创作编号：
GB8878185555334563BT9125XW
创作者： 凤呜大王*
线面垂直的证明中的找线技巧
◆
通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直 1 如图1，在正方体
1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，
AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD ． 证明：连结MO ，1A M
，∵DB ⊥
1A A ，DB ⊥AC ，1A A
AC A =，
∴DB ⊥平面
11A ACC ，而1
AO ?平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2
234MO a =．
在Rt △11A C M 中，2
21
94
A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1
AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ． 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．
◆
利用面面垂直寻求线面垂直
2 如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面PAC ．
证明：在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ．
因为平面PAC ⊥平面PBC ，且两平面交于PC ，
AD ?平面PAC ，且AD ⊥PC ， 由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PBC ． 又∵BC ?
平面PBC ，∴AD ⊥BC ．
∵PA ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ，∴BC ⊥平面PAC ．
（另外还可证BC 分别与相交直线AD ，AC 垂直，从而得到BC ⊥平面PAC ）．
评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直?线面垂直?线线垂直．
一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直
???→←???判定性质线面垂直???→←???判定性质
面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．
3 如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD
，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．
证明：∵SA ⊥平面ABCD ， ∴SA BC ⊥．∵
AB BC ⊥，
∴BC ⊥平面SAB ．又∵AE ?平面SAB ，∴BC AE ⊥．∵SC ⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ．∴AE SB ⊥．同理可证AG SD ⊥． 评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化． 4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，
作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ． 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC
BC =，∴CF AB ⊥．
∵AD BD =，∴DF AB ⊥．
又CF DF F =，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ?平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B =， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．
∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =，
∴ AH ⊥平面BCD ．
评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．
5 如图３，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．
证明：∵AB 是圆Ｏ的直径，∴AC BC ⊥．
∵PA ⊥平面ABC ，BC
?平面ABC ，
∴PA BC ⊥．∴BC ⊥平面APC ． ∵BC ?平面PBC ，
∴平面APC ⊥平面PBC ．
∵AE ⊥PC ，平面APC ∩平面PBC ＝PC ， ∴AE ⊥平面PBC ．
∵AE ?平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PBC ．
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评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．
6. 空间四边形ABCD 中，若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，求证：AC ⊥BD
D
证明：过A 作AO ⊥平面BCD 于O
AB CD CD BO ⊥∴⊥， 同理BC ⊥DO ∴O 为△ABC 的垂心
于是BD CO BD AC ⊥?⊥
7. 证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1D
A
C
证明：连结AC
BD AC ⊥
AC 为A 1C 在平面AC 上的射影
∴⊥⊥?
???⊥BD A C
A C BC A C BC D
11111同理可证平面
8. 如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN AB ⊥
C
. 证：取PD 中点E ，则
EN DC //
1
2
C
?EN AM //
∴AE MN //
又平面平面平面 CD AD PA AC CD PAD AE PAD ⊥⊥?
???⊥??
?
?
?⊥?
??
???⊥CD AE CD AB AE MN MN AB ////
9如图在ΔABC 中， AD ⊥BC ， ED=2AE ， 过E 作FG ∥BC ， 且将ΔAFG 沿FG 折起，使∠A 'ED=60°，求证:A 'E ⊥平面A 'BC
分析：
弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。 解： ∵FG ∥BC ，AD ⊥BC
∴A 'E ⊥FG
∴A 'E ⊥BC
设A 'E=a ，则ED=2a 由余弦定理得：
A 'D 2=A 'E 2+ED 2
-2?A 'E ?EDcos60°
=3a
2
∴ED 2=A 'D 2+A 'E 2
∴A 'D ⊥A 'E
∴A 'E ⊥平面A 'BC
10如图, 在空间四边形SABC 中, SA ⊥平面ABC , ∠ABC = 90?, AN ⊥SB 于N , AM ⊥SC 于M 。求证: ①AN ⊥BC; ②SC ⊥平面ANM 分析:
①要证AN ⊥BC , 转证, BC ⊥平面SAB 。
②要证SC ⊥平面ANM , 转证, SC 垂直于平面ANM 内的两条相交直线, 即证SC ⊥AM , SC ⊥AN 。要证SC ⊥AN , 转证AN ⊥平面SBC , 就可以了。 证明:
①∵SA ⊥平面ABC ∴SA ⊥BC 又∵BC ⊥AB , 且AB SA = A ∴BC ⊥平面SAB ∵AN ?平面SAB ∴AN ⊥BC ②∵AN ⊥BC , AN ⊥SB , 且SB BC = B ∴AN ⊥平面SBC ∵SCC 平面SBC ∴AN ⊥SC 又∵AM ⊥SC , 且AM AN = A ∴SC ⊥平面ANM
11已知如图，P ?平面ABC ，PA=PB=PC ，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC ⊥平面PBC 分析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC 中点D ，证明AD 垂直平PBC 即可
证明：取BC 中点D 连结AD 、PD ∵PA=PB ；∠APB=60° ∴ΔPAB 为正三角形
同理ΔPAC 为正三角形 设PA=a 在RT ΔBPC 中，PB=PC=a
BC=
2a ∴PD=
2
2a 在ΔABC 中 AD=
2
2BD AB -
=
22
a ∵AD 2
+PD 2
=2
2
2222???
