收入分配定位
摘要
本文基于收入分配问题对不同地区城乡差异和个人购买力不同进行分析，并对中等收入人群进行定量研究，建立了有效的度量中等收入人群范围的数学模型，经过数据验证，模型正确。
针对问题一，首先对五个城市关于时间进行纵向比较，得出每一年所有城市的收入水平是呈正增长的 。为比较各地区城乡差异和各地区差异，采用绝对收入差距和城乡收入比两个指标综合来考虑对收入分配公平问题的影响，得出上海的城乡收入绝对差距略高于其他城市，并且城乡收入绝对差距在逐年升高。在2009-2011年西安的收入分配较不公平，紧随其后的是秦皇岛，而北京上海的城乡收入比在2.3,2.2左右，收入分配较公平。
针对问题二，运用购买力评价法建立人民币购买力指数模型，其中理想指数公式为==∑∑==)]*)/(/(1**)/([sqrt 1n 1Ai i A n
i B Bi B i A A W P P W P P PPP )*(sqrt i i D B 。
以北京为基准地区，在某人工资固定的情况下，在各个地区的购买能力情况排序为秦皇岛 > 西安 > 北京 > 上海> 深圳。再以2009年为基年，比较同一地区各年份购买力变化情况的相对购买力变化，个人的购买力在逐年增加，而且在各个地区的变化情况基本一致。最后根据GDP ，恩格尔系数和个人可支配收入建立购房能力指数模型，分析个人在各地区的购房变动情况。
针对问题三，首先提出了一种拟合洛仑兹曲线的模型β)1()(P AP P P L a --= 得到了相当精确的结果。为了度量中等收入人口，本文提出了衡量社会分配公平的局部公平指数 )("/)(')(P L P L P D = ，同时分别定义了对应穷人和富人的基尼指数，用这些建立了基于收入空间的中等收入人口范围：
]))1(2/11(,m ))1(2/11[(21m G D G D -+--。并用国家统计局中2009年到2012年全国国民中等收入数据进行验证，结果均相符合。说明了模型的正确性和可靠性。
关键词：城乡差异 个人购买力 购买力评价法 洛仑兹曲线 中等收入
目录
摘要........................................................................................................................ I 一．问题重述与分析.. (1)
1.1问题的重述 (1)
1.2问题的分析 (1)
二．问题假设 (2)
三．符号说明 (2)
四．模型建立与求解 (3)
4.1问题1模型的建立与求解 (3)
4.1.1平均收入水平的影响 (3)
4.1.2地区收入增长率的变化 (4)
4.1.3收入分配公平程度的影响 (4)
4.2问题二模型的建立与求解： (6)
4.2.1人民币购买力指数模型的建立： (6)
4.2.2住房购买力模型的建立 (8)
4.3问题3的模型建立与求解 (10)
4.3.1洛仑兹曲线的拟合 (10)
4.3.2中等收入人口的度量研究 (12)
4.3.3模型求解结果： (13)
4.4建议 (14)
五．模型优缺点 (14)
5.1优点 (14)
5.2缺点 (14)
六．模型的优化 (15)
七．参考文献 (15)
一．问题重述与分析
1.1问题的重述
近些年来，公平越来越成为广大人民关注的一个话题，而公平涉及到方方面面，其中，收入分配问题占有很大比重。收入分配是各国经济运行的一个重要环节，过于均衡的收入分配不利于调动劳动者的积极性，收入差距过大又易造成社会的不稳定，收入分配的公平和效率问题一直是人们关注的热点问题。不同人口比重所拥有的收入比例对于经济学中诸多问题的研究有着重要影响，而且也影响着国家经济政策的调控和人民的幸福指数，这也决定了对于人口和收入分配模型的模拟具有迫切性和实用性。
与国民收入与分配密切相关的是中等收入比重，中等收入比重高的话说明社会的两级分化不严重，收入分配相对公平。
1、比较2009年至2014年北京、上海、西安、深圳、秦皇岛城镇人口和农村人口收入差别，说明地区收入差别。
2、附件1，给出2009年至2014年某地某人的工资收入情况，请结合GDP，CPI，房价和食品价格指数，说明此人如果在北京、上海、西安、深圳、秦皇岛生活，实际购买力变化情况。
3、参考附件2：2013年研究生数学建模竞赛E题，建立中等收入与人口度量模型，利用全国国民中等收入数据进行验证，检验模型的正确性，并就此给国家工资变化策略提出建议。
1.2问题的分析
对于问题一，首先建立城乡可支配收入增长率模型，以第一年2009年为基年，运用MATLAB软件对收集到的不同地区6年间的农村、城镇人均可支配收入进行简单处理，画出柱状图和相应的增长曲线。其次，为了比较区域间城乡可支配收入的差异，建立绝对差距和相对比模型，以时间为度量单位，比较不同地区的收入差距，并结合柱状图和折线图，可直观得出区域差异以及随时间的变动趋势。
对于问题二，购买力差异从时间和区域差异两个方面分析，同一区域不同时间，由于不存在地域差异，所以直接考虑CPI指数以及工资上涨情况对购买力的影响。建立货币购买力指标模型，以2009年为基年，按地区分别计算其他年份相对于2009年的货币购买力指数，各个年份购买力指数与该年工资情况的乘积即可反应购买能力变化情况。同一时间不同地点，由于存在地域差异，建立购买力平价指标模型，通过收集到的消费情况计算权数，以北京为基准计算相对购买力平价，相乘即可得到反映购买力变化情况。由于房价具有投资属性，所以建立
住房购买力模型，结合当地GDP与恩格尔系数，计算出此人在不同地区的购房能力。
对于模型三，根据收集到的全国居民可支配收入分组数据，建立中等收入和人口度量模型，依据参考文献【13】对Lorentz曲线进行拟合，并依据计算出的公平程度，优化中等收入人群的收入范围。最后利用模型预测各年的中等收入人群范围，与分组数据进行比较。证明模型可靠性较高。
二．问题假设
假设一：人均可支配收入、CPI、GDP、消费支出比例在一定时间范围内不会产生较大变动，可以认为绝对确定。
假设二：人保证生活的基本需求是一定的，不因区域差异而改变。
假设三：此人的收入在任意地区可以满足必要的生活消费支出。
假设四：城镇人口与农村人口是存在明显界限的，不考虑人口流动对区分农村与城镇人口及收入的影响。
三．符号说明
C某个城市的城镇人均可支配收入
i
N某个城市的农村可支配收入
i
J某个城市的绝对收入差距
i
S城乡收入比
i
P所研究的目标城市第i个商品的价格
i A
P所研究的基准城市（北京）第i个商品的价格
i B
B拉式公式加权平均数
i
D帕氏公式加权平均数
i
W第i个商品在基准城市消费所占权重
Bi
W第i个商品在目标城市消费所占权重
Ai
PPP目标地区相对于基准地区（北京）的人民币购买力指数A
P 居民购房力
E恩格尔系数
g
I 城镇居民家庭人均可支配收入
C 居民购房比价系数
G 基尼系数
D(p) 社会公平率
四．模型建立与求解
4.1问题1模型的建立与求解
