the likelihood function of the measurements,θi andθj are?t-ting parameters and<...>denotes expected value.In”normal”conditions, 8 it is the inverse of the error matrix for the parameters i,j.For large samples, a good estimator of F is simply the function F ij=?d2logL 2(9) ??CMB λ and zero in all the other matrix elements. This way,one can compute the expected?t parabolic error for any pa-rameter without having actually to perform the?t.The expected error in ?λfor instance would simply be(F?1)33. Now one must minimize this quantity(or any desired function of the ?tting parameters)with respect to the observation time expended in each source(which enters in the evaluation of V and hence,on F)with the rele-vant physical boundaries and constraints.For that we use the mathematical approach implemented in the code”DONLP2”developed by M.Spelucci[8]. The mathematical algorithm evaluates the function to be minimized only at points that are feasible with respect to the bounds.This allows to solve a smooth nonlinear multidimensional real function subject to a set of inequality and equality constraints.In our particular case: 9 ?Problem function:It depends on the variable that we want to minimize but it is always a combination of the elements of the Fisher Informa-tion Matrix of the four dimensional?t in terms of H0,?λ,?M and the amount of UV background as described in[4]. ?Equality constraints:The global amount of observation time,which is set to1000hours. ?Inequality constraints:The maximum available time for each source. The result of this procedure is an array providing the optimal distribution of the observation times assuming parabolic errors,though we have explicitly checked that for the optimal time distribution the obtained precision on the ?t parameters does not depend sizably on the assumption of parabolic errors. 5Results After the optimization to get the minimum error on?m or?λ,this precision is improved by about35%(see table2).It is worth to notice that the obtained do not signi?cantly di?er while optimizing for uncertainties forσ?m andσ? λ one or the other.Even optimizing for the area of68%contour in?m??λplane,which is done assuming that the contour is an ellipse,the precision obtained is at the same level.This e?ect is mainly due to the correlation between?m and?λ.Therefore,we will refer as the optimum time the one that minimizes the area of the?m??λcontour.This optimum time for each source is shown in table3.One should notice that in this table only some of the initial20extragalactic considered sources remain.For the others,the optimization suggests that it is less interesting to observe them in terms of cosmological measurements.Moreover,the remaining sources are the ones at lowest and highest redshifts as well as the ones with smaller errors.Both were expected to survive since the former give the capacity to disentangle the cosmological parameters(see reference[3])and the latter give larger constraints with less dedicated time.The improvement for the68%contour can be seen in?gure3. It has already been mentioned in[4]that a di?erent approach to extract information from the GRH can be done:one can use the present constraints of the cosmological parameters to get information on the EBL.In reference 10 Figure3:Improvement on the68%contour in the?m??