练习一
1. 某厂接到生产A 、B 两种产品的合同，产品A 需200件，产品B 需300件。这两种产品的生产都经过毛坯制造与机械加工两个工艺阶段。在毛坯制造阶段，产品A 每件需要2小时，产品B 每件需要4小时。机械加工阶段又分粗加工和精加工两道工序，每件产品A 需粗加工4小时，精加工10小时；每件产品B 需粗加工7小时，精加工12小时。若毛坯生产阶段能力为1700小时，粗加工设备拥有能力为1000小时，精加工设备拥有能力为3000小时。又加工费用在毛坯、粗加工、精加工时分别为每小时3元、3元、2元。此外在粗加工阶段允许设备可进行500小时的加班生产，但加班生产时间内每小时增加额外成本4.5元。试根据以上资料，为该厂制订一个成本最低的生产计划。
解：设正常生产A,B 产品数12,x x ，加班生产A,B 产品数34,x x
13241324341324min 3(22444477)7.5(47)2(10101212)
z x x x x x x x x x x x x x x =+++++++++++++.s t 132412121
2
12200300241700471000
10123000
475000i x x x x x x x x x x x x x +≥??
+≥??+≤?
+≤??+≤?+≤??
≥?且为整数，i=1,2,3,4
2. 对某厂I ，Ⅱ，Ⅲ三种产品下一年各季度的合同预订数如下表所示。
工时为15000小时，生产I 、Ⅱ、Ⅲ产品每件分别需时2、4、3小时。因更换工艺装备，产品I 在2季度无法生产。规定当产品不能按期交货时，产品I ，Ⅱ每件每迟交一个季度赔偿20元，产品Ⅲ赔偿10元；又生产出来产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5元。问：该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存的费用为最小(要求建立数学模型，不需求解)。
解：设x ij 为第j 季度产品i 的产量，s ij 为第j 季度末产品i 的库存量，d ij 为第j 季度
产品i 的需求量。
()3
3
3
1231
11
min 2020105j j j ij j i j z d d d s ====+++∑∑∑
.s t 123124
4
1
11
1243150000150
0j j j ij ij j j j
j ik ij ij ik
k k ij
x x x x x d x d s d x ====??
++≤??=??
=+???+-=???≥?∑∑∑∑且为整数，i=1,2,3,j=1,2,3,4
3. 某公司有三项工作需分别招收技工和力工来完成。第一项工作可由一个技工单独完成，或由一个技工和两个力工组成的小组来完成。第二项工作可由一个技工或一个力工单独去完成。第三项工作可由五个力工组成的小组完成，或由一个技工领着三个力工来完成。已知技工和力工每周工资分别为100元和80元，他们每周都工作48小时，但他们每人实际的有效工作小时数分别为42和36。为完成这三项工作任务，该公司需要每周总有效工作小时数为：第一项工作10000小时。第二项工作20000小时，第三项工作30000小时。又能招收到的工人数为技工不超过400人，力工不超过800人。请确定招收技工和力工各多少人，使总的工资支出为最少。(建立数学模型，不需求解)
解：设x ij 为第i 项工作采用第j 种方式雇佣的单位数
()()1112213212312232min 480048*80253z x x x x x x x x =+++++++
.s t ()()4
111212421224
32
31321112213212223132
4236*21042362*10
4236533*10400253800
01,2,3,1,2
ij x x x x x x x x x x x x x x x x x i j ?++≥?+≥??++≥??+++≤??+++≤?≥==??且为整数，
4. 某录音机生产厂在安排来年的生产。D t 是预测第t 月的需求量，要求按月制定生产计划。工厂现有500工人。在现水平下，每月生产4000台录音机，平均每人每月生
产8台。由于设备条件，装配线每月最多生产7000台。工厂打算在忙季雇用临时工，不过每月最多能雇50人，在淡季则解雇一些临时工人，政策要求每月最多能解雇上月总人数10%工人。每台录音机成本(不包括工人工资)100元。仓库储存一台每月成本7元。工资每人每月100元。新雇一个工人要多花成本(福利、训练)300元。解雇一个工人则花成本500元。年初与年末库存均为零，如何安排每月生产使总成本最小? 解：设t d 为第t 个月解雇的工人数，t R 为第t 个月新雇的工人数，t P 为第t 个月
用于生产的工人数，t Q 为第t 个月月末的库存量
1212121212
1
1
1
1
1
min 10087100300500t t t t t t t t t t z P Q P R d ======?++++∑∑∑∑∑
01101211
500
00..88700050
10%t
t t t t t t t t t t t P P P P d
Q Q s t Q Q P D P R d P ---=??=+-??=?
=??=+-??≤?
≤??≤??