对地区收入差距进行比较时，平均收入水平，地区收入增长率与收入分配的公平程度的影响比较广泛。平均收入水平的高低能反映一个地区的整体生活水平好坏；地区收入增长率可以反映出一个城市的发展速度及前景；收入分配公平程度更为直观的体现出地区间的收入差距程度。体现收入分配公平程度的有一个地区城乡间的绝对收入差距，城乡收入比。下面我们将对这三个不同的指标对地区间的收入差距作不同方向的说明
4.1.1平均收入水平的影响
我们搜集了六年来五个城市的人均收入水平，我们先对同一年的五个城市的人均收入水平作比较排序，再综合六年的比较结果得出得出生活水平较高城市，中等偏高城市，中等偏低城市，生活水平较低城市。
求解结果：
（以09年五个城市的城镇人均可支配收入为例）
表1各个城市的09年的城镇平均值排序
年份09 城市城镇平均值
深圳3 29245
上海2 28838
北京1 26738
西安4 18963
秦皇岛5 15499
结果分析：
分别对09、10、11、12、13、14年的城镇收入水平按时间进行比较排序，在09-13年发现城镇生活水平的排序一致即：深圳，上海，北京，西安，秦皇岛生活水平依次降低，而且每一年所有城市的收入水平是呈正增长的，说明在这五年里深圳的收入水平比较高，上海，北京收入水平居中，西安收入水平中等靠下，秦皇岛收入水平较低，有待努力发展，但在14年排序结果发生波动，深圳的城镇生活水平降到了第三位，其他城市的相对顺序没有改变，而且深圳相比去年收入水平降低，说明14年深圳经济受到冲击，而其他城市保持正增长模式。
4.1.2地区收入增长率的变化
根据2009-2014城镇居民人均可支配收入，农民人均纯收入的各市数据，画出以下结果图
结果分析：2009-2014年间，除深圳2014年人均可支配收入有明显下降外，各市城乡居民人均收入均处于上升阶段，就增长率变化情况来说，总体趋势是下降的。其中农村的增长率普遍高于城镇增长率。其中秦皇岛，西安增长率降低幅度较为明显。
4.1.3收入分配公平程度的影响
绝对收入差距可以直观的体现出一个地区的城乡收入差距，从而看出一个地区收入两极分化的严重程度。相对差距即地区间的城乡收入比可以说明地区与地区间收入分配公平程度，建立绝对差距和相对比模型，综合以上两个指标综合说明地区的收入分配公平程度。
求解方式：
绝对收入差距：是指一个城市的城镇人均可支配收入减去农村人均纯收入 即：
i J =i C -i N （1）
城乡收入比：
i S =i C /i N （2）
结果分析;
1）绝对收入差距结果
对四个城市进行数据处理后的09年到14年的绝对收入差距直方图。
图1 各个城市09-14年绝对收入差距直方图
①从上图可以看出上海的城乡收入绝对差距略高于其他城市，说明上海的城市与农村的发展分化程度略高一些，但是基于每个地区的发展水平是参差不齐的，绝对差距不能准确的反应出各个地区间的收入差别，所以我们进一步选用城乡收入比模型说明收入分配的公平程度
②城乡收入绝对差距在逐年升高，在一定程度上说明每个地区的收入公平程度都在下降，这样的趋势将不利于社会的安全发展。同时这也与各地区人均可支配收入逐年增长以及区域差异有关。
2）城乡收入比结果
利用（2）式，求出四个城市的城乡收入比，并用matlab作出以下折线图
图2 各市城乡人均可支配相对比比较图
从上图可以看出在2009年-2011年西安的城乡收入比从3.02-2.87（具体收入比请见附录）逐渐下降，但明显高于同年份的其他城市，说明在2009-2011年西安的收入分配较不公平，紧随其后的是秦皇岛，而北京上海的城乡收入比在2.3,2.2左右，收入分配较公平。在2011年以后西安的城乡收入比低于秦皇岛但高于其他两个城市，北京上海的城乡收入比处于缓慢下降阶段，说明西安市对城乡收入分配的调整工作获得了一定的成效，但还是不及于北京上海两个大城市对城乡收入分配的公平分配，而秦皇岛的城乡收入比并没有得到明显改观需要继续做调整工作。
4.2问题二模型的建立与求解：
对于购买力差异，我们从时间和区域差异两个方面分析，同时由于房价具有投资属性，所以单独建立住房购买力模型，结合当地GDP与恩格尔系数，计算出此人在不同地区的购房能力。
4.2.1人民币购买力指数模型的建立：
人民币购买力指数：是指各地区多少数量货币的实际购买力等值于北京1元人民币的购买力。
各个地区的物价基数不同，所以相同的商品在不同的地区价格是不一样的，那么一个人相同的工资在不同城市的购买力也是不同的。人民币购买力指数可以反映各地区人民币的购买力差别，即从总体上反映各个地区物品价格的差异，进而可以表现出一个人在不同城市在满足自身基本生活的条件下购买力的不同。
1）样本数据的选择
因为人民币购买力指数模型的建立是基于购买力平价理论的，所以我们选取的数据应该满足
购买力平价理论的前提条件，具有商品代表性。所以我们可以参照国家统计局计算居民消费价格指数时对商品的分类方法，将某人购买商品分为8大类：食品，衣着，居住，家庭设备用品及服务，医疗保健，交通和通信，教育文化娱乐服务，其他商品和服务。
2）购买力平价法的应用
购买力平价法是国际比较项目中的基本方法，利用购买力比率来剔除掉各国物价的影响，而非单纯地利用汇率兑换法来比较各国的国内生产总值。这种比较方法，可以真实地衡量两个国家之间经济发展水平的差距。同样，我们可以参照此方法比较不同地区的物价水平。
具体计算步骤如下：
人民币购买力指数是由八类人民币购买力比值进行加权平均得到的。在加权平均的过程中，所用的权数是八大类支出的比重，由于目标地区和基准地区（北京）所对应的八大类支出的权数不可能完全一样，所以为了提高数据的精确度，
B，再用帕氏公式计算出一个加权平均数先用拉式公式计算出一个加权平均数
i
i D ，最后将i B 和i D 进行几何平均（也即费雪理想指数的应用），这样就可以得到各地区相对于目标地区的人民币购买力指数，公式如下：
拉式公式：
Bi i B i A w P P B *)/(1
i ∑==
帕氏公式：
)*)/(/(1i 1i A i A n
i B W P P D ∑==
理想指数公式：
==∑∑==)]*)/(/(1**)/([sqrt 1n 1Ai i A n
i B Bi B i A A W P P W P P PPP )*(sqrt i i D B
A PPP 就是目标地区相对于基准地区（北京）的人民币购买力指数。
4.2.1.2人民币购买力指数的求解
假设基准地区的人民币购买力指数为1，依据2.1.2中所叙述的人民币购买力指数的计算方法，可以一一计算出各个省份每年的人民币购买力指数，这个指数反映了目标地区和北京1元人民币购买力相同时，在当地所需花费的货币数。
计算结果如下表：
表2
各地区人民币购买力指数（以北京为准）
时间
北京 上海 深圳 西安 秦皇岛 2009
1 1.1731962
2 1.203325882 0.79644442 0.5774884 2010
1 1.16384067 1.144102288 0.829899167 0.5492124 2011
1 1.1418304
2 1.095343886 0.878176401 0.5308861 2012
1 1.0917824