λplane.The red solid line is the68%contour,taking into account the systematics and imposing a15%constraint on the UV background,when50hours for each of the20used sources are scheduled.The blue dashed line is the68%contour under the same conditions but with the optimized time distribution. [4],the complexity of such analysis is discussed but a simple?rst step can be done within the scenario of the4dimensional?t used for these studies.If one uses the current measurements of the cosmological parameters(H o=72±4,?m=0.29±0.07and?λ=0.72±0.09[9][10])as external constraints and then optimizes the time distribution to get the minimum error on the fourth parameter which gives a scale factor for the UV background,one can reach a precision of13.5%.It is worth to notice that,despite the distribution of time among them is di?erent,the sources that are still used are roughly the same than the ones for the?m??λoptimization. 11 Parameter σ? λ 0.4170.2410.2450.246 Table2:Error for the cosmological densities observing for a total of1000 hours the considered20AGNs.In each column the distribution of these1000 hours is done following di?erent criteria.The?rst column is a distribution of50hours each source.Second and third are times optimized to minimize the uncertainty on?m and?λ.The last column optimizes the area of the 68%contour in the?m??λplane. Source Name 0.10260278 3C279,3EG J1255-0549 0.5667— CTA026,3EG J0340-0201 0.859147 3EG J0450+1105 1.40010278 3EG J1635+3813 1ES J1426+428 high redshift(3EG J1635+3813at z=1.814).Together with these extreme sources,the dedication of time at sources that reach the best precision of the GRH(3EG J0340-0201)would also help to improve the results. In this work,the optimal distribution of the observation time,taking into account scheduling constraints,has been studied by applying a technique based upon a multidimensional constrained minimization using the Fisher Information Matrix.The results obtained show that a proper scheduling optimized for the determination of the cosmological parameters could allow to reduce by35%the error on the determination of?m and?λand a notable reduction of the68%contour in the?m??λplane. Acknowledgments We are indebted to R.Miquel for his advice with the use the Fisher Informa-tion Matrix and for providing us with M.Spelucci’s DONLP2code.We want to thank our colleagues of the MAGIC collaboration for their comments and support. References [1]J.A.Barrio et al,The MAGIC telescope,MPI-PhE/98-5(1998). [2]Stecker F.W.,De Jager O.,Space Sci.Rev.75(1996),401-412 [3]Blanch O.and Mart′?nez M.,astro-ph/0107582. [4]Blanch O.and Mart′?nez M.,astro-ph/0406061. [5]https://www.doczj.com/doc/942720980.html,/xte EVA计算方法 说明: 经济增加值(EVA)＝税后净营业利润（NOPAT）－资本成本（cost of capital） 资本成本＝资本×资本成本率 由上知，计算EVA可以分做四个大步骤：（1）税后净营业利润（NOPAT）的计算; (2)资本的计算；(3)资本成本率的计算；（4）EVA的计算。下面列出EVA的计算步骤，并以深万科（0002）为例说明EVA（2000年）的计算。 