5. 某公司和供货商A 、B 、C 签订了长期的供货合同，按月为位于不同地区的三个下属工厂供应某种原料，三个供货商提供的原料品质基本相同，但由于所处的地理位置、人工成本等导致其实际供货成本有所不通。由于一次生产事故，导致最大供货商A 下个月的供货量无法全部满足。下个月供货商的供应量、工厂的需求量和供货商与工厂之间的供货成本如表所示。
公司经紧急协商，在工厂1所在地筹措到100吨的货源，供应成本为23百元/吨；工厂2所在地货源充足，供货成本为25百元/吨，但由于运力紧张两处货源均无法运到外地。鉴于此种情况，公司决定要优先保证工厂1的全部需求，工 厂3的需求至少要满足500吨。该公司面临的问题是应如何协调各供货商和工厂之间的供货关系，才能使总的供货成本最小。（转化为供需平衡的运输问题）
ij ij 数。
11
min ij ij i j z c x ===∑∑
.s t 4
114
214
315
114
213
31
500300400400
5005000,1,2,3,4,1,2,3,4,5j j j j j j i i i i i i ij x x x x x x x i j ======?≤???≤???≤????≥???≥???≥???≥==???
∑∑∑∑∑∑
练习二
1. 某厂拟生产甲乙两种产品，每件利润分别为3，5百元，甲、乙产品的部件各自在A,B 两个车间分别生产，每件甲，乙产品的部件分别需要A,B 车间的生产能力3，4工时；两种产品最后都要在C 车间装配，装配每件甲，乙产品分别需要3，4工时。A,B,C 三车间每天可用于生产两种产品的工时分别为15，16，25。应如何安排生产这两种产品才能获利最多。 解：设生产甲乙的产量分别为x 1,x 2。
12max 300500z x x =+
.s t 12
1212315
4163425,0x x x x x x ≤??≤??
+≤??≥?且为整数
2.有两种化学产品A 和B ，均需分别经过两个反应罐加工而成。每一产品A 需在反应罐1中加工2小时，然后在反应罐2中加工3小时。每一单位产品B 需在反应罐1中加工3小时，而后在反应罐2中加工4小时。反应罐1的可供利用的时间160小时，反应罐2可供利用的时间为240 小时。每生产1单位的产品B ，同时可得到2个单位的副产品C 。出售产品A 每单位能获利4元，产品B 每单位获利10元，副产品C 每单位能获利3元。产品C 若卖不出去，那么每单位的销毁费为2元。由市场预测知，最多能售出50个单位的产品C 。试问如何安排生产计划，可使获得的利润最大？
解：设生产A,B 数量为x 1,x 2,则C 的产量为2x 2.
12max 46250z x x =++
.s t 121212
2316034240,0x x x x x x +≤??
+≤??≥?且为整数
3. 现有4亿的资金用于投资，规定在未来的第二、三、四年年初各需要支付一亿元。投资方案有四类：（1）A 方案：以一年为期，每期的预计收益率为2.5％；
（2）B 方案：以二年为期，每期的预计收益率为5.2％；（3）C 方案：以三年为期，每期的预计收益率为8.5％；（4）D 方案：以四年为期，每期的预计收益率为10.5％。问如何安排投资，可以满足条件，同时回报最大。
解：设第一年用于ABCD 方案的投资分别为1111,,,a b c d x x x x ，第二年用于ABC 方案的投资分别为222,,a b c x x x ，第三年用于AB 方案的投资为33,a b x x ，第四年用于A 方案的投资为4a x 。
4321max 1.025 1.052 1.085 1.105a b c d z x x x x =+++
.s t 11112221332143141.02511.025 1.05211.025 1.0851
0,1,2,3,4,,,,a b c d a b c a a b a b a a c
ij x x x x x x x x x x x x x x x x i j a b c d
?+++≤?
++≤-??
+≤+-??≤+-?≥==??
4．一贸易公司专门经营某种杂粮的批发业务。公司现有库容为5000担的仓库。一月一日，公司拥有库存1000担杂粮，并有资金20000元。估计第一季度杂粮价格如表所示：
”。公司希望本季末库存为2000担，问应采取什么样的买进与卖出的策略使三个月总的获利最大？如何写出本问题的线性规划模型呢？ 解：设三个月每月月末进货为i x ，出货为,1,2,3i y i = 分析可知20x =
12331max 32500.15 3.25 2.95 2.9 2.85z y y y x x =-++--
.s t 11111211
3
112
313122.8520000 3.11000
10005000100010001000,0i i x y y x y y x y y x y y
y x x y y x y ≤+??
≤??+-≤?
≤+-??≤+--?=+---??
≥?且为整数
5．某厂用原料A ，B ，C 生产三种不同的产品甲、乙、丙。已知各种产品中A ， B ，C 的含量、原料成本、各种原料的每月限制用量、三种产品的加工费用以及售价如下。（假设三种产品的生产过程中无任何损耗）问如何安排生产可使该厂利润
解：设第i 种产品里j 的分量为ij x 千克。
3
3
3
3
3
3
1231231
1
1
1
1
1
max 42332j j j i i i j j j i i i z x x x x x x =======++---∑∑∑∑∑∑
.s t
3
1
1
3
2
1
3
3
1
3
111
1
3
121
1
3
212
1
3
232
1
3
333
1
3000
4000
2000
0.2
0.6
0.4
0.2
0.5
0,1,2,3,1,2,3
i
i
i
i
i
i
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
ij
x
x
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x x
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x i j
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∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