2 1.111523122 0.89137736 0.52794644 201
3 1 1.0715509 1.096572027
0.907636156 0.49476689
4.2.1.3 结果分析
分析比较各地区的人民购买力
1）以2009年数据为例，在某人工资固定的情况下，在各个地区的购买能力情况排序如下：
秦皇岛 > 西安 > 北京 > 上海> 深圳
即该人在秦皇岛的购买能力最强，在深圳的购买能力较弱。再看2010-2013
的数据，该人在秦皇岛，西安，北京的购买能力的相对排序位置没有发生变化，只有在上海，深圳购买能力大小排序发生了波动，但在两个地区购买能力的差距较小。
2）看从09年到14年居民在上海的购买能力是逐渐升高的，在深圳的购买能力整体上是逐渐升高的趋势，但中间2011年有些许波动，在西安的购买能力是逐渐降低的，在秦皇岛的购买能力几乎一直在0.5左右，无显著变化。
虽然人民币购买力模型可以对各地区间购买力的差别进行较好的比较，但是不能充分展现出某人在同一地区不同年份的购买力变化情况，所以我们基于人民币购买力指数模型，建立以09年为基年，比较同一地区各年份购买力变化情况的相对购买力变化模型。
计算方法：
货币相对购买力指数即居民消费价格指数的倒数
求解结果：
图3 各市不同年份货币相对购买力指数变化情况
结果分析：
从上图可以看出，该人的购买力在逐年增加，而且在各个地区的变化情况基本一致。
上述的两个模型考虑到CPI指数对该人购买力的影响，但是CPI指数没有考虑到居民在满足基本生活要求对于购房的消费，所以我们结合该人在不同地区的购买力来综合说明该人在不同地区的购买力
4.2.2住房购买力模型的建立
4.2.2.1分析：
根据居民的收入，当地国民经济发展状况（人均GDP）和当地居民的生活水平(恩格尔系数）与住房购买力间的数学关系。
1）根据实际情况设定：购房居民的年可支配收入全部用于消费，因此，可得出结论：居民购房力P与（1-恩格尔系数）成正比，与年可支配收入I成正
比。即:
I E P *)g 1(-∝
其中Eg 代表恩格尔系数
2）人均GDP 低的地区购买住房相对容易，突出表现了家庭购房力P 与人均GDP 成反比的关系，即
GDP /1p ∝
而且居民家庭。居民家庭年人均可支配收入，与购房所在地的人均GDP 相比较，其比值的大小，反映出购房家庭在该地区相对比重。即
)*（/p GDP M I ∝
M 代表家庭人数（对于问题2，家庭人数是1）
3)研究发现：各个国家和地区存在着一个普遍现象，就是在家庭收入一定的前提下，家庭人口的多少直接影响到这个家庭的实际购买力。所以
M I P /∝
4.2.2.2模型的建立：
设1K 是比例系数且1K <=1
2K 为购房总价与家庭购买力之比，且2K >0则建立下列方程：
)*/()1(21GDP M I Eg K P -=
当1K =1时P 得最大值，则
max P =)*/()-12GDP M I Eg （
将P 代入P T K /2=得：
)]*/()1/[(221GDP M I Eg T K K -=
令21K K C =
max P =)*/()-12GDP M I Eg （
C=max /P T
定义：C=max /P T 为居民购房比价系数，即商品房总价与居民家庭年最大购买力之比。
从以上分析中得出居民最大购房能力的数学模型：
max P =)*/()-12GDP M I Eg （
居民家庭最大购房能力max P 与家庭年收入2I 的平方成正比，与（1-恩格尔系数）成正比，与当地人均GDP 成反比，与家庭人口数量成反比。
居民购房比价系数：
C=max /P T
4.2.2.3模型的求解与结果分析
根据问题二所给某人的09年到14年的工资变化情况以及上述模型来求解max P
表4 在不同地方的住房购买力情况
单位：万元
max P
2009 2010 2011 2012 2013 2014 北京 0．67 0.91 0.95 1.14 1.87 2.75 上海 0.65 0.82 0.87 1.07 1.82 2.66 深圳 0.65 0.64 0.64 0.75 1.18 1.78 西安 0.68 1.68 1.68 1.91 2.99 4.46 秦皇岛 0.67 1.99 1.95 2.41 4.14 ------ 此住房购买力指数越高，则购买力越大。由上表可以看出2009年个人住房购买力比较低，随时间推移而逐渐增大，可支配收入的增长和GDP 的增长，在西安和秦皇岛的购买能力增长比较大。
4.3问题3的模型建立与求解
4.3.1洛仑兹曲线的拟合
分析： 如果通过入户调查得到家庭收入与消费等数据，便可以通过Kernel 法估计收入分配的统计分布，从而确定对中等收入人口的度量，但是我国统计部门并没有对外公开这些数据，所以我们需要通过统计局发布的分组数据去拟合不同收入水平家庭的收入分配曲线
分组数据完整形式如下：
()μi i x p ,，n i ,,2,1 =
()i i L p ,，n i ,,2,1 = (2)
其中i x 是收入区间点，满足1210+<<<<≤n n x x x x ，通常1+n x 理解为充分
大的正数。n 通常不大，例如n=8.
经济学界采用所谓的洛伦兹曲线模型),(τp L 拟合上述数据(2)，其中τ是一组参数，使用非线性最小二乘法求解
()∑=-n
i i i L p L 12
),(min τ 确定其中参数向量τ的估计值τ?，然后用)(?)?,(p L p L =τ
作为近似的洛伦兹曲线来进行收入分配分析.根据E 题中的参考文献[13]的模型：β)1()(P AP P P L a --=确定估计值τ?，拟合出洛伦兹曲线模型
2012年Lorentz ：5848.09275.0)1(609.0)(p p p p L --=
2011年Lorentz ：5757.09375.0)1(6345.0)(p p p p L --=
2010年Lorentz ：5738.09281.0)1(6291.0)(p p p p L --=
2009年Lorentz ：5811.09417.0)1(6527.0)(p p p p L --=
2012 洛伦兹曲线拟合如下：
图4 拟合洛伦兹曲线图
SSE=1.85*610-;RMSE=6.8*410-说明拟合精度较高
其他年份的洛伦兹拟合曲线请见附录
4.3.2中等收入人口的度量研究
首先对于“收入空间法”，经济学上常采用的方法是首先确定中位数m 使得2/1)(=m F ，然后确定包含m 的一个区间],[21z z ，满足21z m z <<。用],[21z z 作为衡量中等收入人口的收入范围。接下来我们将分析确定合理的],[21z z 。
这里定义社会公平率：)("/)(')(P L P L P D =,它的值越大，说明社会越公平，下面对D(P)来源作简要解释：在],[p p p ?+内，L ’(P)改变越是厉害，不同分位的人的贡献差异越大，说明在此区间内的人群的收入越不公平，从而)('/)p ('P L P L ?+可以用来衡量在],[p p p ?+内的人群的公平程度，其值越大，社会越不公平。所以我们可以把)('/)(''P L P L 作为社会的不公平率，而其倒数)("/)(')(P L P L P D =就是社会公平率。