深万科（0002）简介： 公司名称：万科企业股份有限公司公司简称：深万科Ａ上市日期：1991-01-29 上市地点：上海证券交易所行业：房地产业股本结构：A 股398711877股，B股121755136 股，国有股、境内法人股共110504928股，股权合计数：630971941股。 一、税后净营业利润（NOPAT）的计算 1．以表格列出的计算步骤 下表中，最左边一列（以IS开头）代表损益表中的利润计算步骤，最右边一列（以NOPAT开头）代表计算EVA所用的税后净营业利润（NOPAT）的计算步骤。空格代表在计算相应指标（如NOPAT）的步骤中不包含该行所对应的项。 损益表中的利润计算步骤 税后净营业 利润 （NOPAT） 的计算步骤主营业务收入 - 销售折扣和折让- - 主营业务税金及附加- - 主营业务成本- 主营业务利润 + 其它业务利润+ 当年计提或冲销的坏帐准备+ - 当年计提的存货跌价准备 - 管理费用- - 销售费用- = 营业利润/调整后的营业利润 + 投资收益+ = 总利润/税前营业利润 - EVA税收调整* - = 净利润/税后净营业利润 2. 计算公式：(蓝色斜体代表有原始数据，紫色下划线代表此数据需由原始数据推算出) （1）税后净营业利润=主营业务利润＋其他业务利润＋当年计提或冲销的坏帐准备—管理费用—销售费用＋长期应付款，其他长期负债和住房公积金所隐含的利息＋投资收益—EVA税收调整 注：之所以要加上长期应付款，其他长期负债和住房公积金所隐含的利息是因为sternstewart公司在计算长期负债的利息支出时，所用的长期负债中包含了其实不用付利息的长期应付款，其他长期负债和住房公积金。即，高估了长期负债的利息支出，所以需加回。 （2）主营业务利润＝主营业务收入—销售折扣和折让—营业税金及附加—主营业务成本 注: 主营业务利润已在sternstewart公司所提供的原始财务数据中直接给出 (3)EVA税收调整=利润表上的所得税＋税率×（财务费用＋长期应 幻灯片1 正态分布 第二章 第七节 一、标准正态分布的密度函数 二、标准正态分布的概率计算 三、一般正态分布的密度函数 四、正态分布的概率计算幻灯片2 正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布, 这能够由 以下情形加以说明: ⑴ 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一, 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．能够证明, 如果一个随机指标受到诸多因素的影响, 但其中任何一个因素都不起决定性作用, 则该随机指标一定服从或近似服从正态分布． 这些性质是其它 ⑵ 正态分布有许多良好的性质, 许多分布所不具备的． ⑶ 正态分布能够作为许多分布的近似分布．幻灯片3 －标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布 一、标准正态分布的密度函数若连续型随机变量X 的密度函数为定义 则称X 服从标准正态分布, 记为标准正态分布是一种特别重要的它的密度函数经常被使用, 分布。 幻灯片4 密度函数的验证 则有 ( 2) 根据反常积分的运算有能够推出 幻灯片5 标准正态分布的密度函数的性质若随机变量 , X 的密度函数为 则密度函数的性质为: 的图像称为标准正态( 高斯) 曲线幻灯片6 随机变量 由于 由图像可知, 阴影面积为概率值。对同一长度的区间 , 若这区间越靠近 其对应的曲边梯形面积越大。标准正态分布的分布规律时”中间多, 两头少” . 幻灯片7 二、标准正态分布的概率计算 1、分布函数分布函数为幻灯片8 2、标准正态分布表书末附有标准正态分布函数数值表, 有了它, 能够解决标准正态分布的概率计算.表中给的是x > 0时，①(x)的值. 幻灯片9 如果由公式得令则幻灯片10 怎样理解分布函数 概率论中一个非常重要的函数就是分布函数,知道了随机变量的 分布函数,就知道了它的概率分布,也就可以计算概率了。 一、理解好分布函数的定义: F(x)=P(X≤x), 所以分布函数在任意一点x的值,表示随机变量落在x点左边(X≤x)的概率。它的定义域是(-∞,+∞),值域是[0,1]. 二、掌握好分布函数的性质: (1)0≤F(x)≤1; (2)F(+∞)=1,F(-∞)=0; 可以利用这条性质确定分布函数中的参数,例如: 设随机变量X的分布函数为:F(x)=A+Barctanx,求常数A与B. 就应利用本性质计算出A=1/2,B=1/π. (3)单调不减; (4)右连续性。 三、会利用分布函数求概率 在利用分布函数求概率时,以下公式经常利用。 (1)P(a PSCAD 使用说明 1.PSCAD安装 PSCAD / EMTDC常见4.0.2 ctacked版本或版本，这个版本PSCAD被封装成一个ISO文档，如图1-1，可用虚拟光驱或winrar打开。下面使用winrar将其解包。 图1-1PSCAD封包形式 在系统安装了以上版本后，可以直接双击这个iso文档，然后点击“解压到”图标，如图1-2，就可以对其进行解包。 如图1-2 使用winrar解PSCAD的封包 解压后可以得到三个文件夹，如下图1-3所示： 图1-3 PSCAD须按以下步骤安装，否则，装好后可能不运行。另外，操作系统最好 使用WinXP专业版，曾在WinXP Home版本上出现过不明原因的PSCAD不能运行情况。 安装步骤： （1）首先，运行PSCAD 目录下的，一路按OK或者NEXT在选择安装列表时选中“PSCAD(all Editions)”，如图1-4，不要选择License Manager和Real Time Playback (它需要硬件采集设备支持，否则只是评估版)这两项。使用附带的EGCS/GNU Fortran77编译器就选中“GNU Fortran Compiler”，如果要使用之前自行安装的Fortran90编译器就不要选这一项。 图1-4 2、当License Manger选择对话框出现时，如图1-5，选择“I will only be using Single-user/single-machine licenses.”或“professal”这一项，随后一路OK即可。 注意：选the Student Edition 版本，模型只允许15个结点。 