?
??+???? ??a a =a 2=AP 2
∴ΔAPD 为直角三角形即AD ⊥DP
又∵AD ⊥BC
∴AD ⊥平面PBC
A
B
C
D F
E G A'
∴平面ABC ⊥平面PBC
13 以AB 为直径的圆在平面α内，α⊥PA 于A ，C 在圆上，连PB 、PC 过A 作AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，试判断图中还有几组线面垂直。
A
B
C
P
E F
解：
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GB8878185555334563BT9125XW
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??
??
????
?⊥⊥??
???????⊥????
??⊥?⊥????
?⊥PC AF BC AF PAC AF PAC BC BC AC AB BC PA BC PA 面面为直径αα⊥
????
⊥⊥?⊥?PB PB AE PB AF PBC AF 面面AEF
［例1］ 如图9—39，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，
∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC ．
【证明】∵SB=SA=SC ，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC 取BC 的中点O ，连AO 、SO ，
则AO ⊥BC ，SO ⊥BC ，
∴∠AOS 为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a ，又∠
BSC=90°，∴BC=2a ，SO=22
a ，
AO 2=AC 2－OC 2=a 2－21a 2=21
a 2，∴SA 2=AO 2+OS 2，∴∠
AOS=90°，从而平面ABC ⊥平面BSC ．
【评述】要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角．这也是证两平面垂直的常用方法． ［例2］如图9—40，在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ．
图9—40
（1）求证：AB⊥BC；（2）若设二面角S—BC—A为45°，SA=BC，求二面角A—SC—B的大小．
（1）【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH ⊥平面SBC，
又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．
（2）【解】∵SA⊥平面ABC，∴平面SAB⊥平面ABC，又平面SAB⊥平面SBC，∴∠SBA 为二面角S—BC—A的平面角，
∴∠SBA=45°．设SA=AB=BC=a，
作AE⊥SC于E，连EH，则EH⊥SC，∴∠AEH为二面角A—SC—B的平面角，而AH=2
2
a，
AC=
2a，SC=3a，AE=3
6
a
∴sin∠AEH=
2
3
，二面角A—SC—B为60°．
【注】三垂线法是作二面角的平面角的常用方法．
［例3］如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、
PC的中点．
（1）求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小；（2）求证：平面MND⊥平面PCD （1）【解】PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，
∴PD⊥CD，故∠PDA为平面ABCD与平面PCD所成二面角的平面角，在Rt△PAD中，PA=AD，∴∠PDA=45°
（2）【证明】取PD中点E，连结EN，EA，则EN 2
1
CD AM，∴四边形ENMA是
平行四边形，∴EA∥MN．
∵AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而MN⊥平面PCD，∵MN 平面MND，∴平面MND⊥平面PCD．
【注】证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN⊥平面PCD较困难，转化为证明AE⊥平面PCD就较简单了．另外，在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线PC与AD 所成角的范围．
［例4］如图9—42，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点．
图9—42
（1）求证：平面MNF ⊥平面ENF ．（2）求二面角M —EF —N 的平面角的正切值．