同时，为了衡量两级分化，我们借用经济学中的Gini 指数，其定义为Lorentz 曲线与45度线之间面积的2倍：?-=1
0)(21dp P L G 。 当社会完全公平，每个人的收入都一样时，那么此时的Lorentz 曲线为: ∞===)(''/10)('',)(P L P L P P L ，,公平指数无穷大。
??=-=-=10102/1/)())((d ))((2p d P L p p P L P G ??-101
0/))(p pdp dp P L （ 它实际上是Lorentz 曲线与4_5度线之间面积与4_5度线底下面积的比，它衡量的是整个社会的公平程度，Gini 指数越大，社会越不公平。
为了深入研究问题，我们需要分别研究中等收入以下群体以及中等收入以上
群体各自的公平程度，类似地，我们来定义增广的Gini 指数:
???-=-2/10102
/101))((8/))((@dp p L p pdp dp P L P G ； ???-=-12/112/11
2/12))((3/8/))((@dp p L p pdp dp P L P G 他们之间的联系为：
214/34/1G G G +=
所以我们改进收入空间法，给出中等收入人口的收入范围为:
]))1(2/11(,m ))1(2/11[(21m G D G D -+--
由于)(''/1)(f P uL x =,当p=1/2时，对应的f(x)就是在中位数附近的人口密度，又u m L /)2/1('=所以D=mf(m),它恰是中位数m 附近群体收入的强度，当该强度越大时，反映在图上中间部分隆起越高，此时D 越大，对应的中等收入人口的收入范围越大，从而中等收入人口的比例越大。这与经济学中“若中间部分比前一年隆起得更高，则认为中等收入人口扩大了”是一致的;同时当两端人口扩大时，两级分化严重，从而G , 1G , 2G 越大，中等收入人口的收入范围越小，这又与“若两边人口扩大了，则中等收入人口下降了”这一原理吻合。同时，随着经济的发展，以上定义的中等收入人口范围也会因为中位收入m 的提高而相应变化。
4.3.3模型求解结果：
2012年中等收入区间 ：[1.9695.2.2332]万元，当年中等收入为2.45314万元。 2011年中等收入区间 ：[1.7406,2.2837]万元，当年中等收入为2.14397万元。 2010年中等收入区间 ：[1.5297,2.0148] 万元，当年中等收入为1.89207万元。 2009年中等收入区间 ：[1.9696,2.6333] 万元，当年中等收入为1.8584万元。
可以看出，全国国民中等收入数据符合所求中等收入范围，所建模型具有很高的可靠性。下面是验证结果的直观表现概率图（以2012年举例）
图5 收入概率直观图
红色直线代表收入中位数，黑色直线和绿色直线分别为中等收入的下界和上界。
4.4建议
从宏观上讲，优化我国收入分配格局，深入收入分配制度改革，提高中等收入人群比重首先要依靠政府职能，继续完善我国社会保障体系，统筹城乡发展，最大限度地降低中等以下收入人群的比重，改善社会福利制度，增加就业机会，实现低收入人群向中等收入人群的跨越。其次，优化我国税收结构，根据我国现行分配格局，建立合理完善的税收体系，适当的提高税收起征点，减少中等及以下收入人群的税收压力。最后，继续坚持“稳增长、调结构、促改革”的主线，
实施经济发展战略，促进经济稳步增长，调整产业结构，以发展第三产业为动力，结合我国国情，将劳动密集型和技术、资本密集型产业结合，加快产业创新，普遍提高全国居民的收入。
本文针对我国现行收入分配格局，结合定量分析结果，提出政策建议。通过定量分析结果发现，高增长率往往伴随着两极分化程度的加重现象的发生，因此在追求经济高增长率的同时，防范两极分化的工作应该同步进行，避免掉进“中等收入陷阱”中；当经济发展到较高水平时，两极分化现象会有所改善，此时，政府应抓住机遇，合理优化社会分配格局，使较高的经济发展水平真正成为实现共同富裕的动力。
五．模型优缺点
5.1优点
1、针对不同问题建立不同模型，对差异问题的分析同时考虑时间的影响和地域间差异的影响，分析较为全面客观。
2、对于购买力分析，考虑到房价并不是一个明确的消费范畴，有投资的意义，所以单独考虑并建立购房能力模型，具有客观全面性，解决了虽然从CPI 等指标考虑，居民购买力实际增高但是由于房价高过而导致的人民主观认为购买力下降的矛盾。
3、建立区域间的购买力平价模型，计算区域“汇率”，更加科学客观的反应区域间的购买力，使得计算得到的区域间购买力差别更加贴近实际。
4、运用参考文献13]拟合Lorentz曲线，拟合精度较高，同时引入公平程度参数，对中等收入人群范围进行修正，经验证具有良好的效果。
5.2缺点
由于深圳，西安没有农村居民的消费支出情况，所以只考虑了城镇消费支出情况，具有一定片面性，同时秦皇岛地区只有食品支出和生活消费总支出数据，
所以在计算权值时只有两类，结果精度较低。
六．模型的优化
1、可以进一步搜集各地不同时间的城乡人均可支配收入分组数据，根据分组数据建立泰尔指数模型，分析城乡之间人均可支配收入分配合理程度。补充优化差异分析。
2、计算区域人民币“汇率”时扩大考虑面，细分消费支出种类和比重，优化区购买力平价模型，时结果更具稳定性，科学性
3、CPI是一个反映居民家庭一般所购买的消费商品和服务价格水平变动情况的宏观经济指标。在反应购买力水平时忽略了对生产资料和资本、进出口商品和劳务等的购买力，可引入GDP平减指数模型，是最终结果能够更加准确地反映一般物价水平走向。
七．参考文献
[1]中国统计局年鉴，统计公报2009-2014
[2]北京市统计局年鉴，统计公报2009-2014
[3]上海市统计局年鉴，统计公报2009-2014
[4]深圳市统计局年鉴，统计公报2009-2014
[5]秦皇岛市统计局年鉴，统计公报2009-2014
[6]中国统计信息网
[7]国家统计数据库
[8]https://www.doczj.com/doc/9210627459.html,/link?url=YVKzexJHzZrP_UPTJ5Fmm7bjPHqF7H2rWx8 Qn2Z-Te2GRNKw2lEHhzQwKgeR4EX8pssYvbyZ-GnfG7Miqq4XdqgBvdxxWi-8D sKwqHZDWRS
[9]李爱华，城镇居民住房购买力研究，中国知网
[10]周晓东，我国城乡居民收入差距省区间比较研究，中国知网
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[13]Wang, Z.X. and R. Smyth, 2013. A hybrid method for creating Lorenz curves with an application to measuring world income inequality.