经济增加值(eva)计算方式 (四)（Economic value added (EVA) calculation (four)） Next, the calculation method of economic value added is introduced The calculation model of EVA is given below. Computational model of 1 and EVA Economic value added = net operating profit after tax - cost of capital = net operating profit after tax - total capital * weighted average cost of capital Among them: Net operating profit after tax net profit after tax interest expense + = + + minority income this year amortization of goodwill + deferred tax credit balances increase reserve balances increased + + other capitalized research and development costs, capitalized research and development costs in the years of amortization Total capital = common equity + minority interests + deferred tax credit (debit balance is negative) + + (cumulative amortization of goodwill reserve inventory impairment provision for bad debts, etc.) + + + capitalization amount of short-term loans for research and development costs of long term loan + short-term long-term loans due in part EVA 计算方法 说明: 经济增加值(EV A)＝税后净营业利润（NOPA T ）－资本成本（cost of capital ） 资本成本＝资本×资本成本率 由上知，计算EV A 可以分做四个大步骤： （1）税后净营业利润（NOPA T ）的计算; (2)资本的 计算； (3)资本成本率的计算； （4）EV A 的计算。下面列出EV A 的计算步骤，并以深万科（0002）为例说明EV A （2000年）的计算。 深万科（0002）简介： 公司名称：万科企业股份有限公司 公司简称：深万科Ａ 上市日期：1991-01-29 上市地点：上海证券交易所 行业：房地产业 股本结构：A 股398711877股，B 股121755136 股，国有股、境内法人股共110504928股，股权合计数：630971941股。 一、税后净营业利润（NOPA T ）的计算 1． 以表格列出的计算步骤 下表中，最左边一列（以IS 开头）代表损益表中的利润计算步骤，最右边一列（以NOPA T 开头）代表计算EV A 所用的税后净营业利润（NOPA T ）的计算步骤。空格代表在计算相应指标（如NOPA T ）的步骤中不包含该行所对应的项。 损益表中的利润计算步骤 税后净营业 利润 （NOPA T ）的计算步骤 主营业务收入 - 销售折扣和折让 - - 主营业务税金及附加 - - 主营业务成本 - 主营业务利润 - 管理费用 - - 销售费用 - = 营业利润/调整后的营业利润 + 投资收益 + = 总利润/税前营业利润 - EVA 税收调整* - = 净利润/税后净营业利润 2.计算公式：(蓝色斜体代表有原始数据，紫色下划线代表此数据需由原始数据推算出) （1）税后净营业利润=主营业务利润＋其他业务利润＋当年计提或冲销的坏帐准备—管理费用—销售费用＋长期应付款，其他长期负债和住房公积金所隐含的利息＋投资收益—EV A 税收调整 注：之所以要加上长期应付款，其他长期负债和住房公积金所隐含的利息是因为sternstewart公司在计算长期负债的利息支出时，所用的长期负债中包含了其实不用付利息的长期应付款，其他长期负债和住房公积金。即，高估了长期负债的利息支出，所以需加回。 （2）主营业务利润＝主营业务收入—销售折扣和折让—营业税金及附加—主营业务成本注: 主营业务利润已在sternstewart公司所提供的原始财务数据中直接给出 (3)EV A税收调整=利润表上的所得税＋税率×（财务费用＋长期应付款，其他长期负债 和住房公积金所隐含的利息＋营业外支出－营业外收入－补贴收入） (4)长期应付款，其他长期负债和住房公积金所隐含的利息＝长期应付款，其他长期负债 和住房公积金×3～5 年中长期银行贷款基准利率 长期应付款，其他长期负债和住房公积金=长期负债合计—长期借款—长期债券 税率=0.33（从1998年，1999年和2000年） 说明：上面计算公式所用数据大多直接可以在sternstewart公司所提供的原始财务数据中找到（主营业务利润已直接给出）。而长期应付款，其他长期负债和住房公积金所隐含的利息需由原始财务数据推算得出。 3. 计算深万科的税后净营业利润（NOPAT 2000年） 首先计算出需由其他原始财务数据推算的间接数据项－长期应付款，其他长期负债和住房公积金所隐含的利息和EV A税收调整，然后利用计算结果及其他数据计算出NOPA T. （1）长期应付款，其他长期负债和住房公积金所隐含的利息的计算； 单位：元 长期负债合计123895991.54 减：长期借款80000000.00 减：长期债券 ――――――――――――――――――――――――――――― 长期应付款，其他长期负债和住房公积金43895991.54 乘：3～5 年中长期银行贷款基准利率 6.03％ 长期应付款，其他长期负债2646928.29 和住房公积金所隐含的利息 （2）EV A税收调整的计算； 财务费用1403648.37 加：长期应付款，其他长期负债2646928.29 和住房公积金所隐含的利息 加：营业外支出6595016.31 减：营业外收入23850214.53 各位，pscad有三种版本，student，educational，以及professional。student只支持15个节点，可以免费使用，但是其余两种都是收费的。现在很多的crack程序crack成所谓的professional版本，其实都只是educational的，最多支持200个节点，我到现在也没有解决这个问题，很是郁闷。但是200个节点的版本对初学者来说很多时候已经够用了，现在上传一个，希望对初学pscad的同学有帮助，另外有哪位同学能真正crack成为无节点限制的professional版本，也请多多指教！ 浏览了很多发crack程序的同学，大都把安装文件也发了上来，很多想下载的同学都因为没有流量而郁闷不已，下面这个方法可以帮助大家，附件里只是crack文件，很小 1.先从官网上下载4. 2.1，Free Evaluation Download of PSCAD? PSCAD? V4.2.1 Program download (46.3MB)，网址如下： https://https://www.doczj.com/doc/942720980.html,/products/pscad/free_downloads/ 2.解压，应该是一个名为PSCAD421_2007_Eval 的文件夹，注意里面有一个egcs的文件夹，之后需要替换 3.再从官网上下载GCS/GNU F77 Fortran download (11.4MB)（相同的网址，如上），解压后是一个egcs的文件夹，将这个文件夹代替PSCAD421_2007_Eval中的egcs文件夹，注意文件夹名别搞错了 4.运行PSCAD421_2007_Eval文件夹中的setup.exe，安装过程中注意勾选GUN fortune complier 5.