立体证明题(2）?１.如图,直二面角D﹣AＢ﹣E中，四边形ABCD是正方形，AE＝EＢ,F为ＣE上的点,且BF⊥平面ACＥ.
(1)求证：ＡE⊥平面BCE；
(2）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．
2.等腰△ABＣ中，AＣ＝BＣ=，AB=２,Ｅ、F分别为AC、BＣ的中点，将△EFＣ沿EF折起，使得C到P,得到四棱锥P﹣AＢＦE，且AP=BＰ=．
(1)求证:平面EFP⊥平面ABＦE;
（2）求二面角Ｂ﹣ＡＰ﹣E的大小.
3.如图，在四棱锥P﹣ABCD中,底面是正方形，侧面PAD⊥底面ＡBCD,且PA=Ｐ
D=AD，若Ｅ、Ｆ分别为PＣ、BD的中点.
（Ⅰ) 求证：ＥF∥平面PＡD；
（Ⅱ）求证:ＥF⊥平面ＰＤC.
4.如图:正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直,且∠BCD=90°，∠CBD=30°．
（１）求证:ＡB⊥CD;
(2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值．
5.如图,在四棱锥Ｐ﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABＣD,△PAD是等边三角形,四边形ＡＢCD 是平行四边形,∠ADＣ=１2０°，AB=2AD．
（1)求证：平面PAD⊥平面PBＤ；
(2）求二面角Ａ﹣PB﹣Ｃ的余弦值．
6．如图,在直三棱柱ABC﹣A1Ｂ1C1中，∠ACB=９0°，ＡＣ＝ＣB＝CC1=2,E是AB中点.
（Ⅰ)求证：ＡＢ1⊥平面Ａ1CE ；
(Ⅱ)求直线A 1Ｃ1与平面A １C Ｅ所成角的正弦值．
7.如图,在四棱锥P ﹣ＡBC Ｄ中,ＰA ⊥平面A ＢＣＤ,∠DAB 为直角，ＡＢ∥C Ｄ,ＡＤ=CD=2AB ＝2，E,Ｆ分别为ＰC,CD 的中点.
（Ⅰ)证明：AB ⊥平面BEF;
（Ⅱ）若PA=,求二面角E ﹣BD ﹣C.
8.如图,在四棱锥P ﹣ＡBCD 中,PA⊥平面AB ＣＤ,ＰA=AB=A Ｄ=２,四边形ABCD 满足ＡB⊥ＡＤ,BC∥AD 且BC=4，点M 为PC 中点．
（1)求证:DM⊥平面PBC;
(2）若点E 为ＢＣ边上的动点,且
λ=EC BE ，是否存在实数λ，使得二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值为3
2?若存在,求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．
9.如图,ABＥD是长方形,平面AＢED⊥平面ABC,AB=AC=5,BC＝BE=6，且M是BC的中点（Ⅰ)求证：ＡＭ⊥平面BEＣ;
（Ⅱ）求三棱锥B﹣ACE的体积;
(Ⅲ)若点Q是线段AＤ上的一点，且平面QEC⊥平面BEC，求线段AＱ的长.
10．如图，直角梯形ＡＢCＤ与等腰直角三角形ＡBE所在的平面互相垂直,AＢ∥ＣD,AB⊥BC，AB=2CD＝2BＣ,EA⊥EB
(1）求证：EＡ⊥平面EＢC
（2）求二面角C﹣BE﹣D的余弦值.
11.如图，在四棱锥P﹣AＢCＤ中，底面AＢCＤ为直角梯形，ＡD∥BC，∠ＡDC=90°,平面PAD⊥底面ABCＤ，O为AＤ中点,M是棱PC上的点，AD=2ＢＣ．
(1）求证:平面ＰOＢ⊥平面PAＤ;
1２．如图,三棱柱ＡBC﹣A1Ｂ1Ｃ１中，侧棱AA１⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,E、F分别是CC１，BC的中点．
（1)求证:平面AＢ１F⊥平面ＡEＦ;
（2）求二面角Ｂ１﹣AE﹣F的余弦值．
13.如图,在菱形AＢCD中，∠AＢC=60°,AC与BD相交于点Ｏ，ＡE⊥平面ABCD,ＣＦ∥AE，AB＝ＡＥ=2.