A题太阳影子定位 一，摘要 （宋体小四号，简明扼要的详细叙述，字数不可以超过一页，不要译成英文） 本文针对太阳影子定位技术，通过太阳与地球相对运动的规律，建立杆长、影长、经纬度、时间、日期的关系，建立模型。综合分析了不同地点，不同的时间，不同的季节时影子长度的形成规律及变化趋势，运用了软件进行分析，得出不同地区影子变化的模型。最后将具体情况运用到建立的模型中，对实际问题进行可行性分析，根据条件的改变完善对模型的应用和实用性检验。 第一问中，我们通过两种太阳高度角的表示方法建立等式关系，根据控制变量法，分析出影子长度分别与经、纬度、杆长、时间、日期的关系。然后，根据时差计算关系，当北京时间在9:00-15:00时，天安门广场的时间，并应用建立的模型。 第二问中，首先根据影子坐标求出影子的长度，拟合北京时间与影子长度的函数，找出影子长度的最低的点，从而根据时间求出当地经度，由于误差的存在，我们将经度、杆长、纬度给定一定范围，根据第一问公式进行搜索，从而确定可能的地点。 关键字：（宋体小四号）真太阳时平太阳时赤纬角太阳高度角熵值法 二，问题提出 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技 术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用 你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39 度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆 所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直 杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据， 给出若干个可能的地点与日期。 4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直 杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个 可能的拍摄地点。 如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？ 三，问题分析
高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
数码相机定位 摘要 柯达于1975年开发世界第一部数码相机。由此，数码照相机便家喻户晓起来。数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。 标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。 关键词：针孔成像，坐标变换，图像处理，相机镜头畸变，双目定位 。
太阳影子定位 摘要 太阳影子定位技术就是通过分析物体的太阳影子长度变化，来确定物体所在的时间和地理位置。本文通过分析有关太阳影子各因素之间的关系，采用几何关系和MATLAB编程等方法，对所给问题分别给出了数学模型及处理方案。 针对问题一，确立影长变化模型。首先以经度、纬度、日期、时间、杆长为参数分析影长的变化规律，通过中间变量太阳高度角、赤纬角、时角确立影长变化模型。其次利用影长变化模型，运用MATLAB进行编程，求解出天安门在9:00-15:00影长变化曲线类似一条凹抛物线，其中最短影长出现时刻为多少分，影长为多少m。
一、问题重述 1.1问题背景 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.2问题提出 问题一：建立影子长度变化与各个参数关系的数学模型，并应用所建模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 问题二：根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点，据此确定所给影子顶点坐标数据的若干个可能的地点。 问题三：在前一问的基础上进一步确定影子顶点坐标与日期的变化关系，建立模型并确定所给影子顶点坐标数据的若干个可能的地点与日期。 二、问题分析 这属于竿影日照数学问题，把竿顶影子端点坐标移动轨迹， 2.1问题一的分析 针对问题一首先为了建立影子长度变化的数学模型，应先确定影响影子长度变化的因素，拟选取直杆所在经度、纬度、日期、时刻及杆长为参数建立数学模型。由于题设中未直接给出关于影长与五个参数的数据，所以拟通过中间量描述影长与上述五个参数之间的关系。查阅相关资料得到可以太阳高度角、太阳赤纬角、太阳时角及太阳方位角四个中间参量作为转换分析中间变量，再根据四个中间变量得到影长与 5 个参数的函数关系式，即影长长度变化的数学模型。最后将天安门广场的 5 个参数带入影长变化模型，可得到杆影的变化曲线，分析影子长度关于各个参数的变化规律。 2.2问题二的分析 针对问题二以直杆的太阳影子顶点为坐标数据建立数学模型，并应用于附件 1 的影子顶点坐标数据求解直杆位置。可视为已知影长坐标、日期和时刻，求影长所在的地点的问题。首先应根据影长坐标计算实际太阳影长，本文拟将附件 1
对太阳影子定位算法探究 摘要 本文是对2013年全国大学生数学建模竞赛A题的解答.随着人们对数据挖掘的深入，如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期已经成为视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法，进而可以促进视频分析定位技术发展。 对于问题一，我们根据地球自转公转的自然规律，建立影子长度变化的数学模型，并且分析影子长度关于各个参数的变化规律。基于对问题的分析以及理论的学习研究，画出模拟概念图，然后计算相关量（如太阳高度角、赤纬角等）的表达式，并按照相关地理知识建立起模型，得到杆子影长与时间函数表达式，再将题目所给的数据代入求解方程，并用MATLAB作出曲线图，最后检验模型的准确性。 对于问题二，我们以问题一所求出的表达式和资料作为基础，继而利用球面天文学求算太阳视坐标的简化算法建立一模型直接求解出经度，纬度的估算值。再代进数据并用利用多项式拟合出更长的时间序列曲线，用函数的特征值（最低点）加上时角，时区计算相关知识，再推算出经度值。最后利用第一问模型，经度，加上曲线获得的几组影长数据联立求解出大致纬度，最后估算杆子所在的地区。 对于问题三，结合问题一问题二所建立的模型，将附件2，附件3的数据先画出散点图并以多项式拟合出两条相对完整的曲线，通过其曲线函数求得影长的最小值以及最小值所对应的时间求得经度，纬度，将经度和纬度代入赤纬角公式以及影长公式可求得相应的具体日期。 对于问题四，首先将视频数据利用MATLAB，并且编程处理视频得到每分钟一帧的图片，再把相关图片转化为灰度图矩阵，最后用语句转化为二值图（0为黑，1为白）。下一步把二值图集分析并且分析出杆子影长的变化规律，求出视频拍摄点经度，利用模型一求出纬度，即是位置。 关键字：影长位置 MATLAB编程多项式拟合最小二乘法二值图
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
数码相机定位 摘要 本文对双目定位的具体模型和方法进行了研究，分别给出了针孔成像模型、椭圆拟合模型等并对其进行研究。这种方法可以较好的解决由于像坐标存在误差，而引起靶标坐标能否精确计算的问题。我们用此模型，比较准确的还原出靶标上的点。给定靶标上的点，我们可以对应的求出像面上的点，即得到了一个像面上的点与靶标上的点的一一对应的较准确的关系。 我们首先要确定出像面上椭圆的中心坐标，因此我们采用了几何方法，建立合理的坐标，根据椭圆最高点和最低点的连线、最左与最右点的连线必交与椭圆中心的原理，创造性的利用了Photoshop软件直接将所给的图形以像素为单位进行坐标化处理，再读出各个点的坐标，这样椭圆中心即可确定下来，靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标也就确定了。 由于本文采用的是一个优化模型，求出的是其近似解，与实际的原坐标位置有一定的偏移，所以我们需检验其精度，采用两种方法检验：1、通过靶标面和像平面中存在的几何关系建立一定的方程，从而去验证上述模型的精度；2、如果直接用图像中图形边界做切线，精度将会变得非常低，会造成很大的误差，所以在本模型中，先要利用所给图像中图形的边界(在1中提取)拟合出椭圆的方程。通过MATLAB、最小二乘法等计算出像平面椭圆圆心的坐标，结果与实际进行比较，进而检验模型的精度和稳定性。 对于由两部相机摄的像确定两部相机的相对位置及方向，我们通过建立方程并求解，从而得到两部相机之间的位置关系。该方法可以较好的处理误差所引起的方程不相容问题。 关键词：针孔成像模型几何模型椭圆拟合Photoshop
