宁波电大07秋《经济数学基础(综合)》作业1 参考答案
第一篇 微分学
一、单项选择题
1. 下列等式中成立的是(Ｄ)．
A ． e x x x =+
∞
→2)11(lim B ．e x
x x =+∞→)2
1(lim
C ．e x x x =+
∞
→)211(lim D ． e x
x x =++∞→2)1
1(lim
2. 下列各函数对中,( B )中的两个函数相等．
A ．2)(,)(x x g x x f =
= B ．x x g x x f ln 5)(,ln )(5==
C ．x x g x x f ln )(,)(==
D ．2)(,2
4
)(2-=+-=
x x g x x x f 3. 下列各式中，（ Ｄ ）的极限值为１ ．
A ．x x x 1sin
lim 0
→ B ．x x x sin lim ∞→ C ．x x x sin lim 2
π→
D ． x x x 1
sin lim ∞→
4. 函数的定义域是5arcsin 9
x 1
y 2x
+-=
（ B ）．
A ．[]5,5-
B ．[)(]5,33,5U --
C ．()()+∞-∞-,33,U
D ．[]5,3-
5. ()==???
??=≠=a ,0x 0x
a 0 x 3x tan )(则处连续在点x x f （ B ）
． A ．
3
1
B ． 3
C ． 1
D ． 0 6. 设某产品的需求量Q 与价格P 的函数关系为则边际收益函数为,2
p -3e Q =（ C ）.
A ．2p -e 23-
B ．23p Pe -
C ．2)2
3
3(p e P -- D ．2)33(p
e P -+
7. 函数2
4
)(2--=x x x f 在x = 2点（ B ）.
A. 有定义
B. 有极限
C. 没有极限
D. 既无定义又无极限 8. 若x x f 2cos )(=，则='')2
(π
f （ C ）.
A ．0
B ．1
C ． 4
D ．-4 9. 曲线x x y -=3
在点（1，0）处的切线是（ A ）.
A ． 22-=x y
B ． 22+-=x y
C ． 22+=x y
D ． 22--=x y
10. 设某产品的需求量q 与价格p 的函数关系为bp -a q =)为常数0b (a, >,则需求量Q 对价格
的弹性是( D ). A. b - B.
b -a b - C. %b
-a b
- D.
bp -a bp 11. 已知函数???>≤=0
x e x x -1x f x -0
)(，则f(x)在点0x =处（ C ）.
A . 间断
B . 导数不存在
C . 导数()1-=0f '
D . 导数()1=0f '
12. 若函数)1()1(-=-x x x f ,则=)(x f （ B ）.
A . )1(-x x
B . x （x+1）
C . )1)(1(+-x x
D . 2
)1(-x 13. 设函数()()
=--+→h
h x f h x f x f 22lim
,x )(000
h 0则可导在（ D ）．
A ．
()0x f 41 B ．()0'x f 2
1
C ．()0'x f
D ．()0'x 4f 14. 设函数,x
lnx
y =
则下列结论正确的是( A ). A ．在(0,e)内单调增加 B ．在(0,e)内单调减少 C ．在(1,+∞)内单调增加 D ．在(e,+∞)内单调增加 15. 设方程=-==1
12x '3
y
, x y y xy 则的函数是确定 ( D )
A . 0
B . 2
C . 1
D . -1
二、填空题
1. 函数x
x x f --
+=21)5ln()(的定义域是)2,5(-.
2. 已知某产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为
3.6 ．
3. 函数???
??+=2
)
1ln(x
ax f(x) 00=≠x x 在0=x 处连续,则常数a 的值为2a =. 4. 抛物线)0(22
>=p px y ，在点M ),2
(p p 的切线方程是
2p x y +=. 5. 设函数)sin(ln 3
x y =,则
=dx dy )cos(ln 3
3x x
.
6. 已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数 R (q ) = 45q – 0.25q 2.
7. 设)1ln()(x x x f +-=有极值,则其极值是极小值0.
8. 设)0(1)1(2
>++=x x x x
f ，则f （x ）= x x 112++.
9. 设x x
y ln =,则==1
22x dx y d -3 .