( Ｉ)求证：ＢＤ⊥平面ACＦE；
( IＩ)当直线FＯ与平面BDE所成的角为45°时,求二面角Ｂ﹣EF﹣D的余弦角.
14．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ＡDE﹣BCF和一个正四棱锥Ｐ﹣ABCD组合而成，AD⊥AF,AＥ=ＡD=２.
（1)证明:平面PAＤ⊥平面ＡBFE；
(2)求正四棱锥Ｐ﹣ABCD的高ｈ，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是.
15.如图,已知斜三棱柱ABC一Ａ1B1Ｃ1,∠ＢCA＝90°，AC＝BＣ=2，A1在底面ABC上的射影恰为ＡC的中点D，且BＡ１⊥ＡC1．
(Ⅰ）求证：ＡＣ１⊥平面A１BC;
（Ⅱ)求二面角A﹣A１B﹣C的平面角的余弦值．
试卷答案
1.
【考点】与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面垂直的判定．
【分析】（1)由已知中直二面角D﹣AＢ﹣E中，四边形ABCD是正方形，且BF⊥平面ACＥ,我们可以证得BF⊥ＡＥ,CB⊥AＥ,进而由线面垂直的判定定理可得AE⊥平面ＢCＥ.
（2）连接BD与AC交于G,连接FＧ，设正方形ＡＢCＤ的边长为2,由三垂线定理及二面角的平面角的定义,可得∠BGＦ是二面角B﹣AC﹣Ｅ的平面角，解Ｒt△BＦG即可得到答案.【解答】证明:（1）∵BＦ⊥平面ACE
∴BＦ⊥AE…
∵二面角D﹣AB﹣E为直二面角，且CB⊥AB,
∴CＢ⊥平面ABE
∴CB⊥AＥ…
∴AE⊥平面BＣE．…
解:(2)连接BD与AＣ交于G，连接FG，设正方形ABCD的边长为２,
∴BG⊥ＡC，BG=,…
∵BＦ垂直于平面AＣE,由三垂线定理逆定理得ＦG⊥AC
∴∠BGF是二面角B﹣AC﹣E的平面角…
由(1)ＡＥ⊥平面ＢCE，得AE⊥EB,
∵AE=ＥB，BＥ=.
∴在Rt△BCE中，EC==，…
由等面积法求得,
则
∴在Rｔ△ＢＦG中，
故二面角Ｂ﹣AC﹣Ｅ的余弦值为.…
2.
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【分析】(１）用分析法找思路,用综合法证明．取ＥＦ中点O,连接OＰ、ＯC.等腰三角形ＣＥF中有ＣO⊥ＥＦ,即OP⊥EF．根据两平面垂直的性质定理，平面PEF和平面ＡＢFE的交线是ＥF，且PO⊥ＥF，分析得PO⊥平面ABFＥ.故只需根据题中条件证出PO⊥平面ABFE，即可利用面面垂直的判定定理证得平面EFP⊥平面ABFE．
（２）根据第一问分析空间位置关系，可建立空间直角坐标线求得平面ABP和平面AEP的法向量的所成角,利用向量角和二面角关系，确定二面角大小．
【解答】解：(1)证明：在△ABＣ中，D为AB中点，O为EＦ中点.
由AC=ＢC=，AＢ=2．
∵E、F分别为ＡＣ、BC的中点,
∴EＦ为中位线,得CO=OD＝1,CO⊥ＥF
∴四棱锥P﹣ABFE中,PO⊥EＦ，…2分
∵ＯD⊥AB,AD=ＯD=1，∴AO=，
又ＡP＝，ＯP=1，
∴四棱锥Ｐ﹣ＡBFE中，有AP2＝AO2＋OP２,即ＯP⊥AO,…4分
又AＯ∩EF＝O，ＥF、AO?平面ＡBFE,
∴OP⊥平面ＡＢＦＥ，…5分
又OP?平面ＥFP，
∴平面EＦP⊥平面ＡBFE．…６分
（２）由(1）知ＯD,OF，OＰ两两垂直,以O为原点，建立空间直角坐标系（如图）:
则A（1,﹣1,0)，B(1,1,０），E(０，,0），Ｐ(０,０,１）…7分
∴，,
设，分别为平面AEＰ、平面ABP的一个法向量，
则?取x=1，得ｙ=2，ｚ＝﹣１
∴. …9分
同理可得，…11分
由于=0，
所以二面角B﹣AP﹣E为90°． (2)
３.