基于实数离散逐级优化模型的太阳影子定位问题 摘要 本文研究了基于实数离散逐级优化模型的太阳影子定位问题 针对问题一，本文运用天文、地理知识和基本的几何关系，得到影长关于各个参数的函数关系子模型，并建立影长逐级代换模型。我们首先找出影响影子变化的因素，即时间、日期、地理位置、杆的高度；再根据定量分析的方法，得出影子变化与四种因素的变化规律；然后将不同地理位置均按120°E正午12点为0°时角计算当地时角，并通过构建太阳高度角与杆长的简单直角三角图形，利用MATLAB [1]软件计算得出北京时间9:00—15:00时间段内影子的变化曲线。根据曲线得出，该时间段内影长的变化范围在 3.674m—7.366m。每个整点影长如 标求出每个时刻所对应的方位角，将问题一和二中关系式联立，以1°为步长，通过编程遍历整个坐标系分别解出对应时刻不同地理位置所求出的方位角与理论方位角最接近的地理位置，每一点只对应一个时刻。再根据所给信息进行大致筛选，并通过求筛选出的任意一点同其他时刻理论方位角与实际方位角差的平方和最小时的点进行二次筛选。由于误差较大，我们需通过实数离散逐级求解模型，来分别以1分和1秒为步长对先前的二次筛选点进行小范围的遍历，遍历规则同上。最终求出最佳近似位置为： （39°29’30”N，120°29’30”E） 针对问题三，同样利用问题二中模型，增加了日期变量，此时所需遍历参数为经度、纬度、日期,用模型二的方法初步得到21个三维坐标，然后由此21个数据定出与它们方差最小的点的坐标，再进一步减小步幅，得到新的精度更高的21个坐标（精度达到分），重复以上步骤确定经纬精度达到1秒，日期精度达到1日，以此作为我们逐层优化得到的近似最优解，也就确定了坐标。最终求出最佳近似位置和日期分别为： 附录2：（35°29’29”N，31°29’29”E） ,日期为10月6日 附录3：（53°29’29”N，124°29’30”E）,日期为2月4日针对问题四，首先对视频进行截图，取时间间隔1min，对图片进行增大对比度处理，建立空间距离矩阵，确定影子长度，位置的变化，进行相应的处理，确定坐标系，坐标点，第一小问就转化为了问题二模型进行求解了，第二小问缺少日期，符合模型三，利用模型三求解即可 关键词：逐级遍历优化、近似最优位置、控制变量法、问题归并
数码相机定位的数学模型 摘要 随着数码相机定位在各领域的广泛应用，对相关问题《机器视觉》的研究也成为热点。因此建立一个精度较高，稳定性好的数码相机定位的数学模型，具有很好的现实意义。 问题1要求给出确定靶标上圆的圆心在给定相机像平面的像坐标的算法，问题2利用问题1的模型对给定数据求解。为此，首先建立了四个空间直角坐标系，在MATLAB中把图3的数字信息提取出来，主要是五个椭圆的边缘点的信息；同时为了便于运算，通过坐标变换将计算机图像坐标变换为图像坐标；并用提取的图像边界坐标拟合出5个椭圆的方程，利用“曲线切线的投影仍与曲线的投影相切，而且切点的投影仍为投影的切点”这一引理，提取出靶标上圆及其像上的公切点的坐标作为特征点，利用RAC两步法标定过程和最小二乘法建立了计算世界坐标系到相机坐标系的旋转变换矩阵R和平移向量T及径向畸变系数k的算法。利用16个公切点作为特征点，通过Matalb编程求得靶标上圆的圆心在文中给定相机像平面的五个坐标(单位：mm)：A(-49.7132, 51.1289 417.1958)，B(-23.3475, 49.1539 417.1958)，C(33.8194, 44.8716, 417.1958)，D(18.8173,-31.5798, 417.1958)，E(-59.7830, -31.1754, 417.1958)。 问题3的解决分为两步：一是通过对模型计算出的焦距及畸变系数及上面五个坐标值的分析得出模型的精度较高的结论；二是采用改变特征点数的方法或利用“A,B,C三个标靶的中心的像应在一条直线上”验证模型的稳定性。问题4采用二目立体视觉模型确定了给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。 本文建立的算法可操作性强，精度较高，稳定性好，对解决类似问题的计算有一定的推广价值。 关键词：拟合椭圆特征点提取 RAC两步法坐标旋转矩阵公切点
西安邮电大学 (理学院) 数学建模报告 题目：太阳影子定位问题 班级：信息工程1403班 学号：03144079 姓名：侯思航 成绩： 2016年6月30日
一、摘要 本文针对太阳影子定位技术，通过太阳与地球相对运动的规律，建立杆长、影长、经纬度、时间、日期的关系，建立模型。综合分析了不同地点，不同的时间，不同的季节时影子长度的形成规律及变化趋势，运用了软件进行分析，得出不同地区影子变化的模型。最后将具体情况运用到建立的模型中，对实际问题进行可行性分析，根据条件的改变完善对模型的应用和实用性检验。第一问中，我们通过两种太阳高度角的表示方法建立等式关系，根据控制变量法，分析出影子长度分别与经、纬度、杆长、时间、日期的关系。然后，根据时差计算关系，当北京时间在9:00-15:00时，天安门广场的时间，并应用建立的模型。第二问中，首先根据影子坐标求出影子的长度，拟合北京时间与影子长度的函数，找出影子长度的最低的点，从而根据时间求出当地经度，由于误差的存在，我们将经度、杆长、纬度给定一定范围，根据第一问公式进行搜索，从而确定可能的地点。 关键字：（宋体小四号）真太阳时平太阳时赤纬角太阳高度角熵值法 二、问题提出 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。 4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。 三、问题分析 第一问：根据物体在太阳光照射下将产生影子的自然现象,研究物体影子的形成原理, 通过分析太阳光线照射物体的角度的日变化和年变化，引起物体影子的长度和朝向有规律地变化来建立数学模型。利用Matlab软件绘出影子长短随时间变化的图像。将问题中所给参数带入，解决问题。由于太阳光线照射物体的角度的日变化和年变化，引起物体影子的长度和朝向有规律地变化。 第二问：通过对附件所给的影子坐标的数据，求出影子的长度，然后通过第一问的相关公式，对影长和时间的关系进行拟合，得到一个二次方程，得出影长的最低值，从而可知正午时间，再算出经度。
太阳影子确定位置 太阳影子定位摘要太阳影子定位摘要太阳影子定位技术就是通过分析物体的太阳影子长度变化，来确定物体所在的时间和地理位置。 本文通过分析有关太阳影子各因素之间的关系，采用几何关系及MATLAB软件编程、数学建模等方法，对问题一、问题二、问题三分别给出了数学模型及处理方案。 对于问题一，根据题目所给的时间，日期，地理位置，杆长等条件，首先确定影响影子长度的各个因素，然后再根据几何知识确定它们之间的数学关系，建立相关的数学模型。 再运用MATLAB软件进行编程及绘出影长与时间点的变化曲线图。 对于问题二，根据题目可知，在时间点，日期，影子坐标已知的条件下，需要求出所测点的地理位置，即经纬度。 在问题一的基础上，我们根据问题一的相关结论，做出合理的假设。 用MATLAB软件拟合出所求点的影长与当地时间的关系曲线，确定各个影长所对应的当地时间。 根据附件1中所给点求出影长，找到对应的北京时间。 得到所求地与北京的时间差，即可用时间差和经度的关系求得当地的经度。 在问题二中，我们运用相关公式转换了坐标系，分析各个公式之间的相互转换，计算出题目所求地点的纬度。
从而，确定当地的位置。 对于问题三，给定时间与影子的坐标，确定日期及地理位置。 经度的确定与问题二中求得经度的方法一样，都是通过MATLAB 软件、时间差等方法求得的。 对于纬度的求解，则是运用相关因素之间的公式，转换变化得出日期与纬度之间的关系。 再用MATLAB软件进行穷举，得出所有的纬度，来确定的。 最后，对于论文的优缺点做出了评价，还给出了客观的改进建议。 关键词MATLAB 公式一．问题重述二．问题分析1.3问题三的分析三．模型建设1.假设题目中所给的数据全都真实可靠四．符号说明五．模型的建立与解决5.1 问题一：1.模型的准备2模型的建立3模型的求解5.2 问题二：1.模型的准备2.模型的建立（1）直角坐标系的转换原直角坐标系：根据附件1给出的一系列点的坐标，用Matlab软件编写程序，输入附件1中给定的点，得到偏转角度θ。 新直角坐标系：根据原直角坐标系得到的角度θ,以此角度θ为旋转角度，建立起新的坐标系。 公式1：公式1中，θ为旋转角度，x,y分别为原直角坐标系中的横、纵坐标，x1,y1分别是新直角坐标系的横、纵坐标。
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） A题太阳影子定位 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。 4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。 如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？ 太阳影子定位 摘要 本文通过分析物体的太阳影子变化，利用太阳影子定位技术建立确定视频拍摄的地点和日期的模型。 针对问题一，首先通过分析知影子长度的变化主要影响参数为：当地的经度λ、纬度?、时刻t、直杆长度l、季节J（日期N)等，引入地理学参数：太阳