10. =-→1
x 1)-sin(x lim
1
x 2.
三、解答题
1. 求下列极限：
⑴ )4421(lim 22---→x x x ⑵ 1)211(lim +∞→-x x x ⑶ 625)
32)(1()13()21(lim --++-∞→x x x x x x 解：⑴ 原极限=)44)2)(2(2(
lim 22
--+-+→x x x x x =)2)(2(2lim 2-+-→x x x x =4
1
)2(1lim
2=+→x x ⑵ 原极限=)211(lim )211(lim x
x x x x --∞→∞→=1e 2
1
?-=21
e -
⑶ 原极限=2
3)32)(11()1
13()21(lim
6
25-=--++-∞→x
x x x x x
2. 求下列函数的导数y '：
⑴ y x
x x
--
=1cos 2 ⑵ y =32ln 1x + ⑶ )cos (sin e x x y x
-= 解：⑴ y '(x ) =2)1(cos )1(sin )1(2ln 2x x x x x
------
=2
)
1(sin )1(cos 2ln 2x x x x x
---- ⑵ )ln 1()ln 1(31232
2'++='-x x y =x x x ln 2)ln 1(3132
2-+=
x x x
ln )ln 1(3232
2-+ ⑶ )cos (sin )cos (sin )(])cos (sin e ['-+-'='-='x x e x x e x x y x
x x
x
e x x e x x e x x x sin 2)sin (cos )cos (sin =++-=
3. 设???
?
???>+=<-=
0 x ,x bx)ln(10 x , a 0 x , cos 1)(2x x
x f 问当a 、b 为何值时，)(x f 在0=x 处连续？
解:a f =)0(. 当0 x x x x x x x x x x f cos 11 sin )cos 1()cos 1)(cos 1(cos 1)(2222+? =++-=-= 2 1 1111cos 11lim )sin ( lim )(lim 2020 =+?=+?=∴---→→→x x x x f x x x 而 b e b bx b bx bx b x bx x f bx x x x x ==+=+?=+=+++ +→→→→ln )1ln(lim )1ln(1 lim )1ln(lim )(lim 1 0000 由于)(x f 在0=x 处连续的条件是极限)(lim 0 x f x →存在,且极限值等于)0(f ，即 )0()(lim )(lim 0 0f x f x f x x ==+- →→ 据此即得 2 1 = =b a 4. 设 y = f (x ) 由方程 x y x y =++e )cos(确定，求y ' 解：两边取对求导)()e (])[cos('='+'+x y x y 1e ]1)[sin(='+'++-y y y x y ) sin(e ) sin(1y x y x y y +-++= ' 5. 下列各方程中y 是x 的隐函数，试求y d ： ⑴ 4e )sin(=++xy y x ⑵ 1ln ln =+x y y x ⑶ 222e xy e y =- 解：(1)方程两边对x 求导，得0)(e )1()cos(='+?+'+?+y x y y y x xy 解出y '，得xy xy xe y x ye y x y ++++-=')cos()cos( ∴ dx xe y x ye y x dy xy xy ++++-=)cos()cos( (2)方程两边对x 求导，得01 ln 1ln =?+'+'?? +x y x y y y x y 解出y ',得22ln ln x x xy y y xy y ++-=' ∴dx x x xy y y xy dy 2 2 ln ln ++-= ⑶ 方程222e xy e y =-两边对x 求导，得0 )2(222='??+-'??y y x y y e y 解出y '，得xy e y y y 2222-=' ∴dx xy e y dy y ) (222 -= 6. 确定下列函数的单调区间。 ⑴ 1--=x e y x ⑵ x x y -=32 2 3 ⑶ )1ln(x x y +-= 解: ⑴ 0,01>?>-='x e y x ，函数单增区间为),0[∞，单减区间为]0,(-∞。 ⑵ 10,013 1>-='-x x y ，函数单增区间为]1,0[，单减区间为),1[]0,(∞-∞U 。 ⑶ 10,01-<>?>+= 'x x x x y 或，函数单增区间为),0[∞，单减区间为]0,1(-。 7. 求下列函数在指定区间的最大值与最小值。 ⑴233)(x x x f -=，[-1,4] ⑵x x x f -+=1)(，[-5,1] ⑶)1ln()(2 +=x x f ，[-1,2] 解: ⑴ )2(3-='x x f ，0)0(=f ，4)2(-=f ，4)1(-=-f ，16)4(=f ， 最大值为16)4(=f ，最小值为4)1()2(-=-=f f 。 ⑵ x f -- ='1211，4 5 )43(= f ，65)5(+-=-f ，1)1(=f ， 最大值为4 5 )43(= f ，最小值为65)5(+-=-f 。 ⑶ 1 22 += 'x x f ，0)0(=f ，2ln )1(=-f ，5ln )2(=f ， 最大值为5ln )2(=f ，最小值为0)0(=f 。 8. 设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元。又已知需求函数p q 42000-=，其中p 为价格，q 为产量，这种产品在市场上是畅销的，问价格为多少时利润最大？并求最大利润. 解：C (p ) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p )=250000-400p R (p ) =pq = p (2000-4p )= 2000p -4p 2 利润函数L (p ) = R (p ) - C (p ) =2400p -4p 2 -250000，且令)(p L '=2400 – 8p = 0 得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大. 最大利润 1100025000030043002400)300(2 =-?-?=L （元）． 9. 试证：可微偶函数的导数为奇函数． 证：设f (x )为可微偶函数，即f (x ) = f (-x )，则 f ' (x ) = (f (x ))'= (f (-x ))'=f ' (-x ) (-x )'= -f ' (-x ) 即 f ' (-x ) = -f ' (x ) 所以 f ' (x ) 为奇函数. 10. 试证：当0>x 时，)1ln(x x +>． 证：设F (x ) = x – ln(1+x ) 因为 x x F +- ='111)( 当x >0时，)(x F '>0，即F (x )单调增加. 有 F (x ) > F (0) = 0 x – ln(1+x ) > 0 所以，当x >0时，x > ln(1+x ) 宁波电大06秋《经济数学基础(综合)》作业2参考答案 第二篇 积分学 一、单项选择题 1. 若)(x F 为)(x f 的一个原函数，则 ?=+dx x f )23(（ C ） ． A ．C x F ++)23( B ． C x F +)(31 C ．C x F ++)23(3 1 D ．C x F +)( 2. 若=? dx x f e x)f '-2x )(,(则的一个原函数是（ B ） ． A ．-2x e B ． C +-2x 2e - C ．2x -e 21- D ．C +2x -e 2 1 - 3. 设R '(q )=100-4q ，若销售量由10单位减少到5单位，则收入R 的改变量是（ B ）． A ．-550 B ．-350 C ．350 D ．以上都不对 4. 若f （x ）的一个原函数为x ln ，则=)(' x f （ D ）． A. x ln B. x x ln C. x 1 D. 21x - 5. 某产品边际成本为'C q ()，固定成本为c 0，边际收入为'R q ()，则利润函数L q ()=（ D ）. A . [()()]'-'? R x C x x q d 0 B . [()()]'-'-? C x R x x c q d 0 C . [()()]'-'+? R x C x x c q d 0 0 D . [()()]'-'-? R x C x x c q d 0 6. 下列等式成立的是( D )． A . x d dx x =1 B .)1 (12x d dx x -= C . sinxdx=d(cosx) D . x x da a dx a ln 1 = 7. 设=? dx f )x -1f(,x )(1 则为连续函数为( A ) ． A ．?1 0 x f(x )dx 2 B ．?1 0 x f(x )dx 2- C ．?10f(x)dx 21 D ．?1 f(x)dx 21- 8. =? dx x ln （ C ） A ．c x +1 B ．c x x +ln C ．c x x x +-ln D ．c x x x ++ln 9. 若 ?+=C x F dx x f )()(，则=--?dx e f e x x )()(( C ). A. C e F x +)( B. C e F x +-)( C. C e F x +--)( D. C x e F x +-)( 10. 下列定积分中, 其值为0的是( A ). A ． ?-1 1 2 sin xdx x B ．xdx x cos 1 1 2 ?- C ．xdx e x sin 1 2 ?- D ．dx x )1(1 1 2?-+ 11. 某产品的边际成本为)('q C , 固定成本为0c , 则总成本函数=)(q C ( C ). A. ?q dx x C 0 )(' B. ?-q dx c x C 0 0])('[ C. 00 )('c dx x C q +? D. 00)('c dx x C q -? 12. 当k =（ D ）时，抛物线2 kx y =与直线1=x 及x 轴所围成的图形面积等于1. A . 1 B . 2 C . 3 D . 3或-3 13. =? -dx x x 1 1 ( B ) A . 4 B . 0 C . 32 D . 3 2- 14. 