2021高考数学专题《导数与函数的零点或方程的根、不等式》

导数与函数的零点或方程的

根、不等式1．〖2020·贵州贵阳联考〗已知函数f(x)

x －1

023 4 f(x)12020

示．当1

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D

【解析】根据导函数图象，

知2是函数f(x)的极小值点，0和3是函数f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图

象如图所示．因为1

2．〖2020·安徽省黄山市高三第一次质量检测〗定义域为R 的函数f (x )满足

f ′(x )>f (x )，则不等式e x －1f (x )

解为( )

A ．(14，＋∞)

B ．(12

，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(2，＋∞)

【答案】C

【解析】 设g (x )＝f (x )e x ，g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x

>0，知g (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，由e x －1f (x )1，故选C ．

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3．〖2020·广西柳州毕业班摸底〗已知函数

f (x )＝ax ＋x ln x 在x ＝e －2处取得极小值．

(1)求实数a 的值；

(2)当x >1时，求证：f (x )>3(x －1)．

【答案】

【解析】(1)因为f(x)＝ax＋x ln x，所以f′(x)＝a＋ln x＋1，

因为函数f(x)在x＝e－2处取得极小值，所以f′(e－2)＝0，即a＋lne－2＋1＝0，所以a＝1，所以f′(x)＝ln x＋2，

当f′(x)>0时，x>e－2，当f′(x)<0时，0

所以f(x)在(0，e－2)上单调递减，在(e－2，＋∞)上单调递增，

所以f(x)在x＝e－2处取得极小值，符合题意．所以a＝1.

(2)由(1)知a＝1，所以f(x)＝x＋x ln x.

令g(x)＝f(x)－3(x－1)，即g(x)＝x ln x－2x ＋3(x>0)．

g′(x)＝ln x－1，由g′(x)＝0得x＝e.

由g′(x)>0得x>e，由g′(x)<0得0

所以g(x)在(1，＋∞)上的最小值为g(e)＝3－e>0.

于是在(1，＋∞)上，都有g (x )>g (e)>0，所以f (x )>3(x －1)．

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4．〖2020·重庆一中月考〗已知函数f (x )

＝x ln x

＋2x ，x >1. (1)求函数f (x )的极小值；

(2)若方程(2x －m )ln x ＋x ＝0在(1，e]上有两个不等实根，求实数m 的取值范围．

【答案】

【解析】 (1)f (x )＝x ln x

＋2x ，x >1， f ′(x )＝ln x －1＋2(ln x )2

(ln x )2

＝(2ln x －1)(ln x ＋1)(ln x )2

. 由?

???? f ′(x )＝0，x >1，得x ＝ e. f (x )与f ′(x )在(1，＋∞)上的变化情况如下

(2)∵x>1，∴ln x>0，

＝0，由(2x－m)ln x＋x＝0，得2x－m＋x

ln x

即m＝x

＋2x，

ln x

∴方程(2x－m)ln x＋x＝0在(1，e]上有两个不等实根，即函数f(x)与函数y＝m在(1，e]上的图象有两个不同的交点．

由(1)可知，f(x)在(1，e)上单调递减，在(e，e]上单调递增且f(e)＝4e，f(e)＝3e，当x从右侧趋近于1时，f(x)趋近于＋∞，∴4e

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