赤纬δ、时角α及太阳高度角h 0，建立一个能够刻画影子长度变化和各个参数 间关系的模型：??? ????=?? ?? ????-+-=h l h l t 000tan )cos cos sin sin sin arccos(300151δ?δ?λ；其次以实例对模 型进行检验，在误差可允许的范围内，认为模型正确；进而对模型采用控制变量法分析影子长度关于各个参数的变化规律；然后求解出满足条件影子长度12时15分是最短，大约3.674米（表3）。影子长度的变化曲线（图5），9时至12时15分影子长度呈现下降趋势，12时15分之15时影子长度呈现上升趋势；最后考虑太阳照射中发生折射现象的推广。 针对问题二， 关键词 一、问题重述： 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。 4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。
2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上 咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资 料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文 献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则 的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 1324615 所属学校（请填写完整的全名）：中国地质大学（武汉） 参赛队员 (打印并签名) ：1. 王飞 2. 李丁 3. 代永力 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：付丽华 日期： 2008 年 9 月22日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
数码相机定位 摘 要 相机定位是计算机视觉领域里从二维图像获取三维信息的基本要求，是完成许多视觉工作必不可少的步骤。 题目利用由五个圆组成的靶标模板(图2)对相机进行标定。对于给出的相机拍摄的靶标的像(图3)，本文对其进行了预处理：首先应用MATLAB 软件对图3进行去噪，然后利用自行设计的算法(扫描法)提取去噪后图形的边缘(图8)。事实上，标定就是找到空间坐标系和像平面坐标系之间的相互关系。而这是由相机成像的几何模型决定的，其成像参数包括相机内部几何和光学特性(内部参数)，以及相机世界坐标系的三维位置和方向(外部参数)。求解相机内外参数是解决问题的关键。 本文考虑了理想的情况，即直线的投影仍是直线，以及交点的投影仍然是像的交点。利用图2中A 、B 、C 、D 、E 两两圆的外公切线的切点与图3中像的外公切线的切点相对应，通过最小二乘法求出该相机的内、外参数。然后，利用相机成像原理，将图2中圆心的坐标c A 、c B 、c C 、c D 、c E 和相机内外参数代入，即可得到靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标'c A 、'c B 、'c C 、'c D 、'c E （见表2）。 为了验证该模型，本文利用留一法，用四个圆(共有三组：A 、B 、D 、E ；B 、C 、D 、E ；A 、C 、D 、E )的切点与对应像点求相机内外参数，剩下的一个圆用于做检验。以第一组为例，具体过程是：根据A 、B 、D 、E 算出内外参数，然后求出C 圆圆心的像的坐标''c C ，并与'c A 、'c B 所确定的直线的距离来检验方法的精度和稳定性。结果显示（见本文13-14页），本文所用方法精度较高，稳定性较好。 双目标定时，将双目系统的坐标系建立在左相机上，把右相机的坐标系相对于其的旋转和平移参数利用最小二乘法求出，从而可以得到两部相机的相对位置。 关键词：标定；内、外参数；深度优先搜索；最小二乘法
一问题的提出 1.1背景 数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。 标定的一种做法是：在一块平板上画若 干个点，同时用这两部相机照相，分别得到 这些点在它们像平面上的像点，利用这两组 像点的几何关系就可以得到这两部相机的 相对位置。然而，无论在物平面或像平面上 我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。 实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为 靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它 们的像一般会变形，如图1所示，所以必须 从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确 地找到，标定就可实现。图 1 靶标上圆的像 有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示。 用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示。
图 2 靶标示意图图3 靶标的像 1.2问题 （1）建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面； （2）对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×768； （3）设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；（4）建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。 二问题的假设 1．考虑光的衍射，色散，只考虑反射和折射； 2．假设所有场景中感兴趣的点都在镜头前面； 3．将相机简化为一个小孔成像机构，对于产生的相差，以及相机对像平面成像的调整作用不予考虑； 4．像平面是由一个个有大小的像素点组成，是一个不连续的点空间，而几何定义大都是在连续空间内定义的，这里假定，在几何推理中，像平面是连续的面，也即每个象素点除了表示坐标外，不再具有实际的大小； 5．为了在离散空间中求解，在解答过程中对相切、相割的含义做了一些调整，具体论述见正文； 6．对于题中随给相机中的几何关系有如下描述：焦点，透镜中心，像平面中点三点共 三符号说明 四问题分析 问题涉及的是数码相机的定位问题，问题出现在双目定位的背景下，要解决的问题是如何实现物体表面某些特征点在物平面和像平面之间的坐标转换，其中如何在像平面中找到发生变形的靶标（圆）像的圆心是需要解决的核心问题。 4.1 基本思路 题目中给出了已经得到的靶标的像和一些可测量的参数，如相机的像距，分辨率及靶标圆的半径和各圆之间的相对位置等。精确确定两部相机的相对位置是最终目的；实现物体表面某些特征点在物平面和像平面之间的坐标转换，是解决问题的基础；而像的变形决定了找到圆心在像上的投影是问题的核心也是难点。我们考虑先找出实现物体表面某些特征点在物平面和像平面之间的坐标转换的方法，在此基础上找到靶标圆心在像平面上的圆心的具体位置，然后通过坐标转换，把空间点从图像中恢复出来，最后根据两次恢复中求出的空间点位置的不一致关系，通过坐标系转换推出两部相机的相对位置。 4.2 具体分析 问题1需要确定靶标上圆的圆心在相机像平面的像坐标。有两种方法可以考虑实现，第一是利用物与像之间某些不变的相对位置关系找到对应与圆心的像点；另一种方法就是借助计算机图形处理中的霍夫变换和聚类算法在一定模型假设基础上求解。 问题2主要是模型的求解。根据问题一中得到的模型和算法，具体的编制程序进
A题太阳影子定位 摘要
一.问题重述 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。 4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。 如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？ 二.问题分析 本题第一问是研究太阳影子长度随各个参数的变化规律，影响太阳影子长度的因素主要有时间以及地点，也就是当地的经纬度和时间来影响太阳高度角来影响太阳影子长度。 太阳高度角：对于地球上的某个地点，太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，专业上讲太阳高度角是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角。根据太阳高度角的计算公式： sin h=sin φ sin δ+cos φ cosδ cos t 即求出太阳高度角就能算出太阳影子长度。 本题第二问是根据第一问的模型通过最小二乘法拟合来判断大致的经纬度，从而确定地点。