微分方程xy y 2='的通解是=y ( A ) A . 2 x Ce B . C e x +2 C . C x +2 D . 2 x e 15. 若f （x ）是可积函数，则下列等式中不正确的是( D ). A . )())((' x f dx x f =? B . c x f dx x f +=? )()(' C . ?=dx x f dx x f d )())(( D . ?=)()(x f x df 二、填空题 1. 若2 x e 是)(x f 的一个原函数,则=? dx x f e 2 -x )(c x +2. 2. dx e x x 23 2?= c e x +326 1. 3. =+?-1 122d )1(x x x 0. 4. 若 c x x x x f +-+= ? 1 1 d )(，则=)(x f 2 )1(2-- x . 5. 若 c x F x x f +=? )(d )(，则x f x x )d e (e --?=C e F x +--)(. 6. 设曲线在任一点)0(>x x 处的切线斜率为 x x 1 -，且过(1，3)点，则该曲线的方程是2ln +-=x x y . 7. 某商品的边际收入为q 210-，则收入函数R q ()=2 10q q -. 8. 设)(x f 为连续函数，积分 ? 1 )(dt t f 经代换)0(≠=a at u 换元后变为积分du a a u f a ??01 )(. 9. =-? dx x x 2 1c x +--21. 10. ? +∞ 1 2 3 d 1x x =2. 三、解答题 1. 求下列不定积分： (1) dx x x ? -2 35； (2) dx x x ? -1 ； (3) dx x x ? 1sin 12 . 解：（1）原式= C x C x x d x +--=+-+? -=--- ? 23 2232221 2)35(9 1 )35(12 116 1 )35()35(6 1 (2) 原式 c x x c t t dt t t t t x +-+--=++-=--=-? 23 32)1(3 2 12322)2(11 (3) 原式=? +=-C x x d x 1 cos 11sin 2. 求下列定积分： (1) dx xe x ? 1 2； (2) dx e x x ? -4 1 31； (3) ?-+1 2 |1|dx x . 解：(1) 原式=4 141424 122121212221 22102102102+=+-=-= -=??e e e e e dx e xe xde x x x x (2) 原式=364 1 34133 2323 2 )3(32----+-=-=--?e e e x d e x x (3) 原式???? ------+++++-=+++- =1 1 1 2 1 1 1 2 ) 1()1()1()1()1()1(x d x x d x dx x dx x 2 522104211021)1(2 1 )1(2 1 1 1 21 2 2 =+=-+--=+++-=--）（）（x x 3. 设由曲线2 x y =,直线0,2,=+==y k x k x 所围成的面积最小,求k 的值. 解:)1(4)(),8126(3 1 3 1x (k) S '223 2 k k 2+=++== = ++? k k S k k x dx k k 得驻点1-=k ∴当1-=k 时,其图形面积S 有最小值. 4. 求曲线322 +-=x x y 和曲线322 ++-=x x y 所围平面图形的面积. 解: 平面图形的面积[ ] 3 8232)32()32(2 023=??? ???+-=+--++=?x x dx x x x -x S 20 2 2 5. 求下列广义积分： (1) dx x ? +∞ 1 1 (2) dx x x e ?+∞2)(ln 1 (3)dx x e x ?∞+121. 解：(1) ∞∞ +=? 1 21 121 x dx x ，发散。 (2) 1)(ln ln )(ln 1)(ln 11 2 2 =-==∞-+∞+∞ ?? e e e x x d x dx x x (3) )1(lim lim 11 1211 21x d e dx x e dx x e b x b b x b x ??? -==+∞→+∞→∞ + e e e e b b b x b +-=--=-=+∞ →+∞ →1)(lim lim 11 1 6. 求下列微分方程的特解 ⑴ 1)0(,1' =-+=y y x y ⑵ 0)(,sin ' ==+πy x y xy 解：（1）原微分方程变形为1'-=-x y y ,得1)(,1)(-=-=x x q x p 代入一阶线性微分方程的通解公式得,? +?-? =---]c )1([)1()1(dx e x e y dx dx =x x x x x x ce x c e x e e c dx e x e +-=+---=+----? ])1([])1([ 又1)0(=y 代入得c=1,因此方程的特解为x e x y +-= （2）原微分方程变形为x x y x y sin 1'=+,得x x x q x x p sin )(,1)(== 代入一阶线性微分方程的通解公式得,?+??