（1）【证明】∵M 、N 、E 是中点，∴M C NC N B EB 1111===∴?=∠=∠45MNC ENB 11 ∴?=∠90MNE 即MN ⊥EN ，又NF ⊥平面A 1C 1，11C A MN 平面?∴MN ⊥NF ，从而MN ⊥平面ENF ．∵MN ?平面MNF ，
∴平面MNF ⊥平面ENF ．
（2）【解】过N 作NH ⊥EF 于H ，连结MH ．∵MN ⊥平面ENF ，NH 为MH 在平面ENF 内的射影，
∴由三垂线定理得MH ⊥EF ，∴∠MHN 是二面角M —EF —N 的平面角．在Rt △MNH 中，求
得MN=
2
2a ，NH=
33a ，
∴tan ∠MHN=26
=NH
MN ，即二面角M —EF —N 的平面角的正切值为26
．
［例5］在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为
2的正方形，侧棱长为3，
E 、
F 分别是AB 1、CB 1的中点，求证：平面D 1EF ⊥平面AB 1C ．
【证明】如图9—43，∵E 、F 分别是AB 1、CB 1的中点，
图9—43∴EF ∥AC ．∵AB 1=CB 1，O 为AC 的中点．∴B 1O ⊥AC ．故B 1O ⊥EF ．在Rt △B 1BO 中，∵BB 1=
3，BO=1．
∴∠BB 1O=30°，从而∠OB 1D 1=60°，又B 1D 1=2，B 1O 1=2
1
OB 1=1（O 1为BO 与EF 的交点）
∴△D 1B 1O 1是直角三角形，即B 1O ⊥D 1O 1，∴B 1O ⊥平面D 1EF ．又B 1O ?平面AB 1C ，∴平面D 1EF ⊥平面AB 1C ．
1．棱长都是2的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD=60°，则对角线A 1C 与侧面DCC 1D 1所成角的正弦值为_____．
【解】过A 1作A 1G ⊥C 1D 1于G ，由于该平行六面体是直平行六面体，∴A 1G ⊥平面D 1C ，连结CG ，∠A 1CG 即为A 1C 与侧面DCC 1D 1所成的角．
∵A 1G= A 1 D 1 ·sin ∠A 1 D 1 G=2sin60°=2·
23
=3而
AC=???-+120cos 222BC AB BC AB =
3
2)21
(2222222=-???-+∴
A 1C=
4124221=+=+AC A A ，
∴sin ∠A 1CG=
4311=C A G A ．【答案】43
2．E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和CD 的中点，EF 、BD 相交于O ，以EF 为棱将正方形折成直二面角，则∠BOD=_____．
【解析】设正方形的边长为2a ．
则DO 2=a 2+a 2=2a 2OB 2=a 2+a 2=2a 2DB 2=DF 2+FB 2=a 2+4a 2+a 2=6a 2∴cos ∠
DOB=21
222622222-
=??-+a
a a a a
∴∠DOB=120°
3．如图9—44，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长均为2，侧棱与底面成3π
的角，侧面
ABB 1A 1垂直于底面，
图9—44
（1）证明：B 1C ⊥C 1A ．（2）求四棱锥B —ACC 1A 1的体积．
（1）【证明】过B 1作B 1O ⊥AB 于O ，∵面ABB 1A 1⊥底面ABC ，面AB
ABC A ABB 11=面 ∴B 1O ⊥面ABC ，∴∠B 1BA 是侧棱与底面所成角，∴∠B 1BA=3π
，又各棱长均为2，∴O 为AB
的中点，连CO ，则CO ⊥AB ，而OB 1∩CO=O ，
∴AB ⊥平面B 1OC ，又B 1C ?平面OB 1C ，∴B 1C ⊥AB ，连BC 1，∵BCC 1B 1为边长为2的菱形，∴B 1C ⊥BC 1，而AB ∩BC 1=B ，
∴B 1C ⊥面ABC 1∵A 1C ?面ABC 1∴B 1C ⊥AC 1
（2）【解】在Rt △BB 1O 中，BB 1=2，BO=1，B 1O=3，V
柱
=Sh=
43·4·3=3，∴111C B A B V -=31
V
柱=1，
C
C AA B V 11-=V 柱－111C B A B V
-=3－1=2
4．如图9—45，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为AB 的中点，且PA=AB ．
图9—45
（1）求证：平面PCE ⊥平面PCD ；（2）求点A 到平面PCE 的距离． （1）【证明】PA ⊥平面ABCD ，AD 是PD 在底面上的射影，
又∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD ，∵AD ∩PD=D ∴CD ⊥面PAD ，∴∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角，