第35卷第1期2017年2月 陕西科技太摩摩裉 Journal of Shaanxi University of Science & Technology Vol.35 No.1 Feb.2017 关 文章编号：1000-5811 (2017)01-0193-05 基于并列选择遗传算法的太阳影子定位方法 于鹏\刘泽锋2，郭改慧\陆金巧\吕杨1 (1.陕西科技大学文理学院，陕西西安710021: 2.陕西科技大学机电工程学院，陕西西安710021) 摘要：根据“立竿见影”和竿影日照图的原理，提出了一种太阳影子定位方法.首先结合太阳 高度角、太阳赤綷角，以理论影长和实际影长的相关系数最大和其误差平方和最小为目标函数 建立了求太阳影子定位的多目标优化模型，并以测量地的经綷度作为设计变量，运用并行选择 的遗传算法进行求解，实现了对测量地的精准定位.最后通过实例分析，指出与传统的枚举算 法相比，本文采用的遗传算法的求解结果无论在精度还是在收敛速度上都优于传统的枚举算法. 关键词：太阳影子定位；多目标优化；并行选择；遗传算法 中图分类号：TP391 文献标志码：A Positioning method by the shadow of the sun based on parallel selected genetic lgorithm YU Peng1，LIU Ze-feng2，GUO Gai-hui1，LU Jin-qiao1，LV Yang1 (1. School of Arts and Sciences,Shaanxi University of Science Technology,Xi^an 710021, China；2. Col- lege of Mechanical and Electrical Engineering,Shaanxi University of Science Technology,X i’an 710021，China) Abstract：According to the natural phenomenon that produces a shadow of objects under di-rect sunlight and the formation principle of stick sunlight shadow chart,the positioning method by the shadow of the sun is https://www.doczj.com/doc/9210627459.html,bined with relevant knowledge such as solar altitude and declination of sun.The multiple object optimization model,whose objective fun-ction is the maximum of correlation coefficient and the minimum of error sum of squares a-bout practical and theoretical shadow7s length,is built.Regarding longitude and latitude of measure area as design variables,the measure area is confirmedwith parallelism selection ge-netic algorithm.In the analysis of case,compared with enumeration method，there is the truth that,the result by genetic algorithm is more accurate and the solution speed is faster than enumeration method. Key words：positioning by the shadow of the sun；multiple object optimization；parallelism selection；genetic algorithm 收稿日期=2016-07-21 基金项目：国家自然科学基金项目（11401356) 作者简介：于鹏（1981 —），男，宁夏永宁人，讲师，硕士，研究方向：不确定推理
摘要 通过太阳影子定位技术可以确定视频的拍摄地点和时间，为拍摄出更好的视频，掌握太阳影子的变化规律就变得尤为重要。本文主要综合运用了地理学、几何学、统计学、数学分析和高等代数等知识，并利用MATLAB,SPSS 和mathematica 等计算机软件，通过建立数学模型来研究影子长度的变化特征,进一步确定视频的拍摄地点和时间。 针对问题一，首先我们通过分析影子长度的影响因素得到与影子长度的关系（见表达式六）整理计算之后，就得到了影子长度的数学模型。 1*tan (arcsin(cos cos cos sin sin ))l L ?θ?θ-=Ω+ 然后我们通过分析他们之间的关系，再利用MATLAB 编程，得到了影子长度关于各个参数的变化规律（见图3到图7）。其次根据我们建立的模型，利用MATLAB 编程画出了给定时间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线（见图8），然后在考虑折射率的情况下又画了一条变化曲线（见图9），最后进行了误差分析（见图10）。 针对问题二，我们采用了测试分析法（数据分析法和计算机仿真相结合），通过分析各个参量之间的关系，先以影长l 为目标做回归，用模型一的模型，通过SPSS 进行拟合得到多组数据，再用MATLAB 进行检验得到符合的两组经纬度。 (19.251,109.645),(24.579,98.1)N E N E 然后我们又以太阳方位角K 为目标做回归,得到模型（见表达式12），其计算方法与影长l 做回归目标时一样。我们分步做了两次拟合，先用MATLAB 拟合出经度，再做回归模型（见表达式14）最后得到经纬度(18.74 ,109.35)N E 和杆长 1.993L m =。综 上可知，肯定有一地点是在海南，还有一个地点可能在云南。 针对问题三，我们用问题二中的多项式回归，得到回归模型（见表达式17和20） 利用附件二得到的经纬度为(32.83N,110.25E)和杆长L 3.03m = ，得到天数307n =。利用附件三得到的经纬度为(39.19N,79.5E) 和杆长L 1.962m = ，得到天数=140n 针对问题四，首先运用MATLAB 软件，根据画面灰度，运用MATLAB 软件，把视频转化成二值图，求得影子端点的像素坐标，然后根据相似原理，把像素坐标转化成水平面上的坐标（消去了视角的影响），进而求得影子的长度。用以上方法求得的数据，运用多次拟合的方法，得到该地的经纬度为(34.32,108.72)N E ，日期未知时，得到的经纬度与其相似。 【关键字】 影子长度 多项式拟合 太阳方位角 画面灰度
数码相机的定位 摘要 数码相机的定位问题，实际就是关于对图的处理，射影关系的确定以及多种坐标系之间相互转化的综合考察，该题一共给出四个问题，前三个问题是关于数码相机双目定位原理的解释与求算，在已知原靶标的基础之上，我们能够利用图像之间的关系，实际点与射影点的相互关系来定位圆心，前三问分别是对该问题的解释，求算以及检验。 对于前三问，我们首先对图形进行处理，对给出的图像进行坐标化的处理可以让我们的计算由几何图形求解变成代数化处理，方便我们利用计算机辅助，而后的引入两个模型对圆心进行定位和计算，并利用共线和交比两个手段进行误差检验，。 模型一：我们利用射影后保持切线不变的性质来求解圆心坐标：对处理后的图像进行椭圆的多次拟合我们能够得到五个类椭圆的系数，随后我们通过切线的性质，找到任意两个椭圆的两组外公切点，通过外公切点的连线，没我们能够定位类椭圆的圆心坐标。 模型二：我们将靶标点成像看作是靶标向像点的映射，那么类椭圆的最上最下最左最右点也将是靶标上圆的四个极位点，他们的连线是靶标中圆的圆心，那么在类椭圆中，最上最下，最左最右四个点由于射影过程中上下左右位置并未改变，他们的连线同样可以确定圆心。同时由于淡出求解映射点的方式误差相对大一些，我们引入对畸变的修正模型，对畸变进行修正，通过交比不变的性质对畸变系数进行求解，得到准确的结果。 在我们得到圆心坐标后，我们分别考察了ABC的共线情况来计算两个模型的误差，同时再利用消影点的只是，考察了ABCM的交比情况，得到实际理想状态下的交比为10:7，与我们的计算情况误差极小，确保了模型的准确性。 在解决了单个相机的定位问题，我们在第四问中解决两个相机的相互位置关系问题，我们首先推导了世界坐标系，相机坐标系以及像点坐标系的转化关系作为基础，再通过两个相机坐标系与世界坐标系的关系，找到单个坐标系向世界坐标系的转化矩阵，分别为旋转变化系数矩阵和平移变化系数矩阵，在定位两个坐标系分别于世界坐标系的转换方式后，我们最后在世界坐标系下找到两个相机坐标系的相对关系，通过高等代数的方法求解出两个相对坐标系的夹角。 关键词：公切线模型映射点模型畸变修正转化矩阵系统标定