=- ]sin [1 1 c dx e x x e y dx x dx x ]cos [1]sin [1c x x c xdx x x x +-=+=? 又0)(=πy 代入得c=-1,因此方程的特解为x x y 1cos --= 7. 设某商品的售价为20，边际成本为26.0)(+='q q C ,固定成本为10，试确定生产多少产品时利润最大,并求出最大利润. 解: 总收入q p R 20)(= 总成本1023.023.0d )2q 6.0()(202++=++=+=? q q C q q q q C 总利润10183.0)1023.0(20)(2 2-+-=++-=q q q q q q L 0186.0)(=--='q q L ，得30=q 最大利润为260103018303.0)30(2 =-?+?-==L 8. 投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为)(x C '=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低. 解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 ?+= ?6 4 d )402(x x C =6 4 2 )40(x x += 100（万元） 又 x c x x C x C x ?+'= d )()(=x x x 36402++=x x 36 40++ 令 0361)(2 =- ='x x C ， 解得6=x x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以，产量为6百台时可使平均成本达到最小. 9. 证明: []? ? -+=-a a a dx x f x f dx x f 0 )()()( 证明: ? ?? --+=0 0 )()()(a a a a dx x f dx x f dx x f ???? ? ==--=---=-a a a a a dx x f du u f du u f u d u f u x dx x f 0 )()()()()()( ∴ []? ??? -+=-+=-a a a a a dx x f x f dx x f dx x f dx x f 0 )()()()()(（证毕） 宁波电大06秋《经济数学基础(综合)》作业3参考答案 第三篇 矩阵 一、单项选择题 1. 设A 是可逆矩阵，且I AB A =+，则=-1A ( A ). A . B I + B . B C . 1)(--AB I D . I B - 2. 矩阵???? ??????=333222111A 的秩是（ B ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 下列矩阵可逆的是（ A ）. A. ??????????300320321 B. ?? ?? ? ?????--321101101 C. ??????0011 D . ?? ? ???2211 4. 下列说法正确的是（ C ），其中B A ,是同阶方阵． A ．若O A B =，则O A =或O B = B ．BA AB = C ．若I AB =，则I BA = D ．)1(A B BA B +=+ 5. 设矩阵l m n m B A ??,则运算( D )有意义． A ． B A + B ．AB C ．BA D ．B A T 6. 设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T ＝（ D ）． A . ??? ???--6231 B . ??? ???--6321 C . ??? ???--5322 D . ?? ? ???--5232 7. 设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ B ）． A ．111 )(---+=+B A B A B ．111)(---=A B AB C ．1T 11 T )() (---=B A AB D ．11)(--=kA kA （其中k 为非零常数） 8. 设B A ,为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ D ） A . 若A B = I ，则必有A = I 或B = I B . T T T )(B A AB = C . 秩=+)(B A 秩+)(A 秩)(B D . 111) (---=A B AB 二、填空题 1. 计算矩阵乘积[]???? ? ? ??????--21034521=[]0. 2. 设?? ?? ??????---=321013102 A , []3,2,1-= B , 则T AB =??????????-615. 3. 矩阵???? ??????--015312103的秩为3. 4. 设?? ??? ?????=300020005A ，则=-1A ??????? ?????? ?? ?310 0021 0051 . 5. 若矩阵A =???? ? ?????--330204212，则r (A ) = 2. 6. 设A=n m ij a ?)(,B=t s ij b ?)(,当且仅当ij ij b a t n s m ===且,时,有A=B . 7. 