下载附件中的crack程序，直接运行，crack会提示你找到安装好pscad的位置，如果安装在C盘，应该在这个路径下：C:\Program Files\PSCAD421Eval\bin\win。crack里面的pscad.exe 即可。 这样就可以得到professional版本了（其实是200个节点educational版本） 以上内容纯手打，我感觉已经说得很清楚了，相信对大家有用！ 原文标题：pscad4.2.1crack方法及详细流程，一定能用（内容纯手打）- PSCAD资料共享- PSCAD - 中国电力研学论坛专注电力技术应用，关注电力科技前沿，打造专业电力社区！- Powered by Discuz! 原文链接：https://www.doczj.com/doc/942720980.html,/viewthread.php?tid=71992&highlight=pscad4.2.1 EV A计算方法 说明: 经济增加值(EV A)＝税后净营业利润（NOPAT）－资本成本（cost of capital） 资本成本＝资本×资本成本率 由上知，计算EV A可以分做四个大步骤： （1）税后净营业利润（NOPAT）的计算; （2）资本的计算； （3）资本成本率的计算； （4）EV A的计算。 下面列出EV A的计算步骤，并以深万科（0002）为例说明EV A（2000年）的计算。 深万科（0002）简介： 公司名称：万科企业股份有限公司公司简称：深万科Ａ上市日期：1991-01-29 上市地点：上海证券交易所行业：房地产业股本结构：A股398711877 股，B股121755136 股，国有股、境内法人股共110504928股，股权合计数：630971941股。一、税后净营业利润（NOPAT）的计算 1．以表格列出的计算步骤 下表中，最左边一列（以IS开头）代表损益表中的利润计算步骤，最右边一列（以NOPA T 开头）代表计算EV A所用的税后净营业利润（NOPA T）的计算步骤。空格代表在计算相 应指标（如NOPA T）的步骤中不包含该行所对应的项。 损益表中的利润计算步骤 税后净营业 利润 （NOPAT） 的计算步骤主营业务收入 - 销售折扣和折让- - 主营业务税金及附加- - 主营业务成本- 主营业务利润 - 管理费用- = 营业利润/调整后的营业利润 + 投资收益+ = 总利润/税前营业利润 = 净利润/税后净营业利润 2.计算公式：(蓝色斜体代表有原始数据，紫色下划线代表此数据需由原始数据推算出) （1）税后净营业利润=主营业务利润＋其他业务利润＋当年计提或冲销的坏帐准备—管理费用—销售费用＋长期应付款，其他长期负债和住房公积金所隐含的利息＋投资收益—EV A 税收调整 注：之所以要加上长期应付款，其他长期负债和住房公积金所隐含的利息是因为sternstewart公司在计算长期负债的利息支出时，所用的长期负债中包含了其实不用付利息的长期应付款，其他长期负债和住房公积金。即，高估了长期负债的利息支出，所以需加回。 （2）主营业务利润＝主营业务收入—销售折扣和折让—营业税金及附加—主营业务成本注: 主营业务利润已在sternstewart公司所提供的原始财务数据中直接给出 (3)EVA税收调整=利润表上的所得税＋税率×（财务费用＋长期应付款，其他长期负债 和住房公积金所隐含的利息＋营业外支出－营业外收入－补贴收入） (4)长期应付款，其他长期负债和住房公积金所隐含的利息＝长期应付款，其他长期负债 和住房公积金×3～5 年中长期银行贷款基准利率 长期应付款，其他长期负债和住房公积金=长期负债合计—长期借款—长期债券 税率=0.33（从1998年，1999年和2000年） 说明：上面计算公式所用数据大多直接可以在sternstewart公司所提供的原始财务数据中找到（主营业务利润已直接给出）。而长期应付款，其他长期负债和住房公积金所隐含的利息需由原始财务数据推算得出。 3. 计算深万科的税后净营业利润（NOPAT 2000年） 首先计算出需由其他原始财务数据推算的间接数据项－长期应付款，其他长期负债和住房公积金所隐含的利息和EV A税收调整，然后利用计算结果及其他数据计算出NOPA T. （1）长期应付款，其他长期负债和住房公积金所隐含的利息的计算； 单位：元 长期负债合计123895991.54 减：长期借款80000000.00 减：长期债券 ――――――――――――――――――――――――――――― 长期应付款，其他长期负债和住房公积金43895991.54 乘：3～5 年中长期银行贷款基准利率 6.03％ 长期应付款，其他长期负债2646928.29 和住房公积金所隐含的利息 （2）EV A税收调整的计算； 财务费用1403648.37 PSCAD4使用入门指南 何海昉 本指南仅供入门级PSCAD学习者参考，通过简单实例从元件输入到参数设置到最后仿真一个完 整的过程来介绍PSCAD4的基本工作方式。 界面介绍 通过一个简单实例来介绍PSCAD 的使用 1. 新建一个工程项目 将得到一个名为noname 的工程项目，右击该项目将其另存为 example 2.为新项目添加电源元件，双击系统主库master[Master Library] 的子项[Main] Main Page，元件库 图标在编辑区域出现。 双击上图的Sources图标，进入到电源元件库中 移动水平和垂直滚动条，选择单相RRL型交流电源，并将其复制（Ctrl＋V），切换到example 项目Main的编辑区域，单击右键粘贴（Ctrl＋V）,此电源就被加载到了用户定义的工程项目中 3. 设定电源参数 双击编辑区域中的交流电源元件，进入电源属性设定对话框，这里电源 的configuration属性页采用默认的值，即采用内部输入式交流RRL型，该电源一端接地， 通常有些元件的参数比较多，可能需要点击下拉列表框来获 得另外的属性页。其它元件的 参数设定也是一样通过双击进入属性编辑对话框来设置 选择下拉列表中的Signal Parameters子项 设定电压值、频率、初相等参数值，如果不明白参数所表示的实际意义，单击Help按钮进入 帮助界面，帮助系统会给出要求用户填写的所有参数所代表 的涵义 4.绘制理想导线 单击右边元件工具栏中的导线，移动到编辑区域中，再单击鼠标。导线随即定位。再次单击导 线时，则选取了该导线，这时导线两端将出现绿色的小方形，点击并拖动小方形，可以调整导 线在该方向上的长度。如果选取了导线后，按键盘上的R键，则导线会顺时针方向旋转90O， 当两条导线（或者是元件的管脚）的有一端相连时，会自动形成电气连接特性; 但如果两条导线 （或者是元件的管脚）相交，但导线的所有末端都不相连， 则两条导线是相互绝缘的， 即实际 上电气上是不相通的， 如果要使两导线交点成为电气节点， 正态分布 第二章 第七节 一、标准正态分布的密度函数 二、标准正态分布的概率计算 三、一般正态分布的密度函数 四、正态分布的概率计算 幻灯片2 正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布， 这可以由 以下情形加以说明： ⑴正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布 之一， 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的． 