∵PA=PB=AD ，PA ⊥AD ∴∠PDA=45°，取Rt △PAD 斜边PD 的中点F ，则AF ⊥PD ，∵AF ?面PAD ∴CD ⊥AF ，
又PD ∩CD=D ∴AF ⊥平面PCD ，取PC 的中点G ，连GF 、AG 、EG ，则GF
2
1CD 又AE
21
CD ，
∴GF AE ∴四边形AGEF 为平行四边形∴AF ∥EG ，∴EG ⊥平面PDC 又EG ?平面PEC ， ∴平面PEC ⊥平面PCD ．
（2）【解】由（1）知AF ∥平面PEC ，平面PCD ⊥平面PEC ，过F 作FH ⊥PC 于H ，则FH ⊥平面PEC
∴FH 为F 到平面PEC 的距离，即为A 到平面PEC 的距离．在△PFH 与 △PCD 中，∠P 为公共角，
而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH ∽△PCD ．∴PC PF
CD
FH =
，设AD=2，∴PF=2，PC=
324822=+=+CD PD ，
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∴FH=3623
22=
?∴A 到平面PEC 的距离为
3
6
．
5．已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，对角线AC=2，BD=23，E 、F 分别为棱
CC 1、BB 1上的点，且满足EC=BC=2FB ．
图9—46
（1）求证：平面AEF ⊥平面A 1ACC 1；（2）求异面直线EF 、A 1C 1所成角的余弦值． （1）【证明】∵菱形对角线AC=2，BD=2
3∴BC=2，EC=2，FB=1，取AE 中点M ，连结
MF ，设BD 与AC 交于点O ，MO
2
1EC
FB ?
平面AEF ⊥平面ACC 1A 1
（2）在AA 1上取点N ，使AN=2，连结NE ，则NE
AC
A 1C 1
故∠NEF 为异面直线A 1C 1与EF 所成的角，连结NF ，在直角梯形NABF 中易求得NF=5，
同理求得EF=
5．
在△ENF 中，cos ∠NEF=555
22543=
??-+，即EF 与A 1C 1所成角的余弦值为55．
【解题指导】在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加．在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直．解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用．
【拓展练习】 一、备选题
1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ． （1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；
（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．
（1）【证明】∵C 是AB 为直径的圆O 的圆周上一点，AB 是圆O 的直径 ∴BC ⊥AC ；
又PA ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ， ∴BC ⊥PA ，从而BC ⊥平面PAC ． ∵BC ?平面PBC ，
∴平面PAC ⊥平面PBC ． （2）【解】平面PAC ⊥平面ABCD ；平面PAC ⊥平面PBC ；平面PAD ⊥平面PBD ；平面PAB ⊥平面ABCD ；平面PAD ⊥平面ABCD ．
2．ABC —A ′B ′C ′是正三棱柱，底面边长为a ，D ，E 分别是BB ′，CC ′上的一点，BD ＝
21
a ，EC ＝a ．
（1）求证：平面ADE ⊥平面ACC ′A ′； （2）求截面△ADE 的面积．
（1）【证明】分别取A ′C ′、AC 的中点M 、N ，连结MN ， 则MN ∥A ′A ∥B ′B ，
∴B ′、M 、N 、B 共面，∵M 为A ′C ′中点，B ′C ′=B ′A ′，∴B ′M ⊥A ′C ′，又B ′M ⊥AA ′且AA ′∩A ′C ′=A ′
∴B ′M ⊥平面A ′ACC ′． 设MN 交AE 于P ，
∵CE ＝AC ，∴PN ＝NA ＝2a
．
又DB ＝21
a ，∴PN ＝BD ．
∵PN ∥BD ， ∴PNBD 是矩形，于是PD ∥BN ，BN ∥B ′M ， ∴PD ∥B ′M ．
∵B ′M ⊥平面ACC ′A ′，
∴PD ⊥平面ACC ′A ′，而PD ?平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面ACC ′A ′．
（2）【解】∵PD ⊥平面ACC ′A ′，
∴PD⊥AE，而PD＝B′M＝2
3
a，
AE＝
2a．
∴S△ADE＝2
1
×AE×PD
＝2
1
×
2
4
6
2
3
2a
a
a=
?
．
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