设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2 2 2 2)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是BA AB =. 8. 设B A ,为两个已知矩阵，且B I -可逆，则方程X BX A =+的解=X A B I 1 ) (--. 三、解答题 1. 设矩阵???? ??????=01112421λA ，确定λ的值，使秩)(A 最小. 解：??????????=01112421λA ??????????----→410740421λ??????????----→740410421λ????? ? ????? ?- --→0490410421λ 当4 9 = λ时，2)(=A r 达到最小值。 2. 矩阵???? ??????---145243121可逆吗？ 解： ???? ? ?????--→??????????--→??????????---10 120121 614 120121 14 5 243121∵ ∴???? ? ?????---145243121可逆 3. 求下列矩阵的逆矩阵. ⑴ ?? ?? ? ?????---20 3 345 112 ⑵ ????? ?????-01241121 0 解：⑴ ∵?? ??? ?? ???----???→???????????---=-?+100012001 2 031211 121000100012 033 451 12)(2 )1()2(I A ?? ?? ??????----??→?10020300111201212121 (),1(????? ?????------???→?-?+-?+1361600251300121213)1()3(2)1()2( ??????????------???→?-?+1141000251300121212)2()3(?? ?? ??????-----???→??+-?+1141002110301020211 )3()2(1)3()1( ?? ? ?????? ?-----??→?-?- ?1141003231310101020211)3(31 )2(???? ??? ???? ????? ------+???→?-?+114 1003231310103132380012 )2()1( ∴??????? ???------=??????? ? ????????---- --=-331211112831114313 131313238 1 A 。 ⑵ 因为(A I ) =?? ?? ??????---→??????????-12000101083021041 1100010001012411210 ????? ?????----→??????????---→123124112200010001123001011200210201 ???? ??????----→211231241121000100 01 所以A -1 = ???? ??????----21123124112 4. 试证：若A 、B 可交换，则下列式子成立： 22222))((2)(B A B A B A B AB A B A -=-+++=+ 证：∵ A 、B 可交换 ∴2 2 2 2 2 2 2 2)(B AB A B AB AB A B BA AB A B A ++=+++=+++=+ 222222))((B A B AB AB A B AB BA A B A B A -=--+=--+=-+． 5. 试证：对于任意方阵T A A A +,是对称矩阵。 证：因为T T T T T T T A A A A A A A A +=+=+=+)()( 所以T A A +为对称矩阵。 宁波电大06秋《经济数学基础(综合)》作业4参考答案 第四篇 线性方程组 一、单项选择题 1. 设线性方程组b X A n m =?有无穷多解的充分必要条件是（ D ）． A ．m A r A r <=)()( B ．n A r <)( C ．n m < D ．n A r A r <=)()( 2. 若线性方程组AX=0只有0解，则则线性方程组AX=b （ D ）． A ．只有唯一解 B ．有无穷多解 C ．无解 D ．解不能确定 3. 当( C )时,线性方程组)0(≠=b b AX 有唯一解,其中n 是未知量的个数． A ．秩(A)=秩(A ) B ．秩(A)=秩(A ) C ．秩(A)=秩(A )=n D ．秩(A)=n, 秩(A )=n+1 4. 线性方程组???=+=+0121 21x x x x 解的情况是（ A ）． A ．无解 B ．只有0解 C ．有唯一解 D ．有无穷多解 5. 设线性方程组??? ? ?=++=+=+3321 2321212a x x x a x x a x x ，则方程组有解的充分必要条件是（ C ）. A. 0321=++a a a B. 0321=+-a a a C. 0321=-+a a a D . 0321=++-a a a 6. 若线性方程组)0(≠=b b AX 的系数矩阵的秩n A r =)(，其中n 是未知量的个数，则该方程组 解的情况为
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