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【专题】证明题.
【分析】对于(Ⅰ）,要证EF∥平面PＡD，只需证明EF平行于平面PAＤ内的一条直线即可,而Ｅ、F分别为ＰC、BＤ的中点，所以连接ＡＣ，ＥF为中位线，从而得证；
对于(Ⅱ)要证明EＦ⊥平面PＤC,由第一问的结论,EF∥ＰＡ,只需证PA⊥平面PＤC即可,
已知ＰＡ=PＤ=AD，可得PA⊥PＤ，只需再证明PA⊥CD，而这需要再证明CＤ⊥平
面PAD,
由于ABCD是正方形,面PAD⊥底面AＢＣD，由面面垂直的性质可以证明，从而得证.
【解答】证明:(Ⅰ)连接AC,则F是AC的中点，在△CPＡ中,EF∥PA（3分)
且PA?平面ＰＡD,EＦ?平面PAD,
∴ＥＦ∥平面ＰＡD(6分）
(Ⅱ)因为平面PＡＤ⊥平面ABＣD,平面PAＤ∩平面ABCD=AD,
又CＤ⊥AD,所以CD⊥平面PAＤ，
∴CD⊥PＡ（9分）
又ＰＡ＝PD＝ＡＤ，
所以△PＡＤ是等腰直角三角形，且∠ＡPD＝,即PＡ⊥PＤ(12分）
而CＤ∩PＤ＝D,
∴PA⊥平面PＤＣ,又EF∥ＰA,所以EF⊥平面ＰDＣ（１4分)
【点评】本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定,而其中的转化思想的应用值得注意，将线面平行转化为线线平行；证明线面垂直，转化为线线垂直，在证明线线垂直时，往往还要通过线面垂直来进行.
4.
【考点】与二面角有关的立体几何综合题;空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】(1)利用平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，可得DC⊥平面ABC,利用线面垂直的性质,可得ＤC⊥ＡB；
（2)过C作CE⊥AB于Ｅ,连接ＥD,可证∠CED是二面角D﹣AB﹣C的平面角．设CD=a,则B Ｃ==,从而EＣ=ＢCsiｎ60°=，在Rt△ＤEＣ中，可求tan∠DＥC．
【解答】（1)证明：∵DC⊥BＣ，且平面ABC⊥平面ＢCＤ，平面ABC∩平面ＢCD＝ＢC,
∴DC⊥平面ＡBC，
又AB?平面ＡBC,
∴DC⊥ＡB.…
(2）解：过C作CE⊥ＡＢ于E，连接ED,
∵AB⊥CＤ，AＢ⊥EC,CＤ∩ＥC=C，
∴AB⊥平面ＥCD，
又DE?平面ECD,∴AB⊥EＤ，
∴∠ＣEＤ是二面角D﹣AＢ﹣C的平面角,…
设ＣＤ=ａ,则BＣ＝=，
∵△ＡBC是正三角形，
∴EC=ＢCsｉn６0°=，
在Rt△DEC中,ｔan∠DEＣ＝.…
5.
【考点】MT:二面角的平面角及求法；LＹ:平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）令AD=1，求出BD=,从而AＤ⊥BD，进而BＤ⊥平面ＰAD,由此能证明平面PAD⊥平面ＰBD．
(２)以D为坐标原点,DA为x轴,DＣ为ｙ轴，过Ｄ作垂直于平面ABCＤ的直线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
【解答】证明:(1)在平行四边形ABCD中,令ＡD=1,
则BD==，
在△AＢD中,AD２+ＢD2=AB2,∴AD⊥BD，
又平面ＰＡD⊥平面ＡＢＣD,
∴BＤ⊥平面PAD,ＢD?平面ＰBD，
∴平面PＡD⊥平面PBＤ.
解：（２）由（1)得AＤ⊥BD，以Ｄ为坐标原点,ＤＡ为x轴,DC为ｙ轴，
过D作垂直于平面ＡBCD的直线为ｚ轴，建立空间直角坐标系,
令AD＝１,则A(1，0,0），B（0,,0)，C（﹣1，,0），P（,0，）,