可以证明， 如果一个随机指标受到诸多因素的影响, 但其中任何一个因素都不起决定性作用， 则该随机指标 一定服从或近似服从正态分布． 这些性质是其它 ⑵正态分布有许多良好的性质， 许多分布所不具备的． ⑶正态分布可以作为许多分布的近似分布． 幻灯片3 －标准正态分布 下面我们介绍一种最重要的正态分布 一、标准正态分布的密度函数 若连续型随机变量X的密度函数为 定义 则称X服从标准正态分布， 记为 标准正态分布是一种特别重要的 它的密度函数经常被使用， 分布。 幻灯片4 密度函数的验证 则有 （2）根据反常积分的运算有 可以推出 幻灯片5 标准正态分布的密度函数的性质 ，X的密度函数为 则密度函数的性质为： 的图像称为标准正态（高斯）曲线。 幻灯片6 随机变量 由于 由图像可知，阴影面积为概率值。 对同一长度的区间 ，若这区间越靠近 其对应的曲边梯形面积越大。 标准正态分布的分布规律时“中间多，两头少”. 幻灯片7 二、标准正态分布的概率计算 1、分布函数 分布函数为 幻灯片8 2、标准正态分布表 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决标准正态分布的概率计算. 表中给的是x > 0时, Φ(x)的值. 幻灯片9 如果 由公式得 令 则 幻灯片10 例1 解 幻灯片11 由标准正态分布的查表计算可以求得， 当X～N(0,1)时， 这说明，X 的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. 幻灯片12 三、一般正态分布的密度函数 如果连续型随机变量X的密度函数为 （其中 为参数） 的正态分布，记为 则随机变量X服从参数为 所确定的曲线叫 作正态(高斯）曲线. 幻灯片13 PSCAD简明使用手册 Chapter 1: EMTDC/PSCAD简介 (1 1.1 功能 (1 1.2 技术背景 (1 1.3 主要的研究范围 (1 1.4 目前应用情况 (2 1.5 各版本限制 (3 1.6 目前最新版本:PSCAD 第四版 (3 Chapter 2: 安装及License设置 (4 2.1 安装 (4 2.2 License设置 (6 Chapter 3: PSCAD工作环境 (9 3.1 术语和定义 (9 3.1.1 元件 (9 3.1.2 模块 (10 3.1.3 工程 (10 3.2 各工作区介绍 (10 3.2.1 工作空间窗口 (10 3.2.2 输出窗口 (14 3.2.3 设计编辑器 (16 3.3 工作区设置 (16 3.4 在线帮助系统 (18 Chapter 4: 基本操作 (19 4.1 工程 (19 4.2 元件和模块 (22 4.2.1 元件 (22 4.2.2 模块 (25 4.3 常用工具栏及快捷键 (25 4.3.1常用工具栏 (25 4.3.2快捷键 (27 Chapter 5: 在线绘图和控制 (29 5.1 控制或显示数据的获取 (29 5.2 图形框 (30 5.3 图、曲线及轨迹 (31 5.4 在线控制器及仪表 (34 5.5 几种特殊表计 (36 5.5.1 XY绘图 (36 5.5.2多测计 (38 5.5.3相量计 (39 参考文献 (41 Chapter 1: EMTDC/PSCAD简介 Dennis Woodford博士于1976年在加拿大曼尼托巴水电局开发完成了EMTDC 的初版,是一种世界各国广泛使用的电力系统仿真软件,PSCAD是其用户界 面,PSCAD的开发成功,使得用户能更方便地使用EMTDC进行电力系统分析,使电力系统复杂部分可视化成为可能,而且软件可以作为实时数字仿真器的前置端。可模拟任意大小的交直流系统。操作环境为:UNIX OS, Windows95, 98,NT等;Fortran 编辑器;浏览器和TCP/IP协议。 1.1 功能 ?可以发现系统中断路器操作、故障及雷击时出现的过电压 ?可对包含复杂非线性元件(如直流输电设备的大型电力系统进行全三相的精确模拟,其输入、输出界面非常直观、方便 ?进行电力系统时域或频域计算仿真 ?电力系统谐波分析及电力电子领域的仿真计算 ?实现高压直流输电、FACTS控制器的设计 1.2 技术背景 程序EMTDC(Electro Magnetic Transient in DC System是目前世界上被广泛使用的一种电力系统仿真分析软件,它即可以研究交直流电力系统问题,又能完成电力电子仿真及其非线性控制的多功能(V ersatile Tool工具。PSCAD(Power System Computer Aided Design是EMTDC的前处理程序,用户在面板上可以构造电气连接图,输入各元件的参数值,运行时则通过FORTRAN编译器进行编译、连接,运行的结 目录 1. 均匀分布 (1) 2. 正态分布（高斯分布） (2) 3. 指数分布 (2) 4. Beta分布（：分布） (2) 5. Gamm 分布 (3) 6. 倒Gamm分布 (4) 7. 威布尔分布（Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布） (5) 8. Pareto 分布 (6) 9. Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) 2 10. 分布（卡方分布） (7) 8 11. t分布................................................ 9 12. F分布 ............................................... 10 13. 二项分布............................................ 10 14. 泊松分布（Poisson 分布）............................. 11 15. 对数正态分布........................................ 1. 均匀分布 均匀分布X ~U（a,b）是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。 2. 正态分布（高斯分布） 当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量 很可能服从正态分布，记作 X~N （」f 2）。正态分布为方差已知的正态分布 N （*2）的参数」的共轭先验分布。 1 空 f （x ）： —— e 2- J2 兀 o' E(X)， Var(X) _ c 2 3. 指数分布 指数分布X ~Exp （ ）是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其 中，.0为尺度参数。指数分布的无记忆性： Plx s t|X = P{X t}。 f （X ）二 y o i E(X) 一 4. Beta 分布（一：分布） f （X ）二 E(X) Var(X)= (b-a)2 12 Var(X)二 1 ~2 EVA 计算方法 说明: 经济增加值（EVA ）=税后净营业利润（NOPAT ）—资本成 本（cost of capital ） 资本成本=资本x 资本成本率 由上知，计算EVA 可以分做四个大步骤： （1 ）税后净 营 业利润（NOPAT ）的计算;（2）资本的计算；（3）资本成本率的计算； （4） EVA 的计算。下面列出EVA 的计算步骤，并以深万科（0002 ） 为例说明EVA （2000年）的计算。 深万科（0002 ）简介： 公司名称：万科企业股份有限公司 A 上市日期：1991-01-29 股 398711877 股，B 股 121755136 股共110504928 股，股权合计数：630971941 股 一、税后净营业利润（NOPAT ）的计算 1 .以表格列出的计算步骤 下表中，最左边一列（以IS 开头）代表损益表中的利润计算步骤， 最右边一列（以NOPAT 开头）代表计算EVA 所用的税后净营业利 润（NOPAT ）的计算步骤。空格代表在计算相应指标（如NOPAT ） 的步骤中不包含该行所对应的 公司简称：深万科 上市地点：上海证券交 易所 行业：房地产业 股本结构：A 股，国有股、境内法人 项。 = 总利润/税前营业利润 -EVA税收调整* - 少数股东权益 = 净利润/税后净营业利润 2.计算公式：（蓝色斜体代表有原始数据，紫色下划线代表此数据需 由原始数据推算出） （1）税后净营业利润二主营业务利润+其他业务利润+当年计提或冲销的坏帐准备一管理费用一销售费用+长期应付款，其他长期负债和住房公积金所隐含的利息 +投资收益一EVA税收调整 注：之所以要加上长期应付款，其他长期负债和住房公积金所隐含的利息是因为sternstewart公司在计算长期负债的利息支出时，所用的长期负债中包含了其实不用付利息的长期应付款，其他长期负债和住房公积金。即，高估了长期负债的利息支出，所以需加回。 （2）主营业务利润=主营业务收入一销售折扣和折让一营业税金及附加一主营业务成本 注：主营业务利润已在sternstewart公司所提供的原始财务数据中直接给出 ⑶EVA税收调整二利润表上的所得税+税率x（财务费用+长期应 付款，其他长期负债和住房公积金所隐含的利息 +营业外支出- 营业外收 目录 1. 均匀分布 ...................................................................................................... 1 2. 正态分布（高斯分布） ........................................................................... 2 3. 指数分布 ...................................................................................................... 2 4. Beta 分布（β分布） .............................................................................. 2 5. Gamma 分布 .............................................................................................. 3 6. 倒Gamma 分布 ......................................................................................... 4 7. 威布尔分布(Weibull 分布、韦伯分布、韦布尔分布) ..................... 5 8. Pareto 分布 ................................................................................................. 6 9. Cauchy 分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) 10. 2χ分布（卡方分布） (7) 11. t 分布 ......................................................................................................... 8 12. F 分布 ........................................................................................................ 9 13. 二项分布 ................................................................................................ 10 14. 泊松分布（Poisson 分布） .............................................................. 10 15. 对数正态分布 ....................................................................................... 11 1. 均匀分布 均匀分布~(,)X U a b 是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。 1 ()f x b a =- Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software https://www.doczj.com/doc/942720980.html, For evaluation only. 经济增加值(EVA)计算方式(四) 八 下介绍经济增加值的计算方式 下面给出EVA的计算模式。 1、EVA的计算模型 经济附加值= 税后净营业利润—资本成本 = 税后净营业利润—资本总额* 加权平均资本成本 其中： 税后净营业利润= 税后净利润+ 利息费用+ 少数股东损益+ 本年商誉摊销+ 递延税项贷方余额的增加+ 其他准备金余额的增加+ 资本化研究发展费用—资本化研究发展费用在本年的摊销 资本总额= 普通股权益+ 少数股东权益+ 递延税项贷方余额（借方余额则为负值）+ 累计商誉摊销+ 各种准备金（坏帐准备、存货跌价准备等）+ 研究发展费用的资本化金额+ 短期借款+ 长期借款+ 长期借款中短期内到期的部分 加权平均资本成本= 单位股本资本成本+ 单位债务资本成本。 2、报表和账目的调整。 由于根据会计准则编制的财务报表对公司绩效的反映存在部分失真，在计算经济附加值时需要对一些会计报表科目的处理方法进行调整。 Stern Stewart财务顾问公司列出了160多项可能需要调整的会计项目，包括存货成本、重组费用、税收、营销费用、无形资产、货币贬值、坏帐准备金、重组费用以及商誉摊销等。但在考察具体企业时，一般一个企业同时涉及的调整科目不超过15项。但由于EVA是Stern Stewart财务顾问公司注册的商标，其具体的账目调整和运算目前尚没有对外公开。 （1）、单位债务资本成本 单位债务资本成本指的是税后成本，计算公式如下： 税后单位债务资本成本=税前单位债务资本成本*（企业所得税税率） 我国上市公司的负债主要是银行贷款，这与国外上市公司大量发行短期票据和长期债券的做法不同，因此可以以银行贷款利率作为单位债务资本成本。 根据有关研究，我国上市公司的短期债务占总债务的90%以上，由于我国的银行贷款利率尚未放开，不同公司贷款利率基本相同。因此，可用中国人民银行公布的一年期流动资金贷款利率作为税前单位债务资本成本，并根据央行每年调息情况加权平均。不同公司的贷款利率实际上存在一定差别，可根据自身情况进行调整。 （2）、单位股本资本成本 单位股本资本成本是普通股和少教股东权益的机会成本。通常根据资本资产价模型确定，计算公式如下： 普通股单位资本成本=无风险收益+β*市场组合的风险溢价 其中无风险利率可采用5年期银行存款的内部收益率。 国外一般以国债收益作为无风险收益表，我国的流通国债市场规模较小，居民的无风险投资以银行存款为主，因此以5年期银行存款的内部收益率代替。随着国债市场发展，将来也可以国债收益率为基准。 β 系数反映该公司股票相对于整个市场（一般用股票市场指数来代替）的系统风险，β系数越大，说明该公司股票相对于整个市而言风险越高，波动越大。 β值可通过公司股票收益率对同期股票市场指数（上证综指）的收益率回归计算得来。 市场组合的风险溢价反映整个证券市场相对于无风险收益率的溢价，目前有一些学者将我国的市场风险溢价定为4%。 （3）、研究发展费用和市场开拓费用 现行会计制度规定，公司必须在研究发展费用和市场开拓费用发生的当年将期间费用一次性予以核销。这种处理方法实际上否认了两种费用对企业未来成长所起的关键作用，而把它与一般的期间费用等同起来。 这种处理方法的一个重要缺点就是可能会诱使经营者减少对这两项费用的投入，这在效益不好的年份和管理人员即将退休的前几年尤为明显。美国的有关研究表明，当管理人员临近退休之际，研究发展费用的增长幅度确实有所降低。 图 6-2 正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。当n→∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态分布曲线的方程： f(x)= （6.16 ） 式中： x —所研究的变数； f(x) —某一定值 x 出现的函数值，一般称为概率密度函数（由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某一区间的概率，不能计算变量取某一值，即某一点时的概率，所以用“概率密度”一词以与概率相区分），相当于曲线 x 值的纵轴高度； p —常数，等于 3.14 159 ……； e —常数，等于 2.71828 ……；μ为总体参数，是所研究总体的平均数，不同的正态总体具有不同的μ，但对某一定总体的μ是一个常数；δ也为总体参数，表示所研究总体的标准差，不同的正态总体具有不同的δ，但对某一定总体的δ是一个常数。 上述公式表示随机变数 x 的分布叫作正态分布，记作 N( μ , δ2 ) ，读作“具平均数为μ，方差为δ 2 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态曲线，形状见图 6-2 。 （二）正态分布的特性 1 、正态分布曲线是以 x= μ为对称轴，向左右两侧作对称分布。因的数值无论正负，只要其绝对值相等，代入公式（ 6.16 ）所得的 f(x) 是相等的，即在平均数μ的左方或右方，只要距离相等，其 f(x) 就相等，因此其分布是对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于μ点上。 2 、正态分布曲线有一个高峰。随机变数 x 的取值范围为（ - ∞，+ ∞ ），在（ - ∞ ，μ）正态曲线随 x 的增大而上升，；当 x= μ时， f(x) 最大；在（μ，+ ∞ ）曲线随 x 的增大而下降。 3 、正态曲线在︱x-μ︱=1 δ处有拐点。曲线向左右两侧伸展，当x →± ∞ 时，f(x) →0 ，但 f(x) 值恒不等于零，曲线是以 x 轴为渐进线，所以曲线全距从 -∞到+ ∞。 4 、正态曲线是由μ和δ两个参数来确定的，其中μ确定曲线在 x 轴上的位置 [ 图 6-3] ，δ确定它的变异程度 [ 图 6-4] 。μ和δ不同时，就会有不同的曲线位置和变异程度。所以，正态分布曲线不只是一条曲线，而是一系列曲线。任何一条特定的正态曲线只有在其μ和δ确定以后才能确定。 5 、正态分布曲线是二项分布的极限曲线，二项分布的总概率等于 1 ，正态分布与 x 轴之间的总概率（所研究总体的全部变量出现的概率总和）或总面积也应该是等于 1 。而变量 x 出现在任两个定值 x1到x2(x1≠x2)之间的概率，等于这两个定值之间的面积占总面积的成数或百分比。正态曲线的任何两个定值间的概率或面积，完全由曲线的μ和δ确定。常用的理论面积或概率如下： 区间μ ± 1 δ面积或概率 =0.6826 μ ± 2 δ =0.9545 μ ± 3 δ=0.9973 μ± 1.960δ=0.9500 μ ±2.576 δ =0.9900(完整版)经济增加值eva计算方法
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图 62正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。 n 当 →∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态 分布曲线的方程：
fx= （61 ） () .6
式中： x—所研究的变数； fx —某一定值 x出现的函数值，一般称为概率 () 密度函数 （由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某 一区间的概率， 不能计算变量取某一值， 即某一点时的概率， 所以用 “概率密度” 一词以与概率相区分），相当于曲线 x值的纵轴高度； p—常数，等于 31 .4 19……； e— 常数，等于 2788……； μ 为总体参数，是所研究总体 5 .12 的平均数， 不同的正态总体具有不同的 μ ， 但对某一定总体的 μ 是一个常数； δ 也为总体参数， 表示所研究总体的标准差， 不同的正态总体具有不同的 δ ， 但对某一定总体的 δ 是一个常数。 上述公式表示随机变数 x的分布叫作正态分布， 记作 N μ ,δ2 )， “具 ( 读作 2 平均数为 μ，方差为 δ 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态 曲线，形状见图 62。 （二）正态分布的特性
1、正态分布曲线是以 x μ 为对称轴，向左右两侧作对称分布。因 =
的
数值无论正负， 只要其绝对值相等， 代入公式 61 ） （ .6 所得的 fx 是相等的， () 即在平均数 μ 的左方或右方，只要距离相等，其 fx 就相等，因此其分布是 () 对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于 μ 点上。经济增加值(EVA)计算方式 (四) 八
正态分布概率公式(部分)
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